复函数的导数

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高中数学复合函数求导

高中数学复合函数求导
高中数学复合函数求导
一、什么是复合函数
1、定义：复合函数是把一个函数作为另一个函数的自变量，而将另一
个函数作为复合函数的函数值。

2、特点：复合函数的导数通常可以用链式法则计算，它的核心原理就
是两个函数的导数的相乘。

二、复合函数求导的步骤
1、首先根据链式法则，将复合函数分解成函数u关于x和函数v关于
u两个部分。

2、接着，用求导运算符对每一部分（u关于x和v关于u）进行求导，对u关于x求导会得到u'关于x，对v关于u求导会得到v'关于u。

3、最后，将求得的u'（函数u对x的导数）和v'（函数v对u的导数）乘起来，即可求出复合函数的导数。

三、复合函数的求导实例
1、设复合函数为（2x+1）^3，则其对 x 的导数为：
（1）根据复合函数的定义，将复合函数分解为函数u为2x+1，函数v
为x^3；
（2）接着，对函数u和v求导，得出u'=2，v'=3x^2；
（3）最后，将 u' 和 v' 相乘得到复合函数的导数，即 6x（2x+1）^2。

四、求导的重要性
1、复合函数求导非常重要，因为复合函数概念有着重要的数学学习价值。

2、求导的结果可以告诉我们函数的取值范围和变化趋势，它还可以帮
助我们在设计数学模型时找出最优的取值。

3、复合函数求导也可以帮助我们更好地了解微分和数学中的积分概念，进而深化对科学实验原理的理解。

复合函数求导例题100道

复合函数求导例题100道1、已知函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，求复合函数$y=f(g(x))$的导数$y'$。

首先，根据复合函数的链式法则，我们可以得到复合函数的导数公式：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$其中，$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数。

现在，我们来看一个具体的例子。

例题1：已知函数$y=u^2$和$u=x^3$，求复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$。

首先，我们可以将函数$y=u^2$和$u=x^3$带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。

$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y'=2u$。

$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即$\frac{du}{dx}=3x^2$。

最后，将$\frac{dy}{du}=2u$和$\frac{du}{dx}=3x^2$的值带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot3x ^2=6x^2\cdot(x^3)^2=6x^2\cdot x^6=6x^8$$所以，复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$为$6x^8$。

接下来，我们来看几个例题进行练习。

例题2：已知函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$，求复合函数$y=e^{\ln(x)}$的导数$y'$。

首先，我们可以将函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$带入到复合函数的导数公式中，得到：$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。

复合函数的求导法则,反函数的求导法则

数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x

g[ f ( x )] g[ f ( x )]

f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x

e
x ln x

e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则反函数的求导法则一、复合函数的求导法则定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导，且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:

复合函数的导数

yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x，求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且或
或
证设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0

反函数复合函数求导法则和基本求导公式

反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。

证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。

则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。

二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。

三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。

证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。

2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。

证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。

因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。

3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。

3.3复合函数,商的导数,指数,对数的导数

u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x ) u( x ) y x x x v ( x x )v ( x )
因为v ( x )在点x处可导，所以它在点 x处连续，于是当 x 0时， v ( x x ) v ( x ),
2x
例10.求y a 的导数.
5x
解：y a 5 x ln a(5 x ) 5a 5 x ln a.
3.4复合函数的导数
提问：
1、常用的函数的导数：
(C ) 0
/
( x n ) / nx n1 ( n N * )
公式一
公式二
/ （sin x） cos x
/ （cos x） sin x
公式三
公式四
（1）和或差的导数 [u v ]
/
2、导数的运算法则：
/
u v ；
则复合函数 y f ( (( x )) 在点x处也有导数，且
y x yu ux
或写作 f x ( ( x )) f (u) ( x ).
这就是复合函数的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数。
例4.求y (2 x 1) 的导数。
例3.求y ( 3 x 2) 的导数。 2 2 解：y ( 3 x 2) 9 x 12 x 4 2 y (9 x 12 x 4) 18 x 12
2
函数y ( 3 x 2) 2 可以看成由 y u 2 , u 3 x 2复合而成
设y u , u 1 3 x , 则
4 y x y u u x ( u ) u (1 3) x

复合函数的求导法

f (u)( x).
证毕
6
推广设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
如 y sin2x，由 y sinu 与 u 2x 复合而成.
(sin2x) (sin u)u (2x) 2cosu 2cos2x
x 复合而成，
2
2
因而
dy dx
dy du dv du dv dx
(ln
u)u
(tanv
)v
(
1 2
x)x
1 sec2 v 1 csc x.
u
2
8
例4
已知 y
x sin x
( x 0)，求 dy .
dx
解 y xsin x esin xln x 由 y eu，u sin x ln x
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例6 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
10
复合函数的求导法则有三个步骤：（1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
lim
t 0
u t
,
函数 x
f (t) 对t可导，xt
dx dt
lim
t 0
x t
,
函数x
f ( y)对y可导，xy
dx dy
lim
y0
x y

复合函数的导数公式推导

复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。

在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。

例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。

这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。

现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。

首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。

注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。

因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。

它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。

这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。

高等数学《复合函数的求导法则》

例 8 设z f ( x2,e2x )，f 可微，求 dz . dx
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数，有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏导数的关系问题.
——全导数公式
证设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t

高等数学,复合函数求导

高等数学,复合函数求导
复合函数求导是高等数学中的一个重要概念，它是求解复合函数的导数的一种方法。

首先，我们来了解复合函数的概念。

复合函数是指一个函数的输入和输出是另一个函数的输入和输出。

比如，函数f （x）=x2+1和函数g（x）=x3+2x，它们的复合函数就是h（x）=g（f（x）），即h（x）=（x2+1）3+2（x2+1）。

其次，复合函数求导的原理是利用链式法则，即如果复合函数h（x）=g（f（x）），那么它的导数就是h'（x）=g'（f （x））*f'（x）。

具体来说，复合函数求导的方法可以分为三步：（1）首先，求出复合函数的具体表达式，即h（x）=g（f（x））；（2）然后，求出函数f（x）和g（x）的导数，即f'（x）和
g'（x）；（3）最后，根据链式法则，求出复合函数h（x）的导数，即h'（x）=g'（f（x））*f'（x）。

从上面的讲解，我们可以看出，复合函数求导的步骤十分简单，只需要按照上述三步来操作即可。

复合函数求导是高等数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更加清楚地理解复合函数的特性。

然而，在实际应用中，复合函数求导也有许多技巧和技术可以帮助我们更加有效地求
解复合函数的导数，这些技巧和技术也是高等数学中的重要内容。

总之，复合函数求导是高等数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解复合函数，也可以帮助我们更有效地求解复合函数的导数。

复合函数求导公式

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)
呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)
y'={sin(3-x)]'=-cos(x)
用伟大的母语简单的说就是：复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）
原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u
中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2
最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。

其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方，v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是.。

3-2.2复合函数求导法则

1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
= f ′(u )ϕ ′( x)
推广设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
(7) (sec x)′ = sec x tan x (9)
(a )′ = a ln a
x x
′ = ex (e )
x
1 (11) (log a x)′ = x ln a 1 (13) (arcsin x)′ = 1 − x2 (15) (arctan x)′ = 1 1 + x2
1 (ln x)′ = x
1 特别地 (ln x )′ = . x
dy 例8 设y = arshx( x ∈ R ), 求 . dx 解 y = arshx是双曲正弦x = shy的反函数，
由反函数求导定理得 1 1 1 1 (arshx)′ = = = = 2 2 ( shy )′ chy 1 + sh y 1+ x
所以
f [ g ( x )] =| sin x | 在 x = 0 处不可导，(1) × 处不可导，

复合函数求导怎么求

复合函数求导的方法
复合函数在微积分中起着至关重要的作用，而求复合函数的导数也是微积分学习中的基础知识之一。

对于复合函数的导数求解，我们可以采取以下方法：
1. 链式法则
链式法则是求解复合函数导数的基本方法。

假设有复合函数y=y(y(y))，其中y(y)和y(y)均可导，则有：
$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} $$
其中 $\\frac{dy}{du}$ 表示对y求导，$\\frac{du}{dx}$ 表示对y求导。

通过链式法则，我们可以将复杂的复合函数导数求解简化为分段求导的过程。

2. 实际案例演练
为了更好地理解复合函数求导的过程，我们可以通过实际案例演练来加深印象。

例如，考虑函数y=(3y2+2y)5，我们需要首先将其分解为y=(3y2+2y)和y=y5，然后分别对y和y求导，最终应用链式法则来求解整个函数的导数。

3. 注意事项
在进行复合函数求导时，需要注意以下几点：
•仔细分解函数为内函数和外函数，确保使用链式法则时不会出错；
•考虑复合函数的导数会涉及多次求导，确保每一步的求导都是正确的；
•当函数过于复杂时，可以采取分步求导的方式，逐步简化求解过程。

结语
复合函数求导是微积分学习中的基础内容，通过掌握链式
法则等方法，可以高效地求解复杂函数的导数。

在实际应用中，复合函数求导也常常用于解决各种实际问题，帮助我们更好地理解函数之间的关系和变化规律。

希望本文提供的方法和实例能够帮助读者更好地理解和应用复合函数求导的知识。

导数与函数的复合函数解析

导数与函数的复合函数解析复合函数是数学中常见的概念，它指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

导数是微积分中重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

本文将讨论导数与函数的复合函数解析的相关内容。

一、复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。

设有函数 f(x) 和g(x)，则复合函数可以表示为 (f o g)(x) 或 f(g(x))。

其中，g(x) 的输出作为 f(x) 的输入。

二、导数的定义函数的导数描述了函数在某一点的变化率。

假设函数 f(x) 在点 x0 处可导，那么它的导数表示为 f'(x0) 或 dy/dx|x=x0。

导数可以用几何意义上的切线斜率来理解。

三、复合函数的导数当我们计算复合函数的导数时，需要使用链式法则。

链式法则是微积分中计算复合函数导数的重要工具，它描述了复合函数导数与各组成函数导数的关系。

假设有函数 y = f(u) 和 u = g(x)，我们希望求出 y 在 x 处的导数。

根据链式法则，复合函数 y = f(g(x)) 的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 表示 f(u) 在 u 处的导数，du/dx 表示 g(x) 在 x 处的导数。

这样，我们就可以通过求出各组成函数的导数，来计算复合函数的导数。

四、实例分析为了更好地理解复合函数的导数求解过程，我们通过一个实例进行分析。

设有函数 f(u) = u^2 和 u = g(x) = 3x + 5，我们希望求出复合函数y = f(g(x)) 的导数。

（步骤一）首先，求出 f(u) 和 g(x) 的导数：df/du = 2udg/dx = 3（步骤二）使用链式法则，计算出复合函数的导数：dy/dx = (df/du) * (du/dx) = (2u) * (3)= 2(3x + 5)因此，复合函数 y 的导数为 2(3x + 5)。

五、总结本文介绍了复合函数和导数的基本概念，并给出了求解复合函数导数的步骤。

简单复合函数的导数

3x 1
令u
3x
1, 则y
2u
1 2
1
yx yu ux (2u 2 ) (3x 1)
2
(
1
)
u
3 2
3
2
3
3(3x 1) 2
(2)令u 1 2x,则y u3 yx yu ux (u3) (1 2x) 3u2 (2) 6u2 6(1 2x)2
练习
P81 课本练习1
(3)令u 2x 1,则y log 2 u
探究
思考如何求函数y＝ln(2x－1)的导数
解：y＝ln(2x－1)可以看成是由y＝lnu及u＝2x－1复合而成
以yu'表示对u求导,以ux'表示对x求导
因为yu'＝(lnu)'＝
1 u
,
ux'＝2,
1 1 u 2x 1
则yx'＝yu'×ux'=
1 u
×2=
2 2x 1
新知
1.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))
练习
以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3 （3）y＝e－0.05x＋1
(1)y=log2u及u=x+1 (2)y=u3及u=3x+5 (3)y=eu及u=－0.05x+3
新知
1.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)) 2．复合函数的求导法则复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝yu'×ux' 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积

复合函数求一点导数的方法

复合函数求一点导数的方法
复合函数的导数计算方法：
复合函数求导数的方法步骤是
一、把复合函数分解成两个或者两个以上的初等函数；
二、然后分别求初等函数的导数；
三、把初等函数的导数乘起来；
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。

复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)。

记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。

求导法则
导数的加(减)法则是[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；
乘法法则是[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)；
除法法则是[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。