正项级数比较判别法
12.2正项级数的判别法
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有 un 0， 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后 我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为 正项级数的收敛性问题. 2.正项级数收敛的充要条件 定理1 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
n 1
注: 其重要性并不在于利用它来直接判别正项级数
(n a ) 例6 判别级数 的敛散性. n a n n1 n n n a a n 1 1 n (n a ) n n u , 解 记 n n a n a a n n n n 1 v , 因 采用比较法的极限形式, 取 n a n n un a a e 0, lim lim 1 n v n n n 1 所以原级数与级数 a 具有相同的敛散性, 从 n1 n
解
3
lim n
n
sin
n 1. 3 6 n
因级数 收敛, 所以原级数也收敛. n1 n
注: 从以上解答过程中 可以看到极限中的某些等价 无穷小在级数审敛讨论时十分有用的。事实上级数 的收敛性取决于通项 un 趋向于零的“快慢”程度.
u 与v
n 1 n n 1
n
有相同的敛散性.
5.极限判别法：
推论1 设 un为正项级数.
nu , (1) 若 lim nun l 0 或 lim 则级数 n n n
n 1
u
n 1
n
发散;
n 1
p lim n ( 2) 若 p 1, 而 n un 存在, 则级数 un 收敛.
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法是数学中常用的一种级数收敛性判别法。
它是通过比较相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
具体来说，如果相邻两项的比值小于1，则级数收敛；如果相邻两项的比值大于1，则级数发散；如果相邻两项的比值等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的原理可以通过数学公式来表示。
假设有一个正项级数a1, a2, a3, …，则它的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) an+1/an
如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限存在且大于1，则级数发散；如果这个极限不存在或等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的应用非常广泛，可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
例如，可以用它来判断调和级数的收敛性。
调和级数是指形如
1/1 + 1/2 + 1/3 + …的级数。
根据正项级数比值判别法，调和级数的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) (1/(n+1))/(1/n) = lim(n→∞) n/(n+1) = 1
因此，调和级数的收敛性无法判断。
实际上，调和级数是发散的，这可以通过其他方法来证明。
除了调和级数，正项级数比值判别法还可以用来判断几何级数、指
数级数、幂级数等各种类型的级数的收敛性。
在实际应用中，我们通常会结合其他的级数收敛性判别法来判断级数的收敛性，以确保判断的准确性。
正项级数比值判别法是一种非常有用的级数收敛性判别法，它可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
在使用时，我们需要注意判断条件的准确性，以确保判断的正确性。
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法1. 比较判别法：若级数的通项与一个已知的收敛级数或发散级数之间存在比较关系，通过比较它们的大小可以判断级数的收敛性。
2. 极限判别法：对于正项级数，若其通项在n趋于无穷大时的极限存在且非零，那么级数收敛；若极限为零或不存在，则级数发散。
3. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值的极限，若极限小于1，则级数收敛；大于1，则级数发散；等于1，则判别不出结果，可能为发散也可能为收敛。
4. 高斯判别法：对于形如an = f(n)g(n)的级数，若函数f(n)和g(n)满足一定的条件，那么级数收敛。
5. 绝对收敛和条件收敛：若级数的绝对值级数收敛，则原级数也收敛，否则原级数发散。
条件收敛是指原级数在绝对收敛的前提下仍然收敛。
6. 积分判别法：对于正项级数，将通项进行积分，若积分级数收敛，则原级数收敛；若积分级数发散，则原级数发散。
7. Ratio Test：For a series with positive terms, if the ratio of consecutive terms has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.8. Root Test：For a series with positive terms, if the nth root of the absolute value of each term has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.9. Alternating Series Test：For an alternating series with decreasing terms, if the absolute value of the terms tends to zero as n approaches infinity, then the series converges.10. Power Series Convergence Test：For a power series of the form ∑(an(x-c)^n), if there exists a number R such that the series converges for |x-c| < R and diverges for |x-c| > R, then the series converges for the interval (c-R, c+R) and diverges elsewhere.。
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
04第四讲 正项级数的概念,比较判别法
数学分析第十二章数项级数正项级数的概念，比较判别法第四讲数学分析第十二章数项级数正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数. 对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).由级数与其部分和数列的关系，得：数学分析第十二章数项级数定理12.5>=0(1,2,),i u i 由于证所以{S n }是递增数列. 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，敛性判别法则.n u ∑正项级数收敛的充要条件是:{}n S 有界, <.n S M 即存在某正数M ,对一切正整数n 有而这就证明了定理的结论.部分和数列因此要建立基于级数一般项本身特性的收数学分析第十二章数项级数定理12.6（比较原则）n n u v ∑∑设和是两个正项级数，如果存在某正数N ,对一切n > N 都有,(1)n n u v ≤则(i),;n n v u 若级数收敛则级数也收敛∑∑(ii),.n n u v 若级数发散则级数也发散∑∑证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.'''∑∑nn n n S S u v 现在分别以和记级数与的部分和.散性,数学分析第十二章数项级数由(1)式可得,对一切正整数n ,都有.(2)nn S S '''≤,lim ,n nn v S →∞''∑若收敛即存在则由(2)式对一切n 有lim nn n S S →∞'''≤，n u ∑{}n S '即正项级数的部分和数列有由定理12.5级数n u ∑收敛, (ii)为(i)的逆否命题,自然成立.≤(1)n nu v 界,这就证明了(i).数学分析第十二章数项级数例1 -+∑21.1n n 考察的收敛性解≥2,n 由于当时有因为正项级数21(1)n n n ∞=-∑收敛(§1例2),原则, 级数211n n -+∑也收敛.22111n n n n≤-+-()1.1n n =-故由比较数学分析第十二章数项级数22,,0,0.nnn n u v u v >>∑∑收敛且例2 若级数2210(),2n n n n u v u v <≤+证因为根据比较原则, 得到正项级数n nu v∑收敛.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.n n u v 则级数收敛.∑∑∑22,nnu v而级数均收敛，。
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
正项级数判别 法
1 n
5 4
,则
v
n 1 n n 1
1 5 n4
收敛
un ln n 4 ln x lim 1 lim lim lim 0 1 1 n x n v n x n 4 x 4 x 4
ln n 收敛。 由比较判别法的极限形式知， un 3 n 1 n 1 n 2
解: 1) 若 p 1,
1 因调和级数 发散 , 所以p 级数 n 1 n
1 由比较审敛法可知： n
发散 .
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n 1 1 1 n 1 p 1 d x p 1 p 1 (n 1) n n 1 x p
1 1 1 1 1 2 3 4 n 2 2 2 2
即
1 1 n 1 n 2 n
而级数
1 2
n 1
n 1
收敛，
1 故级数 n 收敛。 n 1 n
定理3.(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
0, 收敛 un lim l (0 l ), 和 n v n 发散 ,
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, u 1 n
收敛 ,由比较审敛法可知 un 收敛 .
证: (1) 当 1 时,
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N 时 从而
un vn sn n (n 1, 2, )
函数项级数收敛的判别方法
函数项级数收敛的判别方法1.比较判别法比较判别法是根据函数项级数与已知的正项级数进行比较来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)和已知的正项级数∑bn(x)，若对于所有的n，存在正数M使得，an(x)，≤Mbun(x)，则函数项级数与正项级数的收敛性同时成立。
比较判别法的关键是寻找一个已知的正项级数，使得函数项级数的绝对值小于等于正项级数的绝对值，并且根据正项级数的收敛性来推断函数项级数的收敛性。
2.比值判别法比值判别法是通过计算函数项级数相邻两项的比值的极限值来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于无穷大时，具有lim ，an+1(x)/an(x)， = r，那么：-若r<1，函数项级数绝对收敛；-若r>1，函数项级数发散；-若r=1，比值判别法不确定。
比值判别法可以通过计算函数项级数的极限值和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。
3.根值判别法根值判别法是通过计算函数项级数项的绝对值的n次方根的极限值来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于无穷大时，具有lim ，an(x)，^(1/n) = r，那么：-若r<1，函数项级数绝对收敛；-若r>1，函数项级数发散；-若r=1，根值判别法不确定。
根值判别法与比值判别法类似，也可以通过计算函数项级数的极限值和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。
4.积分判别法积分判别法是通过将函数项级数与一个已知的函数进行积分比较来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在函数f(x)，当x大于等于其中一点a时，具有∫[a,+∞) ，an(x)，dx = ∑∫[a,+∞)an(x)dx = ∫[a,+∞)f(x)dx，那么：- 若∫[a,+∞)f(x)dx收敛，函数项级数绝对收敛；- 若∫[a,+∞)f(x)dx发散，函数项级数发散。
第二节正项级数
n1
想.如果猜想所给级数收敛，只需适当放大 un，使
其放大后的表达式 vn ，而正项级数 vn收敛.如果
n1
猜想级数发散，只需适当缩小
un
，使其缩小后的
表达式
vn
，而正项级数
vn发散.
n1
定.
判定正项级数 un 的收敛性应注意以下几点：
n1
1.如果
lim
n
un易求，应先判定是否lim
n
un
0？若
lim
n
un
0
则可知 un 发散.
n1
2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 un中
含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.
3.使用比较判别法时，应先对 un的收敛性作一个猜
4
n
，u
n1
3n1 5n1 4n1
.
3n1
lim un1 n un
lim
5n1 4n1 3n
5n 4n
lim
n
3
1 4 n 5
5
1
4 5
n
1
3 5
1,
所以原级数收敛.
例6
判定级数
n 1
nn a n n!
(a 0,a e)
收敛性.
解 原级数为正项级数，其通项为
un
nn ， an (n)!
n1
n1
若un vn (n 1,2, , n) ，则有
0 Sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
如果vn收敛，可知 n 有上界，从而知{Sn}有上界.
n1
再由正项级数收敛的充分必要条件可知 un 收敛.
n1
正项级数的判别法
法
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n1 n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n 1 n1
un lim lim un 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
1时级数发散; 1 时失效.
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n
小 结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法Leabharlann lim a2 nn
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
1 (1) sin ; n n 1
二、比值判别法
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
正项级数比较判别法
正项级数比较判别法
正项级数比较判别法是一种用来判断正项级数的收敛性或发散性的方法。
它基于一个重要的原理，即如果一个正项级数的每一项都小于或等于另一个正项级数的对应项，那么两个级数的收敛性或发散性是一致的。
具体地说，假设有两个正项级数∑an和∑bn，其中an≤bn，对于n=1,2,3,...。
如果∑bn收敛，那么∑an也收敛；如果∑an发散，那么∑bn也发散。
根据正项级数比较判别法，我们可以将一个给定的正项级数与已知的收敛或发散的级数进行比较，从而判断它的收敛性或发散性。
为了使用这个方法，我们需要找到一个已知的级数，使得它的收敛性或发散性易于判断，并且能够与所给级数进行比较。
举个例子，假设我们要判断级数∑an的收敛性，我们找到一个已知的级数∑bn，使得bn比an大，并且∑bn是一个收敛的级数。
根据正项级数比较判别法，如果∑bn收敛，那么∑an也收敛。
反之，如果∑bn发散，那么∑an也发散。
需要注意的是，正项级数比较判别法只能给出收敛或发散的结论，不能确定级数的精确值。
此外，判别条件中的等号是允许的，即an≤bn也可以是an＜bn。
这是因为当an＜bn时，我们可以通过在bn的每一项上减去一个小的正数来得到一个新的级数bn'，使得bn'≥an且∑bn'与∑bn具有相同的收敛性或发散性。
在实际问题中，正项级数比较判别法经常用于判断级数的收敛
性。
它是一种简单而有效的方法，可以帮助我们快速判断一个级数的性质，并在数学和物理等领域中得到广泛应用。
02第二节正项级数的判别法
第二节 正项级数的判别法 一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★ 正项级数★ 比较判别法 ★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 比较判别法的极限形式★ 例6 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 比值判别法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 根值判别法★ 例14★ 例15★ 例16 ★ 积分判别法 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-2★ 返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim 或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性. 例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E 02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证 )1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n n a c ∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=4tan πxdx a n n ⎰<42sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim nn n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛. )2(因为n n u n2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π= 根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn na n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nna n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sin lim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n nnn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n nn . (3) ().21211∑∞=⋅-n n n解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛.)2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n n n 发散. )3(nn n u u 1lim+∞→)22()12(2)12(lim +⋅+⋅-=∞→n n nn n ,1=比值判别法失效,改用比较判别法,因为n n 2)12(1⋅-,21n <而级数∑∞=121n n 收敛,所以∑∞=⋅-12)12(1n n n 收敛.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n 的散敛性.解 因为n nn )12(2+,22nn <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 nn n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a n a n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11于是,11>=+nn n x e u u 即,n n u u >+1故,e u u n =>1由 此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14 判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的散敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法.因为n nn u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→11lim e1=1<故所求级数收敛.例15（E 09）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n)1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16（E10） 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→n n n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2l i m -+∞→21=1< 故原级数收敛.例17（E11）试确定级数∑∞=1ln n n n的敛散性. 解 若设,xxx f ln )(=则显然)(x f 在1>x 时非负且连续. 因,2ln 1)(x xx f -='所以在e x >时有,0)(<'x f 函数)(x f 单调减少, 于是,可以对级数∑∞=1ln n n n应用积分判别法.注意到 dx xxe⎰∞ln ⎰∞→=beb dx x xln limbeb x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞→2ln lim 22ln ln lim 22e b b -=+∞→,+∞= 即广义积分以散,所以级数∑∞=1ln n n n发散.课堂练习1.设正项级数∑∞=1n n u 收敛, 能否推得∑∞=12n n u 收敛? 反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性.1)3(;22)2(;cos 1)1(111∑∑∑∞=∞=∞=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n n e n n n π达朗贝尔（D ’Alember Jean Le Rond ，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。
级数收敛的比较判别法与根值判别法
级数收敛的比较判别法与根值判别法在数学中，级数是由一系列的项相加得到的，判断级数的收敛性是数学分析中的一个重要问题。
为了判断一个级数是否收敛，数学家们发展了多种方法和判别法，其中比较判别法和根值判别法是较为常用和重要的两种方法。
一、比较判别法比较判别法是用来判断正项级数收敛与发散的方法之一。
该方法可以将一个给定级数与一个已知的收敛或发散的级数进行比较，从而得出所要判断的级数的收敛性。
比较判别法分为比较法和比较审敛法两种情况。
1. 比较法比较法又分为大于、小于比较法和极限形式比较法。
（1）大于、小于比较法：当一个级数的每一项都大于（或小于）另一个级数的每一项，并且另一个级数是收敛的，则可以得出原级数也是收敛的结论。
同样，如果另一个级数发散，那么原级数也是发散的。
（2）极限形式比较法：当一个级数a_n和一个已知的级数b_n满足以下条件时，可以利用极限形式比较法。
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L其中，L是一个常数且0<L<∞。
如果收敛级数\sum b_n收敛，则a_n的级数也收敛；如果收敛级数为无穷大（发散），则a_n的级数也发散。
2. 比较审敛法当一个级数内的每一项都与一个已知收敛的“比较级数”的每一项都取不等号，并且比较级数的部分和是有界的，则原级数也是收敛的；反之，如果比较级数的部分和是无界的，则原级数发散。
比较判别法的基本思想在于将要研究的级数与已知的级数进行比较，通过比较得出原级数的收敛性。
虽然比较法的应用范围较广，但也存在一些局限性，例如比较级数必须满足一定条件，才能得出准确的结论。
二、根值判别法根值判别法是一种判断级数收敛性的重要方法。
它通过计算级数的一般项的n次根的极限来判断级数的收敛性。
根值判别法的基本思路是计算级数的一般项 a_n 的 n 次根：\sqrt[n]{a_n}如果极限\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L满足 L<1，则原级数收敛；如果 L>1 或该极限不存在（L为无穷大），则原级数发散。
比较判别法的极限形式结论
比较判别法的极限形式结论比较判别法是在初等实分析中常用的一种方法，用于判断无穷级数的敛散性。
它的基本思想是将待求级数与一个已知敛散性的级数进行比较，从而得出结论。
当比较对象为正项级数时，比较判别法有一个重要的极限形式结论。
设a_n和b_n是两个正项级数，若存在正常数c使得当n趋向无穷大时，有a_n/c<b_n，则有以下结论：1.若b_n收敛，则a_n也收敛；2.若a_n发散，则b_n也发散。
这个结论被称为比较判别法的极限形式。
它告诉我们，如果一个正项级数可以被另一个已知收敛（或发散）的正项级数所控制，那么它们具有相同的收敛（或发散）性质。
这个结论可以通过下面的证明来理解：1.若b_n收敛，则存在正常数M使得b_n<M对所有n成立。
由于a_n/c<b_n，因此有a_n<Mc对所有n成立。
由于Mc是一个正常数，所以a_n也受到类似于b_n受到的控制，并且必然收敛。
2.若a_n发散，则对于任意正常数M，存在一个自然数N使得a_n/M>b_n对所有n>N成立。
由于b_n是一个正项级数，所以b_n 发散。
比较判别法的极限形式在实际应用中非常有用。
例如，在求解无穷级数的收敛性时，我们可以将待求级数与已知收敛的级数进行比较，从而得出结论。
这种方法不仅简单易行，而且可以节省大量计算时间。
当然，比较判别法的极限形式也有一些局限性。
首先，它只适用于正项级数。
其次，在某些情况下，即使两个正项级数满足a_n/c<b_n，并不能得出它们具有相同的收敛性质的结论。
因此，在实际应用中需要谨慎使用比较判别法。
总之，比较判别法的极限形式结论是实分析中重要的基本定理之一。
它为我们判断无穷级数的收敛性提供了简单有效的方法，并且在实际应用中具有广泛的适用性。
正项级数的判别法
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,发散;
a 1,发散.
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例 1 讨 论 P-级 数
121p31p41p n 1p 的 收 敛 性 .(p0)
解
设p1,
1 np
1, n
则P级数发. 散
y
设p1,由图可知
1 n dx
np x n1 p
sn12 1p3 1p n 1p
y
1 xp
(p1)
112d xpx nn1d xpx
o 1 234
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
证明 当为有限数,时对 0,
N, 当 nN时 , 有 un1 , un
即 un1 (nN )
un
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当1时, 取 1, 使 r1,
uN 2rN u 1, u N 3 rN u 2 r 2 u N 1 , ,
例
级数
1发
散 ,
n1n
( 1 )
级数
n1
1 n2
收敛,
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2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n数 1unn 122 ( n1)n收,敛
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
n!
故级数 1收敛 .
n1n!
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(2)
un1 un
(1n0n11)!1n0!n
级数的理解
级数的理解级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列数字的和组成的无穷序列。
在级数中，每个数字被称为项，而级数的和被称为部分和。
级数常常出现在微积分、实分析、概率论等领域中，并且在应用中具有广泛的用途。
一、级数的定义级数可以用以下形式表示：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是级数的项，n是一个正整数。
当n趋于无穷大时，这个无穷序列就构成了一个级数。
二、收敛与发散对于一个给定的级数，我们关心它是否会趋于一个有限值或者无穷大。
如果一个级数的部分和在某个特定值上稳定下来，那么我们说这个级数是收敛的；如果部分和没有稳定下来或者趋向于无穷大，那么我们说这个级数是发散的。
三、收敛性判别法为了确定一个给定的级数是否收敛或发散，我们可以使用一些特定的方法或准则来进行判断。
以下是几种常见的判别法：1. 正项级数判别法：如果所有项都是非负实数，并且这些项是单调递减的，那么级数收敛当且仅当它的部分和有上界。
2. 比较判别法：如果一个级数的项与另一个已知收敛或发散的级数的对应项具有相似的行为，那么它们的收敛性将相同。
3. 极限判别法：如果一个级数的项可以表示为一个函数序列的极限，而这个函数序列已知收敛或发散，那么它们的收敛性将相同。
4. 比值判别法：如果一个级数的项之间存在着某种比值关系，并且这个比值小于1，则该级数收敛；如果比值大于1，则该级数发散。
5. 根值判别法：如果一个级数的项之间存在着某种根值关系，并且这个根值小于1，则该级数收敛；如果根值大于1，则该级数发散。
四、常见级数在实际应用中，有一些特殊形式或者常见类型的级数被广泛研究和使用。
以下是一些常见的例子：1. 等差级数：形式为1 + 2 + 3 + ... + n + ... 的无穷等差级数。
当公差为正时，这个级数发散；当公差为零时，这个级数的部分和为无穷大；当公差为负时，这个级数收敛。
2. 等比级数：形式为1 + r + r^2 + ... + r^n + ... 的无穷等比级数。
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正项级数比较判别法
概述
正项级数比较判别法是微积分中用于判定无穷级数收敛或发散的一种方法。
通过将待判定的级数与已知的收敛或发散级数进行比较，可以推断待判定级数的收敛性。
前提条件
正项级数比较判别法只适用于正项级数，即级数的每一项都是非负数。
基本思路
正项级数比较判别法的基本思路是将待判定级数与已知的收敛或发散级数进行比较，通过比较判断待判定级数的收敛性。
具体步骤如下：
1.首先，找到一个已知的收敛级数（记作级数A）。
2.然后比较待判定级数与级数A的每一项，判断待判定级数的每一项是否都小
于等于级数A的每一项。
3.如果待判定级数的每一项都小于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定
级数收敛。
4.如果待判定级数的每一项都大于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定
级数发散。
5.如果待判定级数无法与已知的收敛或发散级数进行比较，那么无法通过正项
级数比较判别法判断其收敛性。
比较级数的常用方法
比较法
比较法是正项级数比较判别法中最常用的方法之一。
比较法的基本思路是通过比较待判定级数与已知的收敛或发散级数的每一项，来判断待判定级数的收敛性。
比较法又可分为以下两种常用的具体方法：
1. 大于法
如果存在一个已知的收敛级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项
大于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数发散。
2. 小于法
如果存在一个已知的发散级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项
小于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数收敛。
极限比值法
极限比值法利用级数项的极限比值与已知级数的极限比值比较来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：
1.首先计算待判定级数的每一项的绝对值与前一项绝对值的比值的极限值。
2.然后与已知的级数的极限比值进行比较。
根据比较结果，可以得出以下推断：
•如果待判定级数的极限比值小于已知级数的极限比值，那么待判定级数收敛；•如果待判定级数的极限比值大于已知级数的极限比值，那么待判定级数发散；•如果待判定级数的极限比值等于已知级数的极限比值，该方法无法判定级数的收敛性。
极限根值法
极限根值法利用级数项的极限根值与已知级数的极限根值比较来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：
1.首先计算待判定级数的每一项的绝对值的根值的极限值。
2.然后与已知的级数的极限根值进行比较。
根据比较结果，可以得出以下推断：
•如果待判定级数的极限根值小于已知级数的极限根值，那么待判定级数收敛；•如果待判定级数的极限根值大于已知级数的极限根值，那么待判定级数发散；•如果待判定级数的极限根值等于已知级数的极限根值，该方法无法判定级数的收敛性。
应用举例
下面通过几个具体的例子来说明正项级数比较判别法的应用。
例1
判断级数∑1
2n ∞n=1的收敛性。
由级数的通项可以看出，该级数是一个几何级数，且比值小于1，即|q |<1。
已知
几何级数∑q n ∞n=1在|q |<1时收敛。
因此，待判定级数收敛。
例2
判断级数∑1n 2∞n=1的收敛性。
考虑级数∑1n ∞n=1，该级数是一个调和级数，已知调和级数发散。
我们可以通过比较法来判断级数∑1n 2∞n=1的收敛性。
由于对于n ≥1，有1n 2≤1n ，因此可以得出待判定级数的每一项都小于等于级数
∑1n ∞n=1的每一项。
根据比较法推理，级数∑1
n 2∞n=1收敛。
例3
判断级数∑1
n 3∞n=1的收敛性。
注意到级数∑1n 3∞n=1是级数∑1n 2∞n=1的子级数。
并且对于所有的n ≥1，都有1n 3≥1n 2。
根据比较法推理，级数∑1
n 3∞n=1发散。
总结
正项级数比较判别法是一种用于判定无穷级数的收敛性或发散性的有力工具。
通过比较待判定级数与已知的收敛或发散级数，可以推断待判定级数的收敛性。
其中比较法、极限比值法和极限根值法是正项级数比较判别法中常用的方法。
通过学习和应用这些方法，可以高效地判定级数的收敛性，为微积分和数学分析领域的问题求解提供有力的支持。