有理数的乘方

有理数的乘方

有理数乘方 1． 求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。

2．

乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

一般地，在n a 中，a 取任意有理数，n 取正整数。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。 3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，n a 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。

n a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

例1 计算：（1）32； （2）()3

2-； (3)()4

2-； (4)()5

2-； ☆注：2就是12，指数1通常不写。

观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？ （1） 横向观察

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。

（2） 纵向观察

互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。

（3） 任何一个数的偶次幂是什么数？

任何一个数的偶次幂都是非负数。 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？ 当0a >时，0n a >（n 是正整数）； 当0a =时，0n a =（n 是正整数）. （以上为有理数乘方运算的符号法则）

底数

幂

()22n

n a a =-（n 是正整数）

； ()

21

21n n a a --=--（n 是正整数）

20n a ≥（a 是有理数，n 是正整数）

例2 计算

（1）()234⨯-； （2）()()3432-⨯-； （3）()()4

3

26423

-÷-÷

；

（4）()()()

221

2009

111n n +---+-（n 为正整数）。

例3 计算：

（1）()2

3-， ()3

3-， 5[(3)]--

（2）23-， 33-， ()5

3--；

（3）()2

4--， ()3

5--， 3

4()3

--， 234-；

（4）222

3()3

-⨯-， 2[(2)(3)]-⨯-， 23(3)⨯-；

引导学生纵向观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，()n

a -的底数是a -，表示n 个()a -相乘，n a -是n a 的相反数，这是()n

a -和n a -的区别。

引导学生横向观察第（3）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种计算了。 课堂练习 计算：

（1）()33-， ()()4422-÷-, ()2

244-⨯-；

(2) ()2009

1-, 232⨯， ()3

322-÷-；

(3) ()11n

--(n 为偶数) ()3

5-， ()2

3223⎛⎫

-+- ⎪⎝⎭

；

（4）2

1115⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， ()3455÷-；

例3．已知：221342,13593+==++==，21357164+++==，

213579255++++==，...，根据前面的各式规律，猜测1357++++ (21)

n ++的结果（其中n 为自然数）。

随堂练习

1.当3,5,4a b c =-=-=时，求下列各代数式的值： （1）()2

a b -； （2）222a b c -+；

（3）()2a b -+； （4）222a ab b ++。

2．当a 是负数时，判断下列各式是否成立。 （1）()2

2a a =-； （2）()3

3a a =-；

重点2.科学记数法 例 计算

510100000=， 6101000000=， 101010000000000=，

左边用10的n 次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就是我们想到用10的n 次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。但是像太阳的半径大约是696 000千米，光速大约是300 000 000米每秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就是本节课我们要学习的内容科学记数法。 1. 10n 的特征

观察下题1234101010,10100,101000,1010000,1010000000000=====。 提问：10n 中的n 表示n 个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？

练习（1）把下面各数写成10的幂的形式。

1000， 100000000， 100000000000。

练习（2）指出下列各数是几位数。

310， 510， 1210， 10010。

2．科学记数法

（1）任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n 次幂的形式。如：

21001100110=⨯=⨯，3600061000610=⨯=⨯，375007.510007.510=⨯=⨯。

第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100,1000，变成10的n 次幂的形式就行了。 （2）科学记数法定义

根据上面的例子，我们把大于10的数记成10n a ⨯的形式，其中a 是正数数位只有一位的数，你是自然数，这种计数法叫做科学记数法。现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。

用字母N 表示数，则10(1||10,)n N a a n =⨯≤<为整数，这就是科学记数法。

例1． 用科学记数法表示下列各数：

（1）1 000 000； （2）57 000 000； （3）696 000；

（4）300 000 000； （5）-78 000； （6）12 000 000 000。 解：

（1）1 000 000=610；

（2）57 000 000=75.710000000 5.710⨯=⨯；