圆到直线的最大值和最小值的距离
高二数学直线与圆中的范围,最值问题
高二数学直线与圆中的范围，最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高二数学是学生学习数学的重要阶段，其中直线与圆的范围、最值问题是一个重要的知识点。
直线与圆是几何学中常见的基本图形，通过研究它们的范围和最值问题，可以帮助我们更好地理解几何学知识和提高数学解题能力。
一、直线与圆的范围问题在高二数学中，直线与圆的范围问题是一个常见的题型。
在这类问题中，我们需要根据给定的条件，求解直线和圆的交点、直线与圆的位置关系等。
通过分析这些问题，可以帮助我们锻炼逻辑思维能力和几何推理能力。
我们常见的一个问题是求解一条直线与一个圆的交点。
在这种情况下，我们可以通过联立直线方程和圆方程，求解得到交点的坐标。
我们也可以通过图形的几何性质，利用角度和面积关系来求解交点的坐标。
这种方法不仅可以帮助我们更直观地理解直线与圆的位置关系，同时也可以提高我们的几何思维能力。
除了交点问题，直线与圆的位置关系问题也是直线与圆范围问题的重要内容。
在这种情况下，我们需要判断一条直线与一个圆的位置关系，例如直线是否相交、相切或相离等。
通过分析直线与圆的几何性质，我们可以利用距离公式或者向量运算等方法，快速求解出直线与圆的位置关系，从而解决相应的问题。
我们常见的一个问题是求解一个圆与一条直线的最大交点数。
在这种情况下，我们可以通过分析直线与圆的几何性质，确定交点的位置关系，进而求解出最大交点数。
我们也可以利用微积分法，对交点函数进行求导，求得最大值或最小值，从而得出最大交点数。
在实际问题中，直线与圆的最值问题也具有广泛的应用。
在工程设计中，我们常常需要通过求解直线与圆的最值问题，确定构建物体的最优位置、最短路径等。
通过研究直线与圆的最值问题，我们可以应用数学原理，解决实际问题，提高实际工作效率。
第二篇示例：高中数学中，直线与圆是一个重要的内容，其中涉及到了许多范围和最值的问题。
在解决这些问题时，我们需要深入理解直线与圆的性质，并灵活运用数学知识来解决这些问题。
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
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说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程,展开可得。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :问题：形如的方程的曲线是不是圆？将方程左边配方得：（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆心，以为半径的圆。
,（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当＞0时，方程称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交。
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。
第二章 习题课 与圆有关的最值问题
习题课 与圆有关的最值问题学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 导语2017年7月我国首座海上风电平台4G 基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里． 一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．) 一、与距离有关的最值问题1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d －r ，最大值＝d ＋r .3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r 2－d 2，最大值＝2r .4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d 2－r 2.例1 (1)当直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦最短时，m 的值为________． 答案 －34解析 直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，所以直线l 会经过定点⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0， 解得定点坐标为M (3,1) ，圆心C 为(1,2)，当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，k CM ＝2－11－3＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，所以k CM ×k l ＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34. (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，则由点M (a ，b )向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是( ) A ．2 B. 5 C ．3 D.13 答案 B解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4， 所以圆心为C (1，－2)，半径R ＝2.因为圆C 关于直线l ：3ax ＋2by ＋4＝0对称，所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上， 所以|MC |的最小值为d ＝|3＋8＋4|5＝3，切线长的最小值为d 2－R 2＝9－4＝ 5.反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．跟踪训练1 (1)从点P (1，－2)向圆x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0作切线，当切线长最短时，m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．0 答案 B解析 x 2＋y 2－2mx －2y ＋m 2＝0可化为(x －m )2＋(y －1)2＝1，圆心C (m ，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP |最小，|CP |＝(m －1)2＋9，即当m ＝1时，|CP |最小，切线长最短．(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2.当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2.∴最短弦长为2 2.二、与面积相关的最值问题例2 已知点O (0,0)，A (0,2)，点M 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，则△OAM 面积的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 根据题意，得圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r ＝2，O (0,0)，A (0,2)，OA 所在的直线是y 轴，当M 到直线AO 的距离最小时，△OAM 的面积最小， 则M 到直线AO 的距离的最小值d ＝3－2＝1， 则△OAM 的面积最小值S ＝12×|OA |×d ＝1.反思感悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．跟踪训练2 (1)直线y ＝kx ＋3与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为( )A ．1 B.12 C.24 D.34答案 B解析 设圆心到直线的距离为d (0<d <1)， 则所截得的弦长l ＝21－d 2，所以S △ABO ＝12·21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2，由基本不等式，可得S △ABO ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当d ＝22时，等号成立． (2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k ＝________. 答案 2解析 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，由圆的性质可知，四边形的面积S ＝2S △PBC ，又四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为S ＝1＝12r |PB |min ＝12|PB |min ，则|PB |min ＝2， 因为|PB |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1，所以当|PC |取最小值时，|PB |最小． 又点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0上的动点，当CP 垂直于直线kx ＋y ＋4＝0时，|PC |最小，即为圆心C (0,1)到直线的距离， 所以|1＋4|k 2＋1＝22＋12＝5，解得k ＝±2，因为k >0，所以k ＝2.三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题例3 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求yx的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.(1)yx表示圆上的点P 与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|P 1E |＝|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|P 2E |＝|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，此时圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.反思感悟 (1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb 的截距的最值问题．跟踪训练3 (多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则下列说法正确的是( ) A ．y －x 的最大值为6－2 B ．x 2＋y 2的最大值为7＋4 3 C.y x 的最大值为32D ．x ＋y 的最大值为2＋ 3 答案 AB解析 对于A ，设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|2＋z |2≤3，解得－6－2≤z ≤6－2，所以y －x 的最大值为6－2，故A 说法正确；对于B ，x 2＋y 2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋3，所以x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，故B 说法正确；对于C ，设yx ＝k ，把y ＝kx 代入圆方程得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k 2)≥0，解得－3≤k ≤3，yx的最大值为3，故C 说法错误；对于D ，设m ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋m ，m 表示直线y ＝－x ＋m 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|－2＋m |2≤3，解得－6＋2≤m ≤6＋2，所以x ＋y 的最大值为6＋2，故D 说法错误．1．知识清单：(1)与距离、面积有关的最值问题(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题． 2．方法归纳：数形结合、转化思想． 3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．1．圆x 2＋y 2＝4上的点到直线4x －3y ＋25＝0的距离的取值范围是( ) A ．[3,7] B ．[1,9] C ．[0,5] D ．[0,3]答案 A解析 x 2＋y 2＝4，圆心(0,0)，半径r ＝2， 圆心到直线4x －3y ＋25＝0的距离d ＝|0－0＋25|42＋(－3)2＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．2．已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．4 答案 B解析 根据题意，圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，其圆心C (4,3)，半径r ＝2，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则|PQ |＝|PC |2－4，当|PC |最小时，|PQ |最小，又由点P 在单位圆上，则|PC |的最小值为|OC |－1＝9＋16－1＝4，则|PQ |的最小值为16－4＝2 3.3．点M (x ，y )在圆x 2＋(y －2)2＝1上运动，则yx 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B. (－∞，－3]C. (－∞，－3]∪[3，＋∞)D. [－3，3] 答案 C解析 将yx看作圆上动点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率，如图，可得k ≥3或k ≤－ 3.4．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＝0，动点P 在圆C 2：x 2＋y 2－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为_________． 答案 4 5解析 因为C 1(－2,2)，r 1＝22，C 2(2,0)，r 2＝4， 所以|C 1C 2|＝(－2－2)2＋22＝25，当PC 2⊥C 1C 2时，△PC 1C 2的面积最大，其最大值为12×25×4＝4 5.课时对点练1．已知过点(1,1)的直线l 与圆x 2＋y 2－4x ＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析 将圆的方程x 2＋y 2－4x ＝0化为标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 则圆心为(2,0)，半径r ＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为2， |AB |的最小值为222－(2)2＝2 2.2．已知点P 是直线3x ＋4y ＋5＝0上的动点，点Q 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝4上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A.195 B.95 C.59 D.295 答案 B解析 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心为(2,2)，半径为2， 则圆心到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离为|6＋8＋5|5＝195，所以|PQ |的最小值为195－2＝95.3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －1＝0，则y －2x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－9,1 B ．－10,1 C ．－9,2 D ．－10,2答案 A解析 y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝2x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切时，b 取得最大值或最小值，此时|2×2＋b |1＋22＝5，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A. 2B. 3 C．1 D．3答案 A解析由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.5．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y21＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为()A.55 B.15 C.1215 D.1155答案 B解析由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为15.6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为3时，r的值为()A．2 B. 3 C. 2 D．1答案 D解析如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小．由题意得|PC|min＝d＝|3×(－1)＋4×0－7|32＋42＝2，所以(3)2＝22－r2，∴r＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 ∵直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1)2＝2，∴半径最大为2，∴半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.8．已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，则m 的最小值为________． 答案 3解析 根据题意，点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)， 则AB 的中点为(0,0)，|AB |＝2m ，则以AB 的中点为圆心，半径r ＝12×|AB |的圆为x 2＋y 2＝m 2，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM ⊥MB ，则圆C 与圆O 有交点，必有|m －2|≤|OC |≤m ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧|m －2|≤5，m ＋2≥5，又由m >0， 解得3≤m ≤7， 即m 的最小值为3.9．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C 的方程x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22，又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，∴n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知直线l ：3x ＋4y ＋1＝0，一个圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3.(1)求圆的方程．(2)P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值．解 (1)圆与x ，y 轴正半轴都相切，∴圆的方程可设为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心C 到直线的距离为3，∴由点到直线的距离公式，得d ＝|3a ＋4a ＋1|32＋42＝3， 解得a ＝2，∴半径为2.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，∴△PCE≌△PCF，∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离，由(1)知|PC|min＝3，∴|PE|2min＝32－4＝5，即|PE|min＝5，∴S△PCE＝12|EC|·|PE|＝12×2×5＝5，∴四边形PECF面积的最小值为2 5.11．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6 B．4 C．3 D．2答案 B解析如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为()A．5 B．10 C．15 D．20答案 A解析如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为5.13．已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，点B 的坐标为(0,2)，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，则|PB |＋|PQ |的最小值为________．答案 2 5解析 由于点B (0,2)关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－R ＝35－5＝25，所以|PB |＋|PQ |的最小值为2 5.14．已知实数x ，y 满足方程y ＝－x 2＋4x －1，则y x的取值范围是________． 答案 [0，3]解析 方程y ＝－x 2＋4x －1化为(x －2)2＋y 2＝3(y ≥0)，表示的图形是一个半圆，令y x＝k ，即y ＝kx ，如图所示，当直线与半圆相切时，k ＝3，所以y x的取值范围是[0，3]．15．已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为________． 答案 30解析 把圆M ：x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，圆心M (1，－1)，半径r ＝ 3.直线l 与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d ＝|1－(－1)－1|12＋(－1)2＝22，由勾股定理得半弦长＝3－⎝⎛⎭⎫222＝102，所以弦长|AC |＝2×102＝10. 又B ，D 两点在圆上，并且位于直线l 的两侧，四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，当B ，D 为如图所示位置，即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积为S ＝12|AC |×|BE |＋12|AC |×|DE |＝12|AC |×|BD |＝12×10×23＝30. 16．已知圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知N (2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l 1与圆C 交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．①求证：1x 1＋1x 2为定值； ②求|PN |2＋|QN |2的最大值．(1)解 由圆心在x 轴上的圆C 与直线l ：4x ＋3y －6＝0切于点M ⎝⎛⎭⎫35，65，设C (a ，0)，直线l ：4x ＋3y －6＝0的斜率为－43， 则k CM ＝6535－a ， 所以6535－a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1， 所以a ＝－1，所以C (－1,0)，|CM |＝⎝⎛⎭⎫－1－352＋⎝⎛⎭⎫652＝2， 即r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)①证明 设直线l 1：y ＝kx (k >0)，与圆联立方程组可得(1＋k 2)x 2＋2x －3＝0，Δ＝4＋12(1＋k 2)>0，x 1＋x 2＝－21＋k 2，x 1x 2＝－31＋k 2， 则 1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23为定值．②解 |PN |2＋|QN |2＝(x 1－2)2＋(y 1－1)2＋(x 2－2)2＋(y 2－1)2＝(x 1－2)2＋(kx 1－1)2＋(x 2－2)2＋(kx 2－1)2＝(1＋k 2)(x 1＋x 2)2－2(1＋k 2)x 1x 2－(4＋2k )(x 1＋x 2)＋10＝12＋4k 1＋k 2＋16， 令t ＝3＋k (t >3)，则k ＝t －3，所以12＋4k 1＋k 2＋16＝4t 1＋(t －3)2＋16＝4t ＋10t－6＋16≤4210－6＋16＝210＋22， 当且仅当t ＝10t，即t ＝10时，取等号，此时k ＝10－3， 所以|PN |2＋|QN |2的最大值为210＋22.。
专题3-3 圆锥曲线最值问题-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版)
圆锥曲线最值问题1 常见的几何模型①圆外点到圆上点的距离圆⊙O外一点A与圆上一点B的距离AB最小值是AB1=AO−r，最大值AB2=AO+r(r是圆的半径).②圆上点到圆外直线的距离圆上一动点P到圆外一定直线l的距离最小值是d−r，最大值d+r(r是圆的半径，d是圆心到直线l的距离)；③三点共线模型一动点P到两定点A、B的距离分别为PA、PB，当P、A、B共线，且点P在A、B之间时，PA+PB取到最小值P1A+P1B=AB；当P、A、B共线，且点P在A、B同侧时，|PA−PB|取到最大值|P1A−P1B|=AB；其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；④将军饮马模型点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，那(AP+BP)min=AP1+BP1；⑤垂线段最值模型点A是∠MON内外的一点，点P在OM上，PA与点P到射线ON的距离之和为PA+PB．(1) 点A是∠MON外，(PA+PB)min=AB1(2) 点A是∠MON内，(PA+PB)min=A′B1⑥胡不归模型如图，求k∙AC+BC(0<k<1)，构造射线AE，使得角度sinα=k，则k∙AC+BC=CD+BC，问题转化为“垂线段模型”，则(k∙AC+BC)min=BF.⑦阿氏圆模型如图，圆O半径是r，点A，B在圆O外，点P是圆O上一动点，已知r=k∙OB，求k∙BP+AP的最小值.在线段OB上截取OC=k∙r，则COOP =OPOB=k⇒∆BPO∽∆PCO，即k∙PB=PC，则k∙BP+AP的最小值转化为PC+PA的最小值，当然是AC，即(k∙BP+AP)min=AC.2最值问题常见处理方法①几何法通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.②代数法理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值.【方法一】几何法【典题1】已知椭圆C：x225+y216=1内有一点M(2 ,3)，F1 ,F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：(1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值；(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值．【解析】(1)由椭圆C：x 225+y216=1可知a=5 ,b=4 ,c=3，则F1(－3 ,0) ,F2(3 ,0)，则||PM|－|PF1||≤|MF1|=√34，当且仅当P、M、F1三点共线时成立，所以−√34≤|PM|－|PF1|≤√34，所以|PM|－|PF1|的最大值与最小值分别为√34和−√34；(2)2a=10 ,F2(3 ,0) ,|MF2|=√10，设P是椭圆上任一点，由|PF1|+|PF2|=2a=10 ,|PM|≥|PF2|－|MF2|，∴|PM|+|PF1|≥|PF2|－|MF2|+|PF1|≥2a－|MF2|=10−√10，等号仅当|PM|=|PF2|－|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，由|PM|≤|PF2|+|MF2|，∴|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+√10，等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立，此时P、M、F2共线，故|PM|+|PF1|的最大值10+√10与最小值为10−√10．【点拨】本题采取几何法，通过三点共线模型与椭圆的定义进行求解.【典题2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A(－1 ,1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B(3 ,2)，记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N=．【解析】如图所示，过点P作PG垂直于直线x=－1，垂足为点G，由抛物线的定义可得|PG|=|PF|，所以点P到直线x=－1的距离为|PG|，所以|PA|+|PG|=|PA|+|PF|≥|AF|=√5，(三点共线模型)当且仅当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取到最小值，即M=√5．如图所示，过点P作直线PH垂直于直线x=－1，垂足为点H，由抛物线的定义可得|PH|=|PF| ,点B到直线x=－1的距离为d=4，所以|PB|+|PF|=|PB|+|PH|≥4，当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N=4，(垂线段最值模型)因此M+N=√5+4．【点拨】①本题采取几何法，通过几何模型与抛物线的定义进行求解；②处理抛物线类似的题目，注意点在抛物线之内还是之外，比如本题点A在抛物线外，点B在抛物线内.=1，如图，点A的坐标为(−√5 ,0)，B是圆x2+(y−√5)2=1上的点，【典题3】已知双曲线方程为x2−y24点M在双曲线的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．【解析】设点D的坐标为(√5，0)，则点A ,D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|=2a=2．∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，(此时相当于把点B看成“定点”看待，当M,B,D三点共线时|MB|+|MD|取到最小值，这是处理两动点的常规方法)又B 是圆x 2+(y −√5)2=1上的点，圆心为C(0，√5)， 半径为1，故|BD|≥|CD|－1=√10−1， 从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥√10+1，当点M ,B 在线段CD 上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为√10+1．【点拨】本题眨眼一看，存在两动点M 、B ，有些头疼.题中通过双曲线的定义把|MA|+|MB|的最小值转化为|BD|最小值问题，这就是圆外一点到圆上最短距离问题，即|BD|≥|CD|－1=√10−1.注意两动点最值问题处理的方式.【典题4】 椭圆x 24+y 23=1上的点到直线l ：2x +√3y －9=0的距离的最大值为 .【解析】 设与直线2x +√3y －9=0平行的直线2x +√3y +m =0与椭圆x 24+y 23=1相切，由{2x +√3y +m =0x 24+y 23=1得25x 2+16mx +4m 2−36=0， 由∆=0得m =±5，设直线2x +√3y +m =0与直线2x +√3y －9=0的距离为d ， 当m =5时，d =4√77； 当m =−5时，d =2√7.椭圆x 24+y 23=1上的点到直线2x +√3y －9=0的距离的最大值为2√7.【点拨】通过观察，可知与直线l 平行且与椭圆相切的直线与椭圆的切点即是取到最小距离的点，最小距离为两平行线的距离.【方法二】代数法【典题1】 求点A(a ,0)到椭圆x 22+y 2=1上的点之间的最短距离． 【解析】设椭圆x 22+y 2=1上的点P(x ,y)，其中−√2≤x ≤√2，则PA 2=(x −a )2+y 2=(x −a)2+1−x 22=x 22−2ax +a 2+1 (曲线消元)设f (x )=x 22−2ax +a 2+1， −√2≤x ≤√2，其对称轴为x =2a ，(构造函数，问题转化为二次函数定区间动轴最值问题) ① 当2a <−√2，即a <−√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上递增，则f (x )min =f(−√2)=a 2+2√2a +2=(a +√2)2，即PA 的最小值为|a +√2|； ②当−√2≤2a ≤ √2，即−√22≤a ≤√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上先递减再递增，则f (x )min =f (2a )=2a 2−4a 2+a 2+1=1−a 2，即PA 的最小值为√1−a 2； ③当2a > −√2，即a >−√22时，y =f(x)在[−√2 ,√2]上递减，则f (x )min =f(√2)=a 2−2√2a +2=(a −√2)2，即PA 的最小值为|a −√2|； 综上，当a <−√22时，|PA|最小为|a +√2|；−√22≤a ≤√22时，|PA|最小为√1−a 2；a >−√22时，|PA|最小为|a −√2|．【点拨】① 两点A 、B 距离AB 往往用两点距离公式√(x A −x B )2+(y A −y B )2表示；② 本题把求距离最值问题转化为函数的最值问题，函数问题优先讨论定义域x ∈[−√2 ,√2]，函数含有参数a ，则按照“二次函数动轴定区间最值问题”的解题套路根据对称轴x =2a 与区间[−√2 ,√2]的相对位置进行分类讨论；③ 本题还是利用椭圆的参数方程{x =acosθy =bsinθ，设椭圆上点P(√2cosθ ,sinθ)，从而构造函数|PA|=√cos 2θ−2√2acosθ+a 2+1进行分析，相当引入变量θ表示PA ，而解析中是引入变量x .【典题2】 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为√22，点B 是椭圆上的动点，△ABF 1的面积的最大值为√2−12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l′．若直线l′与直线l 相交于点P ，与直线x =2相交于点Q ，求|PQ||MN|的最小值．【解析】(1)过程略，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1． (2)(采取代数法，思路很直接，引入变量表示|PQ||MN|再求其最值，而|PQ |,|MN|是线段，用两点距离公式和弦长公式求出，由于它们是由直线l 引起，故该变量与直线方程有关) 由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为x =my －1， 设M(x 1 ,y 1) ,N(x 2 ,y 2) ,P(x P ,y P ) ,Q(2 ,y Q )． 联立{x 2+2y 2=2x =my −1，得(m 2+2)y 2－2my －1=0．此时△=8(m 2+1)>0．∴y 1+y 2=2mm 2+2，y 1y 2=−1m 2+2．由弦长公式，得|MN |=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√4m 2+4m 2+8m 2+2=2√2⋅m 2+1m 2+2，(用m 表示|MN |，弦长公式求得) 又y P =y 1+y 22=m m 2+2，∴x P =my P －1=−2m 2+2．∴P(−2m 2+2,mm 2+2)，∵直线l 与直线l′相互垂直，∴k PQ ∙k l =−1 ∴y Q −m m 2+22+2m 2+2⋅1m=−1⇒y Q =−2m −mm 2+2, 即Q(2 ,−2m −mm 2+2)，∴|PQ|=√1+m 2⋅2m 2+6m 2+2，∴|PQ||MN|=22√2√m 2+1=√22⋅2√m 2+1=√22(√m 2+1√m 2+1)≥2，当且仅当√m 2+1=√m 2+1m =±1时等号成立．∴当m =±1，即直线l 的斜率为±1时，|PQ||MN|取得最小值2． 【点拨】 ① 本题中求|PQ||MN|的最小值，用代数法，则可把|PQ|、|MN|表示出来，|MN|用到了弦长公式，而|PQ|用两点距离公式，最后|PQ||MN|=√222√m 2+1，则问题就转化为求函数f (m )=√22⋅2√m 2+1的最小值，利用了基本不等式求解；② 求|PQ|时，也可以|PQ |=√1+m 2|x P −2|=√1+m 2⋅2m 2+6m 2+2.【典题3】P是抛物线x2=2y上的动点，过P(x0 ,y0)作圆C：x2+(y－1)2=1的两条切线l1，l2交x轴于A，B 两点，(1)若两条切线l1，l2的斜率乘积为1，求P点的纵坐标；(2)求当4<y0<8时，△PAB面积的取值范围．【解析】(1)设点直线PA ,PB的斜率分别为k1 ,k2，记P(x0 ,y0)∴PA的方程：y－y0=k1(x－x0)，则由直线l1与圆相切得：010√1+k1=1⇒(x02−1)k12+2x0(1−y0)k1+y02−2y0=0同理直线l2与圆相切可得(x02−1)k22+2x0(1−y0)k2+y02−2y0=0所以k1 ,k2是(x02−1)k2+2x0(1−y0)k+y02−2y0=0的两根，∴k1k2=y02−2y0 x02−1又∵k1k2=1．∴y02−2y0=x02−1，又x02=2y0，∴y02−4y0+1=0，∴y0=2±√3．(2)由(1)得x A=x0−y0k1，x B=x0−y0k2，∴S△PAB=12|AB||y P|=12y02|1k1−1k2|=12y02|k2−k1k1k2|由(1)知：|k1k2|=|y02−2y0x02−1| ,|k1−k2|=|2√y02−2y0+x02x02−1|=|2√y02x02−1|=|2y0x02−1|；∴S△PAB=12y02|k2−k1k1k2|=12y02|2y0y02−2y0|=y02|y0−2|=y02y0−2，故令t=y0－2∈(2 ,6)，∴S△PAB=y02y0−2=(t+2)2t=t+4t+4∵f(t)=t+4t+4在(2 ,6)上递增，故函数值域为(8 ,323)，即△PAB 面积的取值范围为(8 ,323)．【点拨】① 若x 1、x 2满足ax 12+bx 2+c =0 ,ax 22+bx 2+c =0(a ≠0)，则x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根；② 本题求△PAB 面积的取值范围，则先求出S △PAB =y 02y 0−2(本题给出了y 0的范围，用y 0作为变量表示面积很自然)，则问题就变成求函数f (y 0)=y 02y 0−2， y 0∈(4 ,8)的值域问题，用到了换元法与对勾函数f (t )=t +4t的性质.【典题4】 如图，已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)，G 为圆H ：(x +2)2+y 2=1上一动点，由G 向C 引切线，切点分别为E ，F ，当G 点坐标为(－1 ,0)时，△GEF 的面积为4． (1)求C 的方程；(2)当点G 在圆H ：(x +2)2+y 2=1上运动时，记k 1，k 2，分别为切线GE ，GF 的斜率，求|1k 1−1k 2|的取值范围．【解析】(1)设切线方程为：y =k(x +1)，不妨设k >0． 联立{y =k(x +1)y 2=2px ，化为k 2x 2+(2k 2－2p)x +k 2=0，则△=(2k 2－2p)2－4k 4=0，化为p =2k 2．方程k 2x 2+(2k 2－2p)x +k 2=0化为(x －1)2=0，解得x =1． ∴E(1 ,2k)，由对称性可知F(1,−2k)，∵△GEF 的面积为4，∴12×2×4k =4，解得k =1． ∴p =2．∴C 的方程为：y 2=4x ．(2)设G(x 0 ,y 0) ,(－3≤x 0≤－1)，则y 02=1−(x 0+2)2．设切线方程为：y －y 0=k(x －x 0)，联立{y −y 0=k(x −x 0)y 2=4x ，化为ky 2－4y +4(y 0－kx 0)=0，△1=16－16k(y 0－kx 0)=0．∴x 0k 2－ky 0+1=0，∴k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0，∴|k 1－k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=√y 02x 02−4x 0=√y 02−4x 0|x 0|．∴|1k 1−1k 2|=|k 1−k 2||k 1k 2|=√y 02−4x 0=√1−(x 0+2)2−4x 0=√−(x 0+4)2+13∈[2 ,2√3].∴|1k 1−1k 2|的取值范围是[2 ,2√3]．【点拨】理解到本题的变化源头在点G(x 0 ,y 0)，利用直线与抛物线相切把|1k 1−1k 2|用x 0 ,y 0表示，由于y 02+(x 0+2)2=1，想到消元y 0，得到|1k 1−1k 2|=√−(x 0+4)2+13，把问题转化为求函数f (x 0)=√−(x 0+4)2+13的值域，注意到x 0的取值范围. 巩固练习1(★★) 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，定点A(2 ,2)，在此抛物线上求一点P ，使|PA|+|PF|最小，则P 点坐标为( ) A ．(－2,2) B ．(1，√2)C ．(1,2)D ．(1,－2)【答案】 C【解析】根据抛物线的定义，点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离， 设点P 到准线l ：x =－1的距离为PQ,则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P 、A 、Q 三点共线时|PA|+|PQ|最小， ∴|PA|+|PQ|的最小值为A 到准线l 的距离；此时P 的纵坐标为2，代入抛物线方程得P 的横坐标为1，得P(1,2) 故选：C ．2(★★) F 是椭圆x 29+y 25=1的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1 ,1)为定点，则|PA|+|PF|的最小值是( ) A ．9−√2B ．3+√2C ．6−√2D ．6+√2 【答案】 C【解析】椭圆x 29+y 25=1的a =3，b =√5，c =2，如图，设椭圆的右焦点为F′(2,0)，则|PF|+|PF′|=2a =6；∴|PA|+|PF|=|PA|+6－|PF′| =6+|PA|－|PF′|；由图形知，当P 在直线AF′上时，||PA |－|PF ′||=|AF ′|=√2，当P 不在直线AF′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||PA|－|PF′||<|AF′|=√2；∴当P 在F′A 的延长线上时，|PA|－|PF′|取得最小值−√2，∴|PA|+|PF|的最小值为6−√2．故选：C ．3(★★) 点P 是双曲线x 24−y 2=1的右支上一点，M 、N 分别是(x +√5)2+y 2=1和(x −√5)2+y 2=1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】双曲线x 24−y 2=1中，如图：∵a =2,b =1,c =√5，∴F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，∴|MP|≤|PF 1|+|MF 1|，…①∵|PN|≥|PF 2|－|NF 2|，可得－|PN|≤－|PF 2|+|NF 2|，…②∴①②相加，得|PM|－|PN|≤|PF 1|+|MF 1|－|PF 2|+|NF 2|=(|PF 1|－|PF 2|)+|MF 1|+|NF 2|∵|PF 1|－|PF 2|=2a =2×2=4,|MF 1|=|NF 2|=1∴|PM|－|PN|≤4+1+1=6故选：C ．4(★★★) 【多选题】已知抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点E(t ,2)到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是( )A ．抛物线的方程是x 2=2yB ．抛物线的准线是y =－1C ．sin∠QMN 的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC【解析】(1)抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F (0，p 2)，得抛物线的准线方程为y =−p 2， 点点E(t,2)到焦点F 的距离等于3，可得2+p 2=3，解得p =2， 则抛物线C 的方程为x 2=4y ；所以A 不正确；抛物线的准线方程：y =－1，所以B 正确；(2)由题知直线l 的斜率存在，F(0,1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =kx +1，由{y =kx +1x 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4=0，所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=－4，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2=4k 2+2，所以AB 的中点Q 的坐标为(2k,2k 2+1)，|AB|=y 1+y 2+p =4k 2+2+2=4k 2+4，所以圆Q 的半径为r =2k 2+2，在等腰△QMN 中，sin∠QMN =|y Q |r =2k 2+12k 2+2=1−12k 2+2≥1−12=12， 当且仅当k =0时取等号．所以sin∠QMN 的最小值为12．所以C 正确； 线段AB 的最小值是：y 1+y 2+2=4k 2+4≥4．所以D 不正确；故选：BC ．5(★★) 设P ,Q 分别为圆x 2+(y −6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上的点，则P ,Q 两点间的最大距离是 ．【答案】 6√2【解析】设椭圆上的点为(x,y)，则∵圆x 2+(y －6)2=2的圆心为(0,6)，半径为√2， ∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为√x 2+(y −6)2=√10(1−y)2+(y −6)2=√−9(y +23)2+50≤5√2∴P,Q 两点间的最大距离是5√2+√2=6√2．6(★★★) E 、F 是椭圆x 24+y 22=1的左、右焦点，点P 在直线x =2√2上，则∠EPF 的最大值是 ．【答案】π6 【解析】设P(2√2，t)(t >0)，则tan∠EPF =tan(∠EPM －∠FPM)=3√2t −√2t 1+3√2×√2t 2=2√2t+6t ≤√33(当且仅当t =√6时取等号) 此时tan∠EPF =√33，∠EPF =π6. 7(★★★) 已知过抛物线C ：y 2=4x 焦点的直线交抛物线C 于P,Q 两点，交圆x 2+y 2－2x =0于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则1|PM|+4|QN|的最小值为 ．【答案】4【解析】设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，再设PQ 的方程为x =my +1，联立{x =my +1y 2=4x，得y 2－4my －4=0． ∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，则x 1x 2=(y 1y 2)216=1．|PM|∙|QN|=(|PF|－1)(|QF|－1)=(x 1+1－1)(x 2+1－1)=x 1x 2=1，则1|PM|+4|QN|≥2√1|PM|⋅4|QN|=4． ∴1|PM|+4|QN|的最小值为4．8(★★★) 如图，抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，以A(x 1 ,y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上．(1)过Q(0 ,－3)作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；(2)求△ABC 面积的最小值．【答案】 (1) x 2=4y (2) 4p 2【解析】(1)设过点Q(0,－3)的抛物线C 的切线l ：y =kx －3，联立抛物线C ：x 2=2py(p >0)，得x 2－2pkx +6p =0，则△=4p 2k 2－4×6p =0，得pk 2=6，∵F(0，p 2)，F 到切线l 的距离为d =|p 2+3|√k 2+1=2， 化简得(p +6)2=16(k 2+1)，∴(p +6)2=16(6p +1)=16(p+6)p∵p >0，∴p +6>0，得p 2+6p －16=(p +8)(p －2)=0，∴p=2．∴抛物线方程为x2=4y．(2)已知直线AB不会与坐标轴平行，设直线AB：y－y1=t(x－x1)(t>0)，联立抛物线方程，得x2－2ptx+2p(tx1－y1)=0，则x1+x B=2pt，则x B=2pt－x1，同理可得x C=−2pt−x1．∵|AB|=|AC|，即√1+t2|x B－x1|=√1+1t2|x C－x1|，∴t(x B－x1)=x1－x C，即x1=p(t 2−1t)t+1．∴|AB|=√1+t2|x B－x1|=√1+t2(2pt－2x1)=2p√1+t2(t2+1)t(t+1)．∵t2+1t≥2(当且仅当t=1时，等号成立)，√t2+1 t+1=√t2+1t2+2t+1≥√t2+1t2+1+(t2+1)=√22(当且仅当t=1时等号成立)，所以|AB|≥2√2p，△ABC面积的最小值为4p2．9(★★★★) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，焦点为F，直线l交抛物线C于A(x1 ,y1)，B(x2 ,y2)两点，D(x0 ,y0)为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0．(1)求抛物线C的方程；(2)若x1x2+y1y2=－1，求x0|AB|的最小值．【答案】(1) y2=2x(2) √24【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x3=2x D，∵|AF|+|BF|=1+2x D，∴p=1，∴y2=2x．(2)设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2－2my－2b=0，∵x1x2+y1y2=－1，即y12y124+y1y2=−1，∴y1y2=－2，即y1y2=－2b=－2，∴b=1，∴y1+y2=2m，y1y2=－2，|AB|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=2√1+m2⋅√m2+2x D=x1+x22=y12+y124=14[(y1+y2)2−2y1y2]=m2+1，∴x0|AB|=22√m2+1⋅√m2+2令t=m2+1，t∈[1,+∞)，则x0|AB|=2√t⋅√t+1=2√1+1t≥√24；即x0|AB|的最小值为√24．。
有关圆的最值问题几种类型及方法
圆的最值问题一圆心到定直线的距离的最值问题例1 设P 是直线043:=-y x l 上的动点,PA,PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 的最小值是_____________.变式:已知）（y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA,PB 是圆：0222=-+y y x 的两条切线,A,B 是切点,若四边形PACB 最小面积是2,则k=_____________;二圆上动点到定直线的距离的最值问题例2 圆012222=+--+y x y x上的点到直线2=-y x 距离的最大值是_______________;变式：已知P 是圆122=+y x上的一点,Q 是直线052:=-+y x l 上的一点,求PQ 最小值;三圆的切线长最值问题例3 从点Pm,3向圆C:()()12222=+++y x 引切线,则切线长的最小值为_____________;变式：由直线2+=x y 上的点向圆()()12y 422=++-x 引切线,怎切线的最小值为____________;四与圆的弦长有关的最值问题例4 在圆06222=--+y x y x 内,过点E0,1的最长弦和最短弦分别是AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为_______________;变式：已知圆O 的方程是01028y 22=+--+y x x,过点M3,0的最短弦所在的直线方程是_____;五圆中“斜率”最值问题例3 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为0158y 22=+-+x x ;若直线2y -=kx 上至少存在一点,使得以改点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则k 的最大值是_________________;变式：如果实数x,y 满足等式(),1222=+-y x 那么13y -+x 的取值范围________________;。
点到直线的最大距离和最小距离
点到直线的最大距离和最小距离在平面几何中，点和直线是最基本的图形，而点到直线的距离也是一个非常重要的问题。
在实际应用中，点到直线的距离经常被用来求解各种问题，如求解点到线段的距离、点到多边形的距离等等。
本文将介绍点到直线的最大距离和最小距离的求解方法。
一、点到直线的距离点到直线的距离是指从点到直线所在的垂线的长度。
设点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则有：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)其中 | | 表示绝对值。
二、点到直线的最大距离点到直线的最大距离是指点到直线所在的垂线的最大长度。
求解点到直线的最大距离的方法是：首先求出点到直线的距离，然后求出点到直线的垂足，最后求出垂足到直线两端点的距离中的最大值。
具体来说，设点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则直线的垂足为：x0 = (B²x1 - ABy1 - AC) / (A² + B²)y0 = (-ABx1 + A²y1 - BC) / (A² + B²)垂足到直线两端点的距离分别为：d1 = √[(x0-x1)² + (y0-y1)²]d2 = √[(x0-(x1-A))² + (y0-(y1-B))²]则点到直线的最大距离为：max(d1,d2)三、点到直线的最小距离点到直线的最小距离是指点到直线所在的垂线的最小长度。
求解点到直线的最小距离的方法是：首先求出点到直线的距离，然后求出点到直线的垂足。
具体来说，设点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则直线的垂足为：x0 = (B²x1 - ABy1 - AC) / (A² + B²)y0 = (-ABx1 + A²y1 - BC) / (A² + B²)则点到直线的最小距离为d。
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
高中数学 直线与圆相关的最值问题
直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。
【母题】（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(222>=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
直线与圆、圆与圆的位置关系
§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系学习目标1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0 几何观点d>r d＝r d<r2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)图形量的关系外离d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d<|r1－r2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x 的一元二次方程，则|MN |＝1＋k 2·(x M ＋x N )2－4x M x N . 常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程①过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )；②过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，所以注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径．( √ ) 教材改编题1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离答案 B解析 圆心为(0,0)，到直线y ＝x ＋1即x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，而0<22<1，但是圆心不在直线y ＝x ＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．2．过点(0,1)且倾斜角为π3的直线l 交圆x 2＋y 2－6y ＝0于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A.10 B ．210 C ．2 2 D ．4 2答案 D解析 过点(0,1)且倾斜角为π3的直线l ：y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0.∵圆x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，∴圆心坐标为(0,3)，半径r ＝3，圆心到直线l 的距离d ＝|－3＋1|2＝1，∴直线被圆截得的弦长|AB |＝2×32－12＝4 2.3．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则常数a ＝________. 答案 ±25或0解析 两圆的圆心距d ＝(－4)2＋a 2，由两圆相切(外切或内切)，得(－4)2＋a 2＝5＋1或(－4)2＋a 2＝5－1，解得a ＝±25或a ＝0.题型一 直线与圆的位置关系 命题点1 位置关系的判断例1 直线kx －y ＋2－k ＝0与圆x 2＋y 2－2x －8＝0的位置关系为( ) A ．相交、相切或相离 B ．相交或相切 C ．相交 D ．相切 答案 C解析 方法一 直线kx －y ＋2－k ＝0的方程可化为k (x －1)－(y －2)＝0， 该直线恒过定点(1,2)． 因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x 2＋y 2－2x －8＝0的内部，所以直线kx －y ＋2－k ＝0与圆x 2＋y 2－2x －8＝0相交．方法二 圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx －y ＋2－k ＝0的距离为|k ＋2－k |1＋k 2＝21＋k 2≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 命题点2 弦长问题例2 (1)(多选)直线y ＝kx －1与圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝36相交于A ，B 两点，则AB 的长度可能为( )A ．6B ．8C ．12D ．16 答案 BC解析因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为(－3－0)2＋(3＋1)2＝5.又圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为262－52＝211.又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，故|AB|∈[211，12]．(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0答案 B解析当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.命题点3切线问题例3(2022·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于()A．1 B．2 C．4 D．8答案 C解析已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，圆心C(3,1)，半径r＝3，所以直线l过圆心C(3,1)，故3＋a－1＝0，故a＝－2，所以点A(－1，－2)，|AC|＝(3＋1)2＋(1＋2)2＝5，|AB|＝52－32＝4.思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k . 注意验证斜率不存在的情况．命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4 在平面直角坐标系Oxy 中，已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，点A 是直线x －y ＋2＝0上的一个动点，直线AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围为________． 答案 [22，4)解析 由圆的方程知，圆心C (2,0)，半径r ＝2.连接AC ，PC ，QC (图略)， 设|AC |＝x ，则x ≥|2－0＋2|2＝2 2.∵AP ，AQ 为圆C 的切线， ∴CP ⊥AP ，CQ ⊥AQ ，∴|AP |＝|AQ |＝|AC |2－r 2＝x 2－4. ∵AC 是PQ 的垂直平分线， ∴|PQ |＝2×|AP |·|PC ||AC |＝4x 2－4x＝41－4x2.∵x ≥22， ∴12≤1－4x 2<1， ∴22≤|PQ |<4，即线段PQ 的长的取值范围为[22，4)． 教师备选1．(多选)(2022·深圳模拟)设直线l ：y ＝kx ＋1(k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝5，则下列结论正确的为( )A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当k ＝1时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为4 答案 BD解析 对于A 选项，直线l 过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 的周长平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，圆心C 到直线l 的距离为d ＝22， 所以直线l 被C 截得的弦长为 25－⎝⎛⎭⎫222＝32，C 选项错误； 对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为 d ＝1k 2＋1≤1， 所以直线l 被C 截得的弦长为25－d 2≥4，D 选项正确．2．过点P ⎝⎛⎭⎫32，32的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，此时直线l 的方程为________，∠ACB ＝________. 答案 x ＋3y －3＝02π3解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)，验证知点P 在圆内，当∠ACB 最小时，|AB |最短，即CP 和AB 垂直，因为CP 的斜率 k CP ＝32－032－1＝3，所以直线AB 的斜率为－33， 所以直线l 的方程为y －32＝－33⎝⎛⎭⎫x －32， 即x ＋3y －3＝0. 此时|CP |＝|2|1＋3＝1， 所以∠ACP ＝π3，∠ACB ＝2π3.思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 跟踪训练1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( ) A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．(2)(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于()A．±2 B．±2 C．±3 D．±5答案 C解析由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝|m|k2＋1，则弦长为24－m2k2＋1，则当k＝0时，弦长取得最小值为24－m2＝2，解得m＝±3.(3)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3,0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，∴|PM |的最小值为22，此时|PQ |＝|PM |2－1＝(22)2－1＝7. 题型二 圆与圆的位置关系例5 (1)(2022·长沙模拟)若圆C 1：(x －1)2＋(y －a )2＝4与圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝a 2相交，则正实数a 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D ．(3,4)答案 A解析 |C 1C 2|＝9＋(a ＋1)2，因为圆C 1：(x －1)2＋(y －a )2＝4与圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝a 2相交， 所以|a －2|<9＋(a ＋1)2<a ＋2， 解得a >3.(2)圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________． 答案 x －2y ＋4＝0 2 5解析 联立两圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减并化简，得x －2y ＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程． 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， 得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝52， 圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为 d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2， 即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5， 故公共弦长为2 5.教师备选已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)当m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m . 解得m ＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． 跟踪训练2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2， 所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．(2)(2022·长沙模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，圆C 2：⎝⎛⎭⎫x ＋322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝112，则这两圆的公共弦长为( ) A ．5 B ．2 2 C ．2 D ．1 答案 C解析 由题意知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋3x －3y －1＝0，将两圆的方程相减，得x ＋y －3＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x ＋y －3＝0. 又因为圆C 1的圆心为(－2,1)，半径r ＝3， 所以圆C 1的圆心到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|－2＋1－3|2＝2 2.所以这两圆的公共弦的弦长为2r 2－d 2＝232－(22)2＝2.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－m ，0)，B (m ，0)．又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得(x ＋m )2＋y 2＝λ(x －m )2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2)． 当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2(λ2－1)2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆．例1 (1)已知平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (2,0)，则满足|P A |＝2|PB |的点P 的轨迹的圆心坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫103，0解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2， 整理得⎝⎛⎭⎫x －1032＋y 2＝649，所以点P 的轨迹的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫103，0.(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A ⎝⎛⎭⎫－12，0，若定点B (b ，0)⎝⎛⎭⎫b ≠－12和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则λ＝________，△MAB 面积的最大值为________． 答案 2 34解析 设点M (x ，y )，由|MB |＝λ|MA |，得(x －b )2＋y 2＝λ2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2， 整理得x 2＋y 2－2b ＋λ21－λ2x ＋b2－14λ21－λ2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋λ21－λ2＝0，b 2－14λ21－λ2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，b ＝－2.如图所示，S △MAB ＝12|AB |·|y M |，由图可知，当|y M |＝1，即M 的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S △MAB 取得最大值，故△MAB 的面积的最大值为12×⎪⎪⎪⎪－12－(－2)×1＝34. 例2 如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3,2)．切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3.圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k 2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34.故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆， 可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切．故1≤|CD |≤3， 其中|CD |＝a 2＋(2a －3)2. 解得0≤a ≤125.即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125. 课时精练1．圆C 1：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4与圆C 2：(x －3)2＋(y －2)2＝4的公切线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心为C 1(－1,2)，半径为2，圆C 2：(x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心为C 2(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－1－3)2＋(2－2)2＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3. 2．过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0答案 C解析 当斜率不存在时，直线x ＝2与圆相切；当斜率存在时， 设切线方程为y －4＝k (x －2)， 即kx －y ＋4－2k ＝0， 则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，得切线方程为4x －3y ＋4＝0.综上，得切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.3．(2022·沧州模拟)若圆C ：x 2＋16x ＋y 2＋m ＝0被直线3x ＋4y ＋4＝0截得的弦长为6，则m 等于( )A ．26B ．31C ．39D ．43 答案 C 解析 将圆化为(x ＋8)2＋y 2＝64－m (m <64)， 所以圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离 d ＝|－24＋4|5＝4，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形， 所以42＋32＝64－m ，解得m ＝39.4．(2022·广州模拟)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．3π 答案 B解析 直线x ＋ay －a －1＝0可化为 (x －1)＋a (y －1)＝0， 则当x －1＝0且y －1＝0， 即x ＝1且y ＝1时，等式恒成立， 所以直线恒过定点M (1,1)， 设圆的圆心为C (2,0)，半径r ＝2， 当MC ⊥AB 时，|AB |取得最小值， 且最小值为2r 2－|MC |2＝24－2＝22， 此时弦长AB 对的圆心角为π2，所以劣弧AB 的长为π2×2＝π.5．(2022·青岛模拟)已知直线l ：3x ＋my ＋3＝0，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0，则下列说法正确的是( )A ．“m >1”是曲线C 表示圆的充要条件B ．当m ＝33时，直线l 与曲线C 表示的圆相交所得的弦长为1 C ．“m ＝－3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件D ．当m ＝－2时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1有两个公共点 答案 C解析 对于A ，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0⇒(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－1，曲线C 要表示圆，则m 2－1>0⇒m <－1或m >1，所以“m >1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件，故A 错误； 对于B ，m ＝33时，直线l ：x ＋3y ＋1＝0， 曲线C ：(x ＋2)2＋(y ＋33)2＝26， 圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋3×(－33)＋1|1＋3＝5，所以弦长＝2r 2－d 2＝226－25＝2，故B 错误；对于C ，若直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－m 2＋3|9＋m 2＝m 2－1⇒m ＝±3，所以“m ＝－3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件，C 正确； 对于D ，当m ＝－2时，曲线C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝3，其圆心坐标为(－2,2)，r ＝3， 曲线C 与圆x 2＋y 2＝1的圆心距为(－2－0)2＋(2－0)2＝22>3＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，D 错误．6．(多选)(2022·海口模拟)已知圆O 1：x 2＋y 2－2x －3＝0和圆O 2：x 2＋y 2－2y －1＝0的交点为A ，B ，则( )A ．圆O 1和圆O 2有两条公切线B ．直线AB 的方程为x －y ＋1＝0C ．圆O 2上存在两点P 和Q 使得|PQ |>|AB |D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2＋ 2 答案 ABD解析 对于A ，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A 正确；对于B ，将两圆方程作差可得－2x ＋2y －2＝0，即得公共弦AB 的方程为x －y ＋1＝0，故B 正确；对于C ，直线AB 经过圆O 2的圆心(0,1)，所以线段AB 是圆O 2的直径，故圆O 2中不存在比AB 长的弦，故C 错误；对于D ，圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB ：x －y ＋1＝0的距离为|1＋1|2＝2，所以圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2＋2，D 正确．7．(2021·天津)若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆x 2＋(y －1)2＝1相切于点B ，则|AB |＝________. 答案3解析 设直线AB 的方程为y ＝3x ＋b ， 则点A (0，b )，由于直线AB 与圆x 2＋(y －1)2＝1相切，且圆心为C (0,1)，半径为1， 则|b －1|2＝1， 解得b ＝－1或b ＝3，所以|AC |＝2， 因为|BC |＝1，故|AB |＝|AC |2－|BC |2＝ 3.8．若A 为圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，B 为圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，则线段AB 长度的最大值是________． 答案 8解析 圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心为C 1(0,0)， 半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4的圆心为C 2(3，－4)，半径r 2＝2，所以|C 1C 2|＝5.又A 为圆C 1上的动点，B 为圆C 2上的动点，所以线段AB 长度的最大值是|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝5＋1＋2＝8. 9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0， 则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4， 其圆心为(0,4)，半径r ＝2， 若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2， 解得a ＝－34.(2)设圆心C 到直线l 的距离为d ， 则⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 即2＋d 2＝4，解得d ＝2， 则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或a ＝－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.10．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105， S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.11．如果圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3)答案 A解析 到原点的距离为2的点的轨迹方程为 圆C 1：x 2＋y 2＝2，因此圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离均为2， 转化为圆C 1：x 2＋y 2＝2与圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝8有两个交点， ∵两圆的圆心和半径分别为C 1(0,0)，r 1＝2，C (a ，a )，r ＝22， ∴r －r 1<|C 1C |<r 1＋r ，∴2<2|a |<32，解得实数a 的取值范围是(－3，－1)∪(1,3)．12．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9上存在四个点到直线l ：x －y ＋b ＝0的距离等于2，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，1－52)∪(1＋52，＋∞)B ．(1－52，1＋52)C ．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)D ．(1－2，1＋2) 答案 D解析 由C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9知圆心C (1,2)，半径为3，若圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9上存在四个点到直线l ：x －y ＋b ＝0的距离等于2， 则点C 到直线l ：x －y ＋b ＝0的距离d <1， ∴|1－2＋b |12＋(－1)2<1，∴1－2<b <1＋ 2.13．(2022·邯郸模拟)已知点P 在直线x ＋y ＝4上，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则点M (3,2)到直线AB 距离的最大值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析 设P (a ，b )，则a ＋b ＝4， 以OP 为直径的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y －b 22＝14(a 2＋b 2)， 与圆O 的方程x 2＋y 2＝4相减， 得直线AB 的方程为ax ＋by ＝4， 即ax ＋by －4＝0，因为a ＋b ＝4，所以b ＝4－a ，代入直线AB 的方程，得ax ＋(4－a )y －4＝0，即a (x －y )＋4y －4＝0，当x ＝y 且4y －4＝0，即x ＝1，y ＝1时该方程恒成立， 所以直线AB 过定点N (1,1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N 之间的距离，|MN |＝5， 所以点M (3,2)到直线AB 距离的最大值为 5.14．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4,0)，B (0,2)，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝3 2答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5,5)，由题易知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x＋2y －4＝0，则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115，4＋115<5＋1255＝10，故A 正确． 易知点P 到直线AB 的距离的最小值为d －4＝115－4，115－4<1255－4＝1，故B 不正确． 过点B 作圆M 的两条切线，切点分别为N ，Q ，如图所示，连接MB ，MN ，MQ ，则当∠PBA 最小时，点P 与N 重合，|PB |＝|MB |2－|MN |2＝52＋(5－2)2－42＝32，当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，|PB |＝32，故C ，D 都正确．15.(多选)如图，A (2,0)，B (1,1)，C (－1,1)，D (－2,0)，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W ，则下列说法正确的是( )A ．曲线W 与x 轴围成的面积等于2πB ．曲线W 上有5个整点(横纵坐标均为整数的点) C.CB 所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1 D.CB 与BA 的公切线方程为x ＋y ＝2＋1 答案 BCD解析 曲线W 与x 轴围成的图形由以(0,1)为圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的14圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的14圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为π2＋π2＋2＝2＋π≠2π，故A 错误；曲线W 上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，共5个整点，故B 正确；CB 所在的圆是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1，故C 正确；设CB 与BA 的公切线方程为y ＝kx ＋t (k ＜0，t ＞0)， 由直线和圆相切的条件可得 |t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k2， 解得k ＝－1，t ＝1＋2(1－2舍去)， 则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2， 即x ＋y ＝1＋2，故D 正确．16．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A 是指该球的球心点A .两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：图1图2(1)如图1，设母球A 的位置为(0,0)，目标球B 的位置为(4,0)，要使目标球B 向C (8，－4)处运动，求母球A 的球心运动的直线方程；(2)如图2，若母球A 的位置为(0，－2)，目标球B 的位置为(4,0)，让母球A 击打目标球B 后，能否使目标球B 向C (8，－4)处运动？解 (1)点B (4,0)，C (8，－4)所在的直线方程为x ＋y －4＝0，如图，可知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线x ＋y －4＝0上，且在第一象限，设A ，B 两球碰撞时，球A 的球心坐标为A ′(a ，b )，此时|A ′B |＝2，则⎩⎨⎧a ＋b －4＝0，(a －4)2＋b 2＝2，a >0，b >0，解得a ＝4－2，b ＝2，即A ，B 两球碰撞时，球A 的球心坐标A ′(4－2，2)， 所以母球A 的球心运动的直线方程为y ＝24－2x ，即y ＝22＋17x .(2)假设能使目标球B 向C (8，－4)处运动，则由(1)知球A 需运动到A ′(4－2，2)处，且到达A ′处前不与目标球B 接触． 如图，设AA ′与x 轴的交点为D .因为A ′B 的斜率为－1，所以∠A ′BD ＝45°. 因为AA ′的斜率为2＋24－2＝5＋327>1，所以∠A ′DB >45°. 所以∠DA ′B 为锐角． 过点B 作BE ⊥AA ′于点E ， 因为|A ′B |＝2，所以|BE |<2，所以球A 的球心还未到直线BC 上时，就会与目标球B 接触， 所以不能使目标球B 向C (8，－4)处运动．。
直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.变式训练1：1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A ）（0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值？解：==AC d 2，故距离的最大值为3=+r d ，最小值为1=-r d变式训练1：圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222==d ， 则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +，最小值为r d -直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d +，最小值为r d -题型三：切线问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． 变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，P A ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA △AP ，所以S 四边形P AOB ＝2×12|OA |·|P A | ＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。
圆上点到直线最大值和最小值计算
圆上点到直线最大值和最小值计算
在解决圆上点到直线距离的问题中，计算点到直线的最大值和最小值是一个常见且重要的问题。
这个问题在许多领域都有着广泛的应用，例如在计算机图形学、几何学和工程学等方面。
问题描述
假设有一条直线和一个圆，我们需要找出圆上到直线距离的最大值和最小值。
直线一般由一般式方程或点斜式方程给出，圆一般由圆心坐标和半径给出。
解决方法
1. 计算最小值
为了计算圆上点到直线的最小距离，我们可以先将圆心代入直线方程中，得到一个点P。
然后我们计算圆心和点P的距离，即是到直线的最小距离。
这个最小距离就是圆上点到直线的最小值。
2. 计算最大值
计算圆上点到直线的最大值稍微复杂一些。
我们可以利用直线的垂线性质来求解。
首先，我们可以得到通过圆心并垂直于直线的直线方程。
然后，这条直线与原直线的交点就是圆与直线的最远点。
最大值即是圆心到这个交点的距离。
结论
在实际应用中，通过以上的方法可以准确地计算出圆上点到直线的最大值和最小值。
这个问题在工程学、数学和计算机领域都有着实际应用。
熟练掌握这个问题的求解方法，可以帮助我们更好地理解几何学的基本知识，并解决实际问题。
参考资料
•陈杰，李幼华，《解析几何学》
•梅立泉，《几何学方法》
•陈来福，《工程数学几何学》
以上是关于如何计算圆上点到直线的最大值和最小值的简要介绍，希望对您有所帮助。
与圆有关的最值问题
中学课程资源第17卷圆是高中数学中研究较多的一种曲线，学生在做与圆有关的数学题时，与圆有关的最值问题是常见的考点，而学生往往不善于对已知条件进行转化或利用所给式子的几何意义进行解题。
在研究圆的问题时，教师可以将与圆有关的最值问题分为七类：圆上一点到定点距离的最值问题，圆上一点到直线距离的最值问题，斜率型最值问题，截距型最值问题，距离型最值问题，弦长的最值问题及其他类最值问题。
教师要对与圆有关的七类最值问题进行总结，加强学生对圆的图象特征、基本知识、基本技能的应用，培养学生的数学核心素养。
一、圆上一点到定点距离的最值问题在与圆有关的最值问题中，与距离有关的有三类，分别为：圆上一点到定点距离的最值问题，圆上一点到直线距离的最值问题及距离型最值问题。
其中，圆上一点到定点距离的最值问题是最简单也是最常考的一类题。
教师可以以一道小题为例来讲解圆上一点到定点的最值问题。
例1：已知点P（x，y）是圆C（x-1）2+（y-2）2=1上的一点，求P到原点的最大、最小距离。
分析：对于圆上一点到定点的最值问题，只需将定点与圆心连接，所连直线与圆有两个交点，离定点近的交点为最小距离的点，反之为最大距离的点。
解：连接OC与圆交于A，延长OC与圆交于B，则dmax=OC+r=5+1，d min=OC-r=5-1.小结：圆上一点到定点的最值问题，其本质是两点间的距离，与圆相关的两点间的距离，可以转化为圆心与定点的距离问题。
二、圆上一点到直线距离的最值问题例2：圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=2，直线l的方程为x-y+4=0，求圆C上的点到直线l的最小距离为？分析：圆上一点到直线距离的最值问题，可转化为圆心到直线的距离加上半径为最大距离，减去半径为最小距离。
解：圆心C到直线l的距离为d=|1-1-4|12+(-1)2=22，则圆上的点到直线l的最小距离为d-r=22-2=2。
小结：圆上一点到直线的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题。
直线与圆的位置关系
几何法： 几何法：
1.把直线方程化为一般式，求出圆心坐标和半径r； 把直线方程化为一般式，求出圆心坐标和半径 ； 把直线方程化为一般式 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 ； 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d； 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3.比较 与r的大小关系： 比较d与 的大小关系 的大小关系： 比较 若d＞r，则直线与圆相离； ＞ ，则直线与圆相离； 若d＝r，则直线与圆相切； ＝ ，则直线与圆相切； 若d＜r，则直线与圆相交． ＜ ，则直线与圆相交．
=d−rห้องสมุดไป่ตู้
= 2 −1
= 2+1
( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 1 圆的标准方程为： 圆的标准方程为：
圆心为（ ， ） 圆心为（1，1）
d = 2
r =1
变式： 向圆C： 变式：由直线l ：x－y＝2上的一点 向圆 ： － ＝ 上的一点A向圆
x + y − 2x − 2y +1= 0
l
直线l：m(2 x + y − 7) + ( x + y − 4) = 0
直线过定点A（ ， ）， ），在圆内 直线过定点 （3，1），在圆内
2 2 2
C N B
P A M x
（2）分析： 半弦长 = r − d ）分析： Q 最小 最大 连结CA， 的垂线， 连结 ，过A作CA的垂线，此时截得的弦长最小 作 的垂线
二、相切
2.已知ΘC : x 2 + ( y − 2) 2 = 9, 求过点A（0， 3）作圆的切线， − 求切线段长。 分析：已知的圆外点，圆心， 分析：已知的圆外点，圆心，切点构成 Rt
直线与圆的位置关系
新疆实验中学数学组 王子成
一、直线与圆的位置关系
1.相离 2.相切 3.相交
二、如何判断直线与圆的位置关系
1.代数方法：讨论圆的方程与直线方程的实数解的个数
已知直线 y 2 x m , 圆 x 2 y 2 2 y 0, m 分别
为何值时，直线与圆（1）相交？（2）相离？（3）相切？
M是圆 ( x 5) ( y 3) 9
2 2
o
A
上的点，求M到直线 3 x 4 y 2 0 的最短距离与最长距离。
3.直线和圆相切时的最值 x , y 满足方程 ( x 1) 2 y 2 4 求 x 2 y 的最大值和最小值
y
A
x
o
B
直线 kx y k 2 0( k R ) 上的点满足圆的方程 2 2 ( x 1) ( y 1) 4, 求 k 的范围
一、直线与圆的位置关系
1.相离
2.相切
3.相交
二、如何判断直线与圆的位置关系
1.代数方法 2.几何方法
三、探索与研究
1.直线和圆相交时的弦长 2.直线和圆相离时，圆上的点到直线的距离 3.直线和圆相切时的最值
谢谢光临
请多提宝贵意见
2.几何方法：讨论圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系 1.相离 2.相切 3.相交
d>r d=r d<r
L
A A L L r d r d
O r d A
2 2 ( x 1) ( y 2) 3 与直线 2 x y 1 0 判断圆
的位置关系
d 3 5
r
3
三、探索与研究
1.直线和圆相交时的弦长 以C(1,1)为圆心的圆截直线 y x 2 所得的弦长为 2 2 , 求圆C的方程 C r
3直线和圆中的最值问题
3直线和圆中的最值问题3直线和圆中的最值问题直线和圆中的最值问题1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离；3、有些最值问题要注意向函数问题转化；4、抓住式子的几何意义。
一、到圆心距离的最值问题例1：已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA , PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线, A , B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。
二、到圆上一点距离的最值问题例2：已知P 是圆x 2+y 2=1上一点，Q 是直线l :x +2y -5=0上一点，求PQ 的最小值。
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题例3：已知定点A (-1,0), B (1,0)和圆(x -3)+(y -4)=4上的动点P ，求使PA +PB 最值时点P 的坐标。
P , ⎪时, x 2+y 2最大为100 ⎪55⎪练习1：求实数x , y 满足x 2+(y -1) 2=1, 求下列各式的最值：（）13x +4y （2）x +y （3x +1(1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，无最大值四、与圆半径有关的最值问题例4：设x ，y 满足⎪y ≥x 求(x -1)+(y -3)25⎪4x +3y ≤12练习2：已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0(1). 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2). 从圆C 外一点P (x , y )向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且PM求使PM 最小的点P 的坐标。
y =2±x , x +y +1=0或x +y -3=0，P -, ⎪(练习3：已知∆ABC 三个顶点坐标A (0,0), B (4,0), C (0,3)，点P 是它的内切圆上一点，求以PA , PB , PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
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圆到直线的最大值和最小值的距离
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d-r,最大值为d+r
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r，最
大值为d+r
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为，最大值为2r
4.直线l与圆相离，过直线上一点P作圆的切线，切线长最小值
为(d为圆心到直线的距离)
(1)证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最大为d+r
画一图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆于Po
和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d+r（d为圆心O到
直线l距离即OM2长）
再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直
线l距离为PM1长
连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠
PoPM1为钝角；
过P做PoM2的垂线垂足为M，（由于∠PPoM2为锐角所以点M在
线段PM2上）可知PMM2M1为矩形，PM1=MM2<PoM2
即PoM2=d+r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最大值
(2) 证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离，最小=d-r
我们同样画一张图，过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l，交圆与Po和N点，垂足为M2，可知Po到直线l的距离为d-r即
PoM2长（d为圆心O到直线l距离即OM2长）
再任取圆上一点P（除Po外）做直线l的垂线垂足为M1，P到直
线l距离为PM1长
连接PPo和PN，构成圆内直角三角形，可∠PoPN为直角，∠NPM1
为钝角
过Po做PM1的垂线垂足为M，（由于∠PoPM1为锐角所以点M在线段PM1上）可知PoMM1M2为矩形，PM1>MM2=PoM2
即PoM2=d-r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最小值。