圆锥曲线高考题总结
圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学
PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程；(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意， = ，当直线的斜率不存在时，由 = ，
得直线过点
为
+
,
，于是
+
= ，解得 = ，所以椭圆的方程
= .
(2)依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数，使得 + = ⋅ 恒成立？若存在，
求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ，将其代入椭圆方程得
+ − + − = ，由违达定理得
+
+
−
− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两
个三角形的底边长.
= + = ∣ ∣∣ − ∣
＋
＋
由 ＞，得0＜ ＜ ，所以 ＜＜.综上可得：
＋
＜
≤ ，即 ∈
( ,
].
试卷讲评课件
例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个
圆锥曲线典型高考题总结
1.（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果||AB =154，求椭圆C 的方程．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=得离心率 23c e a ==．（Ⅱ）因为21AB y =-2221534a b=+.由23c a =得3b =.所以51544a =，得a =3，b =椭圆C 的方程为22195x y += 2.（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．【解析】（Ⅰ）1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔==（Ⅱ）设2BF m =；则12BF a m =-在12BF F ∆中，22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯ 2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=1AF B ∆面积21113sin 60()225210,5,S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+⨯=⇔===3. (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【解析】2(c,0)F c c （I ）设，由条件知，222=2, 1.2c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为（Ⅱ）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设 22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2238=16(43)0,1k k k x ±∆->>=+当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积1=2OPQ S d PQ ∆⋅=244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.t t k t +≥==∆>因为当且仅当，即OPQ ι∆所以，当的面积最大时，的方程为22y x y x =-=-或． 4.（2010安徽文）椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率21=e(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+= 由e=12 ，得c a =12 ，b 2=a 2-c 2=3c 2. ∴2222143x y c c+= 将A （2,3）代入，有22131c c += ，解得：c=2, 椭圆E 的方程为2211612x y +=（Ⅱ）由(Ⅰ)知F 1（-2,0），F 2（2,0），所以直线AF 1的方程为 y=34 (X+2)， 即3x-4y+6=0. 直线AF 2的方程为x=2. 由椭圆E 的图形知， ∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数.设P （x ，y ）为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则有34625x y x |-+⎥=|-⎥ 若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去. 于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.所以∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.5.(2015浙江理)已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）．解：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+.由221,21x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=. 因为直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 所以224220b m∆=-++>。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题
高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题1．已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，与双曲线22142x y -=有相同的渐近线，且经过点M．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，112A F =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ，2A P ，2A Q ，1A Q 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，求2F PQ △面积的取值范围．3．已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为点,A B ，其中2AB =，且双曲线过点()2,3C ．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点()1,1P 的直线分别交Γ的左、右支于,D E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF FG =．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．4．已知双曲线C 的渐近线方程是y =，点()2,3M在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()10F ,（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径r =l 的方程．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C经过点2⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q ．7．已知椭圆221:4T x y +=，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，C 、D 为椭圆的左、右顶点，直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点．（1）若12m =-，求AB ；（2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ，且直线l 与线段12F F 交于点M ，求12k k 的取值范围.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12D ⎫⎪⎭，点,A B 分别是椭圆C 的左､右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（P 在,E Q 之间），直线,AP BQ 交于点M ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，求12S S的取值范围．第8题图第9题图9．如图，已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F，椭圆C 的上、下顶点分别为,A B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定AOM （O 为坐标原点）与ADN △的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．10．已知双曲线过点(A ，它的渐近线方程是20x y ±=．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线l 交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 的倾斜角互补，求直线l 的斜率．11．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，平面内一动点M 满足直线AM 与BM 的斜率乘积为14-．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）直线l 交轨迹C 于,P Q 两点，若直线AP 的斜率是直线BQ 的斜率的4倍，求坐标原点O 到直线l 的距离的取值范围．12．若双曲线E ：2221(0)x y a a-=>y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若AB =，点C 是双曲线上一点，且()OC m OA OB =+，求k ，m 的值．13．已知1F ，2F 分别是椭圆G22+22=1>>0的左、右焦点，且焦距为MN 平行于x 轴，且114F M F N +=．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线:4l x =上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得ACD BCD S S λ= 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．14．平面上的动点(,)P x y 到定点(0,1)F 的距离等于点P 到直线1y =-的距离，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:l y x m =+与曲线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在这样的直线l ，使得MF AB ⊥，若存在，求实数m 的值，若不存在，请说明理由．15．已知双曲线()22:1,,24x C y M m -=，斜率为k 的直线l 过点M ．（1）若0m =，且直线l 与双曲线C 只有一个交点，求k 的值；（2）已知点(2,0)T ，直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ，直线,TA TB 的斜率分别为12,k k ，若12k k +为定值，求实数m 的值．16．已知椭圆(2222:10)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左焦点F 与原点O 的距离为1，正方形PQMN 的边PQ ，MN 与x 轴平行，边PN ，QM 与y 轴平行，2112,,,7777P M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线为l .已知直线AB 的斜率为k ，且0k >．（1）若直线l 过点P ，求k 的值；（2）若直线l 与正方形PQMN 的交点在边PN ，QM 上，l 在正方形PQMN 内的线段长度为s ，求sAB的取值范围．17．已知F 是椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，点13,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且12OA OB k k +=-(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．参考答案1．（1）2212x y -=（2）2m =±2．（1）2211612x y +=（2）（i ）34-；（ii ）950,2⎛ ⎝⎭3．（1）2213y x -=（2）证明略，(1,0)B 4．（1）2（2）是，35．（1）2212x y +=（2）1x y =±+6．（1）2212x y +=（2）证明略7．（1（2）7⎡-+⎣8．（1）2214x y +=（2）()0,19．（1）2212x y +=（2210．（1）2214x y -=（2）11．（1）2214x y +=(0)y ≠（2）6(0,)512．（1）(（2）51,24k m ==±13．（1）2214x y +=（2）存在，314．（1）24x y =；（2）不存在15．（1）12k =±或k =（2）2m =.16．（1）1k =（2）12,78⎛ ⎝⎦17．（1）2214x y +=（2）1[,0)(1,)4-+∞。
圆锥曲线的高考题总汇编(带详细解析汇报)
第八章 圆锥曲线方程●考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.（2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求．（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）2.（2003京春理，7）椭圆⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 3cos 54y x （ϕ为参数）的焦点坐标为（ ）A.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ）A.－1B.1C.5D. －55.（2002全国文，11）设θ∈（0，4π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为（ ）A.（0，21） B.（22,21） C.（2,22） D.（2，＋∞）6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A.x ＝±y 215B.y ＝±x 215 C.x ＝±y 43D.y ＝±x 43 7.（2002天津理，1）曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）A.21B.22 C.1 D.28.（2002全国理，6）点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为（ ）A.0B.1C.2 D.29.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（３，0），则其离心率为（ ） A.43B.32 C.21 D.41 10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是（ ）A.（－∞，0）B.（－∞，2]C.［0，2］D.（0，2）11.（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ） A.43B.554C.358D.334 12.（2000全国，11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A.2aB.a21C.4aD.a4 13.（2000京皖春，3）双曲线2222ay b x -＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.2D.2314.（2000上海春，13）抛物线y =－x 2的焦点坐标为（ ）A.（0，41） B.（0，－41） C.（41，0）D.（－41，0） 15.（2000上海春，14）x =231y -表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分 16.（1999上海理，14）下列以t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy =1所表示的曲线完全一致的是（ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t xB.⎪⎩⎪⎨⎧==||1||t y t xC.⎩⎨⎧==ty tx sec cosD.⎩⎨⎧==ty tx cot tan17.（1998全国理，2）椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍18.（1998全国文，12）椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A.±43 B.±23 C.±22D.±43 19.（1997全国，11）椭圆C 与椭圆4)2(9)3(22-+-y x ，关于直线x +y =0对称，椭圆C 的方程是（ ） A.19)3(4)2(22=+++y xB.19)3(4)2(22=++-y xC.14)3(9)2(22=+++y xD.19)3(4)2(22=-+-y x20.（1997全国理，9）曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0），它的普通方程是（ ）A.（x －1）2（y －1）＝1B.y ＝2)1()2(x x x --C.y ＝1)1(12--x D.y ＝21xx-＋1 21.（1997上海）设θ∈（43π，π），则关于x 、y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ=1所表示的曲线是（ ） A.实轴在y 轴上的双曲线 B.实轴在x 轴上的双曲线 C.长轴在y 轴上的椭圆 D.长轴在x 轴上的椭圆22.（1997上海）设k ＞1，则关于x 、y 的方程（1－k ）x 2+y 2=k 2－1所表示的曲线是（ ） A.长轴在y 轴上的椭圆 B.长轴在x 轴上的椭圆 C.实轴在y 轴上的双曲线 D.实轴在x 轴上的双曲线 23.（1996全国文，9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A.3422y x +＝1B.4322y x +＝1 C.42x ＋y 2＝1D.x 2＋42y ＝124.（1996上海，5）将椭圆92522y x +＝1绕其左焦点按逆时针方向旋转90°，所得椭圆方程是（ ） A.19)4(25)4(22=-++y xB.19)4(25)4(22=+++y xC.125)4(9)4(22=-++y xD.125)4(9)4(22=+++y x25.（1996上海理，6）若函数f （x ）、g （x ）的定义域和值域都为R ，则f （x ）>g （x ）（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）A.有一个x ∈R ，使f （x ）>g （x ）B.有无穷多个x ∈R ，使得f （x ）>g （x ）C.对R 中任意的x ，都有f （x ）>g （x ）+1D.R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ）26.（1996全国理，7）椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是（ ）A.（－3，5），（－3，－3）B.（3，3），（3，－5）C.（1，1），（－7，1）D.（7，－1），（－1，－1）27.（1996全国文，11）椭圆25x 2－150x +9y 2+18y +9=0的两个焦点坐标是（ ） A.（－3，5），（－3，3） B.（3，3），（3，－5） C.（1，1），（－7，1） D.（7，－1），（－1，－1）28.（1996全国）设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A.2B.3C.2D.332 29.（1996上海理，7）若θ∈［0，2π］，则椭圆x 2+2y 2－22x cos θ+4y sin θ=0的中心的轨迹是（ ）30.（1995全国文6，理8）双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是（ ） A.y =±3xB.y ＝±31x C.y ＝±3xD.y ＝±x 33 31.（1994全国，2）如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（0，2） C.（1，＋∞） D.（0，1）32.（1994全国，8）设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A.1B.25 C.2 D.533.（1994上海，17）设a 、b 是平面α外任意两条线段，则“a 、b 的长相等”是a 、b 在平面α内的射影长相等的（ ） A.非充分也非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.充分非必要条件34.（1994上海，19）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是y =cos x ，现在平移坐标系，把原点移到O ′（2π，－2π），则在坐标系x ′O ′y ′中，曲线C 的方程是（ ）A.y ′=sin x ′+2πB.y ′=－sin x ′+2πC.y ′=sin x ′－2π D.y ′=－sin x ′－2π二、填空题35.（2003京春，16）如图8—1，F 1、F 2分别为椭圆2222by a x +=1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是_____.36.（2003上海春，4）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 ．38.（2002京皖春，13）若双曲线m y x 224-＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，则双曲线的焦点坐标是 ． 39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是 ．（要求填写合适条件的序号） 40.（2002上海文，8）抛物线（y －1）2＝4（x －1）的焦点坐标是 ． 41.（2002天津理，14）椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．42.（2002上海理，8）曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是_____.43.（2001京皖春，14）椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．44.（2001上海，3）设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．45.（2001上海，5）抛物线x 2－4y －3＝0的焦点坐标为 ．46.（2001全国，14）双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____.48.（2001上海理，10）直线y =2x －21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos sin y x （ϕ为参数）的交点坐标是_____.49.（2000全国，14）椭圆4922y x +＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_____.图8—150.（2000上海文，3）圆锥曲线916)1(22y x --＝1的焦点坐标是_____.51.（2000上海理，3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x 的焦点坐标是_____.52.（1999全国，15）设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 .53.（1999上海5）若平移坐标系，将曲线方程y 2+4x －4y －4=0化为标准方程，则坐标原点应移到点O ′ ( ) .54.（1998全国，16）设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .55.（1997全国文，17）已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_____.56.（1997上海）二次曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x （θ为参数）的左焦点坐标是_____.57.（1996上海，16）平移坐标轴将抛物线4x 2－8x ＋y ＋5＝0化为标准方程x ′2＝ay ′（a ≠0），则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是 ．58.（1996全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =_____. 59.（1996全国理，16）已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____. 60.（1995全国理，19）直线L 过抛物线y 2＝a （x +1）（a >0）的焦点，并且与x 轴垂直，若L 被抛物线截得的线段长为4，则a = .61.（1995全国文，19）若直线L 过抛物线y 2＝4（x +1）的焦点，并且与x 轴垂直，则L 被抛物线截得的线段长为 .62.（1995上海，15）把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x （α是参数）化为普通方程，结果是 ．63.（1995上海，10）双曲线98222y x -=8的渐近线方程是 . 64.（1995上海，14）到点A （－1，0）和直线x =3距离相等的点的轨迹方程是 .65.（1994全国，17）抛物线y 2＝8－4x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 ．66.（1994上海，7）双曲线22y －x 2=1的两个焦点的坐标是 .三、解答题67.（2003上海春，21）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围． 70.（2002全国理，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2．求m 的取值范围．71.（2002北京，21）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3.（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．72.（2002江苏，20）设A 、B 是双曲线x 222y -＝1上的两点，点N （1，2）是线段AB的中点．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么?73.（2002上海，18）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．74.（2001京皖春，22）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）.过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB |≤2p .（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.75.（2001上海文，理，18）设F 1、F 2为椭圆4922y x +＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求||||21PF PF 的值．76.（2001全国文20，理19）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O.图8— 2图8—377.（2001上海春，21）已知椭圆C 的方程为x 2+22y =1，点P （a ，b ）的坐标满足a 2+22b ≤1，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.78.（2001广东河南21）已知椭圆22x +y 2=1的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC ∥x 轴.求证：直线AC 经过线段EF 的中点.79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A 、F 分别是椭圆12)1(16)1(22-++x y ＝1的一个顶点与一个焦点，位于x 轴的正半轴上的动点T （t ，0）与F 的连线交射影OA 于Q ．求：（1）点A 、F 的坐标及直线TQ 的方程；（2）△OTQ 的面积S 与t 的函数关系式S =f （t ）及其函数的最小值；（3）写出S =f （t ）的单调递增区间，并证明之．80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD 中，|AB |＝2|C Ｄ|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当32≤λ≤43时，求双曲线离心率e 的取值范围．图8—5 图8—6 图8—782.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD 中|AB |＝2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线离心率．83.（2000上海，17）已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A （a ，0）（a ＞0）和直线l ：x =－1.B 是直线l上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.注：文科题设还有条件a ≠185.（1999上海，22）设椭圆C 1的方程为2222by a x +=1（a ＞b ＞0），曲线C 2的方程为图8— 4图8—8y =x1，且C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P . （Ⅰ）试用a 表示点P 的坐标.（Ⅱ）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S （a ）的值域；（Ⅲ）设min ｛y 1，y 2，…，y n ｝为y 1，y 2，…，y n 中最小的一个.设g （a ）是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f （a ）=min ｛g （a ），S （a ）｝的表达式.86.（1998全国理，24）设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.（Ⅰ）写出曲线C 1的方程；（Ⅱ）证明曲线C 与C 1关于点A （2,2st ）对称； （Ⅲ）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0.87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.88.（1998上海理，20）（1）动直线y =a 与抛物线y 2=21（x －2）相交于A 点，动点B的坐标是（0，3a ），求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点D （2，0）的直线l 交上述轨迹C 于P 、Q 两点，E 点坐标是（1，0），若△EPQ 的面积为4，求直线l 的倾斜角α的值.89.（1997上海）抛物线方程为y 2=p （x +1）（p ＞0），直线x +y =m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边. （1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q 、R ，OQ ⊥OR ，求p 关于m 的函数f （m ）的表达式；（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F 到直线x +y =m 的距离为22，求此直线的方程； （理）在（2）的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线QR 的距离不大于22，求p 的值的范围. 90.（1996全国理，24）已知l 1、l 2是过点P （－2，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2＝1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.（Ⅰ）求l 1的斜率k 1的取值范围；（Ⅱ）（理）若|A 1B 1|＝5|A 2B 2|，求l 1、l 2的方程.（文）若A 1恰是双曲线的一个顶点，求|A 2B 2|的值.91.（1996上海，23）已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以点A （2，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点A ′与点A 关于直线y =x 对称.设直线l 过点A ，斜率为k .图8—9（1）求双曲线S 的方程；（2）当k =1时，在双曲线S 的上支上求点B ，使其与直线l 的距离为2；（3）当0≤k ＜1时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及相应的点B 的坐标，如图8—10.92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，162422y x +＝1，直线L ：812y x +＝1，P是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2.当点P 在L上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.93.（1995上海，24）设椭圆的方程为2222ny m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，（Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； （Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最小值u ；（Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围.94.（1995全国文，26）已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.95.（1994全国理，24）已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （－1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程.96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ． （1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q 、点P 在该直线上，且1||||2-=t t OQ OP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.答案解析1.答案：D解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 图8—11解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2.答案：D解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得925)4(22y x +-=1，∴c 2=16，x －4=±4，而焦点在x 轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选D.如果画出925)4(22y x +-=1的图形，则可以直接“找”出正确选项. 评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行逻辑推理，同时也考查了数形结合的思想方法.3.答案：A解析：由第一定义得，|PF 1|+|PF 2|为定值 ∵|PQ |=|PF 2|，∴|PF 1|+|PQ |为定值，即|F 1Q |为定值. 4.答案：B解析：椭圆方程可化为：x 2+ky 52=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k5，b 2=1， 又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =1 5.答案：D 解析：∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22）， ∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1， ∴e ∈（2，+∞）6.答案：D解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上 ∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅·x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 7.答案：D解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ∴d =|x |+|y |=|co s θ|+|sin θ| 设θ∈［0，2π］∴d =sin θ+cos θ=2sin （θ+4π） ∴d max =2.8.答案：B解法一：将曲线方程化为一般式：y 2=4x ∴点P （1，0）为该抛物线的焦点由定义，得：曲线上到P 点，距离最小的点为抛物线的顶点. 解法二：设点P 到曲线上的点的距离为d ∴由两点间距离公式，得d 2=（x －1）2+y 2=（t 2－1）2+4t 2=（t 2+1）2 ∵t ∈R ∴d min 2=1 ∴d min =1 9.答案：C解析：由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1， 又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2， 又∵e ＝21=a c ，∴选C. 10.答案：B解析：设点Q 的坐标为（420y，y 0），由 |PQ |≥|a |，得y 02+（420y－a ）2≥a 2.整理，得：y 02（y 02+16－8a ）≥0， ∵y 02≥0，∴y 02+16－8a ≥0.即a ≤2+820y 恒成立.而2+820y的最小值为2.∴a ≤2.选B.11.答案：D解析：由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，图8—12∴椭圆中心到准线距离为334． 12.答案：C解析：抛物线y =ax 2的标准式为x 2＝a1y ， ∴焦点F （0，a41）. 取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q .如图8—13，∵PF ＝PM ，∴p ＝a21，故a pp p q p 421111==+=+． 13.答案：C解析：渐近线方程为y =±b a x ，由b a ·（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2， ∴c ＝2a ，e ＝2．14.答案：B解析：y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 15.答案：D 解析：x =231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）．16.答案：D解析：由已知xy =1可知x 、y 同号且不为零，而A 、B 、C 选项中尽管都满足xy =1，但x 、y 的取值范围与已知不同.17.答案：A解析：不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向. 18.答案：A解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，y 0），又P 在31222y x +=1的椭圆上得y 0=±23，图8—13∴M 的坐标（0，±43），故选A. 评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力. 19.答案：A解析：将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x ＝1，所以选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.20.答案：B 解法一：由已知得t ＝x -11，代入y ＝1－t 2中消去t ，得y ＝122)1()2()1(1x x x x --=--，故选B. 解法二：令t ＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B 适合，故选B.评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力． 21.答案：C解析：由已知得方程为θθcos sin 22y x -=1 由于θ∈（43π，π），因此sin θ＞0，cos θ＜0，且|sin θ|＜|cos θ| ∴原方程表示长轴在y 轴上的椭圆. 22.答案：C解析：原方程化为11222+--k x k y =1 由于k ＞1，因此它表示实轴在y 轴上的双曲线. 23.答案：A解析：由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1,故选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力.24.答案：C解析：如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 25.答案：D 解析：R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ），即是R 中的任意x 都有f （x ）>g （x ）， 故选D.26.答案：B解析：可得a ＝3，b ＝5，c ＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.图8—14评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力． 27.答案：B解析：把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）. 28.答案：A解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c ba ab 4322=+， 又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34. 而0＜a ＜b ，得e 2=222221aba b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2. 评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b ＞a 进行检验.29.答案：D解析：把已知方程化为标准方程，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sin θ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C解法一：将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y ＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y＝±abx ＝±3x ，所以应选C. 解法二：由3x 2－y 2＝0分解因式得y ＝±3x ，此方程即为3x 2－y 2＝3的渐近线方程，故应选C.评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质. 31.答案：D解析：原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.评述：本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法，从而考查了逻辑思维能力和运算能力.32.答案：A解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A. 解法二：S △=b 2cot221PF F =1×cot45°=1. 评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 33.答案：A 解析：a 、b 长相等a 、b 在平面α内的射影长相等，因此选A. 34.答案：B解析：由已知得平移公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=22ππy y x x 代入曲线C 的方程，得y ′－2π=cos （x ′+2π）.即y ′=－sin x ′+2π. 35.答案：23解析：因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|·|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b 解得b 2=23.评述：本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能，体现出方程的思想方法. 36.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=x y x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）.解法二：y 22=4x 2，y 12=4x 1，y 22－y 12=4x 2－4x 1121212))((x x y y y y -+-=4.∴y 1+y 2=4，即y 0=2，x 0=y 0+1=3.故中点为P （3，2）.评述：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法.37.答案：1625)2(22y x +- =1 解析：由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3∵长轴长为10，∴2a =10， ∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 38.答案：（±7，0）解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2mx ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 39.答案：②，⑤解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤. 40.答案：（2，1）解析：抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的. ∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1） 41.答案：－1解析：椭圆方程化为x 2+ky52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上， ∴a 2=k-5，b 2=1 又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－142.答案：（0，1）解析：将参数方程化为普通方程：（y －1）2=4（x +1） 该曲线为抛物线y 2=4x 分别向左，向上平移一个单位得来. 43.答案：2516 解析：原方程可化为42x ＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1∴a ＝2，b ＝1，c ＝3 当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ， 代入曲线方程得：y ＝54 ∴S ＝21×2y 2＝2516 44.答案：x 2－4y 2＝1解析：设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ） ∴2,200yy x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝145.答案：（0，41） 解析：x 2＝4y ＋3⇒x 2＝4（y ＋43） ∴y ＋43＝1，y ＝41，∴坐标（0，41） 46.答案：516解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ） a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4×25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ·y ＝mn ，∴y ＝516 47.答案：16922y x -=1解析：由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 48.答案：（21,21） 解析：⎩⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧==ϕϕϕϕϕ22sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y ＝1－2x 2⇒2x 2＋y ＝1 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=122122y x x y解方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121y x∴交点坐标为（21,21） 49.答案：5353<<-x 解析：已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，∵x PF x ex a PF 353||,353||21+=-=-= 由余弦定理，)959(195||||2||||||cos 2221221222121x x PF PF F F PF PF PF F --=⋅⋅-+=，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos F 1PF 2＜0，即0)959(195122<--<-x x ，解得5353<<-x ． 评述：本题也可以通过PF 1⊥PF 2时，找到P 点的横坐标的值.类似问题，在高考命题中反复出现，本题只是改变了叙述方式.50.答案：（6，0），（－4，0）①②解析：令⎩⎨⎧'='=-y y x x 1原方程化为标准形式191622='-'y x ．∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25，c ＝5，在新坐标系下焦点坐标为（±5，0）．又由⎩⎨⎧='=±='=-051y y x x 解得⎩⎨⎧==06y x 和⎩⎨⎧=-=04y x所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）．51.答案：（－4，0），（6，0）解析：由⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-θθtan 3sec 41y x由③2－④2，得916)1(22yx --＝1．令⎩⎨⎧'='=-y y x x 1把上式化为标准方程为91622y x '-'＝1． 在新坐标系下易知焦点坐标为（±5，0），又由⎩⎨⎧='=±='=-051y y x x解得⎩⎨⎧==06y x 和⎩⎨⎧=-=04y x ，所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）. 52.答案：21解析：由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为a b 22∴c ca ab -=222 ∴c a 12=∴21=a c ，即e =21① ② ③ ④评述：本题重点考查了椭圆的基本性质. 53.答案：（2，2）解析：将曲线方程化为（y －2）2=－4（x －2）.令x ′=x －2，y ′=y －2，则y ′2=－4x ′，∴h =2，k =2 ∴坐标原点应移到（2，2）. 54.答案：316 解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0）则|x 0|＝2352+=+a c ＝4，代入16922y x -＝1，得y 02＝9716⨯ ∴|OP |＝3162020=+y x ． 评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 55.答案：（4，2）解析：将x －y =2代入y 2＝4x 得y 2－4y －8＝0，由韦达定理y 1＋y 2＝4，AB 中点纵坐标 y ＝221y y +＝2，横坐标x ＝y ＋2＝4．故AB 中点坐标为（4，2）． 评述：本题考查了直线与曲线相交不解方程而利用韦达定理、中点坐标公式以及代入法等数学方法. 56.答案：（－4，0）解析：原方程消去参数θ，得92522y x +=1 ∴左焦点为（－4，0）. 57.答案：（1，－1）解析：将4x 2－8x ＋y ＋5＝0配方，得（x －1）2＝41-（y ＋1）， 令⎩⎨⎧'=+'=-y y x x 11则⎩⎨⎧-'=+'=.1,1y y x x 即新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，－1）.58.答案：4解析：∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标是（2p ，0），由两点间距离公式，得223)22(++p =5. 解得p =4.59.答案：2解析：已知圆的方程为（x －3）2+y 2=42，∴圆心为（3，0），半径r =4. ∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x =－1，x =7（舍）而y 2=2px （p ＞0）的准线方程是x =－2p.图8—15∴由－2p=－1，得p =2，∴p =2. 60.答案：4解析：如图8—16，抛物线的焦点坐标为F （4a－1，0），若l 被抛物线截得的线段长为4，则抛物线过点A （4a －1，2），将其代入方程y 2＝a （x ＋1）中得 4＝a （4a －1＋1），a ＝±4，因a >0，故a =4.评述：本题考查了抛物线方程及几何性质，由对称性设焦点坐标以及数形结合法、待定系数法、代入法等基本方法.61.答案：4解析：如图8—17，抛物线y 2＝4（x ＋1）中，p =2，2p=1，故可求抛物线的焦点坐标为（0，0），于是直线L 与y 轴重合，将x =0代入y 2＝4（x ＋1）中得y =±2，故直线L 被抛物线截得的弦长为4.62.答案：x 2+（y －1）2=163.答案：y =±43x 解析：把原方程化为标准方程，得91622y x=1 由此可得a =4，b =3，焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y =±ab x ，即y =±43x .64.答案：y 2=－8x +8解析：由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线，焦点为A （－1，0），准线为x =3.所以顶点在（1，0），焦点到准线的距离p =4，开口向左.∴y 2=－8（x －1），即y 2=－8x +8. 65.答案：x =3 （x －2）2+y 2=1解析：原方程可化为y 2=－4（x －2），p =2，顶点（2，0），准线x =2p+3， 即x =3，顶点到准线的距离为1，即为半径，则所求圆的方程是（x －2）2+y 2=1.66.答案：（0，－3），（0，3） 67.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a=2.图8—16图8—17又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM ++=--=,， 得k PM ·k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ·k PN =22a b . 评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意.68.解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222b y a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=ab 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2 解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .69.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4 所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得 |F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54 根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2×59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9×4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 图8—18④⑤由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 注：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k =0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”的均不扣分. 70.解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题设得||||x y =2，即 y =±2x ，x ≠0 ① 因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得 ||PM |－|PN ||＜|MN |=2 ∵||PM |－|PN ||=2|m |＞0 ∴0＜|m |＜1因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上，故112222=--m y m x ②将①式代入②，并解得x 2=mm m 51)1(22--∵1－m 2＞0 ∴1－5m 2＞0 解得0＜|m |＜55. 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）. 71.（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心G （3,31cb +），外心F （cb c b 2,2122-+），垂心H （b ，c b b 2-）.。
高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
高考数学复习：圆锥曲线7大题型及解答技巧总结
学好圆锥曲线的几个关键点1核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
圆锥曲线高考题含详解
高考真题一、单选题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ． 221412x y -=B ． 221124x y -=C ． 22139x y -=D ． 22193x y -= 2．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．3．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A ．B ．C ．D ．6．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．C ．D ．7．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A ．B ．C ．D ．8．（陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ,且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切,则双曲线的方程为（ ）A ． 221913x y -=B ． 221139x y -= C ． 2213x y -= D ． 2213y x -= 10．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C 的离心率为A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ． 22144x y -=B ． 22188x y -=C ． 22148x y -=D ． 22184x y -=12．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 13．已知F 是双曲线C ： 2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为A ． 13B ． 12C ． 23D ． 3214．已知双曲线222=14x y b -（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ． 223=144x y -B ． 224=143x y -C ． 22=144x y -D ． 22=1412x y - 15．（2017新课标全国II 文科）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为A ．B ．C ．D ． 16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(精讲精练)(原卷版)
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳【命题规律】1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．【核心考点目录】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 核心考点二：蒙日圆 核心考点三：阿基米德三角形 核心考点四：仿射变换问题 核心考点五：圆锥曲线第二定义 核心考点六：焦半径问题 核心考点七：圆锥曲线第三定义 核心考点八：定比点差法与点差法 核心考点九：切线问题 核心考点十：焦点三角形问题 核心考点十一：焦点弦问题 核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 核心考点十六：圆锥曲线与四心问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ） A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【方法技巧与总结】1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义中，要求2a <12F F ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．【核心考点】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________． 例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A -，()2,4B -，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点Q 为抛物线:E 24y x =上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则PA PQ QH ++的最小值为______．例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当 0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>， 12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虚轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =， PAB 面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足 3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是 ______________ ；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M ､N 分别为 12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是 ____________ ．核心考点二：蒙日圆 【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ） A ．229x y += B ．227x y += C ．225x y += D ．224x y +=例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点三：阿基米德三角形 【典型例题】例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下特征： ①P 点必在抛物线的准线上；②PF AB ⊥．若经过抛物线24y x =的焦点的一条弦为AB ，“阿基米德三角形”为PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形．．．．．．．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23（即右图中阴影部分面积等于PAB 面积的23）．若抛物线方程为22(0)y px p =>，且直线2p x =与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，PAB 为阿基米德三角形．抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P ．给出如下结论，其中正确的为（ ）（1）若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=； （2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）PAB 的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）．A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）核心考点四：仿射变换问题 【典型例题】例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______．记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______．Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______．例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB面积最大值为_______．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =-，,AD DF AE EQ λμ==（,λμ是非零实数），求22λμ+=______________．核心考点五：圆锥曲线第二定义 【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．8 C ．12 D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线24y x =焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C ．若2AB BF =，则线段BC 的中点到准线的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．163D ．203核心考点六：焦半径问题 【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为（ ）A ．B ．2C D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是（ ） A．)∞+ B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，O 是坐标原点，若12||PF PF OP +，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．32D ．2核心考点八：圆锥曲线第三定义 【典型例题】例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，过点1F 且斜率为k 的直线与圆222x y a +=交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段1F B 与椭圆交于点M ，2MF 延长线与椭圆交于点N ，且122||,2AF MB MF F N ==，则椭圆的离心率为___________，直线1AF 的斜率为___________．例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D ．23核心考点八：定比点差法与点差法 【典型例题】例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（ ）A ．12k <-B ．1122k -<<C ．12k >D ．12k <-，或12k >例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3-B ．13-C ．34-D ．43-例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为A B ．12C D 核心考点九：切线问题 【典型例题】例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n +=．过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线例28．（2023·全国·高三专题练习）设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD核心考点十：焦点三角形问题 【典型例题】例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．8B ．C ．16D ．例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F -，动点P 在椭圆上，若12PF F △的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例32．（2023·全国·高三专题练习）已知(P 在双曲线22214x y b-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为（ ）A ．1B ．1C ．2D ．核心考点十一：焦点弦问题 【典型例题】例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（ ）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 【典型例题】例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________．例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 【典型例题】例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P为C 上不与左､右顶点重合的一点，I 为12PF F △的内心，且12322IF IF PI +=，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F △的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为（ ） A ．2B ．32C D ．53例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．2,⎡⎣核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 【典型例题】例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______． 例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F 的直线与T 交于,A B 两点，且2AF FB =，T 的准线l 与x 轴交于C ，CBF 的面积为T 的通径长为___________．例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a（a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ，且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________．核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 【典型例题】例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为1F ，2F ，经过2F 且与1F 2F 垂直的光线经双曲线E 反射后，与1F 2F 成45°角，则双曲线E 的离心率为（ ）AB1 C．D．1例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C y x =，一条平行于x 轴的光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，则AB =（ ） A ．7B ．174C ．214D ．254核心考点十六：圆锥曲线与四心问题 【典型例题】例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B ．若G 点为PAB 的外心，则1PAGF =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,A O B ，若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．32BC4D ．122例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）ABCD【新题速递】一、单选题1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，圆1O 的方程为()22114x y ⎛++= ⎝⎭，动点P 在曲线E 上运动，动点Q 在圆1O 上运动，若12A A P △的面积为PQ 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +的值为（ ）AB ．C ．D ．2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线22:182x y C -=与直线2y =±围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体E ，则旋转体E 的体积是（ ）A ．32π3B ．64π3C ．80π3D ．160π33．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设12F F 、是双曲线22:1810y C x -=的左、右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且1212OP PF PF =-，则1PF O 的面积为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．124．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（ ）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1． 其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P 为抛物线()220y px p =>上一动点，点Q 为圆22:(1)(4)1C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为2，则p =（ ） A ．12p =B ．1p =C ．2p =D ．4p =7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与C 的左支的交点A 满足221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，则双曲线C的离心率为（ ）A ．3B．CD8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，,A B 是直线x y m +=上的两点，且10AB =．若对于任意点()()cos ,sin 02πP θθθ≤<，存在,A B 使90APB ∠=成立，则m 的最大值为（ ） A．B．C．D．9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②③C ．①②D ．①③10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆22:4O x y +=和圆22:4210M x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，下列说法中错误的是（ ）． A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段ABD ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则EF的最大值为4二、多选题11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知F 是抛物线2:2C x y =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．若AF y ⊥轴，则1AF =B ．若2AF =，则AOFC ．AB 长度的最小值为2D ．若AOB 90∠=，则8OA OB ⋅≥12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 13．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 为()1,0，过点()3,2M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（ ） A ．PM PF +的最小值为B ．C 的准线方程为=1x -C ．4OA OB ⋅≥-D ．当PF l ∥时，点P 到直线l 的距离的最大值为14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B ．设直线MA ，MB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅=则______16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率2≥e ，直线1y x =-+交双曲线于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则双曲线实轴长的最小值是__________．17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(1)10C x y +++=相交于A ，B 两点，则||AB =________．18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的准线方程为2x =-，焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ､B 为抛物线C |2||BF AB =，则点F 到AB 的距离为______．19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足：22(2)(1)1x y ++-=，则 1 2 x y -+的取值范围是______．20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线M ：24x y =，圆C ：22(3)4x y +-=，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C 作两条切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则CA CB ⋅的取值范围是______ ．。
高考圆锥曲线经验总结及知识点汇总
果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论 7：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
结论
5：过椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上任意不同两点 A ， B 作椭圆的切线，如果切
线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论
6：过双曲线
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上任意不同两点 A ， B 作双曲线的切线，如
1（ a 0,b 0 ）外，过点 M
作双曲线
的两条切线，切点分别为
A，B
，则切点弦
AB
的直线方程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 10：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在双曲线
x a
2 2
y2 b2
1（ a
0,b 0 ）内，过点 M
作
双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P
结论 13：点 M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
高考数学 圆锥曲线-双曲线题型总结
二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08某某已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x . （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值X 围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得2295a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l22145y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或5||4k >．所以k 的取值X 围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(∞-+--∞ 2、（2008某某理18）已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。
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圆锥曲线高考题总结
圆锥曲线是高考数学中非常重要的一个部分，以下是近年来高考中圆锥曲线题的总结：
直线与圆锥曲线的位置关系：
这是圆锥曲线部分最重要的考点之一，也是高考数学中的重点和难点。
在考试中，通常会以小题和解答题的形式出现，而且常常伴随着字母的出现，难度相对较大。
圆锥曲线的参数方程：
参数方程是高中数学中的一个重要知识点，同时也是解决一些实际问题的工具。
在高考中，通常会以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
圆锥曲线的最值问题：
圆锥曲线的最值问题是高中数学中的一个难点，同时也是高考数学中的重点。
在考试中，通常会以解答题的形式出现，而且常常伴随着字母的出现，难度较大。
圆锥曲线的轨迹方程：
轨迹方程是高中数学中的一个重要知识点，同时也是解决一些实际问题的工具。
在高考中，通常会以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
圆锥曲线的对称问题：
对称问题是高中数学中的一个难点，同时也是高考数学中的重点。
在考试中，通常会以解答题的形式出现，难度较大。
以上是高考中圆锥曲线题的主要考点和题型，希望对你有所帮助。
在复习时，一定要注重基础知识的掌握和解题方法的训练，同时也要注重思维的拓展和能力的培养。
圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，包括椭圆、双曲线和抛物线等。
以下是圆锥曲线高考题的详细总结：
直线与圆锥曲线的位置关系：
这个考点是圆锥曲线部分的核心之一，主要考查直线与圆锥曲线的关系、交点、判别式等。
在考试中，通常会以小题和解答题的形式出现，难度较大。
解题时需要注意以下几点：
（1）正确理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握判别式的使用方法；
（2）能够根据题意设出直线方程，并联立方程组解出交点；
（3）注意数形结合思想的应用，能够画出图形辅助解题。
圆锥曲线的参数方程：
参数方程是高中数学中的一个重要知识点，主要考查参数方程与普通方程的转化、参数的几何意义等。
在考试中，通常会以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
解题时需要注意以下几点：（1）正确理解参数方程的意义和几何意义；
（2）掌握参数方程与普通方程的转化方法；
（3）注意数形结合思想的应用，能够画出图形辅助解题。
圆锥曲线的最值问题：
最值问题是高中数学中的一个难点，也是高考数学中的重点。
主
要考查圆锥曲线中的最值问题、距离和等问题。
在考试中，通常会以解答题的形式出现，难度较大。
解题时需要注意以下几点：（1）掌握圆锥曲线的基本性质和定义；
（2）掌握一些重要的结论和公式，如距离公式、两点间的距离公式等；
（3）注意数形结合思想的应用，能够画出图形辅助解题。
圆锥曲线的轨迹方程：
轨迹方程是高中数学中的一个重要知识点，主要考查轨迹方程的求法、动点的轨迹等。
在考试中，通常会以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
解题时需要注意以下几点：
（1）掌握轨迹方程的求法，能够根据题意设出轨迹方程；
（2）注意数形结合思想的应用，能够画出图形辅助解题；
（3）掌握一些重要的结论和公式，如两点间的距离公式等。
圆锥曲线的对称问题：
对称问题是高中数学中的一个难点，主要考查圆锥曲线的对称轴、对称中心等。
在考试中，通常会以解答题的形式出现，难度较大。
解题时需要注意以下几点：
（1）掌握圆锥曲线的基本性质和定义；
（2）掌握一些重要的结论和公式，如两点间的距离公式等；
（3）能够根据题意画出图形，并利用数形结合思想解题。
圆锥曲线中的定值问题：
定值问题是高中数学中的一个难点，主要考查圆锥曲线中的固定
数值、定值等。
在考试中，通常会以解答题的形式出现，难度较大。
解题时需要注意以下几点：
（1）能够根据题意设出方程，并找出题目中的隐藏条件；
（2）利用方程的思想解决问题，并注意数形结合思想的应用；
（3）掌握一些重要的结论和公式，如两点间的距离公式等。
圆锥曲线中的范围问题：
范围问题是高中数学中的一个难点，主要考查圆锥曲线中的变量范围、取值范围等。
在考试中，通常会以解答题的形式出现，难度较大。
解题时需要注意以下几点：
（1）能够根据题意设出方程，并找出题目中的隐藏条件；
（2）利用方程的思想解决问题，并注意数形结合思想的应用；
（3）掌握一些重要的结论和公式，如两点间的距离公式等。
以上是高考中圆锥曲线题的详细总结，希望能对你有所帮助。
在复习时，一定要注重基础知识的掌握和解题方法的训练，同时也要注重思维的拓展和能力的培养。