直线与平面的相交关系详细解析与归纳

合集下载

高中解析几何典型题

高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。

具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。

解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。

如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。

题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。

通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。

在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。

在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。

2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。

3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。

4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。

高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。

高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

直线与平面的关系

直线与平面的关系直线和平面是几何学中的基本概念，它们之间的关系对于研究几何学以及应用数学都有着重要的意义。

本文将从不同角度介绍直线与平面之间的关系，并探讨它们在几何学中的应用。

一、直线在平面内的位置关系在平面内，直线与平面可以有三种不同的位置关系，即相交、平行和重合。

1. 相交：当一条直线与平面有且只有一个交点时，我们称该直线与平面相交。

2. 平行：当直线和平面没有交点时，我们称该直线与平面平行。

3. 重合：当直线完全位于平面上时，我们称该直线与平面重合。

二、直线与平面的交集与垂直关系当直线与平面相交时，交点处的直线与平面垂直。

这个垂直关系可以进一步扩展到直线与平面的斜截关系。

1. 隐含的垂直关系：当直线与平面相交时，我们可以隐含地认为直线在交点处与平面垂直。

2. 线面垂直关系的判断：我们可以利用向量知识来判断直线与平面之间是否垂直。

具体方法是计算直线上的向量与平面上的法向量的点积，如果点积为零，则表明直线与平面垂直。

三、直线与平面的应用1. 直线与平面的交点计算：在三维几何中，我们可以利用线面交点的坐标计算方法来求解直线与平面的交点。

这个方法基于向量和参数方程的知识，通过联立方程组计算出交点的坐标。

2. 直线与平面的垂直线判断：在空间解析几何中，我们经常需要判断一条直线是否垂直于一个给定的平面。

通过求解直线上的向量与平面上的法向量的点积，如果点积为零，则可以得出直线与平面垂直的结论。

3. 直线与平面的平行线判断：与垂直判断类似，我们也可以利用向量的知识来判断直线是否平行于一个给定的平面。

如果直线上的向量与平面上的法向量平行，则可以得出直线与平面平行的结论。

综上所述，直线与平面之间的关系在几何学以及应用数学中都具有重要意义。

通过了解直线与平面的位置关系和垂直关系，我们可以更好地应用这些概念解决实际问题。

同时，利用线面交点计算和直线与平面的垂直平行判断方法，可以在空间解析几何中快速解决相关问题。

直线与平面的关系是几何学中的基础，对于建立空间模型和解决实际问题都具有重要意义。

直线与平面的相交关系总结

直线与平面的相交关系总结直线与平面的相交关系是几何学中的重要概念，在实际生活中也有着广泛的应用。

本文将对直线与平面的相交关系进行总结与探讨，以加深对该概念的理解。

一、直线与平面的相交情况1. 直线与平面相交于一点：当一条直线与平面相交于一个且仅有一个点时，称其相交于一点。

此时，这条直线可以被视为平面内的一个射线，该射线的起点即是直线与平面的交点。

2. 直线与平面相交于多个点：若一条直线与平面相交于多个点，这些点可以形成一个线段或一条射线。

具体情况取决于直线是否延伸到平面的另一侧。

3. 直线与平面不相交：当直线与平面完全平行时，它们不会相交。

这种情况下，直线与平面之间没有任何交点。

二、直线与平面的相对位置关系1. 直线在平面内：当一条直线位于平面内时，直线与平面相交于该直线上的所有点。

2. 直线与平面交于平面上的一点且不在平面内：在这种情况下，直线与平面垂直相交于平面上的一个点，但这条直线并不在平面内。

可以将这条直线看作是平面的一个法线。

3. 直线与平面平行：当一条直线与平面平行时，直线与平面之间没有任何交点。

它们在三维空间中始终保持着相同的方向。

三、直线与平面的交角直线与平面的交角是指直线与平面交点上的两条线段之间的夹角。

交角的大小与直线与平面的相对位置关系密切相关。

1. 近似平行关系：当直线与平面的交角接近于零时，可以认为直线与平面近似平行。

此时，直线与平面之间的距离较远，它们几乎没有交集。

2. 直角关系：若直线与平面的交角为90度，则称直线与平面相互垂直，也可以说直线是平面的一个法线。

3. 锐角关系：当直线与平面的交角小于90度时，称直线与平面之间存在锐角关系。

锐角的大小取决于交角的具体数值。

4. 钝角关系：若直线与平面的交角大于90度，则称直线与平面之间存在钝角关系。

钝角的大小也取决于交角的具体数值。

综上所述，直线与平面的相交关系是几何学中的重要概念，不仅在理论上具有重要意义，也广泛应用于实际生活中的建筑、工程等领域。

点线面关系知识总结和练习题

//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。

（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。

（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b ② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行线面平行线线平行面面垂直线面垂直线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。

●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

空间直线平面的垂直知识点

空间直线平面的垂直知识点一、知识概述《空间直线平面的垂直知识点》①基本定义：- 直线与平面垂直呢，就是说一条直线和一个平面里头的任意一条直线都垂直。

就好比一根直直的旗杆，它和地面上任何一条过它底部的直线都垂直，这时候就说这根旗杆（直线）和地面（平面）是垂直的。

- 两个平面垂直就是说两个平面相交所成的二面角是直二面角，简单讲这两个平面就像两面墙，它们相交的时候拐的那个角是个直角，那这两个平面就是垂直的关系。

②重要程度：- 在立体几何当中这个非常重要啊。

很多建筑设计、机械结构设计里头都会用到这个知识来确保结构稳定啊。

就拿埃菲尔铁塔来说吧，它的很多钢梁和塔柱之间的关系就要满足空间直线平面垂直关系，这样才能立得住稳稳当当的。

这部分知识是我们理解立体空间结构关系的关键。

③前置知识：- 首先要对平面几何里的直线垂直有清楚的概念，知道直角是什么样的。

另外呢，对于空间基本的点线面关系也要有一定的认识，好比说点在面上啊，线在面内这些基础概念。

④应用价值：- 在实际建筑工程当中确定墙体是否垂直啦，像盖房子的时候工人师傅要保证柱子垂直于地面。

在制作一些复杂的工艺品时，要保证某些部件之间的垂直关系，比如说木质的榫卯结构，如果部件之间不垂直装配就不稳。

在航空航天工程里计算飞行器部件之间的合适角度时，也可能会涉及到这种垂直关系。

二、知识体系①知识图谱：- 这部分知识在立体几何当中位于线面关系、面面关系这些核心板块之中。

就像是身体里的重要关节一样，是理解立体空间结构的重要一环。

它和其他线面关系，比如平行关系是并列对比学习的，构成我们对空间结构关系完整的认识体系。

②关联知识：- 它和空间角的知识联系紧密啊。

比如说直线与平面垂直，那条直线和平面内的直线所成的角就是直角了。

还有就是和向量知识也能挂上钩，通过向量法也能判定直线和平面垂直之类的关系。

③重难点分析：- 掌握难度在于空间想象能力要求比较高。

关键点就是要理解垂直的定义，能够准确判断哪些情况下是真正的垂直。

直线与平面、平面与平面间的位置关系

错解:因为 ∥ 所以l与所成的角α,就是就是l与错解因为BD∥B1D1,所以与B1D1所成的角就是与BD 因为所以所成的角.在平面内以P为顶点底边在B 为顶点,底边在所成的角在平面A1C1内以为顶点底边在 1D1上作一个等在平面腰三角形,使底角为则两腰所在直线就与腰三角形使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角所使底角为则两腰所在直线就与B 成等角,所以这样的直线有两条.应选以这样的直线有两条应选B. 应选错因分析:错解中受定势思维的影响只考虑了错因分析错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况而忽略了特殊情况.当时的一般情况而忽略了特殊情况当 α = 0或时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相－如果在两个平面内分别有一条直线如果在两个平面内分别有一条直线，平行，那么这两个平面的位置关系是平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行． C．平行或相交．平行或相交 B．相交． D．垂直相交．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析：可能在平面α内在平面α外有解析：①错，l 可能在平面内；②错，直线 a 在平面外有两种情况： ∥ 和相交；可能在平面α内两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面内；相交在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面内或 a∥α，在平面内都有无数条直线正确，与 a 平行．平行．
2:如图在长方体如图,在长方体的面A 上有一点P(P 如图在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线使l与直线成α角, 点在平面A 上作一直线l,使与直线与直线BD成角过点在平面这样的直线l有这样的直线有( A.1条条 B.2条条 ) C.1条或条条或2条条或 D.无数条无数条

直线和平面平行、垂直的判定和性质

直线和平面平行、垂直的判定和性质1．在直线和平面的位置关系中，平行关系不仅应用较多，而且是学习平面和平面位置关系的基础，所以直线和平面平行的判定和性质是本单元的重点之一．判定定理说明要证一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行即可．对于直线和平面平行的性质定理、要注意避免“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误，线面平行和线线平行，是指过这条直线的任意一个平面和已知平面的交线与这条直线平行，尽管直线可以和平面内无数条直线平行，但不能说直线和平面内的任何直线平行．反证法是常用的一种证明方法．要会用反证法证明线面平行的判定定理．2．斜线和平面所成的角，定量地反映了斜线和平面的位置关系，它是通过转化为平面内的两条相交直线所成的角来度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．直线和平面所成的角，应分三种情形:(1)直线和平面斜交时，直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角就是直角；(3)直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角的度数是0°．综上所述，直线和平面所成角的范围是[0，].3．在应用三垂线定理及其逆定理时，重点在于先寻找平面的垂线，在引辅助线时，也应先作平面的垂线，这是因为垂线是确定斜线在平面内射影的关键．三垂线定理及其逆定理揭示了平面的斜线和它在这个平面上的射影必定同时垂直于平面内的直线的实质．在学习三垂线定理时，要注意处于各种位置的射影关系图形的识别和掌握，进而达到灵活应用的目的.典型题目分析例1．下列命题中①两条异面直线所成角α 的范围是0°＜α＜180°．②两条互相垂直的直线不一定相交．③分别和两条异面直线都垂直的直线叫做这两条异面直线的公垂线．④两条异面直线所成角的大小是惟一的，角的位置可以平移变化．⑤两条异面直线的公垂线有且只有一条．⑥若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行．其中正确命题的个数是().A．1B．2 C 3D．4分析:对照有关概念，找出结论与条件不相符合的命题．解:由异面直线所成角的定义，公垂线定义知①③⑥错误，②④⑤正确，故选C．例2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=3，BC=4，则异面直线A1B1与BC1的距离是________.分析:证A1B1⊥面BC1.解:在面BC1内作B1E⊥BC1于点E.长方体AC1中，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，所以A1B1⊥面BC1，从而A1B⊥B1E，于是B1E的长就是异面直线A1B1和BC1间的距离.矩形BCC1B1中，BC1=，所以B1E=.即所求距离为.点评:本题将异面直线的距离问题转化为同一三角形内的点线距离问题.例3．E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC的中点，求EF到平面AA1C1C的距离.分析:转化为EF与AC间的距离.解:如图所示，连结BD分别交AC、EF于O、G，则BD⊥AC，BD⊥EF.正方体A1C中，AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD.∴BD⊥AA1，而AA1、AC是平面AA1C1C内两条相交直线.∴BD⊥平面AA1C1C，又BD⊥EF，于是线段OG的长就是EF到平面AA1C1C的距离.在正方形ABCD中，OG=.所以EF到平面AA1C1C的距离是.点评:将线面距离化为线线距离是一种常用转化方法，应注意正确使用这种方法.例4．点P在ΔABC所在平面上射影为O，如果PA⊥BC，PB⊥AC，则O为ΔABC的（）.A、垂心B、重心C、内心D、外心分析:作出PA在平面ABC上的射影，证明BC与之垂直.解:如图，连结OA，OB，则OA是PA在平面ABC上的射影.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理，AC⊥OB，∴O是ΔABC的垂心，故选A.点评:三角形的内心、外心、垂心、重心分别是三角形的三条角平分线、三条边的垂直平分线、三条高、三条中线的交点.课外练习：1．RtΔABC所在平面外一点P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离为12，若点P到AC和BC 的距离相等，求：点P到AC的距离.2．在空间四边形ABCD中，若AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，且AB=BC=CD=a.则直线AD和BC所成角的正弦值为（）.A、B、C、D、3．在棱长为4的正方体，ABCD-A1B1C1D1中，A1到BD的距离等于_________.4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、K分别是AD、DD1、DC的中点，求证：B1K⊥平面CMN.参考解答：1．如图，过P作PD⊥平面ABC，D为垂足，过D作DE⊥AC，DF⊥BC.分别连结PE和PF，则DE和DF分别是PE和PF在平面ABC内的射影.∵AC⊥DE，∴AC⊥PE，∵DF⊥BC，∴BC⊥DF，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE和PF是P到AC和BC的距离，∴PE=PF，∴DE=DF，∵CEDF是内角均为90°的四边形，∴CEPF是正方形，∴CD=´DE，在RtΔPCD中，PC=24，PD=12，∠PDC=90°，∴CD=，∴DE=，在RtΔPDE中，PD=12，DE=，∠PDE=90°，∴PE=，即P到AC、BC的距离均为.2．D3.4. 如图，分别连结BK和C1K，证明RtΔCDM≌RtΔBCK,证明RtΔCC1K≌RtΔCDN.设CM∩BK=P，∵∠KBC=∠PCK，∴∠PBC+∠BCP=90°，∴∠CPB=90°，∴CM⊥BK，∵BK是B1K在平面ABCD上的射影，∴B1K⊥CM.同理可证：B1K⊥CN，CN∩CM=C，∴B1K⊥平面MNC.在线测试选择题1．下列命题正确的是（）A、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面B、两条直线在两个相交平面内的射影都是平行直线，那么这两条直线互相平行C、一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，那么这两个二面角相等或互补D、五边形中有两组不相邻的边平行，那么这个五边形是平面图形2．设P是正ΔABC所在平面外一点，PA=PB=PC=.若ΔABC的边长为1，则直线PC和平面ABC 所成的角是（）.A、90°B、60°C、45°D、30°3．平面α内的∠MON=60°，PO是平面α的斜线段，PO=3，且PO与∠MON的两边均成45°角，那么点P到平面α的距离为（）.A、B、C、D、4．已知三个平面α、β、γ，一条直线l，要得到α//β，必须满足下列条件中的（）.A、l//α, l//β且l//γB、lγ, 且l//α，l//βC、α//γ且β//γD、l与α、β所成角相等5．已知a,b是两条直线，以下四个条件中：①α⊥γβ⊥γ②α内有不共线的三点到β的距离相等③aα, bα, a//β, b//β④a,b是异面直线且aα, a//β, b//β, b//α能推出α//β的是（）.A、④B、②，③C、②D、①，③答案与解析答案：1、D 2、D 3、A 4、C 5、A解析：1．答案：D．如A中α⊥β，α∩β=l, l'⊥β, l'⊥l, 但l'//α，矛盾.故排除A；B、C很容易否定.故本题应选D.2．答案：D．过P作PO⊥平面ABC，则垂足O为正ΔABC的中心.连结OC，则∠PCO为直线PC和平面ABC所成的角.在RtΔPOC中，OC=，PC=，则cos∠PCO=.从而∠PCO=30°，故选D.3．答案：A．如图，过P作PH⊥平面α，则垂足H在∠MON的平分线上，且PH的长为点P到平面α的距离.作HQ⊥OM，垂足为Q，在RtΔPQO中，PQ=OQ=.在RtΔOQH中，HQ=OQ·tan30°=.在RtΔPHQ中，PH=.选A.4．答案：C．平面与平面平行满足传递性.5．答案：A．当平面α、β是两个相交平面时，①不一定成立.当这三点在平面β两侧时，②不成立.当平面α、β是两个相交平面时，③不一定成立.因此选A.怎样学习立体几何我们学习每一门课，都应有不同的学法，学习《立体几何》时，应注意下面四点。

直线平面之间的关系

加强与其他学科的交叉研究
对未来研究的展望
谢谢观看
雕塑
在雕塑艺术中，直线与平面的关系也是塑造形体和表现形式的重要因素之一。雕塑家通过运用直线和平面来塑造形体的轮廓、结构和质感，创造出具有独特美感和意义的作品。
绘画
艺术作品中的直线与平面关系实例
05
总结与展望
对直线与平面关系的总结
直线与平面的关系是几何学中的基本问题，涉及到空间几何的基本概念和性质。在总结直线与平面的关系时，可以从以下几个方面进行阐述
详细描述
直线与平面平行的性质表明，如果一条直线与平面平行，那么这条直线不会与平面内的任何直线相交。这是因为平行线与平面内的所有直线都保持等距，所以不会出现相交的情况。
直线与平面的平行性质
当直线与平面相交时，它们会在平面上产生一个或多个交点。
总结词
直线与平面相交的性质表明，如果一条直线与平面相交，那么它们会在平面上产生一个或多个交点。这是因为直线和平面在三维空间中只有一个共同的点，即它们的交点。如果直线与平面斜交，则会产生一条交线，该交线由多个点组成。
02
直线与平面的性质
总结词
当直线与平面垂直时，直线上的任意一点到平面的距离都相等。
详细描述
直线与平面垂直的性质表明，如果一条直线与平面垂直，那么这条直线上的任意一点到平面的距离都是相等的。这是因为垂直线与平面内的任意一条直线都形成直角，所以点到平面的距离都是相等的。
直线与平面的垂直性质
总结词
当直线与平面平行时，直线不会与平面内的任何直线相交。
直线与平面的关系不仅在几何学中有重要应用，在其他学科中也有广泛的应用前景。例如，在物理学中，如何利用直线与平面的关系来描述光的传播规律；在生物学中，如何利用直线与平面的关系来描述细胞的结构和功能等。因此，加强与其他学科的交叉研究，有助于推动直线与平面关系的研究和应用。

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是。

①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面的交点问题

直线与平面的交点问题直线与平面的交点问题是几何学中的重要问题之一。

在二维平面上，直线和平面交于一点；在三维空间中，直线和平面可能相交于一点、无交点或者相交于一条直线。

本文将就直线与平面的交点问题进行详细讨论。

1. 直线方程和平面方程要解决直线与平面的交点问题，首先需要了解直线的方程和平面的方程。

1.1 直线的方程在二维平面上，通过两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)的直线方程可以用点斜式表示为y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)(x - x1)。

在三维空间中，直线的方程可以用参数方程表示为x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct。

其中(x0, y0, z0)为直线上的一点，a、b、c为方向向量的分量。

1.2 平面的方程在二维平面上，通过点A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)的平面方程可以用一般式表示为Ax + By + C = 0。

在三维空间中，平面的方程可以用一般式表示为Ax + By + Cz + D = 0。

其中A、B、C为平面法向量的分量。

2. 直线与平面的交点计算计算直线与平面的交点，需要将直线方程代入平面方程，求解交点的坐标。

2.1 二维平面中的交点计算假设直线方程为y = kx + d，平面方程为Ax + By + C = 0。

将直线方程代入平面方程得到：Ax + B(kx + d) + C = 0，整理可得(A + Bk)x + (Bd + C) = 0。

解这个一元一次方程可以得到交点的x坐标，再代入直线方程可以得到交点的y坐标。

2.2 三维空间中的交点计算假设直线方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，平面方程为Ax + By + Cz + D = 0。

将直线方程代入平面方程得到：A(x0 + at) +B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0，整理可得(Aa + Bb + Cc)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0。

高中数学平面解析几何初步两条直线的位置关系两条直线相交平行与重合的条件高数学

12/13/2021
第二十二页，共三十四页。
求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1，2)的直线 l 的方程．
解：法一：设直线 l 的斜率为 k，因为直线 l 与直线 3x＋4y ＋1＝0 平行，所以 k＝－34．又因为直线 l 过点(1，2)，
12/13/2021
第二十三页，共三十四页。
12/13/2021
第十九页，共三十四页。
解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4 即 m－2≠±2，所以当 m≠4 且 m≠0 时 l1 与 l2 相交． (2)由 A1B2－A2B1＝0 得 m＝0 或 m＝4，当 m＝0 时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3 ＝0，此时 l1∥l2；当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时 l1∥2．故 m＝0 或 m＝4 时，两直线 l1∥l2． (3)由12/13(/2202)1知，直线 l1 与 l2 不可能重合．
12/13/2021
第三十四页，共三十四页。
12/13/2021
第二十六页，共三十四页。
1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．
12/13/2021
第二十七页，共三十四页。
1．已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
12/13/2021
第十一页，共三十四页。
【解】 (1)k1＝12－－((－－21))＝1，k2＝－－11－－43＝54，因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．

空间解析几何基础直线与平面的位置关系

空间解析几何基础直线与平面的位置关系直线与平面是空间解析几何中的基本图形，它们在空间中的位置关系是解析几何的核心内容之一。

本文将介绍直线与平面的位置关系，包括直线与平面的相交、平行以及垂直关系。

一、直线与平面的相交关系直线与平面可以有不同的相交情况，主要包括直线与平面相交于一点、直线与平面相交于一条直线和直线与平面相交于两条直线三种情况。

1. 直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与该平面相交于一点。

该点既属于直线，也属于平面。

直线与平面相交于一点的情况比较常见，可以用许多实际生活中的例子来说明，比如一根针穿过一张纸的情况。

2. 直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与该平面相交于一条直线。

这种情况可能出现在直线与平面平行的情况下，例如一根笔放在桌子上的情况。

3. 直线与平面相交于两条直线当一条直线与一个平面相交于两条直线时，我们称这条直线与该平面相交于两条直线。

这种情况比较特殊，不太容易在实际生活中找到例子。

二、直线与平面的平行关系直线与平面的平行关系是指直线与平面在空间中没有任何交点的情况。

直线与平面平行的条件是直线上的任意一点到平面的距离等于直线上另一点到该平面的距离，也可以说直线的方向向量与平面的法向量平行。

例如，一根笔放在桌子上时，笔看起来与桌面平行。

三、直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是指直线与平面在空间中相互垂直的情况。

直线与平面垂直的条件是直线上的向量与平面上的向量垂直，也可以说直线的方向向量与平面的法向量垂直。

例如，一个立着的直角梯子放在地上时，梯子与地面垂直。

总结：直线与平面是空间解析几何中的基本图形，它们在空间中的位置关系有相交关系、平行关系和垂直关系。

相交关系包括相交于一点、相交于一条直线和相交于两条直线三种情况，平行关系是指直线与平面没有任何交点，垂直关系是指直线与平面相互垂直。

理解直线与平面的位置关系对于解析几何的学习非常重要，它们的性质和应用将在进一步的学习中得到深入探讨。

直线与平面的相交关系和性质

直线与平面的相交关系和性质直线与平面是几何学中两种基本的图形。

它们的相交关系和性质对于解决几何问题和应用数学具有重要的意义。

本文将探讨直线与平面的相交关系及相关性质。

一、直线与平面的相交关系1. 直线与平面相交于一点：当一条直线与平面只有一个交点时，我们称这条直线与该平面相交于一点。

2. 直线与平面平行：当一条直线与平面没有交点时，我们称这条直线与该平面平行。

3. 直线与平面相交于一条直线：当一条直线与平面有无限多个交点，并且这些交点连成直线时，我们称这条直线与该平面相交于一条直线。

二、直线与平面相交的性质1. 垂直性质：若一条直线与平面相交，且与平面的某一条直线垂直，则与平面相交的直线与所垂直的直线垂直。

2. 平行性质：若两条直线分别与同一平面相交，且互相平行，则这两条直线必定平行。

3. 对称性质：若一条直线与平面相交于一点，那么通过这个点，可以画出平面上的任意一条直线，使得这条直线与给定直线相交于该点，并且这两条直线分布在平面的两侧。

4. 倍数关系：若一条直线AB与平面相交于一点C，在这个交点与直线上其他点的间距比与平面内某线段的间距比相等，则直线上的这个线段与平面上的那个线段长度之比为相同的常数。

5. 角度关系：一条直线与平面相交，可以形成不同的角度。

较为特殊的情况是直线与平面的垂直和平行关系:（1）直线与平面相交成直角时，我们称该直线垂直于平面。

（2）直线与平面平行时，我们称该直线平行于平面。

三、应用举例1. 投影：直线与平面相交会产生投影现象。

例如，一根垂直于平面的杆子在平面上投影出一个点，杆子越远离平面，投影点离原点越远。

2. 三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点到所对边所在直线的垂线段的长度。

这条垂线段与所对边的延长线相交于一个点。

3. 平面切割：当一条平面与一个三维图形相交时，会形成截面。

这个截面可以是一个平面或者一个曲面。

结论：直线与平面的相交关系及相关性质是解决几何问题和应用数学的基础。

直线与平面的相交关系

直线与平面的相交关系直线与平面是几何学中两个基本概念，研究它们的相交关系既有理论意义，也具有实际应用价值。

本文将探讨直线与平面的相交情况和相交点的性质。

一、直线与平面的相交情况直线与平面的相交情况有三种可能：相交、平行和重合。

具体来说，对于给定的直线l和平面P，可能存在以下三种情况：1. 相交：直线l与平面P有且仅有一个交点。

这种情况下，直线l被称为平面P的“斜线”。

直线l可以与平面P在平面内部相交，也可以与平面P在平面外相交。

2. 平行：直线l与平面P没有公共的交点。

换句话说，直线l在平面P上投影出的直线与平面P平行，即直线l与平面P的方向向量垂直。

3. 重合：直线l与平面P重合，即直线l在平面P上的所有点都属于平面P。

这种情况下，直线l可以看作是平面P的一个子集。

二、直线与平面相交点的性质当直线与平面相交时，相交点具有一些独特的性质。

1. 唯一性：直线与平面相交时，相交点是唯一的。

这意味着平面上不存在两个不同的点与直线l距离相等。

2. 垂直性：直线与平面相交时，直线的方向向量与平面的法向量垂直。

这是因为直线的方向向量与平面上的任意向量垂直，而平面的法向量与平面上的任意向量垂直。

3. 范围性：直线与平面相交时，交点可以位于平面内部，也可以位于平面外部。

如果直线与平面的另一交点存在，它将分割直线上的点，使其中一部分位于平面内部，另一部分位于平面外部。

三、相关应用直线与平面的相交关系在许多学科和行业中都有广泛的应用。

1. 几何构图：在几何构图中，利用直线与平面的相交关系可以确定点、线和平面的位置关系，实现几何图形的精确绘制和测量。

2. 计算机图形学：在计算机图形学中，直线与平面的相交关系用于实现图像渲染、三维建模和虚拟现实等技术。

3. 地理测量学：在地理测量学中，利用直线与平面的相交关系可以计算地球表面上的点与线的距离，进而实现地图制作、导航定位等功能。

四、结语直线与平面的相交关系是几何学中的重要概念，通过研究它们的相互作用，我们可以深入理解空间几何的性质和规律。

空间几何中的直线与平面的交点问题解析

空间几何中的直线与平面的交点问题解析在空间几何中，直线与平面的交点问题是一个常见的题型。

本文将对这一问题进行详细解析。

在三维空间中，直线与平面的交点问题涉及到直线和平面的几何性质。

首先，我们来讨论直线与平面的相对位置。

直线可以与平面相交、平行或者重合。

当直线与平面相交时，它们将有一个交点；当直线与平面平行时，它们将没有交点；当直线与平面重合时，它们将有无穷多个交点。

接下来，我们来探讨如何求解直线与平面的交点。

设直线的参数方程为：$$\begin{cases}x = x_{0} + at \\y = y_{0} + bt \\z = z_{0} + ct \\\end{cases}$$其中，$(x_{0}, y_{0}, z_{0})$是直线上的一点，$a, b, c$是方向比例系数，$t$为参数。

设平面的一般方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $A, B, C, D$ 为常数。

要求解直线与平面的交点，我们可以将直线的参数方程代入平面的一般方程，得到一个关于参数 $t$ 的方程。

将这个方程化简，求解$t$ 的值。

然后将 $t$ 的值代入直线的参数方程，即可求得直线与平面的交点的坐标。

需要注意的是，当 $t$ 有多个解时，即直线与平面重合时，我们可以通过选择不同的 $t$ 值，得到直线与平面的多个交点。

如果直线与平面平行，它们没有交点。

下面通过实例来进一步说明如何解决直线与平面的交点问题。

假设有一条直线 $l$ 的参数方程为：$$\begin{cases}x = 2 + t \\y = 1 - 2t \\z = -3 + 3t \\\end{cases}$$平面 $P$ 的一般方程为 $2x - 3y + z + 1 = 0$。

我们将直线 $l$ 的参数方程代入平面 $P$ 的一般方程，得到：$$2(2 + t) - 3(1 - 2t) + (-3 + 3t) + 1 = 0$$化简上述方程，得到：$$8t - 6 = 0$$解上述方程，得到 $t = \frac{3}{4}$。

直线与平面的关系

直线与平面的关系直线与平面是几何学中最基本的概念之一，它们之间的关系是我们在解决几何问题时必须要了解和掌握的。

直线是由无数个点组成，它在空间中没有宽度和厚度，只有长度。

而平面则是由无数个直线相互沿着同一方向延伸形成的，它有长度和宽度，但没有厚度。

下面我们将进一步探讨直线与平面之间的关系。

1. 直线与平面的相交当一条直线与一个平面相交时，可以出现三种情况：直线与平面相交于一点、直线与平面相交于一条线段或直线与平面相交形成空间中的一平面。

1.1 直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面只有一个公共点时，我们称直线与平面相交于一点。

这个点是直线上的一个点，同时也是平面上的一个点。

例如，在空间中取一直线L和一个平面P，如果直线L恰好通过平面P上的一个点，那么我们就可以说直线L与平面P相交于一个点。

1.2 直线与平面相交于一条线段当一条直线与一个平面有多个公共点时，我们称直线与平面相交于一条线段。

这个线段是直线上的一部分，同时也是平面上的一条线段。

例如，在空间中取一直线L和一个平面P，如果直线L通过平面P上的两个不同点，那么我们就可以说直线L与平面P相交于一条线段。

1.3 直线与平面相交形成一平面当一条直线与一个平面有无数个公共点时，我们称直线与平面相交形成一平面。

这个平面既包含直线上的所有点，也包含平面上的所有点。

例如，在空间中取一直线L和一个平面P，如果直线L与平面P 重合，那么我们就可以说直线L与平面P相交形成一平面。

2. 直线与平面的垂直关系直线与平面之间的垂直关系是指直线与平面之间的夹角为90度。

当一条直线与一个平面垂直时，我们称这条直线垂直于该平面。

2.1 直线垂直于平面的判定要判定一条直线是否垂直于一个平面，我们可以通过以下条件来进行判断：（1）直线上的任意一条线段都与平面上的任意一条线段垂直。

（2）直线上的一条线段与平面上的一条线段垂直，并且直线上的另一条线段也与平面上的另一条线段垂直。

当以上任意一种情况满足时，我们可以得出结论：直线垂直于该平面。

直线与平面的相交关系

直线与平面的相交关系在几何学中，直线与平面的相交关系是一个重要的概念。

通过研究直线与平面的相交性质，我们可以推导出许多几何定理和几何关系。

本文将从不同角度来探讨直线与平面的相交关系，帮助读者更好地理解这一概念。

一、直线与平面的基本性质直线和平面是空间中最基本的几何概念之一。

直线是由无数个点连成的轨迹，具有无限延伸性质；而平面则是由无数个直线连成的曲面，具有无限广延性质。

直线与平面的基本性质包括：1. 直线与平面的相交关系可以分为三种情况：相交、平行和重合。

当直线与平面有且只有一个交点时，称为相交；当直线与平面没有交点，但在空间中仍保持同向或反向延伸时，称为平行；当直线与平面完全重合时，称为重合。

2. 如果一条直线与平面相交，那么这条直线在平面上的投影就是直线在该平面上的影子，投影是一条线段。

3. 平面可以被直线所截，截取的部分称为线段。

4. 一个平面内任意两条直线的夹角可以是零度（平行）、锐角或钝角。

5. 直线与平面的相交关系可以通过向量的法向量来判断。

如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面相交；如果直线的方向向量和平面的法向量平行或共线，则直线与平面平行或重合。

二、直线与平面的相交性质在进一步研究直线与平面的相交关系时，我们可以得出一些重要的性质和定理。

1. 直线垂直于平面的条件：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线垂直于平面。

2. 平面内一点到直线的垂足：如果在平面上有一条直线与另一条直线相交，那么这两条直线在平面上的垂足的连线垂直于这两条直线。

3. 平面内两直线的夹角：如果两条直线分别与平面相交，那么这两条直线所成的夹角等于它们在平面上的投影所成的夹角。

4. 平面内一点到直线的距离：如果在平面上有一点和一条直线，那么从这个点到直线的距离等于从这个点向直线引的垂线的长度。

5. 平面内两直线的平行条件：如果两条直线在平面上的投影平行，则它们在空间中也平行。

三、应用举例直线与平面的相交关系在实际问题中有广泛的应用。