2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练

专题二函数
函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
§2－1 函数
【知识要点】
要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．
1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记
作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．
2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯
一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数
值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应
法则完全确定．
3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元
素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．
【复习要求】
1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．
4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．
【例题分析】
例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到
集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．
【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．
所以，2的象是22＋2＝6；
设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．
由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．
例2 设函数则f(1)
＝
______
；若
f(0)
＋
f(
a)
＝－
2
，则
a
的所有可能值为______
．
【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．
所以f(1)＝3．
又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，
当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；
当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．
综上，a＝0或a＝3．
例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．
【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否
完全相同．
一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．
例4 求下列函数的定义域
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2
或x≤0．
所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．
(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．
所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．
(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，
所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}
(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．
所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．
例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．
【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要
素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法
则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的
是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，
即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．
例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底
边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．
解：根据题意，AB＝2x．
所以，
根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解
所以，所求函数定义域为
【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．
(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．
(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．
(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．
例7 (1)已知，求f(x)的解析式；
(2)已知，求f(3)的值；
(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；
(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．
【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．
方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，
方法二．设，则．则，所以
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．
(2)用“凑型”的方法，
(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，
所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，
又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．
f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．
(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．
设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，
所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，
所以，f(x)＝22－x．
【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．
值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这
种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．
例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截
得的线段长为4，求f(x)的解析式．
解：解法一
设f(x)＝ax2＋bx＋c，
由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；
由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；
由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．
所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．
f(x)＝x2－2x－3．
解法二
因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．
所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，
又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．
即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．
【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．
二次函数的解析式有三种形式：
一般式y＝ax2＋bx＋c；
顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；
双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．
例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．
经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?
解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至
故电力部门的收益为．
(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，
且0.55≤x≤0.75，
解得0.60≤x≤0.75．
所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．
练习2－1
一、选择题
1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )
(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)
2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )
(A)
(B)
(C)
(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)
3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )
(A) (B) (C) (D)
4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )
(A)0 (B)0或 (C) (D)
二、填空题
5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)
的原象是______．
6．函数的定义域是______．
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3 x 1 2 3
f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．
8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．
三、解答题
9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．
10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的
取值范围．
11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并
求出y的最大值．
§2－2 函数的性质
【知识要点】
函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．
本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．
1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且
f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝
g(x)，则这个函数叫做偶函数．
由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图
象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个
值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则
当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；
当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M
上具有单调性，区间M称为单调区间．
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中
的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零
的常数T叫做这个函数的周期．
4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中
的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
【复习要求】
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；
2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．
3．了解函数周期性的含义．
4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．
【例题分析】
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1) (2)
(3)f(x)＝x3－3x； (4)
(5)
解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，
所以此函数为奇函数．
(4)解，得－1＜x＜1，
又
所以此函数为奇函数．
(5)函数的定义域为R，又，
所以此函数为奇函数．
【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：
①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；
②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；
③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．
判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：
①判断函数的定义域是否关于原点对称；
②考察f(－x)与f(x)的关系．
由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．
例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：
①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．
其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)
【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系
不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．
③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所
以F(x)为奇函数．
所以，②④为奇函数．
例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x
＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．
解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，
故f(x)是奇函数而非偶函数．
【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y
为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y
＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．
令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．
总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．
例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．
解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，
所以，b＝－2．
根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．
例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求f(－1)的值；
(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．
解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．
(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．
方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．
例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．
证明：设，且x1＜x2
f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)
＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]
因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，
所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．
例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．
(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；
(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，
由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．
(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，
解得a＞3或a＜－2．
【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．
由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；
不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；
若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；
于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5
例6体会这一点．
函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．
例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是
减函数．
(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；
(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．
解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，
又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．
(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，
因为m＋n＜0，所以n＜－m，
因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，
所以f(n)＞f(－m)，
因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，
所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．
例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．
(1)求f(7.5)的值；
(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．
解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．
所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．
(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．
所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．
练习2－2
一、选择题
1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )
(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x
2．下列判断正确的是( )
(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数
(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数
(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数
3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )
(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－1
4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数
(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数
二、填空题
5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是
______；f(1)的取值范围是______．
6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．
7．设函数为奇函数，则实数a＝______．
8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：
①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．
其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______
三、解答题
9．已知函数f(x)是单调减函数．
(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；
(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．
10．已知函数
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．
(1)求f(1)，f(4)的值；
(2)试判断函数f(x)的单调性；
(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．
§2－3 基本初等函数(Ⅰ)
本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．
函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．
掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．
函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．
【知识要点】
1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)
(1)定义域为R，值域为R；
(2)图象如图所示，为一条直线；
(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；
(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．
(5)函数y＝kx＋b的零点为
2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
通过配方，函数的解析式可以变形为
(1)定义域为R：
当a＞0时，值域为；
当a＜0时，值域为；
(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；
当a＜0时，是增区间，是减区间．
(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．
(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；
当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；
当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．
3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)
(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．
(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；
(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．
4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，
对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．
(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．
(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；
(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，
(4)函数的零点为1．
5．幂函数y＝xα(α∈R)
幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；
(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；
(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．
要注意：
因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．
根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．
6．指数与对数
(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．
；
(2)分数指数幂，
；
n，m∈N*，且为既约分数)．
，且为既约分数)．
(3)幂的运算性质
a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n
b n，a0＝1(a≠0)．
(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，
即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．
(5)对数恒等式：＝N．
(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；
底的对数是1，1的对数是0．
(7)对数的运算法则及换底公式：
；
；
.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).
【复习要求】
1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；
3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．
【例题分析】
例1化简下列各式：
(1)； (2)；
(3)； (4)log2[log3(log464)]；
(5)．
解：(1)
(2)
(3)
(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．
(5)
【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．
例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．
解：解法一
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意
解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
解法二
f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，
又f(x)的最大值为8，所以.
因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．
所以所求二次函数为.
例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．
(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．
(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．
解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，
画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，
于是有，解之得.
(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．
(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．
例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．
解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；
当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；
当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．
综上，m∈(－∞，1]．
【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．
例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数
学思想在函数问题的解决中被普遍使用．
例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )
(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、
④，则a，b，c，d的大小关系是______．
【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，
所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，
所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．
在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，
所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．
在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，
所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．
在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，
所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．
(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象
依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，
显然，c＜d＜a＜b．
【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．
这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具
体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．
例6已知幂函数．
(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，
因为k∈Z，所以k＝0，1，2，
又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，
解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．
例7比较下列各小题中各数的大小
(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；
(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)
【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以
所以.
(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．
(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．
(4)因为.根据不等式的性质有
(5)因为
比较与log32，只需比较与log32，
因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，
因为，所以，所以，
综上，
(6)，
当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；
当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．
综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．
例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．
【分析】方法一(作商比较法)
，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．
方法二(作差比较法)
，
因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．
方法三(构造函数)
令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，
因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，
y最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．
【评析】两个数比较大小的基本思路：
如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．
如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．
例9若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______．
解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，
根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，
结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．
例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与
函数y＝log2x的图象交于C，D两点．
(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．
(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．
略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，
由于A，B，O在同一条直线上，所以
又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有
同样可得
结合①式，有k OC＝k OD，即C，D，O三点共线．
(2)当BC∥x轴时，即。