七年级数学上册期末复习——绝对值化简专题
人教版七年级上册数学绝对值专题
人教版七年级上册数学绝对值专题题目 1：已知x = 5，求x的值。
解析：因为x = 5，所以x = 5或x = -5。
题目 2：若a - 2 = 0，则a = _ ?解析：因为a - 2 = 0，所以a - 2 = 0，a = 2。
题目 3：计算- 3 = _ ?解析：- 3 = 3题目 4：如果m = 4，n = 6，且m < n，求m + n的值。
解析：因为m = 4，所以m = ±4；因为n = 6，所以n = ±6。
又因为m < n，所以当m = 4时，n = 6，m + n = 10；当m = - 4时，n = 6，m + n = 2。
题目 5：化简- ( - 5 ) = _ ?解析：- ( - 5 ) = 5 = 5题目 6：已知x - 1 + y + 2 = 0，求x，y的值。
解析：因为x - 1 ≥ 0，y + 2 ≥ 0，且x - 1 + y + 2 = 0，所以x - 1 = 0，y + 2 = 0，即x = 1，y = - 2。
题目 7：比较- 2 和- ( - 2 )的大小。
解析：- 2 = 2，- ( - 2 ) = 2，所以- 2 = - ( - 2 )题目 8：若x + 3 = 5，则x = _ ?解析：因为x + 3 = 5，所以x + 3 = 5或x + 3 = - 5，解得x = 2或x = - 8题目 9：绝对值小于4的整数有_ ? 个。
解析：绝对值小于4的整数有- 3，- 2，- 1，0，1，2，3，共7个。
题目 10：计算- 7 - - 4 = _ ?解析：- 7 - - 4 = 7 - 4 = 3题目 11：若a = 3，b = 2，且a > b，求a - b的值。
解析：因为a = 3，所以a = ±3；因为b = 2，所以b = ±2。
又因为a > b，所以当a = 3时，b = 2或b = - 2，a - b = 1或5；当a = - 3时，不符合a > b。
部编数学七年级上册专题绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练重难题型技巧提升专项精练(人教版)含答案
专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。
例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。
七年级数学上册数学 2.4.2 绝对值与相反数-绝对值(六大题型)(解析版)
2.4.2绝对值与相反数——绝对值分层练习考察题型一求一个数的绝对值1．下列各对数中，互为相反数的是()A ．(5)-+与(5)+-B ．12-与(0.5)-+C ．|0.01|--与1(100--D ．13-与0.3【详解】解：A ．(5)5-+=-，(5)5+-=-，不合题意；B ．(0.5)0.5-+=-，与12-相等，不合题意；C ．|0.01|0.01--=-，11()0.01100100--==，0.01-与0.01互为相反数，符合题意；D ．13-与0.3不是相反数，不合题意．故本题选：C ．2．若m 、n 互为相反数，则|5|m n -+=．【详解】解：m 、n 互为相反数，|5||5|5m n -+=-=．故本题答案为：5．3．比较大小：3(15--)| 1.35|--．（填“<”、“>”或“=”）【详解】解：3(1) 1.65--=，| 1.35| 1.35--=-，因为1.6 1.35>-，所以3(15--)| 1.35|>--．故本题答案为：>．考察题型二绝对值的代数意义1．最大的负整数是，绝对值最小的数是．【详解】解：最大的负整数是1-，绝对值最小的数是0．故本题答案为：1-，0．2．如果|2|2a a -=-，则a 的取值范围是()A ．0a >B ．0aC ．0aD ．0a <【详解】解：|2|2a a -=- ，20a ∴-，解得：0a ．故本题选：C ．3．如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是()A ．正数B ．负数C ．正数或零D ．负数或零【详解】解： 一个数的绝对值是它的相反数，设这个绝对值是a ，则||0a a =-，0a ∴．故本题选：D ．4．已知实数满足|3|3x x -=-，则x 不可能是()A ．1-B ．0C ．4D ．3【详解】解：|3|3x x -=- ，30x ∴-，即3x ．故本题选：C ．5．下列判断正确的是()A ．若||||a b =，则a b=B ．若||||a b =，则a b =-C ．若a b =，则||||a b =D ．若a b =-，则||||a b =-【详解】解：若||||a b =，则a b =-或a b =，所以A ，B 选项错误；若a b =，则||||a b =，所以C 选项正确；若a b =-，则||||a b =，所以D 选项错误．故本题选：C ．6．在数轴上有A 、B 两点，点A 在原点左侧，点B 在原点右侧，点A 对应整数a ，点B 对应整数b ，若||2022a b -=，当a 取最大值时，b 值是()A ．2023B ．2021C ．1011D ．1【详解】解： 点A 在点B 左侧，0a b ∴-<，||2022a b b a ∴-=-=，a 为负整数，则最大值为1-，此时(1)2022b --=，则2021b =．故本题选：B ．7．若x 为有理数，||x x -表示的数是()A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数【详解】解：（1）若0x 时，||0x x x x -=-=；（2）若0x <时，||20x x x x x -=+=<；由（1）（2）可得：||x x -表示的数是非正数．故本题选：B ．8．如果||||||m n m n +=+，则()A ．m 、n 同号B ．m 、n 异号C ．m 、n 为任意有理数D ．m 、n 同号或m 、n 中至少一个为零【详解】解：当m 、n 同号时，有两种情况：①0m >，0n >，此时||m n m n +=+，||||m n m n +=+，故||||||m n m n +=+成立；②0m <，0n <，此时||m n m n +=--，||||m n m n +=--，故||||||m n m n +=+成立；∴当m 、n 同号时，||||||m n m n +=+成立；当m 、n 异号时，则：||||||m n m n +<+，故||||||m n m n +=+不成立；当m 、n 中至少一个为零时，||||||m n m n +=+成立；综上，如果||||||m n m n +=+，则m 、n 同号或m 、n 中至少一个为零．故本题选：D ．考察题型三解方程：()0x a a =>，x a =±；0x =，0x =1．若|| 3.2a -=-，则a 是()A ．3.2B ． 3.2-C ． 3.2±D ．以上都不对【详解】解：|| 3.2a -=- ，|| 3.2a ∴=，3.2a ∴=±．故本题选：C ．2．若0a <，且||4a =，则1a +=．【详解】解：若0a <，且||4a =，所以4a =-，13a +=-．故本题答案为：3-．3．已知||4x =，||5y =且x y >，则2x y -的值为()A ．13-B ．13+C ．3-或13+D ．3+或13-【详解】解：||4x = ，||5y =且x y >，y ∴必小于0，5y =-，当4x =或4-时，均大于y ，①当4x =时，5y =-，代入224513x y -=⨯+=；②当4x =-时，5y =-，代入22(4)53x y -=⨯-+=-；综上，23x y -=-或2x y -=13+．故本题选：C ．4．已知||4m =，||6n =，且||m n m n +=+，则m n -的值是()A ．10-B ．2-C ．2-或10-D ．2【详解】解：||m n m n +=+ ，||4m =，||6n =，4m ∴=，6n =或4m =-，6n =，462m n ∴-=-=-或4610m n -=--=-．故本题选：C ．5．若|2|1x -=，则x 等于．【详解】解：根据题意可得：21x -=±，当21x -=时，解得：3x =；当21x -=-时，解得：1x =；综上，3x =或1x =．故本题答案为：1或3．6．小明做这样一道题“计算|2-★|”，其中★表示被墨水染黑看不清的一个数，他翻开后面的答案得知该题的结果为6，那么★表示的数是．【详解】解：设这个数为x ，则|2|6x -=，所以26x -=或26x -=-，①26x -=，62x -=-，4x -=，4x =-；②26x -=-，62x -=--，8x -=-，8x =；综上，4x =-或8．故本题答案为：4-或8．考察题型四绝对值的化简1．若1a <，|1||3|a a -+-=．【详解】解：1a < ，10a ∴->，30a ->，∴原式1342a a a =-+-=-．故本题答案为：42a -．2．若|||4|8x x +-=，则x 的值为．【详解】解：|||4|8x x +-= ，∴当4x >时，48x x +-=，解得：6x =；当0x <时，48x x -+-=，解得：2x =-．故本题选：2-或6．3．已知20212022x =，则|2||1||||1||2|x x x x x ---+++-+的值是．【详解】解：20212022x = ，即01x <<，20x ∴-<，10x -<，10x +>，20x +>，|2||1||||1||2|x x x x x ∴---+++-+2(1)12x x x x x =---+++--2112x x x x x =--++++--x =20212022=．故本题答案为：20212022．4．若a 、b 、c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】解：a ，b ，c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，||1a b ∴-=，||0c a -=或||0a b -=，||1c a -=，①当||1a b -=，||0c a -=时，c a =，1a b =±，所以||||||||||||0112a c c b b a a c a b b a -+-+-=-+-+-=++=；②当||0a b -=，||1c a -=时，a b =，所以||||||||||||1102a c c b b a a c c a b a -+-+-=-+-+-=++=；综上，||||||a c c b b a -+-+-的值为2．故本题选：B ．5．用abc 表示一个三位数，已知这个三位数的低位上的数字不大于高位上的数字，当||||||a b b c c a -+-+-取得最大值时，这个三位数的最小值是．【详解】解：abc 表示一个三位数，已知这个三位数的低位上的数字不大于高位上的数字，a b c ∴，||||||a b b c c a ∴-+-+-a b b c a c =-+-+-22a c =-2()a c =-，当||||||a b b c c a -+-+-取得最大值时，即a c -取得最大值，而a 、b 、c 是自然数，9a ∴=，0c =，∴这个三位数的最小值为900．故本题答案为：900．【根据数轴上的点的位置化简绝对值】6．已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简||||a c a b +-+的结果是()A ．2a b c ++B ．b c -C ．c b -D ．2a b c--【详解】解：由题意得：0b a c <<<，且||||c a >．0a c ∴+>，0a b +<，∴原式()a c a b =+---a c a b =+++2a b c =++．故本题选：A ．7．已知a ，b ，c 的位置如图所示，则||||||a a b c b ++--=．【详解】解：由数轴可知：0b a c <<<，且||||||b c a >>，0a b ∴+<，0c b ->，||||||a abc b ∴++--()()a abc b =--+--a a b c b=----+2a c =--．故本题答案为：2a c --．8．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c -0，a b +0，c a -0．（2）化简：||||||b c a b c a -++--．【详解】解：（1）由图可知：0a <，0b >，0c >且||||||b a c <<，所以0b c -<，0a b +<，0c a ->，故本题答案为：<，<，>；（2）||||||b c a b c a -++--()()()c b a b c a =-+----c b a b c a=----+2b =-．【当0a >，1||aa =，当0a <时，1||aa =-】9．已知0ab ≠，则||||a b a b +的值不可能的是()A ．0B ．1C ．2D ．2-【详解】解：①当a 、b 同为正数时，原式112=+=；②当a 、b 同为负数时，原式112=--=-；③当a 、b 异号时，原式110=-+=．故本题选：B ．10．已知a ，b 为有理数，0ab ≠，且2||3||a bM a b =+．当a ，b 取不同的值时，M 的值等于()A ．5±B ．0或1±C ．0或5±D ．1±或5±【详解】解：由于a ，b 为有理数，0ab ≠，当0a >、0b >时，且2||3235||a b M a b =+=+=；当0a >、0b <时，且2||3231||a b M a b =+=-=-；当0a <、0b >时，且2||3231||a b M a b =+=-+=；当0a <、0b <时，且2||3235||a b M a b =+=--=-．故本题选：D ．11．已知a ，b ，c 为非零有理数，则||||||a b c a b c ++的值不可能为()A ．0B ．3-C ．1-D ．3【详解】解：当a 、b 、c 没有负数时，原式1113=++=；当a 、b 、c 有一个负数时，原式1111=-++=；当a 、b 、c 有两个负数时，原式1111=--+=-；当a 、b 、c 有三个负数时，原式1113=---=-；原式的值不可能为0．故本题选：A ．12．若||||||a b ab x a b ab =++，则x 的最大值与最小值的和为()A ．0B ．1C ．2D ．3【详解】解：当a 、b 都是正数时，1113x =++=；当a 、b 都是负数时，1111x =--+=-；当a 、b 异号时，1111x =--=-；则x 的最大值与最小值的和为：3(1)2+-=．故本题选：C ．13．已知：||2||3||a b b c c a m c a b+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最大的值为y ，则(x y +=)A ．4B ．3C ．2D ．1【详解】解：0abc > ，0a b c ++=，a ∴、b 、c 为两个负数，一个正数，a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴||2||3||c a b m c a b---=++，∴分三种情况说明：当0a <，0b <，0c >时，1234m =--=-，当0a <，0c <，0b >时，1230m =--+=，当0a >，0b <，0c <时，1232m =-+-=-，m ∴共有3个不同的值，4-，0，2-，最大的值为0，3x ∴=，0y =，3x y ∴+=．故本题选：B ．14．已知||1abc abc =，那么||||||a b c a b c++=．【详解】解：1abcabc =，0abc ∴>，a ∴、b 、c 均为正数或一个正数两个负数，①当a 、b 、c 均为正数时，1113ab c ab c ++=++=；②a 、b 、c 中有一个正数两个负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，1111ab c a b c++=--=-；综上，3ab c++=或1-．故本题答案为：3或1-．考察题型五绝对值的非负性1．任何一个有理数的绝对值一定()A ．大于0B ．小于0C ．不大于0D ．不小于0【详解】解：由绝对值的定义可知：任何一个有理数的绝对值一定大于等于0．故本题选：D ．2．对于任意有理数a ，下列结论正确的是()A ．||a 是正数B ．a -是负数C ．||a -是负数D ．||a -不是正数【详解】解：A 、0a =时||0a =，既不是正数也不是负数，故本选项错误；B 、a 是负数时，a -是正数，故本选项错误；C 、0a =时，||0a -=，既不是正数也不是负数，故本选项错误；D 、||a -不是正数，故本选项正确．故本题选：D ．3．式子|1|3x --取最小值时，x 等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】解：|1|0x - ，∴当10x -=，即1x =时，|1|3x --取最小值．故本题选：A ．4．当a =时，|1|2a -+会有最小值，且最小值是．【详解】解：|1|0a - ，|1|22a ∴-+，∴当10a -=，即1a =，此时|1|2a -+取得最小值2．故本题答案为：1，2．5．已知|2022||2023|0x y -++=，则x y +=．【详解】解：|2022|x - ，|2023|0y +，20220x ∴-=，20230y +=，2022x ∴=，2023y =-，202220231x y ∴+=-=-．故本题答案为：1-．6．如果|3||24|y x +=--，那么(x y -=)A ．1-B ．5C ．5-D ．1【详解】解：|3||24|y x +=-- ，|3||24|0y x ∴++-=，30y ∴+=，240x -=，解得：2x =，3y =-，235x y ∴-=+=．故本题选：B ．7．若|2|2|3|3|5|0x y z -+++-=．计算：（1）x ，y ，z 的值．（2）求||||||x y z +-的值．【详解】解：（1）由题意得：203050x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：235x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即2x =，3y =-，5z =；（2）当2x =，3y =-，5z =时，|||||||2||3||5|2350x y z +-=+--=+-=．8．若a 、b 都是有理数，且|2||1|0ab a -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)ab a b a b a b +++⋯⋯+++++++的值．【详解】解：由题意可得：20ab -=，10a -=，1a ∴=，2b =，原式1111 (12233420232024)=+++⨯⨯⨯⨯111111112233420232024=-+-+-++-112024=-20232024=．考察题型六绝对值的几何意义1．绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是()A ．6，6-B ．0，6C ．0，6-D ．3，3-【详解】解： 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6，∴这两个数到原点的距离都等于3，∴这两个数分别为3和3-．故本题选：D ．2．绝对值不大于π的所有整数为．【详解】绝对值不大于π的所有整数为0，1±，2±，3±．故本题答案为：0，1±，2±，3±．3．绝对值小于4的所有负整数之和是．【详解】解： 绝对值小于4的所有整数是3-，2-，1-，0，1，2，3，∴符合条件的负整数是3-，2-，1-，∴其和为：3216---=-．故本题答案为：6-．4．大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是．【详解】解：|5|a +在数轴上的意义是表示数a 的点与表示5-的点之间的距离．故本题答案为：表示数a 的点与表示5-的点之间的距离．5．计算|1||2|x x -++的最小值为()A ．0B ．1C ．2D ．3【详解】解：|1||2||1||(2)|x x x x -++=-+-- ，|1||2|x x ∴-++表示在数轴上点x 与1和2-之间的距离的和，∴当21x -时|1||2|x x -++有最小值3．故本题选：D ．6．当a =时，|1||5||4|a a a -+++-的值最小，最小值是．【详解】解：当4a 时，原式5143a a a a =++-+-=，这时的最小值为3412⨯=，当14a <时，原式5148a a a a =++--+=+，这时的最小值为189+=，当51a -<时，原式51410a a a a =+-+-+=-+，这时的最小值接近为189+=，当5a -时，原式5143a a a a =---+-+=-，这时的最小值为3(5)15-⨯-=，综上，当1a =时，式子的最小值为9．故本题答案为：1，9．7．已知式子|1||2||3||4|10x x y y ++-+++-=，则x y +的最小值是．【详解】解：令12x x a ++-=，34y y b ++-=，根据绝对值几何意义：a 表示x 到1-与2两点之间的距离之和，b 表示y 到3-与4两点之间的距离之和， 当12x -，34y -时，正好有10a b +=，∴当1x =-，3y =-时，x y +的最小值为：1(3)4-+-=-．故本题答案为：4-．8．若不等式|2||3||1||1|x x x x a -+++-++对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．【详解】解：数形结合：绝对值的几何意义：||x y -表示数轴上两点x ，y 之间的距离．画数轴易知：|2||3||1||1|x x x x -+++-++表示x 到3-，1-，1，2这四个点的距离之和．令|2||3||1||1|y x x x x =-+++-++，3x =-时，11y =，1x =-时，7y =，1x =时，7y =，2x =时，9y =，可以观察知：当11x -时，由于四点分列在x 两边，恒有7y =，当31x -<-时，711y <，当3x <-时，11y >，当12x <时，79y <，当2x 时，9y ，综上，7y ，即|2||3||1||1|7x x x x -+++-++对一切实数x 恒成立．∴a 的取值范围为7a ．9．设|1|a x =+，|1|b x =-，|3|c x =+，则2a b c ++的最小值为．【详解】解：|1|2|1||3|x x x ++-++表示x 到1-、3-的距离以及到1的距离的2倍之和，当x 在1-和1之间时，它们的距离之和最小，此时26a b c ++=．故本题答案为：6．10．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．（2）如果|1|3x +=，那么x =；（3）若|3|2a -=，|2|1b +=，且数a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点B ，则A 、B 两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，则|4||2|a a ++-=．【详解】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：413-=，表示3--=，-和2两点之间的距离是：2(3)5故本题答案为：3，5；（2）|1|3x+=，x+=-，x+=或1313x=或4x=-，2故本题答案为：2或4-；（3）|3|2b+=，，|2|1a-=b=-或3b=-，∴=或1，1a5当5b=-时，则A、B两点间的最大距离是8，a=，3当1b=-时，则A、B两点间的最小距离是2，a=，1则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2，故本题答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于4-与2之间，++-=++-=．a a a a|4||2|(4)(2)6故本题答案为：6．11．同学们都知道，|5(2)|--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5(2)|--=；（2）同样道理|1008||1005|x x+=-表示数轴上有理数x所对点到1008-和1005所对的两点距离相等，则x=；（3）类似的|5||2|++-表示数轴上有理数x所对点到5x x-和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|5||2|7x x++-=，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|3||6|-+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，x x说明理由．【详解】解：（1）|5(2)|7--=，故本题答案为：7；（2）(10081005)2 1.5-+÷=-，故本题答案为： 1.5-；（3）式子|5||2|7++-=理解为：在数轴上，某点到5x x-所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x 可为5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，故本题答案为：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2；（4）有，最小值为3(6)3---=．12．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．如果表示数a 和1-的两点之间的距离是3，那么a =．（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，则|4||2|a a ++-的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得|2||5|7x x ++-=，这些点表示的数的和是．（4）当a =时，|3||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是．【详解】解：（1）|14|3-=，|32|5--=，|(1)|3a --=，13a +=或13a +=-，解得：4a =-或2a =，故本题答案为：3，5，4-或2；（2） 表示数a 的点位于4-与2之间，40a ∴+>，20a -<，|4||2|(4)[(2)]426a a a a a a ∴++-=++--=+-+=，故本题答案为：6；（3）使得|2||5|7x x ++-=的整数点有2-，1-，0，1，2，3，4，5，2101234512--++++++=，故本题答案为：12；（4）1a =有最小值，最小值|13||11||14|4037=++-+-=++=，故本题答案为：7．1．将2，4，6，8，⋯，200这100个偶数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任意数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式1(||)2a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是．【详解】解：当a b >时，11(||)()22a b a b a b a b a -++=-++=，当a b <时，11(||)()22a b a b b a a b b -++=-++=，1021041062007550∴+++⋯⋯+=，∴这50个值的和的最大值是7550．故本题答案为：7550．2．39121239||||||||a a a aa a a a +++⋯+的不同的值共有()个．A ．10B ．7C ．4D ．3【详解】解：当0a >，1||a a =，当0a <时，1||aa =-，按此分类讨论：当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 均为正数时，391212399||||||||a a a aa a a a +++⋯+=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有八个为正数，一个为负数时，39121239817||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有七个为正数，两个为负数时39121239725||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有六个为正数，三个为负数时，39121239633||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有五个为正数，四个为负数时，39121239541||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有四个为正数，五个为负数时，39121239451||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有三个为正数，六个为负数时，39121239363||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有两个为正数，七个为负数时，39121239275||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 有一个为正数，八个为负数时，39121239187||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-=-；当1a 、2a 、3a 、⋯、9a 均为负数时，391212399||||||||a a a aa a a a +++⋯+=-；所以共有10个值．故本题选：A ．3．若x 是有理数，则|2||4||6||8||2022|x x x x x -+-+-+-+⋯+-的最小值是．【详解】解：当1012x =时，算式|2||4||6||2022|x x x x -+-+-+⋯+-的值最小，最小值=2|2|2|4|2|6|2|1012|x x x x -+-+-+⋯+-2020201620120=+++⋯+(20200)5062=+⨯÷20205062=⨯÷511060=．故本题答案为：511060．4．对于有理数x ，y ，a ，t ，若||||x a y a t -+-=，则称x 和y 关于a 的“美好关联数”为t ，例如，|21||31|3-+-=，则2和3关于1的“美好关联数”为3．（1）3-和5关于2的“美好关联数”为；（2）若x 和2关于3的“美好关联数”为4，求x 的值；（3）若0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，1x 和2x 关于2的“美好关联数”为1，2x 和3x 关于3的“美好关联数”为1，⋯，40x 和41x 关于41的“美好关联数”为1，⋯．①01x x +的最小值为；②12340x x x x +++⋯⋯+的最小值为．【详解】解：（1）|32||52|8--+-=，故本题答案为：8；（2）x 和2关于3的“美好关联数”为4，|3||23|4x ∴-+-=，|3|3x ∴-=，解得：6x =或0x =；（3）①0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，01|1||1|1x x ∴-+-=，∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴只有当00x =，11x =时，01x x +有最小值1，故本题答案为：1；②由题意可知：12|2||2|1x x -+-=，12x x +的最小值123+=，34|4||4|1x x -+-=，34x x +的最小值347+=，56|6||6|1x x -+-=，56x x +的最小值5611+=，78|8||8|1x x -+-=，78x x +的最小值7815+=，......，3940|40||40|1x x -+-=，3940x x +的最小值394079+=，12340x x x x ∴+++⋯⋯+的最小值：371115...79+++++(379)202+⨯=820=，故本题答案为：820．。
专题突破：绝对值化简问题专项探究(3大题型)(解析版)—24-25学年七年级数学上册单元(浙教版)
专题突破：绝对值化简问题专项探究绝对值化简常见问题方法总结1、根据绝对值的性质化简（1）牢记绝对值的性质：⎪⎩⎪⎨⎧-==)a(a a )a(a a 0000＜）（＞或⎩⎨⎧≤-≥=)a(a )a(a a 00（2）在”“=的组合中，当“=”左边的部分未知时，求“| |”内部的数，需要分类讨论；当“=”右边的部分未知时，求“=”右边的值，结果只有一个。
（3）绝对值的非负性应用：当“| |+| |=0”时，则“| |”内部的式子整体=02、已知范围的绝对值化简基本步骤第1步：判断绝对值内部式子的正负；第2步：把绝对值改为小括号；第3步：去括号；第4步：化简合并。
3、绝对值化简与最值问题对应规律（1）当x=a 时，|x-a|的最小值=0；（2）当a ≤x ≤b 时，|x-a|+|x-b|的最小值=|a-b|；（3）若a ＜b ＜c ，当x=b 时，|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a；题型一 根据绝对值的性质化简【例1】．（2024春•肇源县期中）若|a |+a ＝0，则a 是（ ）A ．零B ．负数C ．负数或零D ．非负数【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：若|a |+a ＝0，则a 是负数或零，故选：C ．【变式1-1】．（2024•碑林区校级模拟）如果，那么x ＝（ ）A ．B ．或2C ．D ．2【分析】根据绝对值的意义求解即可．【解答】解：∵∴．故选：C ．【变式1-2】．（2023秋•|m |＝|n |，那么m ，n 的关系（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．都是0D ．互为相反数或相等【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到m 与n 的关系．【解答】解：∵|m |＝|n |，∴m ＝n 或m ＝﹣n ，即互为相反数或相等，故选：D ．【变式1-3】．（2023秋•渑池县期末）若|a +2|+|b ﹣7|＝0，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．5D ．﹣5【分析】根据非负数的性质分别求出a 、b ，计算即可．【解答】解：∵|a +2|+|b ﹣7|＝0，∴|a +2|＝0，|b ﹣7|＝0，∴a+2＝0，b﹣7＝0，解得，a＝﹣2，b＝7，则a+b＝5，故选：C．【变式1-4】．（2023秋•东莞市月考）若|x﹣1|+|2﹣y|＝0，求2x﹣y的值．【分析】根据非负数的性质得出x﹣1＝0，2﹣y＝0，即可求出x、y的值，从而求出2x﹣y的值．【解答】解：∵|x﹣1|+|2﹣y|＝0，又∵|x﹣1|≥0，|2﹣y|≥0，∴x﹣1＝0，2﹣y＝0，∴x＝1，y＝2，∴2x﹣y＝2×1﹣2＝0．【变式1-5】．（2023•南皮县校级一模）若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．【解答】解：∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，+＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，+＝﹣1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，+＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，+＝﹣1+1＝0；综上所述，+的值为：±2或0．故选：C．题型二已知范围的绝对值化简【例2】．（2023•成都模拟）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝ ．【分析】因为π≈3.414，所以π﹣4＜0，3﹣π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π﹣4|+|3﹣π|．【解答】解：∵π≈3.414，∴π﹣4＜0，3﹣π＜0，∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1．故答案为1．【变式2-1】．（2024春•松江区期中）如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝ ．【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．【解答】解：∵a＞3，∴|1﹣a|﹣|a﹣3|＝a﹣1﹣（a﹣3）＝a﹣1﹣a+3＝2．故答案为：2．【变式2-2】．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（ ）A．2m﹣3B．﹣1C．1D．2m﹣1【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果．【解答】解：∵|m|＝﹣m，∴m≤0，∴m﹣1＜0，m﹣2＜0，∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1．故选：B．【变式2-3】．（2022秋•市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣2【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0，∴a＝±5．b＝7，当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；故a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：B．【变式2-4】．（2023秋•文登区期末）如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（ ）A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b【分析】先根据数轴判断﹣3﹣a和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1，∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0，∴|﹣3﹣a|﹣|b+1|＝（3+a）﹣（b+1）＝3+a﹣b﹣1＝2+a﹣b．故选：B．【变式2-5】．（2023秋•青羊区校级期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|b|＞|a|，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝ ．【分析】由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，进一步判断出a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，再根据绝对值的意义化简即可．【解答】解：由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，∴a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，∴|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c）＝a+b﹣b+c+a﹣c＝2a，故答案为：2a．【变式2-6】．（2023秋•思明区校级期末）如图，化简|a﹣1|＝ ．【分析】判断出a﹣1的取值，再根据绝对值性质计算即可．【解答】解：由题得a＜1，∴a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝1﹣a，故答案为：1﹣a．【变式2-7】．（2023秋•余干县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．题型三绝对值化简与最值问题【例3】．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案．【解答】解：当绝对值最小时，式子有最小值，即|x﹣2|＝0时，式子最小值为0+1＝1．故选：B．【变式3-1】．（2023秋•邵阳县校级月考）当a＝ 时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为 ．【分析】分a＜1、a＝1和a＞1三种情况讨论求出5﹣|a﹣1|≤5，问题随之得解．【解答】解：当a＜1时，a﹣1＜0，即5﹣|a﹣1|＝5﹣（1﹣a）＝4+a，∵a＜1，∴5﹣|a﹣1|＝4+a＜5；当a＝1时，a﹣1＝0，即5﹣|a﹣1|＝5；当a＞1时，a﹣1＞0，即5﹣|a﹣1|＝5﹣（a﹣1）＝6﹣a，∵a＞1，∴﹣a＜﹣1，∴5﹣|a﹣1|＝6﹣a＜5；综上：5﹣|a﹣1|≤5，当且仅当a＝1时，5﹣|a﹣1|有最大值，最大值为5，解法二：∵|a﹣1|≥0，∴5﹣|a﹣1|≤5，∴当a＝1时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为5．故答案为：1，5．【变式3-2】．（2023秋•西安校级月考）当x满足 条件时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是 ．【分析】根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．【解答】解：由题意可知：当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是5．故答案为：﹣3≤x≤2，5．【变式3-3】．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知m是有理数，则|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是 ．【分析】根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值．【解答】解：∵绝对值最小的数是0，∴分别当|m﹣2|，|m﹣4|，|m﹣6|，|m﹣8|等于0时，有最小值．∴m的值分别为2，4，6，8．∵①当m＝2时，原式＝|2﹣2|+|2﹣4|+|2﹣6|+|2﹣8|＝12；②当m＝4时，原式＝|4﹣2|+|4﹣4|+|4﹣6|+|4﹣8|＝8；③当m＝6时，原式＝|6﹣2|+|6﹣4|+|6﹣6|+|6﹣8|＝8；④当m＝8时，原式＝|8﹣2|+|8﹣4|+|8﹣6|+|8﹣8|＝12；∴|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是8．故答案为：8．【变式3-4】．（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数a的绝对值可分为两种情况：．请用你所学的知识解决下面的问题：（1）若|a﹣3|＝5，求a的值；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），化简|a﹣2|﹣|a|；（3）当a＝ 时，|a﹣5|+|a﹣1|+|a+3|取到最小值，最小值是 ．【分析】（1）根据绝对值可得：a﹣3＝±5，即可解答；（2）根据已知范围，化简绝对值，再合并即可；（3）分四种情况讨论，即可解答．【解答】解：（1）∵|a﹣3|＝5，∴a﹣3＝±5，解得：a＝8或a＝﹣2；（2）∵数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），∴﹣3≤a≤0，∴|a﹣2|﹣|a|＝﹣（a﹣2）+a＝﹣a+2+a＝2；（3）当a≥5时，原式＝a﹣5+a﹣1+a+3＝3a﹣3，此时的最小值为3×5﹣3＝12；当1≤a＜5时，原式＝﹣a+5+a﹣1+a+3＝a+7，此时的最小值为1+7＝8；当﹣3＜a≤1时，原式＝﹣a+5﹣a+1+a+3＝9﹣a，此时的最小值为9﹣1＝8；当a≤﹣3时，原式＝﹣a+5﹣a+1﹣a﹣3＝﹣3a+3，这时的最小值为﹣3×（﹣3）+3＝12；综上所述当a＝1时，式子的最小值为8，故答案为：1，8．【变式3-5】．（2023秋•芙蓉区校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：（1）|5﹣（﹣2）|＝ ；（2）x是所有符合|x+5|+|x﹣2|＝7成立条件的整数，则x＝ ；（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 ；（4）当x为整数时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为 ；（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|的最小值．【分析】（1）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可；（2）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可；【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7；（2）∵|x+5|+|x﹣2|＝7表示的是在数轴上x所对应的点到﹣5，2两点之间的距离之和等于7，又∵x为整数，∴x＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|表示的是在数轴上x所对应的点到3，6两点之间的距离之和，当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3．故答案为：3；（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和，∵x为整数，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取得最小值，∴x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为2．故答案为：2；（5）由（4）的结论可知：当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取得最小值，最小值为2×（1+2+...+998）＝997002．。
初一数学：绝对值化简题型辅导（1）——从题设条件找思路
初一数学：绝对值化简题型辅导（1）——从题设条件找思路
绝对值是初中代数部分的一个重要内容。
也是很多同学进入初中阶段的学习以后遇到的第一个难点，有关绝对值的化简问题，也频繁出现在各地中考及各类竞赛的试卷中，成为同学们失分的陷阱、考试的压力与学习阻力所在。
纵观这类问题的处理方法，其实，无外乎就是根据绝对值的形式脱去绝对值符号，将式子转化为不含绝对值的代数式进行化简计算！
而其核心关键便是正确判断绝对值内部式子的正负！
注意：
在处理嵌套的多层绝对值符号的化简问题时，一般是从内向外逐层化简，每一次脱去绝对值都要先判断所脱去的绝对值内的部分的正负，在根据相关性质进行化简计算。
那么如果题目中并没有给我们提供有关取值范围的信息，我们又该如何处理这类问题呢？
【总结归纳】
根据题设条件判断绝对值符号内部的代数式是正是负或是零，再能根据绝对值意义去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．如果题目中没有给出相关参数的取值范围，则需要进行分类讨论。
七年级数学--绝对值化简专题训练
绝对值化简专题训练去绝对值的法则：1、正数的绝对值等于它本身aa=()0〉a2、负数的绝对值等于它的相反数a=()0〈aa-3、零的绝对值等于零。
0a()0=a=1．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则（1）b﹣a0，a﹣c0，b+c0（用“＞”“＜”或“=”填空）．（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|2．如图，数轴上的a、b、c分别表示有理数a、b、c．（1）化去下列各式的绝对值：①|c|=；②|a|=；③|a﹣b|=．（2）化简：|b﹣a|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣c|．3．数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．4．已知：有理数a、b、c在数轴上如图所示．化简：|a|+3|c﹣a|+|b+c|．5．已知a、b、c这三个有理数在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a﹣b|+|a+c|．6．有理数在数轴上的位置如图所示，化简：|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+|a+b|．7．有理数a，b，c在数轴上如图所示，试化简|2c﹣b|+|a+b|﹣|2a﹣c|．8．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|a+c|﹣|c﹣a|+|a+b+c|+|b﹣c|9．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C．（1）填空：A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，A、C之间的距离为；（2）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|；（3）a、b、c在数轴上的位置如图所示，且c2=4，﹣b的倒数是它本身，a的绝对值的相反数是﹣2，求﹣a+2b﹣c﹣2（a﹣4c﹣b）的值．。
人教版七年级上册数学《绝对值》专题讲义(含答案)
绝对值1． 掌握绝对值的概念与化简 2． 绝对值的几何意义3． 分类讨论思想在绝对值中的应用模块一 绝对值的意义及其化简1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3. 绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩4. 绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④222a a a ==☞绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】13a =±【巩固】绝对值等于2的数有 个，是 【难度】1星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】2个，2±例题精讲重难点【巩固】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是 【难度】2星【解析】绝对值的代数意义，几何意义 【答案】6个，5±、6±、7±☞绝对值化简【例2】 计算：3π-= ，若23x -=，则x = 【难度】1星 【解析】绝对值化简 【答案】3π-，5x =或1-【巩固】若220x x -+-=，则x 的取值范围是 【难度】2星 【解析】绝对值化简 【答案】2x ≤【巩固】已知：①52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵5a =，2b =∴5a =±，2b =±∵a b < ∴5a =-，2b =±【例3】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图所示，得0a b <<，01c <<∴0a b +<，10b -<，0a c -<，10c ->∴原式=()(1)()(1)a b b a c c -++-+---=11a b b a c c --+-+--+=2-【巩固】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵ 0x z <<，0xy > ∴0y <∵y z x >> ∴y z x ->>- ∴0x z +>，0y z +<，0x y -> ∴原式=()()()0x z y z x y x z y z x y +-+--=+---+=【巩固】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：如图，得0a <，0b >，0a b +<，0b a ->∴原式=()()2a b b a b a a a b b a b a b -++-+-+=--+-++=【例4】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解： ∵0a a +=、0c c -= ∴a a =-，c c =∵a 、b 、c 为非零实数，∴0a <，0c > ∵ab ab = ∴0ab > ∴0b < ∴0a b +<，0c b ->，0a c -<∴原式=()()()()b a b c b a c -++----=b a b c b a c b -++-+-+=【巩固】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++-- 【难度】3星 【解析】绝对值化简【答案】解：∵a a =- ∴0a ≤ ∵0b < ∴20a b +<，230a -<∴原式=22(2)42(2)24323a b a b a b b a -++-++++-=242222a b a b a b -+++++=42a b+模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例5】 若42a b -=-+，则_______a b +=【难度】2星【解析】绝对值的非负性【答案】解：∵42a b -=-+ ∴420a b -++=∵40a -≥，20b +≥ ∴40a -=，20b += 则4a =，2b =-【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【难度】2星【解析】绝对值的非负性 【答案】解：∵30m +≥，702n -≥，210p -≥ ∴30m +=，702n -=，210p -= 则3m =-，72n =，12p = ∴3232p n m ++=-【例6】 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = 【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2(2)0a b -≥，10b +≥，且2(2)|1|1a b b b -++=+∴10b +≥ ∴2(2)11a b b b -++=+ 则2(2)0a b -= ∴2a b =∵30a b +-= ∴230b b +-= 则1b =，2a = ∴2ab =【巩固】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______【难度】3星【解析】绝对值化简与非负性【答案】解：∵2()0a b +≥，50b +≥，且2()55a b b b +++=+∴50b +≥ ∴2()55a b b b +++=+ 则2()0a b += ∴a b =-∵210a b --= ∴210b b ---= ∴13b =-，13a = 则19ab =-模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例7】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：⑴令20x +=，40x -=，则2x =-，4x =⑵零点为2x =-，4x =，则可分三段进行讨论：2x <-，24x -≤<，4x ≥ ①当2x <-时，则20x +<，40x -<∴2(2)2x x x +=-+=--，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x ---+=22x -+②当24x -≤<时，则20x +≥，40x -< ∴22x x +=+，4(4)4x x x -=--=-+ ∴原式=24x x +-+=6③当4x ≥时，则20x +>，40x -≥ ∴22x x +=+，44x x -=- ∴原式=24x x ++-=22x -综上所述，当2x <-时，24x x ++-=22x -+当24x -≤<时，24x x ++-=6 当4x ≥时，24x x ++-=22x -【巩固】化简12m m m +-+-的值 【难度】3星 【解析】零点分段法【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点为0m =，1m =，2m =则可分四段进行讨论：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥ ①当0m <时，10m -<，20m -<∴m m =-，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m --+-+=33m -+ ②当01m ≤<时，10m -<，20m -< ∴m m =，11m m -=-+，22m m -=-+ ∴原式=12m m m -+-+=3m -+ ③当12m ≤<时，10m -≥，20m -< ∴m m =，11m m -=-，22m m -=-+ ∴原式=12m m m +--+=1m + ④当2m ≥时，10m -≥，20m -≥ ∴m m =，11m m -=-，22m m -=- ∴原式=12m m m +-+-=33m -综上所述：当0m <时，12m m m +-+-=33m -+当01m ≤<时，12m m m +-+-=3m -+ 当12m ≤<时，12m m m +-+-=1m + 当2m ≥时，12m m m +-+-=33m -【巩固】化简：121x x --++.【难度】4星 【解析】零点分段法【答案】解：令10x -=，120x --=，10x +=，∴120x --=，则3x =或1x =-∴零点有1x =-，1x =，3x =∴分四段进行讨论1x <-，11x -≤<，13x ≤<，3x ≥ ①当1x <-时，则10x -<，10x +<，10x --> ∴11x x -=-+，11x x +=--，11x x --=--∴原式=121x x -+---=11x x ----=11x x ----=22x -- ②当11x -≤<时，则10x -<，10x +≥，10x --≤ ∴11x x -=-+，11x x +=+，11x x --=+∴原式=121x x -+-++=11x x --++=11x x +++=22x + ③当13x ≤<时，10x -≥，10x +>，30x -< ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-+ ∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -+++=4 ④当3x ≥时，10x ->，10x +>，30x -≥ ∴11x x -=-，11x x +=+，33x x -=-∴原式=121x x --++=31x x -++=31x x -++=22x -综上所述，当1x <-时，121x x --++=22x --当11x -≤<时，121x x --++=22x + 当13x ≤<时，121x x --++=4 当3x ≥时，121x x --++=22x -模块四 绝对值的几何意义的拓展1. a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．2. a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例8】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=， 则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：⑴x 、原点、=；⑵1；⑶x 、3、4或2；⑷x 、2-、4-或0；⑸设2-、2、x 在数轴代表的点为A 、B 、P ，如图P B A 112则2x PA +=，2x PB -=,∴224x x PA PB AB ++-=+==【例9】 已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令0m =，10m -=，20m -=，则零点有0m =，1m =，2m =设0、1、2、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、P 表示,如图PC B A①当点P 在点A 左侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PA AB BC ++=33PA + ∴当0PA =时，即点P 与点A 重合时，原式取得最小值为3 ∵点P 在点A 左侧 ∴原式3>PC B A②当点P 在线段AB 上时（不包含点B ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，原式取得最小值 ∵此时不包含点B ，∴原式2>P CB A③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），12m m m +-+-=PA PB PC ++=2PB AC PB +=+ ∴当0PB =时，即当点P 与点B 重合时，原式取得最小值，最小值为2PC B A④当点P 在点C 及点C 右侧时，12m m m +-+-=PA PB PC ++=32PC BC AB ++=33PC + ∴当0PC =时，即点P 与点C 重合时，原式取得最小值，最小值为3 综上所述，当点P 与点B 重合时，即1m =时，原式取得最小值为2【巩固】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值 【难度】4星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：令20m -=，40m -=，60m -=，80m -=则零点有2m =，4m =，6m =，8m =设2、4、6、8、m 在数轴上分别用A 、B 、C 、D 、P ∴2468m m m m PA PB PC PD -+-+-+-=+++①当点P 在点A 左侧时，43241212PA PB PC PD PA AB BC CD PA +++=+++=+> ②当点P 在线段AB 上时，（不包含点B ），2288PA PB PC PD PB BC AD PB +++=++=+> ③当点P 在线段BC 上时（不包含点C ），8PA PB PC PD BC AD +++=+=④当点P 在线段CD 上时（不包含点D ），2288PA PB PC PD PC BC AD PC +++=++=+≥ 当点P 与点C 重合时，取等号⑤当点P 在点D 及点D 右侧时，43241212PA PB PC PD PD CD BC AB PD +++=+++=+≥ 综上所述，当点P 在线段BC 上时，即46m ≤≤时，原式取得最小值为8【例10】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：活动中心应该建在村庄C ，使各村到活动中心的路程之和最短【巩固】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？F EDCBPA7A6A5A4A3A2A1【难度】3星【解析】绝对值的几何意义【答案】解：长途汽车站应该设在点D，如果在点P 又建了一个工厂，那么此时长途汽车站应该设在DE 之间1．4x-的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若42x-=，则x=．【难度】2星【解析】绝对值的几何意义【答案】x、4、2或62．化简：212x x x-++-【难度】4星【解析】零点分段法【答案】解：令10x-=，20x+=，0x=，∴零点为1x=、2x=-、0x=∴可分四段讨论：2x<-、20x-≤<、01x≤<、1x≥①当2x<-时，则10x-<，20x+<∴11x x-=-+，22x x+=--，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+----=-+--+=2x-②当20x-≤<时，则10x-<，20x+≥∴11x x-=-+，22x x+=+，x x=-∴原式=2(1)2()222x x x x x x-+++--=-++++=4课堂检测③当01x ≤<时，则10x -<，20x +> ∴11x x -=-+，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)2222x x x x x x -+++-=-+++-24x =-+④当1x ≥时，10x -≥，20x +> ∴11x x -=-，22x x +=+，x x =∴原式=2(1)22222x x x x x x x -++-=-++-=综上所述，当2x <-时，212x x x -++-=2x -当20x -≤<时，212x x x -++-=4当01x ≤<时，212x x x -++-=24x =-+当1x ≥时，212x x x -++-=2x3． 化简124x x --+-【难度】4星【解析】零点分段法 【答案】解：令10x -=，40x -=，12x -=， ∴零点有1x =，4x =，3x =，1x =-则可以分五段来分类讨论：1x <-，11x -≤<，13x ≤<，34x ≤<，4x ≥ ①当1x <-时，10x -<，40x -<，10x --> ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=--∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x ---+=23x -+②当11x -≤<时，10x -<，40x -<，10x --≤ ∴11x x -=-+，44x x -=-+，11x x --=+∴原式=124x x -+--+=14x x ---+=14x x +-+=5③当13x ≤<时，10x -≥，40x -<，30x -< ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-+∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x -+-+=27x -+④当34x ≤<时，10x ->，40x -<，30x -≥ ∴11x x -=-，44x x -=-+，33x x -=-∴原式=124x x ---+=34x x --+=34x x --+=1⑤当4x ≥时，10x ->，40x -≥，30x -> ∴11x x -=-，44x x -=-，33x x -=-∴原式=124x x --+-=34x x -+-=34x x -+-=27x -综上所述，当1x <-时，124x x --+-=23x -+ 当11x -≤<时，124x x --+-=5 当13x ≤<时，124x x --+-=27x -+当34x ≤<时，124x x --+-=1当4x ≥时，124x x --+-=27x -1．通过本堂课你学会了 ．2．掌握的不太好的部分 ．3．老师点评：① ．② ． ③ ．1． 化简：2121x x x -++--【难度】3星【解析】零点分段法 【答案】解：令210x -=，20x +=，10x -=， ∴零点有12x =，2x =-，1x = 则可分四段进行讨论：2x <-，122x -≤<，112x ≤<，1x ≥ ①当2x <-时，210x -<，20x +<，10x -<∴2121x x -=-+，22x x +=--，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+----+=2121x x x -+--+-=22x --②当122x -≤<时，210x -<，20x +≥，10x -< ∴2121x x -=-+，22x x +=+，11x x -=-+∴原式=212(1)x x x -+++--+=2121x x x -++++-=2课后作业总结复习③当112x ≤<时，210x -≥，20x +>，10x -< ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=-+ ∴原式=212(1)x x x -++--+=2121x x x -+++-=4x ④当1x ≥时，210x ->，20x +>，10x -≥ ∴2121x x -=-，22x x +=+，11x x -=- ∴原式=212(1)x x x -++--=2121x x x -++-+=22x +综上所述，当2x <-时，2121x x x -++--=22x -- 当122x -≤<时，2121x x x -++--=2 当112x ≤<时，2121x x x -++--=4x 当1x ≥时，2121x x x -++--=22x +。
【常考压轴题】2023学年七年级数学上册(人教版) 绝对值的三种化简方法(原卷版)
绝对值的三种化简方法绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。
并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。
【知识点梳理】 1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a | 2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：类型一、利用数轴化简绝对值例1．有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则a c a b b c --++-的值为（ ）．A ．2aB ．222a b c +-C ．0D ．2c -例2．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11a b a b ab a b-++--+的值是( )A ．-1B ．1C ．3D ．-3【变式训练1】已知，数a 、b 、c 的大小关系如图所示：化简||||2||3||a c b a a c b c +----+-=____．【变式训练2】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c - 0，a b + 0，a c -+ 0． （2）化简：||||c|b c a b a -+++-+∣【变式训练3】有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示：（1）填空：b a -______0；1b -______0；1a +______0；（填“＜”、“＞”或“＝”） （2）化简：11b a b a ---++【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a _____0，b _____0，c ﹣b ______0，ab_____0． (2)化简：|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |．类型二、利用几何意义化简绝对值例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________；（2）同样道理|x +1008|=|x -1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x =________；（3）类似的|x +5|+|x -2|表示数轴上有理数x 所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得|x +5|+|x -2|=7，这样的整数是__________．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【变式训练1】阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a -b ∣；当A 、B 两点都不在原点时：①如图2，点A 、B 都在原点的右边： ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b -a =∣a -b ∣； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边： ∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=-b -（-a ）=∣a -b ∣； ③如图4，点A 、B 在原点的两边：∣AB ∣=∣OA ∣+∣OB ∣=∣a ∣+∣b ∣=a +（-b ）=∣a -b ∣， 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB ∣=∣a -b ∣． 回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；(2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB ∣=2， 那么x 为__________．(3)当代数式∣x +1∣+∣x -2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________．【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离可以表示为|m ﹣n |．那么，数轴上表示数x 与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y 与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．（2）如果表示数a 和﹣2的两点之间的距离是3，那么a ＝ ；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值；（3）当a ＝ 时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值是 ． 【变式训练3】（问题提出）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少？（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么1a -可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1的距离；12-+-a a 就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究12-+-a a 的最小值．我们先看a 表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a 在1的左边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a 在1，2之间（包括在1，2上），看出a 到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a 在2的右边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a 在1，2之间（包括在1，2上）时，12-+-a a 有最小值1． （问题解决）（1）47a a -+-的几何意义是 ，请你结合数轴探究：47a a -+-的最小值是 ．（2）请你结合图④探究123a a a -+-+-的最小值是 ，由此可以得出a 为 ．（3）12345a a a a a -+-+-+-+-的最小值为 ． （4）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值为 ．（拓展应用）如图，已知a 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a 的取值范围是 ．类型三、分类讨论法化简绝对值 例1.化简：214x x x --++-.【变式训练1】若0,0a b c abc ++<>，则23a ab abc a ab abc++的值为_________．【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求a bx a b=+的值． 请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a ，b 均不为零，求x 的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①若a ，b ，c 均不为零，求a b cx a b c=+-的值． ②若a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c a c a ba b c+++++的值．。
七年级数学--绝对值化简专题训练
七年级数学--绝对值化简专题训练-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN绝对值化简专题训练去绝对值的法则：1、正数的绝对值等于它本身aa=()0〉a2、负数的绝对值等于它的相反数a=()0〈aa-3、零的绝对值等于零。
0a()0=a=1．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则（1）b﹣a0，a﹣c0，b+c0（用“＞”“＜”或“=”填空）．（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|2．如图，数轴上的a、b、c分别表示有理数a、b、c．（1）化去下列各式的绝对值：①|c|=；②|a|=；③|a﹣b|=．（2）化简：|b﹣a|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣c|．3．数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．4．已知：有理数a、b、c在数轴上如图所示．化简：|a|+3|c﹣a|+|b+c|．5．已知a、b、c这三个有理数在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣|a﹣b|+|a+c|．6．有理数在数轴上的位置如图所示，化简：|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a﹣b|+|a+b|．7．有理数a，b，c在数轴上如图所示，试化简|2c﹣b|+|a+b|﹣|2a﹣c|．8．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|a+c|﹣|c﹣a|+|a+b+c|+|b﹣c|9．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C．（1）填空：A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，A、C之间的距离为；（2）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|；（3）a、b、c在数轴上的位置如图所示，且c2=4，﹣b的倒数是它本身，a的绝对值的相反数是﹣2，求﹣a+2b﹣c﹣2（a﹣4c﹣b）的值．。
初一绝对值化简求解题技巧
初一绝对值化简求解题技巧初一数学中，绝对值化简是一个基础且重要的概念和技巧。
绝对值是指一个数与0的距离，因此绝对值表示一个数的非负值。
在解决绝对值化简问题时，我们需要根据绝对值的定义和性质进行分析和计算。
下面，我将为你介绍一些在初一数学中解决绝对值化简问题的常见技巧。
1. 利用绝对值的定义化简：当绝对值的内部是一个确定的数时，可以直接求得绝对值的值。
例如，|5|等于5，|-3|等于3。
这种情况下，只需要将绝对值内部的数值带入即可。
2. 利用绝对值的性质化简：绝对值有以下常用的性质：- |a| = |-a| （绝对值的对称性）- |a| = 0 当且仅当 a = 0- |ab| = |a| |b|- |a + b| ≤ |a| + |b| （绝对值的三角不等式）基于这些性质，我们可以利用代数运算的法则将一个复杂的绝对值表达式化简为简单的形式。
3. 分情况讨论法：当绝对值内部含有变量时，可以根据变量的取值范围进行分情况讨论。
例如，对于|2x|，可以分为两种情况讨论：- 当 2x ≥ 0 时，可以得到 2x = 2x，所以 |2x| = 2x；- 当 2x < 0 时，可以得到 2x = -2x，所以 |2x| = -2x。
运用这种方法可以将复杂的绝对值表达式化简为简单的形式，从而更容易进行计算和分析。
4. 代数替换法：有时候，我们可以对绝对值内部的表达式进行代数替换，使得问题更加简化。
例如，对于|a + b|，我们可以令 c = a + b，将问题转化为求解 |c|。
这样一来，我们可以更加轻松地分析和计算。
绝对值化简问题通常伴随着实际的物理问题或几何问题。
在解决问题时，我们需要根据具体情况灵活应用上述技巧，并结合数学运算法则和相关知识进行推理和计算。
在初一的学习中，我们通常会遇到一些简单的绝对值化简问题，例如：1. 化简 |5| 的值。
解：根据绝对值的定义，|5| 等于5。
所以，|5| = 5。
初一上册数学绝对值化简 (1)
绝对值的知识是初中代数的重要内容， 在中考和各类竞赛中经常出现， 含有绝对值符号 的数学问题又是学生遇到的难点之一， 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义， 将绝 对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以 去掉绝对值符号的方法大致有三种类型．
一、根据题设条件去绝对值符号
3 x x 3 ⑷ 综述：原式 ． x 3 x ≥ 3
3 x x 3 【答案】原式 x 3 x ≥ 3 【总结】虽然 3 x 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段 讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．找零：分别令所有绝对值符号内的代数式为零，求出所有零点． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴划分为若干个区间，使在各区间内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．讨论：根据每个区间的范围来去掉所有绝对值符号． 4．综述：将各区间内的情形综合起来，得到问题的答案．
等于 0，然后找出零点．
【例6】 化简
x 1 2
【解析】⑴ 找零： x 1 0 ， x 1 ． x 1 2 0 ， x 1 2 ， x 1 2 或 x 1 2 ，可得 x 3 或者 x 1 ； 综上所得零点有 1， 1 ，3； ⑵ 分段： 三个零点共可将数轴分成四段． ：x 1 、1≤ x 1 、1≤ x 3 和 x 3 ； ⑶ 讨论：根据每个区间的范围分类讨论去绝对值符号； ① x ≥ 3 ，x 1 0 ， x 1 2 ≥ 0 ， x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 3 ； ② 1≤ x 3 ， x 1 0 ，x 1 2 0 ， x 1 2 2 x 1 2 x 1 3 x ； ③ 1≤ x 1 ，x 1 0 ，x 1 2 0 ， x 1 2 2 x 1 2 x 1 x 1 ； ④ x 1 ，x 1 0 ， x 1 2＞0 ， x 1 2 x 1 2 1 x 2 x 1．
专题 含有绝对值的式子的化简(解析版)-七年级数学上册
（人教版）七年级上册数学《第二章整式的加减》专题含有绝对值的式子的化简一、选择题（共10小题）1．有理数a、b在如图所示数轴的对应位置上，则|b﹣a|﹣|b|化简后结果为（）A．a B．﹣a C．a﹣2b D．b﹣2a【分析】代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|b﹣a|﹣|b|＝a﹣b+b＝a，故选：A．【点评】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．2．（2022秋•罗湖区校级期末）有理数a，b在数轴上如图所示，则化简|2a|﹣|b|+|2a﹣5|的结果是（）A．4a+b﹣5B．4a﹣b﹣5C．b+5D．﹣b﹣5【分析】先结合数轴确定a，b的范围，再运用绝对值知识进行化简．【解答】解：由题意可得，﹣2＜b＜﹣1＜1＜a＜2，∴|2a|﹣|b|+|2a﹣5|＝2a﹣（﹣b）+[﹣（2a﹣5）]＝2a+b﹣2a+5＝b+5，故选：C．【点评】此题考查了运用数轴表示有理数及绝对值求解的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．3．（2022秋•天山区校级期末）已知a，b，c在数轴上位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|可化简为（）A．0B．2b﹣2a C．2a﹣2b D．﹣2a【分析】先由数轴确定a，b，c的符号和大小，再分别确定a﹣b，b﹣c，c﹣a的符号，最后化简绝对值并计算求解．【解答】解：由题意得，a＜b＜0＜c且|a|＞|b|＞|c|，∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|＝b﹣a+b﹣c+c﹣a＝2b﹣2a，故选：B．【点评】此题考查了运用数轴进行绝对值的化简、计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．4．（2022秋•永兴县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b|+|b﹣c|化简为（）A．2a+3b﹣c B．3b﹣c C．b+c D．c﹣b【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数可得结果．【解答】解：由数轴得，﹣1＜a＜0，b＞1，c＞b，∴a+b＞0，b﹣c＞0，∴|a|+|b|+|a+b|+|b﹣c|＝﹣a+b+a+b﹣b+c＝b+c．故选：C．【点评】本题考查了绝对值与数轴，用两种不同的方法即几何方法和代数方法进行求解．通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．5．（2022秋•黄埔区期末）已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝（）A．0B．2a+2b C．2b﹣2c D．2a+2c【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：由图可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，则|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝a+b﹣a﹣c﹣b+c＝0．故选：A．【点评】本题考查的是整式的加减、数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．6．已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|c﹣b|＝（）A．0B．2a+2b C．2b﹣2c D．2a+2c【分析】根据数轴的意义可知：c＜a＜0＜b，结合绝对值的性质化简给出的式子．【解答】解：根据数轴图可知：c＜a＜0＜b，∴a+b＞0，a+c＜0，c﹣b＜0，∴|a+b|+|a+c|﹣|c﹣b|＝a+b﹣a﹣c+c﹣b＝0．故选：A．【点评】此题考查了数轴、绝对值的有关内容，能够正确判断绝对值内的式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简．7．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【分析】先根据数轴判断a、b的大小，再判断所求式子中绝对值内部的符号，再化简求值．【解答】解：由数轴可知，﹣1＜b＜0，1＜a＜2，∴b+1＞0，|b+1|＝b+1，b﹣a＜0，|b﹣a|＝a﹣b，∴原式＝b+1﹣（a﹣b）＝1+2b﹣a，故选：D．【点评】本题考查绝对值和数轴．关键在于根据数轴判断b+1、b﹣a的符号，进而取绝对值化简求值．8．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则|c﹣a|﹣|a+b|﹣|b﹣c|的值为（）A．2a﹣2c+2b B．0C．﹣2c D．2a【分析】根据点所处的位置确定绝对值内数据的符号：c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，即可求解．【解答】解：根据点所处的位置确定绝对值内数据的符号：c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝﹣（c﹣a）+（a+b）+（b﹣c）＝2a﹣2c+2b，故选：A．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．9．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，且|c|＞|a|＞|b|，则|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|＝（）A．c﹣b B．0C．3b﹣3c D．2a+3b﹣c【分析】由有理数a，b，c在数轴上的位置及|c|＞|a|＞|b|可得：c＜b＜0＜﹣b＜a＜﹣c，再按照绝对值的化简法则和有理数的加减运算法则计算即可．【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置及|c|＞|a|＞|b|可得：c＜b＜0＜﹣b＜a＜﹣c，∴|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|＝a+b﹣2（b﹣c）﹣a﹣c＝b﹣2b+2c﹣c＝c﹣b．故选：A．【点评】本题考查了借助数轴进行的绝对值化简及有理数的加减运算，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．10．（2022秋•辉县市校级期末）有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，试化简|a﹣b|﹣2|b ﹣c|+|a+b|﹣|c+b|的结果是（）A．﹣3b+3c B．3b﹣3c C．﹣2a+3b+c D．2a﹣b+3c【分析】根据有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置得出c＜b＜0＜a，|a|＜|b|＜|c|，然后化简绝对值即可．【解答】解：∵c＜b＜0＜a，|a|＜|b|＜|c|，∴a﹣b＞0，|b﹣c|＞0，|a+b|＜0，|c+b|＜0，∴|a﹣b|﹣2|b﹣c|+|a+b|﹣|c+b|＝a﹣b﹣2（b﹣c）+[﹣（a+b）]﹣[﹣（c+b）]＝a﹣b﹣2b+2c﹣（a+b）+（c+b）＝a﹣b﹣2b+2c﹣a﹣b+c+b＝﹣3b+3c，故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法、减法运算，合并同类项，解题的关键是根据有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置得出c＜b＜0＜a，|a|＜|b|＜|c|．二、填空题（共10小题）11．（2022秋•莱阳市期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|a+b+c|﹣|c﹣b|＝．【分析】由数轴上右边的数总比左边的数大，且离原点的距离大小即为绝对值的大小，判断出a+b与c ﹣b的正负，利用绝对值的代数意义化简所求式子，合并同类项即可得到结果．【解答】解：由数轴上点的位置可得：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|，∴a﹣b＞0，c﹣b＜0，a+b+c＜0，则|a﹣b|+|a+b+c|﹣|c﹣b|＝a﹣b﹣a﹣b﹣c+c﹣b＝﹣3b．故答案为：﹣3b【点评】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．12．（2022秋•温江区校级期中）有理数a，b，c数轴上的位置如图所示，请化简：|﹣c+b|+|a﹣c|﹣|b+a|＝．【分析】结合数轴判断﹣c+b＜0，a﹣c＞0，b+a＜0，再根据绝对值的性质“正数和零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数”可将原式化简，即得答案．【解答】解：由数轴可知：﹣c+b＜0，a﹣c＞0，b+a＜0，∴原式＝﹣（﹣c+b）+（a﹣c）+（b+a）＝c﹣b+a﹣c+b+a＝2a，故答案为：2a．【点评】本题考查了数轴，绝对值，关键是根据绝对值的性质“正数和零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数”将原式化简．13．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|a+c|+|c﹣b|﹣|a+b|＝．【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：根据数轴得：a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|＞|c|，∴a+c＜0，c﹣b＞0，a+b＜0，则原式＝﹣a﹣c+c﹣b+a+b＝0．故答案为：0．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|＝．【分析】根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案．【解答】解：|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（a+c）+（b﹣c）＝﹣a+b+a+c+b﹣c＝2b．故答案为：2b．【点评】本题考查了数轴，利用绝对值的性质化简是解题关键．15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣b|+2|a+c|＝．【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：由数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，且|b|＜|c|＜|a|，∴a+b﹣c＜0，c﹣b＞0，a+c＜0，则原式＝﹣a﹣b+c﹣c+b﹣2a﹣2c＝﹣3a﹣2c，故答案为：﹣3a﹣2c．【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|﹣|a﹣b|＝．【分析】根据数轴点的位置得出a+b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，a﹣b＜0，再去掉绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，|b|＜|c|，∴a+b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，a﹣b＜0，∴|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|﹣|a﹣b|＝＝﹣（a+b）﹣（c﹣b）+（c﹣a）﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣c+b+c﹣a﹣b+a＝﹣a﹣b，故答案为：﹣a﹣b．【点评】本题考查了整式的加减和数轴的应用，解此题的关键是能根据数轴去掉绝对值符号，题目比较好，难度不是很大．17．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣c|﹣|a+b+c|﹣|b﹣a|＝．【分析】先根据a、b、c在数轴上的位置进行绝对值的化简，然后去括号，合并同类项求解．【解答】解：由图可得，c＜b＜0＜a，则原式＝a﹣c+（a+b+c）+（b﹣a）＝a﹣c+a+b+c+b﹣a＝a+2b．故答案为：a+2b．【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．18．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣c|﹣2|b﹣a|+|c+a|＝．【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数法，判断大小；原式各项利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：根据数轴上点的位置得：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴﹣c＞a，∴b﹣c＞0，b﹣a＜0，a+c＜0，∴原式＝b﹣c﹣2（a﹣b）+（﹣c﹣a）＝b﹣c﹣2a+2b﹣c﹣a＝﹣3a+3b﹣2c；故答案为﹣3a+3b﹣2c．【点评】此题考查了整式的加减，绝对值，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，请化简|a+b|﹣2|a﹣c|+|c﹣a+b|＝．【分析】根据数轴先判断a、b、c的符号和大小关系，再判断a+b、a﹣c、c﹣a+b的符号，进而去绝对值化简．【解答】解：根据数轴可知，a＜b＜0＜c，故a+b＜0，a﹣c＜0，c﹣a+b＞b﹣a＞0，∴原式＝﹣（a+b）﹣2（c﹣a）+（c﹣a+b）＝﹣a﹣b﹣2c+2a+c﹣a+b＝﹣c．故答案为：﹣c．【点评】本题考查了绝对值的的化简．通过数轴判断a、b、c的符号，再判断绝对值中的式子符号，是解题的关键．有的时候还需要注意有理数与原点距离的远近．20．数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：2|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|＝．【分析】根据数轴即可将绝对值去掉，然后合并即可．【解答】解：由数轴可知：c＜b＜a，b﹣a＜0，c﹣b＜0，a+b＞0，则原式＝﹣2（b﹣a）+（c﹣b）+（a+b）＝﹣2b+2a+c﹣b+a+b＝3a﹣2b+c．故答案为：3a﹣2b+c．【点评】本题考查整式化简运算，涉及数轴，绝对值的性质，整式加减运算等知识．三、解答题（共20小题）21．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|a+c|﹣|c﹣a|+|a+b+c|+|b﹣c|【分析】由题意可知：a﹣b＞0，a+c＜0，c﹣a＜0，a+b+c＜0，b﹣c＞0，根据绝对值的性质化简即可．【解答】解：由题意可知：a﹣b＞0，a+c＜0，c﹣a＜0，a+b+c＜0，b﹣c＞0，原式＝a﹣b+a+c+c﹣a﹣a﹣b﹣c+b﹣c＝﹣b【点评】本题考查数轴、绝对值等知识，解题的关键是记住绝对值的性质：数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．22．已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．化简：|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|+|b+c|．【分析】由数轴得出﹣1＜c＜0＜b＜1＜a，|b|＜|c|＜|a|，去掉绝对值符号，再合并即可．【解答】解：∵由数轴可知：﹣1＜c＜0＜b＜1＜a，|b|＜|c|＜|a|，∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，∴原式＝a﹣b+b﹣c+c﹣a﹣（b+c）＝﹣b﹣c．【点评】本题考查了数轴和绝对值，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．23．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：3|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+2|b﹣c|﹣|b﹣a+c|．【分析】根据数轴，先确定a、b、c的正负，再判断a﹣b，a+b，c﹣a，b﹣c，b﹣a+c的正负，最后根据绝对值的意义，对代数式化简．【解答】解：由数轴知：a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，b﹣a+c＞0所以3|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+2|b﹣c|﹣|b﹣a+c|＝3（b﹣a）﹣（a+b）﹣（c﹣a）+2（c﹣b）﹣（b﹣a+c）＝3b﹣3a﹣a﹣b﹣c+a+2c﹣2b﹣b+a﹣c＝﹣b﹣2a．【点评】本题考查了数轴上点的特点、有理数的加减法法则及绝对值的化简．根据绝对值的意义化简代数式是关键．注意：大的数﹣小的数＞0，小的数﹣大的数＜0．24．有理数a，b，c在数轴上的位置如图：试化简：|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|c|【分析】根据绝对值的性质化简即可．【解答】解：由题意：a﹣b＞0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，c＜0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|c|＝a﹣b+c﹣a+b﹣c+c＝c．【点评】本题考查绝对值的性质、数轴等知识，熟练掌握绝对值的性质是解决问题的关键．25．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣a|．【分析】首先判断出a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，再根据绝对值的性质化简即可．【解答】解：观察数轴可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0∴原式＝﹣a+a+b+c﹣a＝b+c﹣a．【点评】本题考查数轴、绝对值的性质等知识，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，记住如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．26．已知a，b在数轴上对应的点如图示化简：|a|+|a+b|﹣|a﹣b|﹣|b﹣a|．【分析】首先根据图示，可得a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，a﹣b＜0，然后根据整数的加减的运算方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：根据图示，可得a＜﹣b＜0＜b＜﹣a；∴a＜0，a+b＜0，a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴|a|＝﹣a，|a+b|＝﹣（a+b），|a﹣b|＝﹣（a﹣b，|b﹣a|＝b﹣a，∴|a|+|a+b|﹣|a﹣b|﹣|b﹣a|＝﹣a﹣a﹣b+a﹣b﹣b+a＝﹣3b．【点评】此题考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．还考查了整式的加减运算，解答此类问题的关键是要明确整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．27．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|+|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|．【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值的性质去掉绝对值号，再合并同类项即可．【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＜0且|c|＞|a|＞|b|，所以，a﹣b＜0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，所以原式＝a﹣c+b﹣a﹣b+c﹣2a＝﹣2a．【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，准确识图并判断出各数正负情况是解题的关键．28．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|﹣|a+c|+2|c﹣b|．【分析】解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号．【解答】解：由数轴可知：a＞b＞0＞c，|a|＞|c|，则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0．∴|b﹣a|﹣|a+c|+2|c﹣b|＝﹣（b﹣a）﹣（a+c）﹣2（c﹣b）＝﹣b+a﹣a﹣c﹣2c+2b＝b﹣3c．【点评】在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数．29．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣c|+2|c+a|﹣3|a﹣b|．【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：由图可知，c＜a＜0＜b，所以，b﹣c＞0，c+a＜0，a﹣b＜0，所以，原式＝b﹣c﹣2（c+a）﹣3（b﹣a）＝b﹣c﹣2c﹣2a﹣3b+3a＝a﹣2b﹣3c．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，理解绝对值的意义是解答此题的关键．30．如图，数a，b，c在数轴上的位置如图．（1）判断符号：a+b0，b﹣c0，a﹣c0；（填“＞”、“＜”）（2）化简：|b﹣c|﹣|a+b|﹣|a﹣c|．【分析】（1）根据数轴、有理数的加法可判断a+b，b﹣c，a﹣c的符号；（2）根据绝对值和a+b，b﹣c，a﹣c的符号化简式子|b﹣c|﹣|a+b|﹣|a﹣c|即可．【解答】解：（1）由数轴得，a＞c＞0＜b，|b|＞a＞c，∴a+b＜0，b﹣c＜0，a﹣c＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）∵a+b＜0，b﹣c＜0，a﹣c＞0，∴|b﹣c|﹣|a+b|﹣|a﹣c|＝﹣b+c﹣（﹣a﹣b）﹣（a﹣c）＝﹣b+c+a+b﹣a+c＝2c．【点评】本题考查了数轴，有理数的加减运算法则，绝对值的性质，整式的加减，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．31．（2022秋•綦江区期中）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示：（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b0，c﹣a0，b﹣c0；（2）化简：|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b|+|b﹣c|．【分析】（1）根据各点在数轴上的位置判断出a，b，c的符号，进而可得出结论；（2）根据（1）中a，b，c的符号去绝对值符号即可．【解答】解：（1）由各点在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c，|a|＞b，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0．故答案为：＜，＞，＜．（2）∵由（1）可知，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b|+|b﹣c|＝﹣（a+b）﹣（c﹣a）﹣b+（c﹣b）＝﹣a﹣b﹣c+a﹣b+c﹣b＝﹣3b．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点和绝对值的性质是解题关键．32．（2022春•杜尔伯特县期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．（1）用“＜”连接：0，a、b、c．（2）化简：|c﹣a|+2|b﹣c|﹣|a+b|【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置即可得到结论．【解答】解：（1）a＜b＜0＜c；（2）原式＝（c﹣a）+2（﹣b+c）﹣（﹣a﹣b），＝c﹣a﹣2b+2c+a+b，＝3c﹣b．【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．33．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．（1）判断a﹣b0，a﹣c0，b﹣c0；（2）化简|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b﹣c|．【分析】（1）由图可得：c＜a＜0＜b，得a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0，从而解决此题．（2）由（1）得：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0．根据绝对值的定义，得|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|b ﹣c|＝b﹣c，从而解决此题．【解答】解：（1）由图可得：c＜a＜0＜b．∴a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0．故答案为：＜，＞，＞．（2）由（1）得：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＞0，∴|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|b﹣c|＝b﹣c，∴|a﹣b|+|a﹣c|﹣|b﹣c|＝b﹣a+a﹣c+c﹣b＝0．【点评】本题主要考查数轴，绝对值、整式的加减运算，熟练掌握实数的大小关系、绝对值的定义、整式的加减运算法则是解决本题的关键．34．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，（1）用“＜”连接0，a，b，c；（2）化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|．【分析】（1）数轴上右边的数总比左边的数大，从而连接即可；（2）根据数轴得出a﹣b＞0，a+b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，去掉绝对值后合并即可得出答案．【解答】解：（1）结合数轴可得：c＜b＜0＜a；（2）由题意得：a﹣b＞0，a+b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，故|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣a﹣b﹣a+c+b﹣c＝﹣a﹣b．【点评】本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键．35．若有理数a、b、c在数轴上测的点A、B、C位置如图所示：（1）判断代数式c﹣b、a+c的符号；（2）化简：|﹣c|﹣|c﹣b|+|a+b|+|b|．【分析】（1）根据有理数的加减法，可得答案；（2）根据绝对值的性质，可化简去掉绝对值，根据合并同类项，可得答案．【解答】解：（1）因为a＜b＜0＜c，|a|＞|c|．所以c﹣b＞0，a+c＜0；（2）因为a＜b＜0＜c，|a|＞|c|．所以﹣c＜0，c﹣b＞0，a+b＜0，原式＝c﹣（c﹣b）﹣（a+b）﹣b＝c﹣c+b﹣a﹣b﹣b＝﹣a﹣b．【点评】本题考查了合并同类项，解题的关键是利用绝对值的性质化简绝对值，利用合并同类项得出答案．36．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，（1）c0；a+c0；b﹣a0（用“＞、＜、＝”填空）（2）试化简：|b﹣a|﹣|a+c|+|c|．【分析】（1）根据在数轴上原点左边的数小于0，得出c＜0；a＜0＜b，再根据有理数的加减法法则判断a+c与b﹣a的符号；（2）先根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，再合并同类项即可．【解答】解：（1）由题意，得c＜a＜0＜b，则c＜0；a+c＜0；b﹣a＞0；故答案为＜；＜；＞；（2）原式＝b﹣a+a+c﹣c＝b．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了数轴与整式的加减．37．已知a＞b＞0，且|a|＞|b|．（1）在数轴上画出a，b，﹣a，﹣b对应的点的大致位置；（2）化简|﹣a|﹣2|a﹣b|+|a+b|．【分析】（1）根据a，b的大小关系在数轴上画出对应点即可．（2）根据绝对值的性质化简即可．【解答】解：（1）如图所示．（2）∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，a+b＞0，∴|﹣a|﹣2|a﹣b|+|a+b|＝a﹣2（a﹣b）+（a+b）＝a﹣2a+2b+a+b＝3b．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴和绝对值的性质是解答本题的关键．38．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|．（1）比较a，﹣a，b，c，﹣c大小；（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|．【分析】（1）根据数轴即可比较大小；（2）根据绝对值的性质对整式进行化简求解．【解答】解：（1）由数轴可知：b＜c＜0＜a，∵|a|＝|c|，∴a＝﹣c＞﹣a＝c＞b．（2）∵a+b＜0，a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+c＝0，∴原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）+0＝﹣2a﹣b+c．【点评】本题考查数轴，涉及比较大小，整式化简，绝对值的性质．39．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）用“＜”连接：0，a，b，c；（2）化简代数式：3|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+2|b﹣c|．【分析】（1）根据数轴上的数，右边的总大于左边的进行判断即可；（2）根据绝对值的性质去绝对值进行计算．【解答】解：（1）如图可得，a＜b＜0＜c；（2）由（1）得：a﹣b＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，3|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+2|b﹣c|＝﹣3（a﹣b）+[﹣（a+b）]﹣（c﹣a）+2[﹣（b﹣c）]＝﹣3a+3b﹣a﹣b﹣c+a﹣2b+2c＝﹣3a+c．【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是比较a，b，c的大小以及绝对值的性质．40．（2022秋•锦江区校级期中）知有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位单如图所示，原点为O．（1）试化简|a+2b|﹣|a+c|﹣|c﹣2b|；（2）若数轴上有一点所表示的数为x，且|x﹣5|＝3，求﹣3x﹣4|1﹣x|的值．【分析】（1）根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）根据|x﹣5|＝3，得x＝8或x＝2，再依次代入所求式子即可解答．【解答】解：（1）根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，∴a+2b＜0，a+c＜0，c﹣2b＞0，则原式＝﹣a﹣2b+a+c﹣c+2b＝0；（2）∵|x﹣5|＝3，∴x﹣5＝3或x﹣5＝﹣3，∴x＝8或x＝2，当x＝8时，﹣3x﹣4|1﹣x|＝﹣3×8﹣4|1﹣8|＝﹣52，当x＝2时，﹣3x﹣4|1﹣x|＝﹣3×2﹣4|1﹣2|＝﹣10，综上，﹣3x﹣4|1﹣x|的值为﹣10或﹣52．【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
【初一专题】绝对值的化简
【初一专题】绝对值的化简【考点回顾】（1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作｜a ｜.（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【注意】①取绝对值也是一种运算，运算符号是“｜｜”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如-5符号是负号，绝对值是5.（3）求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ （4）利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.（5）绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若｜a ｜+｜b ｜+｜c ｜=0，则a=0，b=0，c=0.（6）其它重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即｜a ｜≥a ，且｜a ｜≥-a ； ②若｜a ｜=｜b ｜，则a=b 或a=-b ； ③ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； ④｜a ｜²=｜a ²｜=a ²；⑤｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜，对于｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a+b ｜，等号当且仅当a 、b（7）绝对值的几何意义：当x=a 时，｜x-a ｜=0，此时a 是｜x-a ｜的零点值．｜a ｜的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．｜a-b ｜的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【分类强化】（一）分类讨论1．已知5,3==y x ，求y x +的所有可能值。
专题01 绝对值化简的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
专题01绝对值化简的四种考法
【知识点精讲】
1.绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作a 2.绝对值的性质
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a
≥0，即：,00,0
,0a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
【答案】22b c
+
(1)用“＜”连接：a ,a -,b ,b -,c ,c -；a b c c b a ∴<<-<<-<-；
(1)填空：A ，B 之间的距离为______，B ，(2)化简：22a b c b c a +--+-．
利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是
【答案】4b
(1)在如图所示的数轴上将a ，b ，c 三个数表示出来；
（2）解：根据数轴位置关系，可得：0a >、0b c +<、
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式
【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．。
人教版七年级数学上册《绝对值的化简》专题训练-附带答案
人教版七年级数学上册《绝对值的化简》专题训练-附带答案类型一 绝对值之间是加号的化简1．计算： 34ππ-+-=________．【答案】1【解析】【分析】先化简绝对值 再加减运算即可求解．【详解】解：∵3＜π＜4 ∵34ππ-+-=34-+-=1故答案为：1．【点睛】本题考查化简绝对值、实数的加减运算 会利用绝对值的性质化简绝对值是解答的关键． 2．a 、b 两个有理数在数轴上的位置如图所示 则|a +b |＝____．【答案】a b --##b a --【解析】【分析】 先根据数轴可得0,,b a b a 再确定a b +的符号 再化简绝对值即可.【详解】 解：由题意得：0,,b a b a 0,a b ∴+< .a b a b a b故答案为：.a b【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小 绝对值的含义与化简 有理数的和的符号的确定掌握“0000x x x x xx ”是解本题的关键.3．若有理数,,a b c 在数轴上的位置如图：则b a b c -+-=____________ ．【答案】c a -##-a+c【解析】【分析】根据数轴得出0a b c <<< ||||c a > 先去掉绝对值符号 再合并同类项即可．【详解】 解：从数轴可知：0a b c <<< ||||c a >0b c ∴-< 0b a ->||||b a b c b a b c c a ∴-+-=--+=-故答案是：c a -．【点睛】本题考查了数轴 绝对值 整式的加减 解题的关键是能正确去绝对值符号．4．已知32y -<< 化简23y y -++=_____．【答案】5【解析】【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号 然后化简即可．【详解】解：32y -<<23y y ∴-++=-(y -2)+(y +3)23y y =-++5=．故答案为：5．【点睛】本题考查了整式的加减、绝对值的意义 熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．5．数a b 在数轴上的位置如图所示 化简：|b ﹣a |+|b |＝______．【答案】2a b -##-2b +a【解析】【分析】根据数a b 在数轴上的位置得出2101b a --＜＜＜＜＜然后化简绝对值即可． 【详解】解：根据数a b 在数轴上的位置可得：2101b a --＜＜＜＜＜∵0b a -＜ 0b ＜∵|b ﹣a |+|b |＝()2b a b b a b a b ---=-+-=-故答案为：2a b -．【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数 化简绝对值 根据点在数轴上的位置得出相应式子的正负是解本题的关键．6．已知a b c 是∵ABC 的三边 化简：|a ＋b －c |＋|b －a －c |＝________．【答案】2a【解析】【分析】首先利用三角形的三边关系得出0,0a b c b a c +->--< 然后根据求绝对值的法则进行化简即可．【详解】解：∵,,a b c 是ABC ∆的三条边∵00a b c b a c +->--<， ∵||()()a a b c b a c b a c b c =+-+-+--+++-=2a b c b a c a +--++=．故答案为：2a ．【点睛】熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则 是解题的关键 注意 去绝对值后 要先添加括号 再去括号 这样不容易出错．|a ＋b －c |＋|b －a －c |7．若a 、b 、 c 为整数 且 | a - b |19 + | c - a |99 =1 则| c - a | + | a - b | + | b -c |=________．【答案】2【解析】【分析】根据题意 ,,a b c 三个数中有2个数相等 设a b = 则1c a -= 1b c -= 进而即可求得答案．【详解】解：,,a b c 为整数 则,a b c a --也为整数 且| a - b |19 与| c - a |99 为非负数 和为1 ,,a b c ∴三个数中有2个数相等当a b =时 则1c a -= 1b c -= 0a b -=∴| c - a | + | a - b | + | b -c |=1012++=同理 当a c =或c b =时 均得到| c - a | + | a - b | + | b -c |=2故答案为：2．【点睛】本题考查了非负数的性质 根据题意求出,,a b c 三个数中有2个数相等是解题的关键．8．有理数a b c 在数轴上的位置如图所示 化简：|c ﹣a |+|c ﹣b |+|a +b |＝_____．【答案】2b【解析】【分析】根据有理数a b c 在数轴上的位置可得c ﹣a ＞0 c ﹣b ＜0 a +b ＞0 再根据绝对值的意义进行化简即可．【详解】根据有理数a b c 在数轴上的位置可知 a ＜0＜c ＜b b a >∵c ﹣a ＞0 c ﹣b ＜0 a +b ＞0∵|c ﹣a |+|c ﹣b |+|a +b |＝c ﹣a +b ﹣c +a +b＝2b故答案为：2b【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小 有理数的加减法的运算法则 绝对值的化简 去括号 整式的加减运算 掌握以上知识是解题的关键．类型二 绝对值之间是减号的化简9．在数轴上数a 、b 、c 所对应的点如图所示 化简：b a c b --+=__________．【答案】a -2b -c【解析】【分析】根据数轴得到b <0<a <c 且b c < 由此得到b -a <0 c+b >0 利用绝对值性质化简合并即可．【详解】解：由数轴得b <0<a <c 且b c <∵b -a <0 c+b >0 ∵b a c b --+=-b+a -c -b=a -2b -c故答案为：a -2b -c ．【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小 有理数绝对值的性质化简计算 整式的加减法 正确比较有理数的大小化简绝对值是解题的关键．10．若a <1 化简：31a a ---=__________．【答案】2【解析】【分析】由题意根据a 的取值范围 可以将题目中的式子的绝对值去掉 从而可以解答本题．【详解】解：∵a ＜1∵|3-a |-|a -1|=3-a +a -1=2故答案为：2．【点睛】本题考查整式的加减、绝对值 解答本题的关键是明确相关的计算方法．11．a 、b 两个数在数轴上的位置如图所示 则化简||||b b a --的结果是________．【答案】a【解析】【分析】由数轴得0b > 0a < 0b a -> 去绝对值有()b b a -- 从而得出结果．【详解】解：0b > 0a <0b a ∴->()b b a b b a b b a a ∴--=--=-+=故答案为：a ．【点睛】本题考查了数轴 去绝对值．解题的关键与难点在于判断绝对值里数值的正负．12．a b c 在数轴上的位置如图所示 化简：2a b a c +--=__________．【答案】2a b c --【解析】【分析】 由题意可得：0,,a b c ab c 再判断0,0,a b a c 【详解】 解：0,,a b c a b c 0,0,a b a c∴ ()()22a b a c a b a c +--=-+---⎡⎤⎣⎦2a b a c22a b a c2a b c故答案为：2a b c --【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小 化简绝对值 去括号 合并同类项 熟练的“化简绝对值”是解题的关键.13．若有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示 则a b b c --+可化简为__．【答案】a c --##c a --【解析】【分析】根据数轴判断出0a b c <<< b c < 即可得到0a b -< 0b c +> 再利用绝对值性值计算即可；【详解】由数轴可得：0a b c <<< b c <∵原式b a b c a c =---=--；故答案是：a c --．【点睛】本题主要考查了利用数轴比较式子大小 绝对值的性质 准确分析计算是解题的关键．14．若2＜x ＜5 则|x ﹣2|﹣|5﹣x |＝_______．【答案】2x -7##-7+2x【解析】【分析】根据2＜x ＜5 得到x -2＞0 5-x ＜0 根据绝对值的意义去绝对值 去括号 合并同类项即可求解．【详解】解：因为2＜x ＜5所以x -2＞0 5-x ＜0所以|x ﹣2|﹣|5﹣x |=（x -2）-（5-x ）=2x-7．故答案为：2x-7【点睛】本题考查了绝对值的化简合并同类项去括号等知识根据x的取值脱去绝对值是解题关键．15．有理数a b c在数轴上的对应点如图所示化简代数式：|a|﹣|﹣b|+|c|＝_____．【答案】a b c-++【解析】【分析】由数轴知a＜b＜0＜c去绝对值即可求解．【详解】解：由数轴知a＜b＜0＜c∵|a|﹣|﹣b|+|c|＝a b c a b c．故答案为：a b c-++．【点睛】本题考查绝对值的性质．确定绝对值符号内代数式的性质符号是解答此类题目的关键．16．若0＜a＜1 －2＜b＜－1 则1212a ba b-+--+=_____．【答案】﹣2【解析】【分析】先根据题意得出a﹣1＜0 b+2＞0 再根据绝对值的性质化简即可解答．【详解】解：∵0＜a＜1 －2＜b＜－1∵a﹣1＜0 b+2＞0∵1212 a ba b-+--+=(1)212 a ba b--+--+=﹣1﹣1故答案为：-2．【点睛】本题考查有理数的减法运算、绝对值的性质 会利用绝对值的性质化简是解答的关键． 类型三 绝对值之间有加有减的化简17．有理数a b c 在数轴上表示的点如图所示 化简||||2||a b a c b c +---+=__________．【答案】33b c --##33c b【解析】【分析】根据数轴得出a b + a c - 1b -的符号 再去绝对值即可．【详解】 由数轴得0a b c b c <<<，＜ ∵0a b +< 0a c -< 0b c +>∵||||2||a b a c b c +---+()()2a b a c b c =-++--+22a b a c b c =--+---33b c =--．故答案为：33b c --．【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值 掌握数轴、绝对值以及合并同类项的法则是解题的关键． 18．已知a b c 是有理数 它们在数轴上的对应点如图所示 化简：|a ﹣c |﹣|a ﹣b |+|b ﹣c |＝_____．【答案】22a c -##22c a -+【解析】【分析】根据数轴 判断出a b c ，，的符号 从而得到a c a b b c ---，，的符号 化简求解即可．【详解】所以 0a c -> 0a b -< 0b c -> ∵||||22a c a b b c a c a b b c a c --+--+-+--=-=故答案为：22a c -【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的符号 化简绝对值 能够准确判断式子的符号化简绝对值是解本题的关键．19．若有理数a b c 在数轴上的位置如图所示 则化简：||||||a c b c b ++--+=_________．【答案】a -【解析】【分析】根据有理数在数轴上的位置求得0c b a <<< c a >进而可得0a c +< 0b -> 0c b +< 进而化简绝对值即可【详解】解：根据有理数a b c 在数轴上的位置 可得0c b a <<< c a >∴0a c +< 0b -> 0c b +<∴||||||a c b c b ++--+=()a c b c b ------a c b c b a =---++=-故答案为：a -【点睛】本题考查了根据有理数在数轴上的位置判断式子的符号 绝对值化简 整式的加减运算 正确的判断式子的符号化简绝对值是解题的关键．20．有理数a b c 在数轴上的位置如图所示．化简代数式：323c a b c a b -+--+=_______ ．【答案】5c +b##b+5c【解析】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负 利用绝对值的代数意义化简 去括号合并即可．【详解】由图可知a ＜b ＜0＜c则a +b ＜0 c -a ＞0 b -c ＜0 ∵==,c a c a b c c b a b a b ----+=--，∵原式=3()2()3()c a c b a b -+----332233c a c b a b =-+-++5c b =+故答案为：5c b +．【点睛】本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识 掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键．21．有理数a b c 在数轴上的位置如图所示 若m ＝|a ＋b |﹣|b ﹣1|﹣|a ﹣c | 则m ＝____．【答案】-1-c【解析】【分析】根据数轴上点的位置可得01b a c <<<< 即可推出0a b +< 10b -< 0a c -< 由此化简绝对值求解即可．【详解】解：由数轴上点的位置可知：01b a c <<<<∵0a b +< 10b -< 0a c -< ∵1m a b b a c =+----()()()1a b b c a =-+----1a b b c a =---+-+1c =--故答案为：1c --．【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值 解题的关键在于能够熟练掌握数轴的相关知识．22．已知a ＜0 b ＜0 c ＞0 化简：2a b c a b a +--+--=________．【答案】3a b c ---【解析】【分析】根据条件分别求得2,,a b c a b a +---的符号 进而化简绝对值即可【详解】a ＜0b ＜0c ＞020,0,0a b c a b a ∴+<->--> ∴2a b c a b a +--+--=()2()a b c a b a ----+--2a b c a b a =---+--3a b c =---故答案为：3a b c ---【点睛】本题考查了化简绝对值 整式的加减 正确的化简绝对值是解题的关键．23．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图所示则a c a b b a a c +-+--+-=________．【答案】0【解析】【分析】由数轴上右边的点比左边点表示的数字大可知 c ＞b ＞a 且c ＞0 0＞b ＞a a b c >> 再根据绝对值的性质解答即可．【详解】解：根据数轴可知c ＞b ＞a 且c ＞0 0＞b ＞a a b c >>∵0a c +< 0a b +< 0b a -> 0a c -< ∵a c a b b a a c +-+--+-=()()()()a c a b b a a c -+++----=a c a b b a a c --++-+-+=0．故答案为：0．【点睛】注意要会根据数在数轴上的位置判断其符号以及组成的一些代数式的符号 难度适中． 24．已知a b c 为三个有理数 它们在数轴上的对应位置如图所示 则式子|c ﹣b |﹣|b ﹣a |﹣|a ﹣c |＝______．【答案】0【解析】【分析】根据点在数轴上的位置判断式子的符号 然后根据绝对值的意义化简即可．【详解】解：根据数轴可知：1012c a b -＜＜＜＜＜＜∵0c b -＜ 0b a -＞ 0a c -＞∵|c ﹣b |﹣|b ﹣a |﹣|a ﹣c |＝()()()c b b a a c ------＝c b b a a c -+-+-+＝0；故答案为：0．【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的符号 化简绝对值 能够准确判断式子的符号化简绝对值是解本题的关键．25．已知点A 、B 在数轴上表示的数分别是a 和b ：化简|2|||3||a a b a b ---++=__________．【答案】44a b --##44b a【解析】【分析】根据A B 两点在数轴上的位置得到 然后进行计算即可．【详解】解：由图可知：a ＜0＜b a b >∵-2a ＞0 a -b ＜0 a +b ＜0∵|2|||3||a a b a b ---++=233a a b a b -+---=44a b --故答案为：44a b --．【点睛】本题考查数轴的基本知识结合绝对值的综合运用 一定要看清题中条件．26．实数a b c 在数轴上的位置如图所示 化简：c b b a c -+--=______．【答案】a【解析】【分析】由题意得 0c b a <<< 0c b -< 0b a -< 根据绝对值的非负性进行解答即可得．【详解】解：由题意得 0c b a <<<∵0c b -< 0b a -< ∵c b b a c -+--=()()b c a b c -+---=b c a b c -+-+=a故答案为：a ．【点睛】本题考查了绝对值 解题的关键是掌握绝对值的非负性．27．已知有理数a 、b 在数轴上的对应点位置如图所示 请化简：2a a b a b ++--=____________．【答案】3b -【解析】【分析】根据有理数a 、b 在数轴上的对应点位置 化简即可．【详解】解：根据数轴可知：101a b <-<<< ∵2a a b a b ++--＝()2()a a b a b --++-＝22a a b a b ---+-＝3b -故答案为：3b -．【点睛】本题考查了数轴 化简绝对值根据有理数在数轴上的位置得出相应式子的符号是解本题的关键．。
七年级数学上册有理数 绝对值化简知识点讲解归纳及练习
七年级数学上册有理数 绝对值化简知识点讲解归纳及练习一 考点、热点回顾绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记a a a 作.a 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对0值是.0③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.5-5求字母的绝对值：a ① ② ③(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，0a b c ++=0a =0b =0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；a a ≥a a ≥-（2）若，则或；a b =a b =a b =-（3）；；ab a b=⋅a a b b =(0)b ≠（4）；222||||a a a ==（5），a b a b a b -≤+≤+对于，等号当且仅当、同号或、中至少有一个时，等号成立；a b a b +≤+a b a b 0对于，等号当且仅当、异号或、中至少有一个时，等号成立．a b a b -≤+a b a b 0绝对值几何意义当时，，此时是的零点值．x a =0x a -=a x a -零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a 的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．a b-a b 二、例题及练习化简绝对值的关键是确定绝对值符号内部分的正负，从而去掉绝对值符号，常用的方法大致有五种类型。
七年级数学上：关于绝对值化简，必须掌握的经典题型
七年级数学上：关于绝对值化简，必须掌握的经典题型
绝对值的化简是初中数学基础中的基础，我们必须要掌握，我们先复习下
绝对值的几何意义：表示数轴上的点到原点的距离
代数意义：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0。
绝对值化简
绝对值化简，就是根据这两个意义来进行相关问题的处理。
几何意义是数形结合思想的一种体现，代数意义主要侧重于符号、括号的运用。
再来看一个结合数轴的题，
从这些绝对值化简的题目可以看出，不论题目怎么变化，涉及到的知识点只有那么几个，只要我们能够牢牢掌握知识点，不论题型怎么变，都能把题目给分析出来。
所以，每次学到新的知识点，请一定要记住并且理解透彻，不要在基础知识上留下任何问题，学习就会越来越轻松！
小试牛刀（建议抄下来做一遍）。