即正四面体

答案：B
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3 ．设 M 、 N 是球 O 半径 OP 上的两点，且 NP ＝ MN ＝ OM ，分别过 N 、 M 、 O 作垂直于 OP 的平 面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比 为 ( ) A．3 5 6 B．3 6 8 C ．5 7 9 D ．5 8 9

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π 解析：∵球的半径 R＝ 1， A 到 B、 C 的球面距离均为 ， 2 ∴∠ AOB＝ 90° ，∠ AOC＝ 90° ， ∴ AO⊥ OB， AO⊥ OC， π 又∵二面角 BOAC 的大小为 ， 3 π ∴∠ BOC＝ ，设 AB，AC，BC 的球面距离记为 lAB、lAC、lBC， 3 π π π 4 ∴最短距离为 lAB＋ lAC＋ lBC＝ ＋ ＋ ×1＝ π.故选 C. 2 2 3 3
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解析：作出球的轴截面图如下图．
设球的半径为 3R， 则 MM′＝ NN′＝ 9R2－ R2＝ 8R， 5 R.
9R2－ 4R 2＝
∴所截三个圆的面积之比为： π·( 5 R) 2 8R)2 R)2＝

答案：D
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4．(2011·名校模拟)如图，在棱长为a的正方体 ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方 体中两条互为异面直线的棱A1A、BC的中点P、 1 ．( 2－1)a B. a QA 作直线，该直线被球面截在球内的线段的长 2 为(1 ) 2
1 2 a － 2
2 2 2 a ＝ 4 a， 4
答案：D 13 共 57 页 点评： 本题着重考查空间想象能力和运算能力， 添加适当的辅助线并结合平面几何知识可圆满

5．如图，O 是半径为 1 的球的球心，点 A 、B、C 在球面上， OA、OB、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点， 则点 E、 F 在该球面上的球面距离是(

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③球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下 面的关系：r＝ R2－d2 . (3)球面距离：经过球面上两点的大圆的劣弧长叫做两点的球 面距离． 4 3 (4)球面面积 S 球面＝4πR ；球体积 V 球 ＝ πR . 3
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点评： (1) 在球的有关计算中，由球的半径 R ， 截面圆的半径及球心到截面距离O′O构成的直角 三角形，是常用的关键图形． (2) 球面上两点间的距离是指过这两点的球的大 圆上两点间的劣弧长，其计算思路：如图所示， 解△ O′AB 得 AB 的长，解△ OAB 得 ∠ AOB 的弧 度数；利用l＝|α|R得球面上A，B两点间的球面 距离．

答案：B
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类型一
多面体的概念与性质
解题准备：正四面体有下列常用性质 设正四面体的棱长为 a，则正四面体有下列常用性质： (1)有关长度方面的性质： 6 ①高 h＝ a； 3 6 ②外接球半径 R＝ a； 4
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6 ③内切球半径 r＝ a； 12 2 ④与各棱都相切的球半径 r′＝ a； 4 ⑤h R r＝ ；


第四十六讲 (第四十七讲(文))多面体与球
ห้องสมุดไป่ตู้
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回归课本 1.多面体和正多面体 (1) 多面体：若干个平面多边形围成的几何体叫 做多面体． (2) 凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平 面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧， 这样的多面体叫做凸多面体． (3) 正多面体：每个面都是有相同边数的正多边 形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱 的凸多面体，叫做正多面体．正多面体只有五 3 共 57 页 种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十 二面体、正二十面体．
2 ⑥对棱距离 d＝ a. 2 (2)有关面积、体积方面的性质： ①全面积为 S＝ 3a2； ②体积为 V＝ 2 3 a. 12
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【典例 1】 已知 A—BCD 是棱长为 a 的正四面 体． (1)求证：AB⊥CD； (2)求二面角A—BC—D的余弦值；

答案：C
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2．在北纬 45° 的纬线圈上有 A、B 两地， A 地在东经 110° 处， B 地在西经 160° 处，设地球半径为 R，则 A、B 两地的球面距离是 ( ) π A. R 2 5π C. R 3 π B. R 3 D．πR .
解析：设北纬 45° 的纬线圈圆心为 O1，∠ AO1B＝ 90° ，AO1＝ 2 BO1＝ R，AB＝ R，设球心为 O，∠ AOB＝ 60° ，则 A、B 两地的 2 π 球面距离是 R. 3

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考点陪练 1.设球 O 的半径是 1，A、B 、C 是球面上三点，已知 A 到 B 、 π π C 两点的球面距离都是 ，且二面角 B OA C 的大小为 ，则从 A 2 3 点沿球面经 B、 C 两点再回到 A 点的最短距离是( )
7π A. 6
5π B. 4
4π C. 3
3π D. 2
π A. 4 π C. 2 π B. 3 2π D. 4
)
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解析：设 OE、 OF 分别交 AB、AC 于点 M、 N，则 M、 N 分 π π 别为 AB、 AC 中点， OM＝ ON＝MN，∠ MON＝ ，即∠EOF＝ ， 3 3 π 故 E、F 的球面距离为 R· α＝ (其中 R＝1)． 3

2．球 (1)球面和球的概念 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫 做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称 球． 球也可以看作与定点(球心)的距离等于或小于定 长(半径)的所有点的集合(轨迹)． (2)球的截面的性质 ①用一个平面去截球，截面是圆面； ②球心到截面圆心的连线垂直于截面；
C. a 4 D. 2 a
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解析：
如图，连结并延长 PO 交对棱 C1C 于 R，则 R 为对棱的中点， 1 2 取 MN 的中点 H， 则 OH⊥ MN.从而 OH∥ RQ， 且 OH＝ RQ＝ a. 2 4 故 MH＝ OM － OH ＝ ∴ MN＝ 2 a.故选 D. 2
2 2