全国高中数学联赛初赛之：解析几何部分

全国高中数学联赛初赛之：解析几何部分
1、（2016安徽赛区初赛第7题）
已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 的离心率 。

2、（2015安徽赛区初赛第6题）
给定定点)1,0(P ，动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2
x y =相切，则Q 的轨迹方程是 。

3、（2014安徽赛区初赛第3题）
设定点)1,2(A ，动点B 在x 轴上，动点C 在直线x y =上，则△ABC 的周长的最小值是 。

4、（2014安徽赛区初赛第7题）
设动点)0,(t P ，),1(t Q ，其中参数]1,0[∈t ，则线段PQ 扫过的平面区域的面积是 。

5、（2012安徽赛区初赛第5题）
设两个椭圆1222222
2=+++-+t t y t t x 和17
53222
22=-++--t t y t t x 有公共焦点，则t 的值是 。

6、（2011安徽赛区初赛第12题）
设)0,1(-A ，)0,1(B ，)0,2(C ，D 在双曲线12
2
=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122
=-y x 的右支于
点E 。

求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线2
1
=x 上。

7、（2010安徽赛区初赛第4题）
设椭圆
11
12
2=-++t y t x 与双曲线1=xy 相切，则t 的值是 。

8、（2011安徽赛区初赛第6题）
平面上一个半径为r 的动圆沿边长为a 的正三角形的外侧滚动，其扫过的平面区域的面积是 。

r
a
设抛物线x y C 4:2
=的焦点为F ，过点F 的直线L 与C 交于Q P ,两点，设L 与抛物线C
的准线交于点M ，且3== 。

10、（2016广东赛区初赛第10题）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a a
y b x C ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个
交点B A ,，线段AB 的中点为M 。

证明：
（1）直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值22
b
a -；
（2）若l 过点),(a b ，延长线段OM 于C 交于点P ，当四边形OAPB 为平行四边形时，则
直线l 的斜率b
a
k l ⋅±=
374。

11、（2016浙江赛区初赛第3题）
设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为
4
π
的直线与双曲线的一个交点，若△A F F 21为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 。

12、（2016浙江赛区初赛第17题）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，经过点)516,3(P ，离心率为5
3
，过椭圆C 的右焦点
作斜率为k 的直线l ，交椭圆于B A ,两点，记PA 、PB 的斜率为21,k k 。

（1）求椭圆的标准方程； （2）若021=+k k 。

求实数k 。

13、（2016全国高中数学联赛第7题）
设双曲线13
:2
2
=-y x C 的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 作一条直线与双曲线C 的右支交于点Q P ,，使得︒=∠901PQ F ，则△PQ F 1的内切圆半径为 。

若椭圆两准线之间的距离等于两焦点之间的距离的两倍，则其离心率为 。

15、（2016山西赛区初赛第9题）
设直线2+=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于N M ,两点，且ON OM ⊥（其
中O 为坐标原点），若6=
MN ，求椭圆的方程。

16、（2016辽宁赛区初赛第9题） 在△ABC 中，5
522cos
=C ，0)(,0=+⋅=⋅CB CA AB BC AH ，则过点C ，以H A ,为焦点的双曲线的离心率为 。

17、（2016河南赛区初赛第7题）
已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆2
22a y x =+的
切线交双曲线的右支于点P ，且︒=∠4521PF F ，则该双曲线的离心率为 。

18、（2016天津赛区初赛第7题）
若椭圆12
2
=+ky x 与双曲线15
42
2=-y x 有相同的准线，则k 等于 。

19、（2016河南赛区初赛第11题）
已知B A ,是椭圆19
25:
2
2=+y x C 的左右顶点，直线l 交椭圆C 于两点N M ,，记AM 的斜率为1k ，BN 的斜率为2k ，且9:1:21=k k 。

（1）求证：直线l 过定点；
（2）记△AMN 的面积为1S ，△BMN 的面积为2S ，求-1S 2S 的最大值。

数列部分练习
1、（2016内蒙古赛区初赛第9题） 数列{}n a 满足,42)1(,12
22
1
1n
na a a n a a n n n
n +++==+求{}n a 的通项。

已知数列{}n a 满足)1(,414,011≥+++==+n a a a a n n n 。

求{}n a 的通项公式。

3、（2016江苏赛区复赛一试第11题）
在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“Z 扩展”。

已知数列3,2,1，第一次“Z 扩展”后得到数列3,5,2,3,1；第二次“Z 扩展”后得到数列3,8,5,7,2,5,3,4,,1；依次类推，设第n 次“Z 扩展”后得到数列3,,,,,121m x x x ⋅⋅⋅，并记3121++⋅⋅⋅+++=m n x x x a 。

（1）求321,,a a a 值；
（2）若2-=n n a b ，证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式。

变式：（马鞍山2017.5三模第16题）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”。

已知数列2,1，第一次“H 扩展”后得到数列2,2,1；第二次“H 扩展”后得到数列2,42,2,1，；第三次“H 扩展”后得到数列
2,8,4,8,242,2,1，，，；依次类推，设第n 次“H 扩展”后得到数列2,,,,,121m x x x ⋅⋅⋅，并记
)21(log 212⋅⋅⋅⋅⋅⋅=m n x x x a ，则数列{}n a 的通项公式 。

4、（2016贵州赛区初赛第15题）
已知正项数列{}n a 中，,2,411n S S a n n +==+其中n S 为数列{}n a 前项n 和为n S ，令
n n n a n b )23(121-+=
-。

证明：对于+
∈∀N n ，均有1251
2<∑=n
i i b 。

5、（2016甘肃赛区初赛第14题）
若数列{}n a 的前项n 和为n S ，点),(n n S a 在x y 3
1
61-=的图像上+∈N n 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若，且对+
∈∀N n 都有n n n a c c 2
11lo g =-+。

求证：对2,≥∈∀+
n N n ，总有
4
31113132<+⋅⋅⋅++≤n c c c 。