即正四面体
正四面体性质及其应用
正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3a ；（3） 体积V =2 12a 3； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 13；（6） 棱与其相交的面所成的角 β=a rctan 2 ；（7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝64a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。
将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。
考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π3，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3π===⌒⌒⌒CA BC AB ，球的半径r =1∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π3，则AB=BC=CA =1所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 63，答案B 。
例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a4 B 6 6 a C 6 12a D 2 8a解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r =612a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 612a ，因此选C 。
例3：（06年陕西卷）将半径为R个球的球心到桌面的距离为 。
高二数学正四面体知识点
高二数学正四面体知识点正四面体是一个非常特殊的几何体，它具有很多独特的性质和特点。
在高二数学学习中，正四面体也是一个重要的知识点。
本文将介绍一些关于正四面体的基本定义、性质和相关定理。
一、基本定义正四面体是一个四面都是正三角形的多面体。
它由四个全等的正三角形面围成，其中每个面都与其他三个面相交，且每个交线都是三面交线的角平分线。
四个面所成的四个顶点形成一个四面体。
二、性质1. 四个全等正三角形的三个顶点和四个顶点的连线相互垂直，且都交于同一点，该点称为正四面体的高心。
2. 正四面体的高心到四个顶点的距离相等，并且等于正四面体边长的 $\frac{1}{2}$ 倍。
3. 正四面体的重心是四个顶点和它们的连线的交点，即四个顶点和高心的连线相交于同一点。
4. 正四面体的重心到四个顶点的距离相等，并且等于正四面体边长的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 倍。
5. 正四面体的面心是四个面的重心的连线相交于同一点，即四个面心和高心的连线相交于同一点。
6. 正四面体的面心到四个面心的距离相等，并且等于正四面体边长的 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 倍。
7. 正四面体的体积可以通过以下公式计算：$V =\frac{1}{12}\sqrt{2}a^3$，其中 $a$ 表示正四面体的边长。
8. 正四面体的表面积可以通过以下公式计算：$S = \sqrt{3}a^2$，其中 $a$ 表示正四面体的边长。
三、相关定理1. 正四面体的四条高线互相垂直，并且彼此平分。
2. 正四面体的四个面的面积互等，并且每个面的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，其中 $a$ 表示正四面体的边长。
3. 正四面体的六条棱所构成的六个五面角的面积互等。
4. 正四面体的四条高线与四个面上的高线的交点所构成的四个四面角的面积互等。
通过以上的知识点，我们可以更好地理解正四面体的性质和特点。
正四面体是一种简单但非常重要的几何体，它在数学及其他科学领域中具有广泛的应用。
正四面体
正四面体常用性质：1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。
它有4个面，6条棱，4个顶点。
正四面体是最简单的正多面体。
2、正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。
因此，正四面体是特殊的正三棱锥。
3、基本性质：正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。
正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。
正四面体的对边相互垂直。
正四面体的对棱相等。
正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值63a。
4、相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：高：63a。
（中心把高分为1:3两部分} 表面积：23a体积：3212a外接球半径：64a，内切球半径：612a，棱切球半径：24a对棱中点的连线段的长：22a，两邻面夹角满足1cos3α=。
若将正四面体放进一个正方体内，则该正方体棱长为22a，其实，正四面体的棱切球即为次正方体的内切球。
5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为其他性质：正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。
正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。
正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。
正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。
内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。
两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。
这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度.侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3)正四面体的对棱相等。
正四面体的性质及应用
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载正四面体的性质及应用地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 正方体的棱长为．∴ 正方体的内切球半径．∴ ．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵ 正四面体的棱长为a，∴ 由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴ ．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵ EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴ ．∴ CE 与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC1、DD1为该球的直径．连结C1D1，交AB于点M，连结MC．∵ MC⊥AB，MD1⊥AB，∴ ∠CMD1为平面ABC与平面AC1D1所成的角．设正方体棱长为a，在中，．∴ 平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不成立的是②．①面；②面面；③面；④面面．2.正四面体中，与平面所成角的余弦值为．3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值为A．4 B．C．D．2选：．44.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；②已知：指数函数过点，则；③已知正四面体的边长为，则其外接球的体积为；④已知函数的值域是，，则的值域是，；⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．其中正确的序号是①③．555555555.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．选：．6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线和所成角的正弦值为A．B．C．D．选：．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答案．7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是A．B．C．D．选：．8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面和平面的距离分别为，，则的最小值为．【考点】：基本不等式及其应用【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，，．由，可得．同理可得：．代入利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，．，．同理可得：．，当且仅当时取等号．故答案为：．9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列结论中，正确的个数有（1）；（2）若为中点，则与所成角为；（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面垂直；：平面与平面垂直【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．【解答】解：（1）连接、正中，为的中点同理，结合平面，而平面，故（1）是正确的；（2）取中点，连接、中，、分别是、的中点，．、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角设正四面体棱长为，在中，则中在中，，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；（3）由（1）的证明知：平面平面平面平面，故（3）正确；（4）若有，根据（1）的结论，因为、相交于点，所以平面中，，可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，的最大值是锐角，不可能是直角，因为平面，与不能垂直，以上结论与平面矛盾，故不论在线段上的何处，都不可能有．因此不存在点，使得过的平面与垂直．综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：①正四面体的体积为；②正四面体的表面积为；③内切球与外接球的表面积的比为；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为②③④．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】①正四面体的高，体积为，计算即可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得，即可判断出正误；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简即可判断出正误．【解答】解：①正四面体的高，体积为，因此不正确；②正四面体的表面积为，正确；③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得．，因此表面积的比为，正确；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简可得：，即为正四面体的高，均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。
正四面体
在江苏省考中，图形推理的空间重构主要考察正六面体、正四面体和正八面体，正六面体的考察方式和国考差不多，所有有过国考复习基础的同学在准备省考的时候可以把重点放到正四面体和正八面体上来，各个击破。
今天我们一起了解正四面体的考法和解题技巧。
正四面体就是由四个正三角形组成，如下图：我们可以看到，一个正四面体由四个正三角形组成，总共有ABCD四个顶点，每个顶点会连接三个面，它的展开情况有两种情形：三角式和直线式。
如下图所示:第一种情形我们称为三角式，第二种情形我们称为直线式，既然一个四面体有四个顶点，每个顶点连接三个三角形，那我们可以通过描点法来进行解题。
下面我们通过几道历年真题来进行讲解。
1、左边给定的是纸盒的外表面，右边哪一项能由它折叠而成? (2013年江苏公务员行测C类52题)解析：此题可以采用描点法来解答。
将正四面体的展开图描点之后，如下图所示：将选项A图描点之后，如下图所示：与原图对比发现，若以CAB面为基准面，则ABD面与原图并不相同，错误，则A项错误。
将选项B图描点之后，如下图所示：若以BCD面为基准面，与原图对比发现，原图中并无ACD面，故B项错误。
将选项D图描点之后，如下图所示：若以BCD面为基准面，与原图对比发现，原图的AD边连着黑白相间的图形，而此图中，AD边与黑三角相连，故D项错误。
而只有C项的所有点面均与题干的展开图完全符合，故正确答案为C项。
2、左边给定的是纸盒的外表面，右边哪一项能由它折叠而成?(2013年江苏公务员行测A类57题)解析：此题可以采用描点法来做，将题干的图形描点之后为下图，将选项A图描出如下所示：通过与原图对比发现，BCD面中的D点错误，在原图中应该是C点，故A项错误。
将选项B图中的点描出，如下所示通过与原图对比发现，ABD面错误，应该为CBD，故B项错误。
将选项C图中的点描出如下所示：通过与原图对比发现ABD面错误，应该为ABC面，故C项错误。
将选项D图中的点描出后完全无误，故正确答案为D项。
正四面体相关结论
正四面体相关结论正四面体是一种具有特殊性质的几何图形，它由四个相等的正三角形组成，每个角都是60度。
在正四面体中，有一些重要的结论和性质，这些结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用。
1、中心与顶点之间的关系正四面体的中心到四个顶点的距离相等，也就是说，中心是四个顶点所组成的菱形的中心。
这个结论可以用于计算正四面体的半径和中心到顶点的距离。
2、边长与高之间的关系正四面体的边长和高之间有一个重要的关系，即高是边长的2/3。
这个结论可以用于计算正四面体的高，也可以用于解决与正四面体的边长和高有关的问题。
3、体积与半径之间的关系正四面体的体积与半径之间有一个重要的关系，即体积是半径的立方根。
这个结论可以用于计算正四面体的体积，也可以用于解决与正四面体的体积和半径有关的问题。
4、三个两两垂直的平面相交于一点在正四面体中，三个两两垂直的平面相交于一点，这个结论可以用于解决与正四面体的三个两两垂直的平面相交有关的问题。
5、相对的两条边互相垂直在正四面体中，相对的两条边互相垂直，这个结论可以用于解决与正四面体的相对的两条边互相垂直有关的问题。
正四面体的一些重要结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用，这些结论和性质可以帮助我们更好地理解和解决正四面体的问题。
正四面体外接球和内切球的半径的求法在几何学中，正四面体是一种具有特殊性质的几何形态。
它由四个相等的正三角形构成，每个面都是一个等边三角形。
这种几何形态在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学等。
在解决实际问题时，我们常常需要找出正四面体的外接球和内切球的半径。
下面将介绍两种求法。
第一种方法是通过几何计算直接求解。
首先，我们需要找到正四面体的中心点。
这个点可以通过连接正四面体的四个顶点并取其中间位置来找到。
一旦找到了中心点，我们就可以通过连接这个点和正四面体的各个顶点，找到外接球的球心。
外接球的半径就是从球心到正四面体顶点的距离。
内切球的半径则是从球心到正四面体四个面的中心的距离。
空间几何中的四面体与四面体的性质
空间几何中的四面体与四面体的性质四面体是空间几何中的一个基本几何体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的性质十分有趣，它们在数学和几何中有广泛的应用。
本文将介绍四面体的定义、特征以及一些重要的性质。
一、四面体的定义和构造四面体的定义很简单：它是一个具有四个面的立体，且每个面都是一个三角形。
这四个面彼此相邻，共享边。
通过四个顶点，可以唯一地确定一个四面体。
构造四面体有多种方法，下面介绍两种常见的方法。
1. 顶点法构造：选取空间中的四个点作为四面体的顶点，通过连接这四个点，就可以构造出一个四面体。
2. 剖分法构造：将一个三角形沿着一个内部点作剖分，得到四个小三角形。
这四个小三角形的边即为四面体的边，而原来的三角形则成为四面体的底面。
无论是哪种构造方法，生成的四面体都具有相同的性质和特征。
二、四面体的性质1. 顶点、边、面和体积：一个四面体有四个顶点、六条边、四个面。
其中每个面都是一个三角形，每个顶点都是三条边的交点。
四面体的体积可以通过海伦公式来计算，该公式将四面体的面积和边长联系在一起。
设四面体的底面积为S，底面和顶点的距离为h，则四面体的体积V可以通过如下公式求得：V = (1/3) * S * h。
2. 共面性：四面体的四个顶点不共面，也就是说它们不会在同一个平面上。
这个性质使得四面体与其他几何体有所区别。
3. 高度和正交性：对于任意一个面，可以通过顶点引垂线得到一条高。
同时，四面体的相邻面也满足正交关系，即相交直线互相垂直。
4. 对称轴和中线：四面体具有对称轴和中线。
对称轴是通过两个相对的棱的中点连接而成的直线，它可以将四面体分为两个对称的部分。
中线则是通过两个相对的顶点的中点连接而成的直线。
5. 欧拉公式：对于一个凸四面体，其顶点数、边数和面数满足欧拉公式：顶点数 + 面数 = 边数 + 2。
四、特殊类型的四面体1. 正四面体：四个等边三角形组成的四面体称为正四面体。
正四面体具有以下特点：所有边长相等，任意两条边的夹角为60度，底面上的高相等。
高一数学正四面体知识点
高一数学正四面体知识点正四面体是一种特殊的多面体，具有一些独特的性质和特点。
在高一数学中，正四面体是一个重要的几何概念，学习正四面体的知识点对于理解空间几何关系和解决相关问题至关重要。
本文将为大家介绍高一数学中与正四面体相关的知识点。
一、正四面体的定义和性质正四面体是由等边三角形组成的四面体。
其定义需要满足以下条件：1. 四个面均为等边三角形；2. 任意两个面的交线是一个点，称为顶点；3. 任意两个顶点之间的线段相等。
正四面体具有以下性质：1. 所有边长相等，所有的面都是等边三角形；2. 任意两个面之间的夹角为60度；3. 所有的侧面都与底面平行；4. 顶点到底面的距离是底边的一半。
二、正四面体的体积和表面积计算1. 体积计算：正四面体的体积计算公式为V = (√2/12) * a³，其中a为边长。
证明过程：设A为底面中心点，连接A与顶点B，由于正四面体对称性，三角形ABC是等边三角形。
连接O为AB上的中线，连接C为底面上的点到顶点B的垂线，由勾股定理，AB²=BO²+AO²，得到AB²= (1/4)a²+a²，即AB=√2/2 * a。
由底面AB与顶点C的连线构成一个立体角∠ABC，因此这个角是等角，其大小为60°，同时，BC与底面上任意一条边都是垂直的，也即与该底面平行，所以这个三面角是一个锐角。
我们先求出这个三角形底边的长度，设为h，可知tan60°=h/AB,即h=AB*√3=√2/2 * a * √3=a√6/2，所以a*h= (1/4)*a²√6。
故正四面体的体积为V= (1/3)*底面面积*高= (1/3)* (1/4)*a²√3 * a√6/2 = (1/12)*a³√2。
2. 表面积计算：正四面体的表面积计算公式为S = √3 * a²，其中a为边长。
多面体的几何算法
正多面体：各个面是全等的正多边形并且各个多面角也是全等的多面角的多面体。
正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
五种正多面体又称为柏拉图氏体。
以下均以a表示棱长。
一、正四面体：由四个全等的正三角形所组成的几何体。
它有四个面、四个 顶点、六条棱。
每个二面角均为70°32′。
有四个三面角， 每个三面角的面角均为60°。
a=
Area=0
V=0
二、正六面体：又称“正方体”、“立方体”、“六等面体”或“直角方体 ”。
指由六个全等的正方形组成的几何体。
它有六个面、八 个顶点、十二条棱。
每一棱上的二面角均为90°。
有八个三 面角，每个三面角的面角都是90°。
a=
Area=0
V=0面对角线长0体对角线长0
内切球V=0
外切球V=0
正 多 面 体 类 形 体 几 何 计 算
三、正八面体：由八个全等的正三角形组成的几何体。
它有八个面、六个顶 点及十二条棱。
每个二面角约为109°28′。
有六个四面角 ，每个四面角的面角均为60°。
a=Area=0V=
四、正十二面体：又名“十二等面体”。
由十二个全等的正五边形组成的几
a=Area=0V=。
证明甲烷是正四面体结构的事实
证明甲烷是正四面体结构的事实甲烷，即化学式为CH4的分子，是一种简单的有机化合物。
它由一个碳原子和四个氢原子组成，四个氢原子均连接在碳原子上，形成一个四面体结构。
下面将从分子结构、键角和化学性质等方面来证明甲烷是正四面体结构的事实。
我们来看甲烷的分子结构。
甲烷的分子中有一个碳原子和四个氢原子。
碳原子与每个氢原子之间通过共价键相连。
共价键的形成是由于碳原子的四个价电子和氢原子的一个价电子之间的共享。
由于碳原子形成四个共价键，每个氢原子都与碳原子相连，甲烷分子的结构呈正四面体。
我们来分析甲烷分子中的键角。
键角是指两个相邻原子和其中一个氢原子之间的夹角。
在甲烷分子中，碳原子与四个氢原子之间的键角均相等。
根据实验测定，甲烷分子中的C-H键角约为109.5度。
正四面体的内角为109.47度，非常接近甲烷分子中的键角。
这进一步证明了甲烷是正四面体结构的事实。
甲烷的化学性质也支持它是正四面体结构。
由于甲烷分子中的四个氢原子位置相对等，因此它具有旋转对称性。
这种旋转对称性使甲烷分子在化学反应中具有特殊的稳定性。
甲烷与氧气反应时，氧气会优先与甲烷分子中的碳原子发生反应，而不是与氢原子发生反应。
这是因为甲烷分子中的四个氢原子位置相对等，氧气无法选择性地与其中的一个氢原子发生反应。
这种化学性质与正四面体的对称性一致，进一步证明了甲烷是正四面体结构的事实。
甲烷是正四面体结构的事实可以通过分子结构、键角和化学性质等方面来证明。
甲烷分子中的四个氢原子均连接在碳原子上，形成一个四面体结构。
碳原子与氢原子之间的键角约为109.5度，非常接近正四面体的内角。
甲烷分子具有旋转对称性，使其在化学反应中具有特殊的稳定性。
这些事实明确地表明甲烷是正四面体结构的。
正四面体的性质及应用
正四面体的性质及应用正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示．一、理顺正四面体性质——固本清源不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理：定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为；定理2．正四面体的高为；定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为，且有；略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心重合为点O，并且位于正四面体的高AH上，连结BO、CO、DO，易知，且，从而AO、BO、CO、DO两两所确定的平面将正四面体分割成四个形状相同的正三棱锥：，，且每一个小正三棱锥的高都是内切球的半径，于是有，即，亦即有，所以，．故定理4．正四面体的全面积为，体积为；定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)．定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为；定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为；略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知．定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有略证：如图1所示，易知，，由H为的中心，易知，从而．定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得．定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为．∴正方体的内切球半径．∴．分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．解法二．∵正四面体的棱长为a，∴由定理1可知，相对棱间的距离为．即该球的半径为．∴．例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值．解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也是正四体相邻两面的二面角的平面角，即∠NPM＝∠CED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得，∴2．妙求空间角例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线，若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为．解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，设，由正四面体的性质，可知余弦值为例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连结AF、CE．⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；⑵求CE与面BCD所成的角．解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作EG∥AF交DF于点G．则是异面直线AF与CE所成的角（或其补角）．设正四面体ABCD的棱长为a，可得，，．由余弦定理可求得．故异面直线AF与CE所成的角为．⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角．∵EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴．∴CE与底面BCD所成的角为．例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值．解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，如图所示，即CC 1、DD 1为该球的直径．连结C 1D 1，交AB 于点M ，连结MC ．∵ MC ⊥AB ，MD 1⊥AB ，∴ ∠CMD 1为平面ABC 与平面AC 1D 1所成的角．设正方体棱长为a ，在中，．∴ 平面ABC 与平面ACD 所成的角的正弦值为．归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升．1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不P ABC -D E F AB BC CA成立的是 ② ．①面；//BC PDF ②面面；PDF ⊥ABC ③面；DF ⊥PAE ④面面．PAE ⊥ABC2.正四面体中，与平面ABCD AB ACD3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值ABCD E F AD BC EF BA为 ()A ．4B ．C ．D ．24-2-选：．C 4.以下说法①三个数，，之间的大小关系是；20.3a =2log 0.3b =0.32c =b a c <<②已知：指数函数过点，则；()(0,1)x f x a a a =>≠(2,4)log 41a y =③；3④已知函数的值域是，，则的值域是，；()y f x =[13]()(1)F x f x =-[02]⑤已知直线平面，直线在内，则与平行．//m αn αm n 其中正确的序号是 ①③ ．5.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM AD ()A ．BCD ．1223选：．C 6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线ABCD E F AD BC AF CE 和所成角的正弦值为 AF CE ()A ．B ．CD 1323选：．D【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答AF CE 案．B 7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，A BCD -E AD P AC BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是 ()A B ．C D ．6π32π选：．A 8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面ABCD E AB A B E ACD和平面的距离分别为，，则的最小值为 BCD a b 11a b+【考点】：基本不等式及其应用7F 【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式5F 5T 【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交O ACD OB EF AO ⊥F AO CD于点，则点为的中点．设．，，M M CD (01)AE AB λλ=<<23AO AM =AM =．由，可得．同理可得：BO =//EF BO EF BO a λ===．代入利用基本不等式的性质即可得出．)b EN λ==-【解答】解：如图所示，设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点O ACD OB EF AO ⊥F AO CD ，则点为的中点．M M CD 设．(01)AE AB λλ=<<2233AO AM ===BO ∴==，//EF BO．EF BO a λ∴===同理可得：．)b EN λ==-当且仅当时取等号．∴2111111()11(1)()2a b λλλλλλ+=+==+---…12λ=故答案为：9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列M ABCD AB N CD C D 结论中，正确的个数有 ()（1）；（2）若为中点，则与所成角为；MN AB ⊥N MN AD 45︒（3）平面平面；（4）存在点，使得过的平面与垂直．CDM ⊥ABN N MN AC A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：LM LO LW 直线与平面垂直；：平面与平面垂直LY 【专题】14：证明题【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取CM DM AB ⊥CDM MN AB ⊥AC 中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，E EM EN EN NM 就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为MN AD MN AD ，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定45︒MN AB ⊥理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在N MN AC 的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有N MN AC ⊥N CD ”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直．MN AC ⊥N MN AC 【解答】解：（1）连接、CM DM正中，为的中点ABC ∆M AB CM AB∴⊥同理，结合DM AB ⊥MC M D M= 平面，而平面AB ∴⊥CDM MN ⊆CDM，故（1）是正确的；MN AB ∴⊥（2）取中点，连接、AC E EM EN中，、分别是、的中点ADC ∆ E N AC CD ，．//EN AD ∴12EN AD =、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角EN ∴NM MN AD设正四面体棱长为，在中，2a MCD ∆2CM DM a ===则中Rt MNC ∆122CN a a =⨯=∴MN ==在中，MNE ∆122ME EN a a ==⨯=∴222cos 2EN MN EM ENM EN MN +-∠==⨯⨯，即异面直线、所成的角是，故（2）正确；45ENM ∴∠=︒MN AD 45︒（3）由（1）的证明知：平面AB ⊥CDM平面AB ⊂ ABN平面平面，故（3）正确；∴ABN ⊥CDM （4）若有，根据（1）的结论，MN AC ⊥MN AB ⊥因为、相交于点，所以平面AB AC A MN ⊥ABC中，，MCD ∆ CM MD ==2CD a =2221cos 023CM MD CD CMD CM MD +-∴∠==> 可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中，CMD ∠N CD C D 的最大值是锐角，不可能是直角，CMN ∠因为平面，与不能垂直，CM ⊂ABC CM NM 以上结论与平面矛盾，MN ⊥ABC 故不论在线段上的何处，都不可能有．N CD MN AC ⊥因此不存在点，使得过的平面与垂直．N MN AC 综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）故选：．C 10.棱长为的正四面体中，给出下列命题：a ①正四面体的体积为；324a V =②正四面体的表面积为；2S =③内切球与外接球的表面积的比为；1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．上述命题中真命题的序号为 ②③④ ．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积LE LF 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离5F【分析】①正四面体的高，体积为，计算即h ==213V =可判断出正误；②正四面体的表面积为，即可判断出正误；24S a =③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r，解得，即可判断出正误；R =R ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简即可判断出正误．221133H ⨯=【解答】解：①正四面体的高，体积为h ==，因此不正确；3231324a V ==≠②正四面体的表面积为，正确；224S a ==③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；r R 23143r ⨯=r =，解得．R =R =，因此表面积的比为，正确；:1:3r R ∴=1:9④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则H，化简可得：，即为正四面体的高，221133H ⨯=H =均为定值，正确．上述命题中真命题的序号为②③④．。
正四面体表面积计算公式
正四面体表面积计算公式
正四面体，即棱锥，其主要特征是所有的六条棱的长度均相等，以及有四个相等的三角形面。
它吸引人们注意的地方是，即便只有几个简单的几何形体，但它也具有精美的建筑外观以及优秀的几何特性。
正四面体表面积的计算，可以使用Heron公式来实现，该公式如下：S=Sqrt（s （s-a）（s-b）（s-c）），其中a,b,c分别为正四面体的三条边，s为三边的一半周长。
首先，需要计算该正四面体的边长，通常可以直接测量获得。
而要计算三边的一半周长，只需将所有边求合便可得出，即s=（a+b+c）/2。
然后，将该值带入Heron公式中，即可得出正四面体的表面积。
另外，也可以直接使用海伦公式来实现，公式为：S=sqrt (p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p =（a+b+c）/2。
正四面体因其独特的几何特点，使其特殊的表面积计算法受到广泛的应用。
Heron公式和海伦公式是最常见的正四面体表面积计算方法，也是最简单的方法，当计算正四面体的表面积时，可以使用上述方法，也可以应用其他公式，但有时使用繁琐的公式会引起头痛，因此，最好使用最简单的公式以降低计算难度。
正四面体公式范文
正四面体公式范文正四面体是一种特殊的多面体，它由四个三角形面组成，每个面都与其他三个面相邻，并且每个面的大小和形状都相等。
正四面体公式是一组用于计算正四面体体积、表面积、高度等参数的公式。
下面将详细介绍正四面体的公式及其推导。
首先，我们定义正四面体的一些重要参数：-边长：正四面体的边长等于四边形面所组成的三角形的边长。
-高度：正四面体的高度是指从一个顶点到相对的底面所在的平面的垂直距离。
-侧面积：正四面体的侧面积是指四个三角形面的总面积。
-底面积：正四面体的底面积是指从一个底面顶点出发，与相对底面为底的三角形的高所组成的梯形面积的一半。
-体积：正四面体的体积是指四个三角形面的共同重心到其中一个顶点的距离。
接下来我们将分别推导这些参数的计算公式。
1.侧面积我们可以将正四面体分成四个三角形ABC、ACD、ADB和BDC，它们共同组成了正四面体的表面。
设正四面体的边长为a，则这四个三角形的面积可以根据海伦公式计算：S_ABC=√(p*(p-a)*(p-a)*(p-a))其中p=(3*a)/2是半周长。
所以正四面体的侧面积S_T=S_ABC+S_ACD+S_ADB+S_BDC=4*S_ABC=2.598*a^22.底面积由于正四面体的底面为等边三角形，我们可以直接使用等边三角形的面积公式计算底面积：S_base = (√3 * a^2) / 43.体积对于正四面体的体积V，我们可以通过找到正四面体的重心来计算。
正四面体的重心是指四个顶点和四个面的重心的交点，即正四面体的对称中心。
设正四面体的高度为h，重心到顶点的距离为d，则有如下关系：d=(1/4)*h根据类似的概念，正四面体的体积V可以表示为底面积与高度h的乘积的1/3，即：V = (1/3) * S_base * h而高度h可以通过勾股定理计算，我们可以将正四面体的边长a、高度d和高度h组成一个直角三角形，其中斜边的长度为a，直角边的长度为d，所以有：h=√(a^2-d^2)=√(a^2-(1/16)*h^2)解方程得：h^2=(16/15)*a^2代入体积公式得到正四面体的体积公式：V=(√2/12)*a^3由上面的推导可以得出正四面体的体积、表面积和高度的计算公式。
正四面体体积公式推导过程
正四面体体积公式推导过程
正四面体是一个四个等边等角三角形构成的多面体，每个三角形的边长为a。
现在来推导正四面体的体积公式。
我们首先考虑正四面体的高，即从顶点到底面的垂直距离。
由于正四面体是等边等角三角形构成的，所以高可以被分为两段，每段的长度为h/2。
接下来，我们来计算正四面体的底面积，即一个等边等角三角形的面积。
由于每个等边等角三角形的边长为a，我们可以通过海伦公式计算该三角形的面积。
设半周长为s，即s=(3a)/2，则根据海伦公式，该三角形的面积S可以表示为：
S=√(s×(sa)^3)
由于正四面体有4个等边等角三角形构成，所以底面积A可以表示为：
A=4×S=4×√(s×(sa)^3)
现在我们有了正四面体的底面积A和高h/2，我们可以使用体积公式来计算正四面体的体积V。
体积公式为：
V=(1/3)×A×(h/2)
代入我们之前计算得到的底面积A和高h/2，可以得到：
V=(1/3)×4×√(s×(sa)^3)×(h/2)
将表达式化简，我们可以得到正四面体的体积公式：
V=(1/3)×√(s×(sa)^3)×h
以上就是正四面体体积公式的推导过程。
可以看出，正四面体的体积与边长a和高h有关，通过这个公式我们可以计算正四面体的体积。
四面体的欧拉公式
四面体的欧拉公式四面体是一种由四个面和四条边所构成的立体图形，它是立体几何学中的一个基本图形。
欧拉公式是数学家欧拉在18世纪提出的一条基本公式，揭示了凸多面体的面数、边数和顶点数之间的关系。
对于四面体而言，欧拉公式可以表示为：面数+顶点数=边数+2在推导四面体的欧拉公式之前，让我们首先了解一下四面体的性质。
四面体的性质与命名：四面体的特点是四个面，每个面都是一个三角形。
四面体的四个顶点两两不在同一平面上，四个面两两相交于一个共同的边。
四面体有许多特殊的性质和命名：1.顶点：四面体中的顶点是立体图形的顶点，共有四个，用A、B、C、D等字母表示。
2.边：四面体的边是由两个顶点间的连线所形成，共有六条，用AB、AC、AD、BC、BD、CD等字母表示。
3.三角面：四面体的四个面都是三角形。
以面ABC为例，顶点A、B、C是该面的三个顶点，分别用字母A、B、C表示。
4.高：对于四面体的三个脚点和与之相对的面，可以得到三条高。
这些高线相交于一个点，称为四面体的垂心。
5.侧面：以边AB为底边的高位与侧边CD所成的面称为四面体的一个侧面，用ABC表示。
现在我们来证明四面体的欧拉公式。
证明四面体的欧拉公式：首先，我们假设四面体的面数为F，边数为E，顶点数为V。
由于四面体有四个面，所以F=4、边数等于四个面的边的总数，即E=6接下来，我们来计算顶点数V。
对于四面体而言，每个面都是一个三角形，所以四个面总共有12条边。
每个顶点是三个面的顶点，所以每个顶点对应3条边。
因此，顶点数V可以通过E/3计算得到，即V=6/3=2现在我们将F、E和V的值代入欧拉公式中：F+V=E+2由于F=4、E=6和V=2，所以4+2=6+2，即6=8我们可以看到，当代入四面体的面数、边数和顶点数时，等式的结果不一致。
这是因为欧拉公式仅适用于凸多面体，而四面体是凸多面体的一种。
如果我们将四面体的一个面切割，形成一个新的面与旧的面相交，我们可以得到一个新的多面体，它是一个正四面体。
亚磷酸 分子构型
亚磷酸分子构型
亚磷酸是一种无机化合物，化学式为$H_3PO_3$，分子量为$82.00$。
在亚磷酸根中，磷是$sp^3$杂化，呈现正四面体形，即正四面体的三个端点各放一个氧原子，一个端点放氢原子，中心放磷原子。
亚磷酸根的分子中存在离域键使得键长平均化，存在$\pi_3\yor4$，因此单双键不是准确结构。
在中学阶段，可以认为是单双键连接，直接写成图中的结构（亚磷酸结构去掉两个羟基氢，带上两mol负电荷即可）。
亚磷酸有强还原性，容易将银离子（Ag）还原成金属银（Ag），能将硫酸还原成二氧化硫。
此外，亚磷酸还有一些应用价值，如用作还原剂，尼龙增白剂，也用作亚磷酸盐原料，农药中间体以及有机磷水处理药剂的原料。
即正四面体
答案：B
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类型一
多面体的概念与性质
解题准备：正四面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有下列常用性质 设正四面体的棱长为 a，则正四面体有下列常用性质： (1)有关长度方面的性质： 6 ①高 h＝ a； 3 6 ②外接球半径 R＝ a； 4
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6 ③内切球半径 r＝ a； 12 2 ④与各棱都相切的球半径 r′＝ a； 4 ⑤h R r＝ ；
第四十六讲 (第四十七讲(文))多面体与球
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回归课本 1.多面体和正多面体 (1) 多面体：若干个平面多边形围成的几何体叫 做多面体． (2) 凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平 面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧， 这样的多面体叫做凸多面体． (3) 正多面体：每个面都是有相同边数的正多边 形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱 的凸多面体，叫做正多面体．正多面体只有五 3 共 57 页 种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十 二面体、正二十面体．
解析：求 B 的位置，即求 B 的经度． 连结 OA、 OB，由题意知 1 AB ＝ πR， OA＝ OB＝ R， 3 π ∴∠ AOB＝ ， 3
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即△ AOB 为正三角形．∴AB＝ R. 2 又∠ OAO′＝ 45° ，∴ O′A＝ R， 2 且 O′A2＋ O′B2＝ AB2. ∴∠ AO′B＝ 90° . ∵ A 在东经 20° 处，∴ B 在东经 20° ＋ 90° ＝ 110° ，北纬 45° 处 或 B 在西经 90° － 20° ＝ 70° ，北纬 45° 处． ∴ A、 B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧长为 90π·O′A 2 ＝ πR. 180 4
什么是正四面体？
什么是正四面体？正四面体，又被称为四面体，是一种特殊的多面体。
它由四个等边三角形组成，四个顶点的三条边都相交于同一点。
正四面体在数学和几何领域具有重要的地位，它是一种简单而又有趣的几何形体。
下面将从不同的角度，向您介绍什么是正四面体。
一、数学定义及性质1.1 等边三角形的构成正四面体的每个面都是等边三角形，这意味着每个三角形的三条边相等。
等边三角形具有很多特殊的性质，如内角为60度，边长相等等。
正四面体中，这四个等边三角形共同构成了这个立体。
1.2 顶点及边的关系正四面体的四个顶点都与其他三个顶点相连，形成了正四面体的四条边。
任意两个顶点的连线即为正四面体的一条边。
由于每个顶点都与其他三个顶点相连，所以正四面体共有6条边。
这些边的相互关系使得正四面体具有固定的形状和结构。
二、正四面体的特征与应用2.1 基本特征正四面体是一种简单而又对称的几何形体。
它具有以下几个基本特征：（1）所有的面都是等边三角形，每个面的三个内角都为60度；（2）四个顶点和边的关系符合特定的几何规律，具有一定的对称性；（3）正四面体是四面体中最简单的一种，较易于理解和分析。
2.2 造型设计正四面体的对称结构使得它在造型设计领域具有广泛的应用。
许多建筑和雕塑作品中都采用了正四面体作为设计元素，它不仅能够增加艺术品的美感，还能够展示出一种简洁而又有力的结构空间感。
2.3 数学探索正四面体在数学领域有着广泛的应用。
它与立体几何、计算几何和线性代数等学科有着密切的关系。
例如，在三维坐标系中，正四面体的顶点坐标可以由特定的向量表示，这种表示方式能够简化数学计算，并且可以应用于各种数学问题的求解。
三、正四面体的变形与扩展3.1 正四面体的变形正四面体可以进行各种形态的变形。
例如，通过改变等边三角形的边长和角度，可以得到不同大小和形状的正四面体。
这种变形可以改变正四面体的外观，但无论如何变形，正四面体的基本结构和特征仍然保持不变。
3.2 正四面体的扩展正四面体还可以通过延长或缩短其边的长度，使得正四面体的形状发生改变。
四元正四面体摆法要点
四元正四面体摆法要点
四元正四面体（也称为正四面体）是一个特殊的多面体，它具有四个相等的三角面和四个相等的顶点。
四元正四面体摆法指的是将四个四元正四面体通过其顶点连接在一起形成一个摆型结构。
以下是四元正四面体摆法的一些要点：
1.选择合适的材料：四元正四面体摆型结构一般是由杆件和节
点组成，因此选择合适的材料对摆法的稳定性和耐用性非常重要。
常用的材料包括金属杆件、塑料杆件或其他合适的材质。
2.建立底部三角形：首先确定一个底部三角形，将三个四元正
四面体的底部三个顶点连接起来。
这将形成摆型结构的基础。
确保连接的稳固和垂直度。
3.定义高度：确定摆型结构的高度，即上方的顶点离底部三角
形的距离。
确定高度后，将底部三角形的三条边与该顶点相连，形成摆型结构的立体形状。
4.安排剩余的顶点：将剩余的一个四元正四面体的顶点与底部
三角形的三个顶点连接起来。
这将使摆型结构的立体形状更加稳定。
5.确保稳固性：确保杆件和节点的连接牢固稳定，以防止摆型
结构的倾斜或倒塌。
杆件的长度和角度应根据结构的设计和应力分析来确定。
6.注意对称性：四个四元正四面体在摆型结构中应保持对称。
通过调整每个顶点的位置和角度，使摆型结构看起来平衡和对称。
四元正四面体摆法是一个复杂的结构设计过程，要确保结构的稳定性和安全性，需要进行适当的建模和分析。
在实际应用中，还需要考虑到负载等因素，以确保该结构的使用安全和可靠。
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考点陪练 1.设球 O 的半径是 1，A、B 、C 是球面上三点，已知 A 到 B 、 π π C 两点的球面距离都是 ，且二面角 B OA C 的大小为 ，则从 A 2 3 点沿球面经 B、 C 两点再回到 A 点的最短距离是( )
7π A. 6
5π B. 4
4π C. 3
3π D. 2
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解析：作出球的轴截面图如下图．
设球的半径为 3R， 则 MM′＝ NN′＝ 9R2－ R2＝ 8R， 5 R.
9R2－ 4R 2＝
∴所截三个圆的面积之比为： π·( 5 R) 2 8R)2 R)2＝
答案：D
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4．(2011·名校模拟)如图，在棱长为a的正方体 ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方 体中两条互为异面直线的棱A1A、BC的中点P、 1 ．( 2－1)a B. a QA 作直线，该直线被球面截在球内的线段的长 2 为(1 ) 2
π A. 4 π C. 2 π B. 3 2π D. 4
)
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解析：设 OE、 OF 分别交 AB、AC 于点 M、 N，则 M、 N 分 π π 别为 AB、 AC 中点， OM＝ ON＝MN，∠ MON＝ ，即∠EOF＝ ， 3 3 π 故 E、F 的球面距离为 R· α＝ (其中 R＝1)． 3
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π 解析：∵球的半径 R＝ 1， A 到 B、 C 的球面距离均为 ， 2 ∴∠ AOB＝ 90° ，∠ AOC＝ 90° ， ∴ AO⊥ OB， AO⊥ OC， π 又∵二面角 BOAC 的大小为 ， 3 π ∴∠ BOC＝ ，设 AB，AC，BC 的球面距离记为 lAB、lAC、lBC， 3 π π π 4 ∴最短距离为 lAB＋ lAC＋ lBC＝ ＋ ＋ ×1＝ π.故选 C. 2 2 3 3
第四十六讲 (第四十七讲(文))多面体与球
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回归课本 1.多面体和正多面体 (1) 多面体：若干个平面多边形围成的几何体叫 做多面体． (2) 凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平 面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧， 这样的多面体叫做凸多面体． (3) 正多面体：每个面都是有相同边数的正多边 形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱 的凸多面体，叫做正多面体．正多面体只有五 3 共 57 页 种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十 二面体、正二十面体．
答案：C
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2．在北纬 45° 的纬线圈上有 A、B 两地， A 地在东经 110° 处， B 地在西经 160° 处，设地球半径为 R，则 A、B 两地的球面距离是 ( ) π A. R 2 5π C. R 3 π B. R 3 D．πR .
解析：设北纬 45° 的纬线圈圆心为 O1，∠ AO1B＝ 90° ，AO1＝ 2 BO1＝ R，AB＝ R，设球心为 O，∠ AOB＝ 60° ，则 A、B 两地的 2 π 球面距离是 R. 3
1 2 a － 2
2 2 2 a ＝ 4 a， 4
答案：D 13 共 57 页 点评： 本题着重考查空间想象能力和运算能力， 添加适当的辅助线并结合平面几何知识可圆满
5．如图，O 是半径为 1 的球的球心，点 A 、B、C 在球面上， OA、OB、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点， 则点 E、 F 在该球面上的球面距离是(
2 ⑥对棱距离 d＝ a. 2 (2)有关面积、体积方面的性质： ①全面积为 S＝ 3a2； ②体积为 V＝ 2 3 a. 12
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【典例 1】 已知 A—BCD 是棱长为 a 的正四面 体． (1)求证：AB⊥CD； (2)求二面角A—BC—D的余弦值；
C. a 4 D. 2 a
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解析：
如图，连结并延长 PO 交对棱 C1C 于 R，则 R 为对棱的中点， 1 2 取 MN 的中点 H， 则 OH⊥ MN.从而 OH∥ RQ， 且 OH＝ RQ＝ a. 2 4 故 MH＝ OM － OH ＝ ∴ MN＝ 2 a.故选 D. 2
2 2
答案：B
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3 ．设 M 、 N 是球 O 半径 OP 上的两点，且 NP ＝ MN ＝ OM ，分别过 N 、 M 、 O 作垂直于 OP 的平 面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比 为 ( ) A．3 5 6 B．3 6 8 C ．5 7 9 D ．5 8 9
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③球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下 面的关系：r＝ R2－d2 . (3)球面距离：经过球面上两点的大圆的劣弧长叫做两点的球 面距离． 4 3 (4)球面面积 S 球面＝4πR ；球体积 V 球 ＝ πR . 3
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ห้องสมุดไป่ตู้
点评： (1) 在球的有关计算中，由球的半径 R ， 截面圆的半径及球心到截面距离O′O构成的直角 三角形，是常用的关键图形． (2) 球面上两点间的距离是指过这两点的球的大 圆上两点间的劣弧长，其计算思路：如图所示， 解△ O′AB 得 AB 的长，解△ OAB 得 ∠ AOB 的弧 度数；利用l＝|α|R得球面上A，B两点间的球面 距离．
2．球 (1)球面和球的概念 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫 做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称 球． 球也可以看作与定点(球心)的距离等于或小于定 长(半径)的所有点的集合(轨迹)． (2)球的截面的性质 ①用一个平面去截球，截面是圆面； ②球心到截面圆心的连线垂直于截面；
答案：B
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类型一
多面体的概念与性质
解题准备：正四面体有下列常用性质 设正四面体的棱长为 a，则正四面体有下列常用性质： (1)有关长度方面的性质： 6 ①高 h＝ a； 3 6 ②外接球半径 R＝ a； 4
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6 ③内切球半径 r＝ a； 12 2 ④与各棱都相切的球半径 r′＝ a； 4 ⑤h R r＝ ；