圆到直线的最大值和最小值的距离

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圆到直线的最大值和最小值的距离

1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d-r,最大值为d+r

2.直线与圆相离,圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r,最

大值为d+r

3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为,最大值为2r

4.直线l与圆相离,过直线上一点P作圆的切线,切线长最小值

为(d为圆心到直线的距离)

(1)证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离,最大为d+r

画一图,过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l,交圆于Po

和N点,垂足为M2,可知Po到直线l的距离为d+r(d为圆心O到

直线l距离即OM2长)

再任取圆上一点P(除Po外)做直线l的垂线垂足为M1,P到直

线l距离为PM1长

连接PPo和PN,构成圆内直角三角形,可∠PoPN为直角,∠

PoPM1为钝角;

过P做PoM2的垂线垂足为M,(由于∠PPoM2为锐角所以点M在

线段PM2上)可知PMM2M1为矩形,PM1=MM2

即PoM2=d+r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最大值

(2) 证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离,最小=d-r

我们同样画一张图,过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l,交圆与Po和N点,垂足为M2,可知Po到直线l的距离为d-r即

PoM2长(d为圆心O到直线l距离即OM2长)

再任取圆上一点P(除Po外)做直线l的垂线垂足为M1,P到直

线l距离为PM1长

连接PPo和PN,构成圆内直角三角形,可∠PoPN为直角,∠NPM1

为钝角

过Po做PM1的垂线垂足为M,(由于∠PoPM1为锐角所以点M在线段PM1上)可知PoMM1M2为矩形,PM1>MM2=PoM2

即PoM2=d-r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最小值

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