常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题 第二章答案
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习 题 ２-１
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x
解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，
则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 x
Q
y P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．
２．0)2()2(=+++dy y x dx y x
解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=
则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以x
Q
y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx
两边积分得：.2
222
2C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=
则
,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以x
Q
y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx
两边积分得：.2
22
2C cy bxy ax =++ 4．)0(0
)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax
解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=
则
,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以x
Q y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程
５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t
解：,cos )1(),(2
u t u t P += u t u t Q sin 2),(=
则
,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以x
Q
y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程
则,0cos )sin 2cos (2
=++udu udt t udu t
两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x
解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，
则
,2y e y P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以x
Q
y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程
则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++
７．0)2(ln )(
2=-++dy y x dx x x
y
解：,2ln ),(),(2
y x y x Q x x
y y x P -=+=
则
,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以x
Q
y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程
则02)ln (2
=-++ydy dx x xdy dx x
y
两边积分得：23
ln 3
y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++
解：,),(,
),(22cxy y x Q by ax y x P =+=
则
,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当x
Q
y P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程
则0
)(22=++cxydy dx by dx ax
两边积分得：23
3
bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．
９．01222
=-+-dt t
s s ds t s 解：,),(,12),(22
t
s s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以x
Q y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,
两边积分得：C t
s s =-2
．
10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．
解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=
则,2f xy y P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以x
Q
y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,
两边积分得：
2
2
()f x
y dx C +=⎰,
即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．
习 题 ２-2
. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：
（１）y
x dx dy 2
=
解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,
233
2
≠=-y C x y ．
（２）)
1(3
2
x y x dx dy += 解：原方程即为：dx x
x ydy 3
2
1+=