初二数学变式练习题

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初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

八年级数学下册平行四边形的判定练习题

BDCAO图1FEDCBA图2F E D CBA HG FEOAB C DOM ABCD图1FE DCB A4321图3F ED CBA H G 图2F E DCB A八年级数学下册平行四边形的判定练习题识记知识1）定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.∵ , ∴四边形ABCD 是平行四边形.2）定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.3）定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.4）定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.5）定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∴四边形ABCD 是平行四边形. 二、平行四边形性质与判定的综合应用例1：如图，已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。

求证：四边形BFDE 是平行四边形变式一：在□ABCD 中，E ，F 为AC 上两点，BE//DF ．求证：四边形BEDF 为平行四边形．变式二：在□ABCD 中，E,F 分别是AC 上两点，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F.求证:四边形BEDF 为平行四边形想一想：在□ABCD 中， E ，F 为AC 上两点， BE ＝DF ．那么可以证明四边形 BEDF 是平行四边形吗？例2：如图，平行四边形ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG 。

求证：EG 和HF 互相平分。

练习1、如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ，那么请说明AM=DC 且AM ∥DC：1、以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 2、如图，在□ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD >BC ，BC = 6cm ,P ,Q 分别从A ，C 同时出发，P 以1厘米/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2厘米/秒的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 成为平行四边形？1、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A 、一组对边相等，另一组对边平行；C 、一组对角相等，一组邻角互补；B 、一组对边平行，一组对角互补；D 、一组对角互补，另一组对角相等。

初二数学(二元一次方程组专题复习)

二元一次方程组【知识点一：二元一次方程组的有关概念】二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．【典型例题】1．在下列方程中，不是二元一次方程的有（）A．x+y=3 B．xy=3 C．x－y=3 D．x=3－y次方程．A．1个B．2个C．3个D．4个3．若关于x，y的方程x m+1+y n－2=0是二元一次方程，则m+n的和为（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式练习】1．下列各式中，属于二元一次方程的是（）A．x2－25=0 B．x=2y C．y－6=0 D．x+y+z=02．下列四个方程中，是二元一次方程的是（）A．xy=3 B．2x－y2=9 C．132x y=+D．3x－2y=03．若x a－2+3y b+3=15是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－2 【提高练习】1．下列式子中，属于二元一次方程的是（）A．2x+3=x－5 B．x+y＜2 C．3x－1=2－5y D．xy≠1 2．已知：mx－3y=2x+6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（）A．m≠0B．m≠3C．m≠－2 D．m≠23．已知x2m－1+3y4－2n=－7是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值是（）A．B．C．D．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．【典型例题】1．若是关于x、y的二元一次方程ax－3y=1的解，则a的值为（）A．－5 B．－1 C．2 D．72．方程x+2y=5的正整数解有（）A．一组B．二组C．三组D．四组3．已知方程5x－2y=1，当x与y相等时，x与y的值分别是（）A．x=13，y=13B．x=－1，y=－1 C．x=1，y=1 D．x=2，y=2【变式练习】1．二元一次方程5a－11b=21（）A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解2．若是方程2x－3y+a=1的解，则a的值是（）A．1 B．12C．2 D．03．已知是二元一次方程2x－y=14的解，则k的值是（）A．2 B．－2 C．3 D．－34、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【提高练习】1．方程x +y =6的非负整数解有（） A ．6个B ．7个C ．8个D ．无数个2．二元一次方程3x +2y =15在自然数范围内的解的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．【典型例题】1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )A 、⎩⎨⎧==+725xy y xB 、⎪⎩⎪⎨⎧=-=+043112y x y xC 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=343453y x y xD 、⎩⎨⎧=+=-12382y x y x2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A 、B 、C 、D 、3．若方程组是二元一次方程组，则a 的值为_______．4．关于x 、y 的方程组的解是，则|m －n |的值是（）A ．5B ．3C ．2D ．15．若方程组026ax y x by +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=-⎩，则a +b =_______．【变式练习】1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．228423119 (23754624)x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）A 、B 、C 、D 、3．已知是二元一次方程组的解，则2m －n 的算术平方根为（） A ．±2B ．2 C ．2D ．44．若方程组2x y b x by a +=⎧⎨-=⎩的解是1x y =⎧⎨=⎩，那么│a －b │=_____．【提高练习】1．方程2x +3y =11和下列方程构成的方程组的解是的方程是（）A ．3x +4y =20B ．4x －7y =3C ．2x －7y =1D ．5x －4y =62．已知│2x －y －3│+（2x +y +11）2=0，则（） A ．21x y =⎧⎨=⎩ B ．03x y =⎧⎨=-⎩ C ．15x y =-⎧⎨=-⎩ D ．27x y =-⎧⎨=-⎩3、若3243y x b a +与b a y x -634是同类项，则=+b a （）A 、－3B 、0C 、3D 、6【知识点二：二元一次方程组的两种解法】【例1】若1721x ax by y ax by =+=⎧⎧⎨⎨=--=-⎩⎩是方程组的解，则a =______，b =_______．【变式练习】1、以x 、y 为未知数的方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 与方程组⎩⎨⎧=+=+654432y x y x 的解相同，试求a 、b 的值．2、若把上面题目改成方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与⎩⎨⎧=-=+184393by ax y x 的解相同，试求a 、b 的值．【例四】已知二元一次方程3x +4y =6，当x 、y 互为相反数时，x =_____，y =______；当x 、y 相等时，x =______，y = _______ ．【例五】已知2x 2m －3n －7－3y m +3n +6=8是关于x ，y 的二元一次方程，求n 2m【变式练习】1、若2a y +5b 3x 与－4a 2x b 2－4y是同类项，则a =______，b =_______．2、如果（5a －7b +3）2+53+-b a =0，求a 与b 的值．【扩展】代入法在一些特殊方程中的巧妙应用⎩⎨⎧-=+-=+1)(258y x x y x【例五】方程组⎩⎨⎧-=+=-252132y x y x 中，x 的系数特点是______；方程组⎩⎨⎧=-=+437835y x y x 中，y 的系数特点是________.这两个方程组用__________________法解比较方便．【变式练习】【例六】已知方程mx +ny =10有两个解，分别是⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1221y x y x 和，则m =________，n =__________. 【变式练习】1、若2a +3b =4和3a －b =－5能同时成立，则a =_____，b =______.2、如果二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+a y x ay x 4的解是二元一次方程3x －5y －28=a 的一个解，那么a 的值是_________.3、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+1532m y x my x 的解x 与y 的差是7，求m 的值．4、若3122x m y m =+⎧⎨=-⎩，是方程组1034=-y x 的一组解，求m 的值．5、二元一次方程343x my mx ny -=+=和有一个公共解11x y =⎧⎨=-⎩，求m 和n 的值.【例七】已知⎩⎨⎧=+=+8272y x y x ，那么x －y 的值是___________.【变式练习】1、已知⎩⎨⎧=+=+8272y x y x ，则y x yx +-=_________. 2、已知⎩⎨⎧=-=+ay x a y x 22，a ≠0，则y x =__________.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+4231432y x y yx 观察思考，选择适当的方法消元并加以归纳总结(1) (2)(3) （4）【知识点三：一次函数与二元一次方程（组）的综合应用】1．若直线y =2x+n 与y =mx －1相交于点(1，－2)，则( )． A ．m =12，n =－52 B ．m =12，n =－1 C ．m =－1，n =－52 D ．m =－3，n =－322．直线y =12x －6与直线y =－231x －1132的交点坐标是( )．A ．(－8，－10)B ．(0，－6)C ．(10，－1)D ．以上答案均不对 3．在y =kx +b 中，当x =1时y =2；当x =2时y =4，则k ，b 的值是( )． A ．00k b =⎧⎨=⎩ B . 20k b =⎧⎨=⎩ C ．31k b =⎧⎨=⎩ D . 02k b =⎧⎨=⎩4．直线kx －3y =8，2x +5y =－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2⎩⎨⎧=+-=65732y x y x ⎩⎨⎧=-=+6341953y x y x5．已知4353xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，是方程组3,12x yxy+=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，那么一次函数y=3－x和y=2x+1的交点是________．6．一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点在二元一次方程－2x+by=18上，则b=_________．7．已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax－3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，－1)，则a=_______，b=________．8．已知方程组230,2360y xy x-+=⎧⎨+-=⎩的解为4,31,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩则一次函数y=3x－3与y=－32x+3的交点P的坐标是______．9．若直线y=ax+7经过一次函数y=4－3x和y=2x－1的交点，求a的值．10．(1)在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2，y=x－3的图像．(2)两者的图像有何关系?(3)你能找出一组数适合方程x－y=2，x－y=3吗?________，这说明方程组2,3,x yx y-=-⎧⎨-=⎩_______．11．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．12．在直角坐标系中，直线L1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线L2经过原点，且与直线L1交于点(－2，a)．(1)求a的值．(2)(－2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解?(3)设交点为P，直线L1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗?【知识点四：二元一次方程组应用题】【一、百分数问题】1．某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加％，农村人口增加工厂％，这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口?2．要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少?3．校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加了10%，总支出节约了20%，因而总收入比总支出多100万元. 求去年我校校办工厂的总收入和总支出各多少万元?4．某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年的总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。

初中数学教材变式题

变式题1、原题：计算：2)32(-．（9年级上册P5第2（4）题）变式1 填空： 94= ，412= ．变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，说明理由．2、原题：四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF = 90︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE = EF ．（提示：取AB 的中点G ，连结EG ）（8年级下册P122页第15题）变式1 连结AC ，则点A 、E 、C 、F 四点在一个圆上（利用圆周角的性质，结论AE = EF 立即自明）．变式2 连结AH ，则AH = AB + CH ，∠BAE =∠EAH ．变式3 如图，设E 是边BC 上的任意一点，① AE ⊥EF ，② CF 是正方形外角的平分线，③ AE = EF ．则可得 ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①，共三个命题，不难证明它们都是正确的．变式4 如图，E 是正方形ABCD 中BC 边上的任意一点，连结AE ，过E 作EF ⊥AE 交CD 于H ，设∠BAE = α，∠EAH = β．求tan α + tan β 的值．变式5 如图，正三角形ABC 中，E 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，D 是BC 延长线上一点，F 是∠ACD 的平分线上一点．（1）若∠AEF = 60°，求证：AE = EF ；（2）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，其它条件不变，请你猜想：当∠A n E n F n= °时，结论A n E n = E n F n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）︒⨯-1802nn 变式6 如图，矩形ABCD 中（AB ＜BC ），E 是边BC 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ．（1）试问边BC 上是否存在点E ，使得EF = AE ？说明理由；（2）试探究点E 在边BC 的何处时，使得1=-ABBCAE EF 成立？E α β DA B C HH C E D A B F FD BE C A AB C E FD3、原题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，边OA 在y 轴上，点D 在边OC 上，将△DBC 沿BD 所在的直线翻折，使点C 落在对角线OB 上的点E 处，直线BD 交y 轴于点F ，线段OA 的长是04822=-+x x 的一个根，且53=∠ABO Sin . 请解答下列问题：（1）求点B 的坐标；（2）求直线BD 的解析式；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△APO 与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

初二数学上册考试重点及练习题(含答案)

初二数学上册考试重点及练习题（含答案）第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

初二数学练习题

初二数学练习题题一：简单方程解题1. 解方程：2x + 5 = 17。

2. 解方程：3(x + 4) = 36。

3. 解方程：4(x - 8) = 12。

题二：百分数转换问题1. 将0.25转换成百分数。

2. 将60%转换成小数。

3. 将3/5转换成百分数。

题三：平行线和转角问题1. 如果两条平行线的角度分别是90度和70度，求它们的转角。

2. 如果两条平行线的转角是120度，求它们之间的角度。

3. 如果两条平行线之间的角度是40度，求它们的转角。

题四：多项式计算问题1. 计算多项式的值：3x^2 + 4x - 5，当x = 2时。

2. 计算多项式的值：2x^3 - 5x^2 + 3x + 6，当x = -1时。

3. 计算多项式的值：4x^2 + 2x + 7，当x = 0时。

题五：比例和比例方程问题1. 在一个长方形中，长和宽的比是3∶2，如果长是15cm，求宽的长度。

2. 在一个三角形中，两条边的比是4∶5，如果第一条边长是16cm，求第二条边的长度。

3. 在一个比例方程中，已知x∶5＝3∶8，求x的值。

题六：平行四边形问题1. 如果一个平行四边形的一边的长度是6cm，高度是4cm，求它的面积。

2. 如果一个平行四边形的面积是24cm²，高度是3cm，求它的底边长度。

3. 如果一个平行四边形的一边长度是10cm，高度是8cm，求它的面积。

题七：统计和概率问题1. 一个班级有40名学生，男生和女生的比例是3∶2，男生的人数是多少？2. 一副扑克牌共有52张牌，其中红桃牌有13张，随机抽取一张牌，它是红桃的概率是多少？3. 有4个红球和6个黑球放在一个袋子里，从中随机抽取一个球，它是红球的概率是多少？题八：图形的面积和周长问题1. 一个正方形的边长是8cm，求它的面积和周长。

2. 一个矩形的长和宽分别是5cm和10cm，求它的面积和周长。

3. 一个圆的半径是6cm，求它的面积和周长。

以上是初二数学练习题，希望能帮助你巩固数学知识。

二年级变式题10道

以下是10道适合二年级学生的数学变式题：
1. 小明有5个苹果，小红有3个苹果，小华有10个苹果。

小明给小华多少个苹果后，小华的苹果数量是小明的两倍？
2. 小明和小强一起跳绳，小明跳了30下，小强跳的是小明的两倍少10下，小强跳了多少下？
3. 小华和小丽一起做手工，小华做了8朵花，小丽做的花是小华的两倍，小丽做了多少朵花？
4. 一根绳子长20米，剪去一半后，再剪去一半，还剩多少米？
5. 小明有10个球，小红有20个球，小红给小明多少个球后，两人的球一样多？
6. 小明和小华一起画图，小明画了3个正方形，小华画的正方形是小明的两倍，小华画了多少个正方形？
7. 小明有5支铅笔，小华有10支铅笔，小华给小明多少支铅笔后，两人的铅笔一样多？
8. 小明和小丽一起做数学题，小明做了10道题，小丽做的题数是小明的两倍少5道，小丽做了多少道题？
9. 小明和小强一起做手工，小明做了8个纸鹤，小强做的纸鹤是小明的两倍，小强做了多少个纸鹤？
10. 一块巧克力蛋糕重50克，小明吃了半块后，还剩下多少克？
这些题目旨在提高学生的数学思维和问题解决能力。

通过变式题的形式，学生可以在不同的情境中理解和运用数学概念和方法。

八年级数学下册二次根式的混合运算练习题及解析

第十六章二次根式
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为
上底宽4
2m ，下底宽 62m ，高6m 的梯形，这段路基长 500 m ，那么这段路基的
土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
针对训练计算：
(3 1 6 2 2 2 + 2 1 28⎝⨯() ； () .
--
探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 典例精析
例3(教材P14例4变式题)计算：
21(32)（）；((2)32481843;⨯32a a b a ab a b --+
方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根
据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
【变式题】计算：
20182018
1223223;（）（）（）⨯201720193
223232.2
（）
（）（）-⨯
教学备注
配套PPT 讲授
3.探究点2新知讲授
（见幻灯片11-15）
计算：(
)
)))
2
(1)1(2).
；
探究点3：求代数式的值
n b 的式子，构
1.下列计算中正确的是（）
3
=1
=-
2=
2.计算2.
=
3.设,3
10
,
3
10
1
-
=
+
=b
a则a b(填“>”“< ”或“=”）.
4.计算：。

初二数学培优专题 (4)——最短路径问题(答案详解)

.
【变式 2】（2016-2017 上青羊初二期末）
如图，一次函数 y 1 x 2 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第二象限 2
内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求线段 AB 的长；
（2）过 B、C 两点的直线对应的函数表达式．
（3）点 D 是 BC 中点，在直线 AB 上是否存在一点 P，使得 PC PD 有最小值．若存在，则
- 14 -
初二数学培优专题(4)
答案例 5 如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后，侧面是一个长 18 cm，宽 12 cm 的长方形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D.
由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP+PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP. 由已知和长方形的性质，得 DC=9,BD=12.
C
【变式 2】两动两定
O
B
如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别
在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是_________．
-4-
Hale Waihona Puke 初二数学培优专题(4)答案【例 2】解：
【变式 1】10，120° 【变式 2】
-5-
初二数学培优专题(4)
最短路径问题
——将军饮马及拓展、胡不归问题、立体图形的展开图问题
（一）“两点之点线段最短”问题(对称求最短路径)
1.“两定点,一个动点”——“将军饮马”
当题中只出现一个动点时,可作其中一定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值【例 1】（2015 内江中考）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点

专题07 菱形(变式集训)【2022春人教八下数学核心考点题型归纳+变式集训】(解析版)

专题07 菱形（变式集训）一、单选题1．（2020·四川三台·八年级期末）下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（） A ．对边平行且相等 B ．对角线互相平分 C ．每条对角线平分一组对角D ．对角互补【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．【详解】解：A 、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A 选项不符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B 选项不符合题意；C 、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C 选项符合题意；D 、菱形、平行四边形的对角相等，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键．2．（2021·湖南澧县·八年级期中）如图，菱形ABCD 中，130D ∠=︒，则1∠=（）A ．30B ．25︒C ．20︒D ．15︒【答案】B【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出//DC AB ，1DAC ∠=∠，进而结合平行四边形的性质得出答案．【详解】解：四边形ABCD 是菱形，//DC AB ∴，1DAC ∠=∠，130D ∠=︒，18013050DAB ∴∠=︒-︒=︒，11252DAB ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出DAB ∠的度数是解题关键．3．（2018·山东金乡·八年级期中）如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE BC ⊥于点E ．若110BAD ∠=︒，则BOE ∠=( )A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质求出∠OBE,再根据OE∠BC 即可求出∠BOE ．【详解】∠∠BAD=110°,AC 、BD 是菱形对角线, ∠∠OBC=∠OBA=()1180110352︒-︒=︒, ∠OE∠BC,∠∠BOE=90°－35°=55°．故选C ．【点睛】本题考查菱形的性质,关键在于利用对角线平分对角的性质解题．4．（2021·全国·八年级专题练习）菱形的边长是5cm ，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线的长为（）A ．6cmB ．C ．8cmD ．10cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形性质得出OB ＝OD ＝3cm ，OA ＝OC ，AC ∠BD ，由勾股定理求出OA ，即可得出答案．【详解】如图所示：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB ＝5cm ，OB ＝OD ＝12BD ＝3cm ，AC ∠BD ，∠∠AOB ＝90°，由勾股定理得：OA =4cm ，∠AC ＝2OA ＝8cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 5．（2021·山东牡丹·九年级阶段练习）如图，正方形ABCD 的面积为2，菱形AECF 的面积为1，则E ，F 两点间的距离为（）A ．1B ．2CD 【答案】A【解析】【分析】连接AC ，根据正方形ABCD 的面积为2，可得2AC =，再由菱形AECF 的面积为1，得到112AC EF ⋅=，即可求解．【详解】解：如图，连接AC ，∠正方形ABCD 的面积为2， ∠2122AC = ，解得：2AC = ，∠菱形AECF 的面积为1， ∠112AC EF ⋅= ，即1212EF ⨯⨯= ，解得：1EF = ．故选： A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．6．（2021·广东揭西·九年级阶段练习）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，BC ＝6，则OH 的长为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AD ＝BC ＝6，AC ∠BD ，进而得出答案．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD ＝BC ＝6，AC ∠BD ，∠H 为AD 边的中点，∠HO ＝12AD ＝3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，正确应用直角三角形的性质是解题关键．7．（2021·湖南·长沙市北雅中学八年级阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断▱ABCD 是菱形的为（）A ．AO ＝COB ．AO ＝BOC ．∠AOB ＝∠BOCD ．∠BAD ＝∠ABC【答案】C【解析】【分析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：∠一组邻边相等的平行四边形是菱形；∠对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．【详解】A 、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意B 、由ABCD 中AO BO =可推得AC BD =，可以证明ABCD 为矩形，但不能判定ABCD 为菱形，则此项不符题意C 、当AOB BOC ∠=∠时，因为180AOB BOC ∠+∠=︒，所以90AOB BOC ∠=∠=︒，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知ABCD 是菱形，则此项符合题意D 、由平行四边形的性质可知，180BAD ABC ∠+∠=︒，故当BAD ABC ∠=∠时，可推出90BAD ABC ∠=∠=︒，从而可判定ABCD 为矩形，则此项不符题意故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．8．（2022·山西太原·九年级期末）将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】B【解析】【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AC∠BD，∠四边形ABCD为菱形，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．9．（2021·浙江浙江·九年级专题练习）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．B．C．D【答案】B【解析】【分析】连接FG ，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE ＝AF ，BF ＝BG ，进而可证∠AEF是等边三角形及∠BFG 是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF 和FG 的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG 的长．【详解】解：连接FG ，过点B 作BH∠FG 于H ，如图，∠菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，∠∠A ＝60°，∠ABC ＝120°，∠点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ，∠AE ＝AF=1，BF ＝BG ，∠∠AEF 是等边三角形，∠∠AFE ＝60°，EF=AF=1∠BF ＝BG ，∠∠BFG 是等腰三角形，∠∠GFB ＝1801202-=30°， ∠∠EFG ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∠BF ＝4﹣1＝3，∠BH=32，=∠FG ＝∠EG故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．10．（2021·福建·莆田擢英中学八年级期中）如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将∠DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到∠DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：∠∠AED ∠∠GED ；∠四边形AEGF 是菱形；∠∠DFG ＝112.5°；∠BC +FG ＝1.5，其中正确的结论是（）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠【答案】B【解析】【分析】首先证明∠ADE ∠∠GDE ，再求出∠AEF 、∠AFE 、∠GEF 、∠GFE 的度数，推出AE =EG =FG =AF ，由此可以一一判断．【详解】解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AD =DC =BC =AB ，∠DAB =∠ADC =∠DCB =∠ABC =90°，∠ADB =∠BDC =∠CAD =∠CAB =45°， ∠∠DGH 是由∠DCB 旋转得到，∠DG =DC =AD ，∠DGE =∠DCB =∠DAE =90°，在R t∠AED 和R t∠GED 中，,.DE DE DA DG =⎧⎨=⎩∠∠AED ∠∠GED ，故∠正确，∠∠ADE =∠EDG =22.5°，AE =GE ，∠∠AED =∠AFE =67.5°，∠AE =AF ，同理GE =GF ，∠AE =GE =GF =AF ，∠四边形AEGF 是菱形，故∠正确，∠∠DFG =∠GFC +∠DFC =∠BAC +∠DAC +∠ADF =112.5°，故∠正确．∠AE =FG =EG =BG ，BE ，∠BE >AE ，∠AE +BE =AB =1∠AE <12，∠CB +FG <1.5，故∠错误．故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．二、填空题11．（2021·贵州毕节·九年级阶段练习）若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为___________．【答案】6【解析】【分析】由题意直接由菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．【详解】=⨯÷=.解：菱形的面积3426故答案为：6.【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．12．（2021·江苏海陵·八年级期末）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将∠ABE沿BE翻折，点A恰好落在边CD上的点F处，若∠A=63°，则∠BFC的度数为_________．【答案】63°【解析】【分析】由折叠的性质可知，AB=BF，再由菱形的性质即可得到∠C=∠A，BF=BC，则∠BFC=∠C．【详解】解：由折叠的性质可知，AB=BF，∠四边形ABCD是菱形，∠∠C=∠A=63°，AB=BC，∠BF=BC，∠∠BFC=∠C=63°，故答案为：63°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．13．（2021·陕西凤翔·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD .若四边形BEDF 是菱形，则EF 的长为___________.【答案】152【解析】【分析】由矩形的性质可得∠A ＝90°，利用勾股定理计算BD 的长，设BE ＝x ，根据勾股定理列方程可得x 的值，最后菱形的性质和勾股定理可解答．【详解】解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠A ＝90°，∠6AB ==CD ，8BC ==AD ，∠BD 10=，∠四边形EBFD 为菱形，∠EF ∠BD ，BE ＝DE ，OD ＝12BD ＝5，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝8−x ，在Rt ∠ABE 中，由勾股定理得：AB 2＋AE 2＝BE 2，∠62＋（8−x ）2＝x 2，解得：x ＝254，∠DE＝254，Rt∠EOD中，OE154 =，∠四边形EBFD为菱形，∠EF＝2OE＝152．故答案为：152．【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．14．（2021·安徽怀宁·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将∠ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将∠CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）四边形BFDE的形状是________．（2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为________．【答案】平行四边形【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和面积解答即可．【详解】解：（1）四边形BFDE为平行四边形，理由如下：∠四边形ABCD是矩形，∠∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∠CD，∠∠ABD=∠CDB，由于折叠，∠ABE=∠EBD，∠DCF=∠FDB，∠∠EBD=∠FDB，∠EB∠DF，∠ED∠BF，∠四边形BFDE为平行四边形．故答案是：平行四边形；（2）∠四边形BFDE为菱形，∠BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∠四边形ABCD是矩形，∠AD=BC，∠ABC=90°，∠∠ABE=30°，∠∠A=90°，BE=4，∠AE=2，BF=BE=2AE=4，∠AB∠菱形BFDE的面积为：故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换问题，关键根据翻折的性质和矩形、菱形的性质解答．三、解答题15．（2021·陕西·西安市第六中学九年级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∠AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．【答案】24 5【解析】【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．【详解】解：∠菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，∠∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，5AB，菱形的面积为118624 22AC BD⨯=⨯⨯=，∠24 AB BE⨯=，245BE=．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．16．（2019·福建福清·八年级期中）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，4AB =．求AC 的长(结果保留根号)．【答案】【解析】【分析】利用菱形的性质：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，利用直角三角形中30的性质得到较短的直角边的长，利用勾股定理可得答案．【详解】证明：∠四边形ABCD 是菱形，4CD AB OA OC OB OD AC BD ∴====⊥，，，，在Rt DOC 中，30ACD ∠=︒， ∠122DO CD =＝，在Rt DOC 中，90DOC ∠=︒，222OC OD CD ∴+=，∠OC =，∠2AC OC ==．【点睛】本题考查的是菱形的性质，考查直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的计算，掌握以上知识点是解题关键．17．（2020·福建·厦门一中九年级阶段练习）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD ＝75°．（1）求∠A 的度数；（2）请用尺规作图，在AD 边上找到一点F ，使得∠DBF ＝45°（不要求写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）30°；（2）见解析【分析】（1）根据菱形的性质和三角形内角和即可求∠A的度数；（2）根据尺规作图，作AD的垂直平分线交AD于点F，此时∠DBF＝45°．【详解】解：如图所示：（1）∠四边形ABCD是菱形，∠AD∠BC，AD＝AB∠∠ADB＝∠ABD=∠CBD＝75°．∠∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°．答：∠A的度数为30°；（2）作AD边的垂直平分线，交AD于点F，∠AF＝BF，∠∠FBA＝∠A＝30°∠∠DFB＝∠FBA+∠A=60°∠∠DBF＝45°．【点睛】本题考查菱形的性质及尺规作图,关键在于熟悉菱形的性质并学会尺规作图. 18．（2021·陕西武功·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB 的中点，DE∠AB．（1）求∠ABC的度数．（2）如果AC DE的长．【答案】（1）120°；（2）【分析】（1）先证明∠ABD 是等边三角形，可得∠DAB =60°，即可求解；（2）根据菱形的性质，可得AC ∠BD ，AO =12AC 然后根据三角形的面积可得DE =AO ，即可求解．【详解】解：（1）∠E 为AB 中点，DE ∠AB ，∠AE =BE ，∠AED =∠BED ，又DE =DE ，∠∠AED ∠∠BED ，∠AD =BD ，又∠四边形ABCD 是菱形，∠AD =AB ，∠DAB +∠ABC =180°，∠∠ABD 是等边三角形，∠∠DAB =60°，∠∠ABC =120°，（2）∠四边形ABCD 为菱形，AC∠AC ∠BD ，AO =12AC在等边∠ABD 中，∠AO ∠BD ，DE ∠AB ，∠S △ABD =12 AO ×BD =12DE ×AB ，∠DE =AO【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握得到等边三角形是解题的关键．19．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，已知等腰ABC ，AB AC =，AD 平分BAC ∠，E 为AD 上一动点，作EF 平行AB ，交AC 于F ，在AB 上取一点G ，使得AG CF =，连接GF .（1）根据题意补全图形；（2）求证四边形BEFG 是平行四边形；（3）若50BAC ∠=︒，写出一个ABE ∠的度数，使得四边形BEFG 是菱形.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）50ABE ∠=︒，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意按步骤画图即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出FAE FEA ∠=∠，则AF EF =，进而有EF BG =，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）根据菱形的性质有GF EF =，然后利用等腰三角形的性质和平行线的性质即可求解．【详解】（1）补全图形如下：（2）,AB AC AG CF == ，BG AF ∴= ．//EF AB ，BAE FEA ∴∠=∠ ．∠AD 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，FAE FEA ∴∠=∠，AF EF ∴=，EF BG ∴=．//EF BG ，∠四边形BEFG 是平行四边形；（3）50ABE ∠=︒，理由如下：若四边形BEFG 是菱形，则有GF EF =，AF EF = ，AF GF∴=，∴∠=∠=︒．AGF BAC50∠四边形BEFG是平行四边形，GF BE∴，//∴∠=∠=︒．50ABE AGF【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的性质，掌握平行四边形的判定及性质和菱形的性质是解题的关键．20．（2021·河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．(1)求证：BD=EC．(2)当∠DAB=60°时，四边形BECD为菱形吗?请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形．理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的四条边的对边平行且相等可得AB=CD，AB∠CD，再求出四边形BECD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；（2）只要证明DC=DB，即证明∠DCB是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∠AB=CD，AB∠CD，又∠BE=AB，∠BE=CD，BE∠CD，∠四边形BECD是平行四边形，∠BD=EC；（2）解：结论：四边形BECD是菱形．理由：∠四边形ABCD是菱形，∠AD=AB，∠∠DAB=60°，∠∠ADB，∠DCB都是等边三角形，∠DC =DB ，∠四边形BECD 是平行四边形，∠四边形BECD 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．21．（2021·吉林·九年级专题练习）如图，已知ACB △中，90ACB ∠=︒，CE 是ACB △的中线，连接CE ，分别过点A ，C 作CE 和AB 的平行线相交于点D ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若5CE =，6BC =，求菱形AECD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【解析】【分析】（1）根据题意由//,//AD CE CD AE 可得四边形ADCE 是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE AE =进而可得四边形ADCE 是菱形；（2）连接DE 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ，根据勾股定理求得AC ，根据菱形ADCE 的面积公式即可求得．【详解】（1）//,//AD CE CD AE ，∴四边形ADCE 是平行四边形，90ACB ∠=︒，CE 是ACB △的中线，12CE AB AE ∴==， ∴四边形ADCE 是菱形；（2）如图，连接DE ，5CE=，6BC=，210AB CE==，在Rt ABC中，AC8 ==，四边形ADCE是菱形，∴CD CE=，//CD AE，CE EB=，∴四边形CDEB是平行四边形，6DE BC∴==，∴菱形ADCE的面积118624 22AC DE⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．22．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级阶段练习）在ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；（2）如图2，过C作CG∥AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与ADG面积相等的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）DECF，DEFB，EGCF，AEFD【解析】【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）利用等高模型即可解决问题．【详解】解：（1）∠D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∠DE 、DF 分别是△ABC 中BC 边、AC 边上的中位线，∠DE ∠BC ，DE ＝12BC ，DF ∠AC ，DF ＝12AC ，∠DE ∠FC ，DF ∠EC ，∠四边形DECF 为平行四边形，又∠AC ＝BC ，∠DF ＝DE ，∠DECF 为菱形；（2）∠CG EF ∥，EG CF ∥，∠四边形EFCG 是平行四边形，∠与ADG 面积相等的平行四边形有：DECF ，DEFB ，EGCF ，AEFD ．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．23．（2021·广东顺德·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，6cm BC =．点E 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点F 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点E ，F 的速度都是0.5cm /s ．连接EF ，AF ，CE ，设点E ，F 运动的时间为s t ．（1）当t 为何值时，四边形ABFE 是矩形？（2）当t 为何值时，四边形AFCE 是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AFCE 的周长和面积.【答案】（1）当6t =时，四边形ABFE 为矩形；（2）当92t =时，四边形AFCE 为菱形；（3）周长15(cm)，面积245(4cm ) 【解析】【分析】（1）当四边形ABFE 是矩形时，BF AE =，据此求得t 的值；（2）当四边形AFCE 是菱形时，AF EC =，列方程求得运动的时间t ；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长4t =，面积=矩形的面积2-个直角三角形的面积．【详解】解：（1）由已知可得，0.5BF DE t ==，60.5AE CF t ==-，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BF AE =时，四边形ABFE 为矩形，0.560.5t t ∴=-，得6t =，故当6t =时，四边形ABFE 为矩形．（2）由（1）可知，,//AE FC AE FC =，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴当AF FC =时，四边形AFCE 为菱形，60.5t -时，四边形AFCE 为菱形，解得92t =，故当92t =时，四边形AFCE 为菱形，（3）当92t =时，154=AF ，154CF =，则周长为：154415(4cm)AF =⨯=，面积为：215453m ()44c CF AB ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是注意结合方程的思想．。

4.1 因式分解北师大版数学八年级下册堂堂练(含答案)

4.1因式分解——2022-2023学年北师大版数学八年级下册堂堂练1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A. B.
C. D.
3.下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.是下列哪一个多项式分解因式后所得的答案( )
A. B. C. D.
5.已知多项式分解因式为，则b，c的值为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
6.已知，则分解因式_____________.
7.如果多项式M可因式分解为，则_________.
8.若多项式可分解因式为，试求a，b的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：易知A项不合题意；B项，，不合题
意；C项，，不合题意.故选D.
2.答案：C
解析：A项的变形为整式的运算，B项和D项没有化为几个整式的乘积形式.故A,B,D 不是分解因式.故选C.
3.答案：C
解析：A项不是因式分解，故本选项不符合题意B项，等号两边不相等，因式分解不正确，故本选项不符合题意；C项是正确的因式分解，故本选项符合题意；D项不是因式分解，故本选项不符合题意.故选C.
4.答案：D
解析：.故选D.
5.答案：D
解析：根据题意得，，所以，.故选D.
6.答案：
解析：因为，所以.
7.答案：
解析：.
8.答案：解：由题意，得.
而，
所以.
比较两边系数，得.
解析：计算的结果中，x的一次项系数为a，常数项为b.。

(完整word)初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

12.2三角形全等的判定(二)(“SAS”)练习题人教版八年级数学上册

第2课时三角形全等的判定(二)(“SAS”)【基础练习】知识点 1 判定两个三角形全等的基本事实——“边角边”1.如图1所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE,则≌△AEB,理由是.图12.图2中全等的三角形是 ()图2A.①和②B.②和③C.②和④D.①和③3.如图3,AB平分∠DAC,要用“SAS”判定△ABC≌△ABD,还需添加条件 ( )图3A.CB=DBB.AB=ABC.AC=ADD.∠C=∠D4.已知:如图4,AC与BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:△AOB≌△COD.图45.如图5所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC.求证:△ABC≌△DEC.图56.如图6所示,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.图6知识点 2 全等三角形的判定(SAS)的简单应用7.如图7所示,AA',BB'表示两根长度相同的木条.若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为 ( )图7A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.11 cm8.[2020·镇江]如图8,AC是四边形ABCD的对角线,∠1=∠B,点E,F分别在AB,BC 上,BE=CD,BF=CA,连接EF.(1)求证:∠D=∠2;(2)若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数.图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC和△ADC中,有下列三个论断:①AB=AD;②∠BAC=∠DAC;③BC=DC.将其中的两个论断作为条件,另一个论断作为结论写出一个真命题为.(写成“如果 ,那么 ”的形式,写一个即可)图910.[2020·江西]如图10,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.图1011.如图11,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE.有下列说法:①CE=BF;②△ABD≌△ACD;③BF∥CE;④△BDF和△CDE的面积相等.其中正确的是.(填序号)图1112.:[2020·宜宾]如图12,在△ABC中,D是边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ECD;(2)若△ABD的面积为5,求△ACE的面积.图12 变式:在△ABC中,AB=7,AC=3,AD是中线,求AD的取值范围.第2课时三角形全等的判定(二)(“SAS ”)1.△ADC SAS2.D [解析] 从图中可以看到①和③符合“SAS ”.3.C [解析] 由题意可得,在△ABC 和△ABD 中,{AC =AD,∠CAB =∠DAB,AB =AB,∴△ABC ≌△ABD (SAS).选项C 正确,其余选项都不正确. 4.证明:在△AOB 和△COD 中,{OA =OC,∠AOB =∠COD,OB =OD,∴△AOB ≌△COD (SAS).5.证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA ,即∠ACB=∠DCE.在△ABC 和△DEC 中,{CA =CD,∠ACB =∠DCE,BC =EC,∴△ABC ≌△DEC (SAS).6.证明:∵AD=BE ,∴AB+BD=DE+BD ,即AB=DE.∵AC ∥DF ,∴∠A=∠FDE.在△ABC 和△DEF 中,{AB =DE,∠A =∠FDE,AC =DF,∴△ABC ≌△DEF (SAS).7.B8.解:(1)证明:在△BEF 和△CDA 中,{BE =CD,∠B =∠1,BF =CA,∴△BEF ≌△CDA (SAS).∴∠D=∠2.(2)∵∠D=∠2,∴∠2=78°.∵EF∥AC,∴∠BAC=∠2=78°.9.答案不唯一,如:如果①②,那么③(或如果①③,那么②)[解析] (1)已知AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC(SAS),所以BC=DC;(2)已知AB=AD,BC=DC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC(SSS),所以∠BAC=∠DAC.10.82°[解析] ∵CA平分∠DCB,∴∠BCA=∠DCA.又∵CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴∠B=∠D.∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD.∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°,∴∠B+∠ACB=49°.∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°.故答案为82°.11.①③④[解析] ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.又∠CDE=∠BDF,DE=DF,∴△BDF≌△CDE,故④正确;由△BDF≌△CDE,可知CE=BF,故①正确;∵AD是△ABC的中线,∴△ABD和△ACD等底同高,∴△ABD和△ACD的面积相等,但不一定全等,故②错误;由△BDF≌△CDE,可知∠FBD=∠ECD,∴BF∥CE,故③正确.故答案为①③④.12.解:(1)证明:∵D是边BC的中点,∴BD=CD.在△ABD 和△ECD 中,{BD =CD,∠ADB =∠EDC,AD =ED,∴△ABD ≌△ECD (SAS).(2)∵在△ABC 中,D 是边BC 的中点,∴S △ABD =S △ACD .∵△ABD ≌△ECD ,∴S △ABD =S △ECD . ∵S △ABD =5,∴S △ACE =S △ACD +S △ECD =5+5=10,即△ACE 的面积为10.变式:解:如图,延长AD 到点E ,使ED=AD ,连接BE.∵AD 是△ABC 的中线,∴BD=CD.又ED=AD ,∠ADC=∠EDB ,∴△BED ≌△CAD (SAS). ∴BE=AC=3. ∵DE=AD ,∴AE=2AD.在△ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE , 即AB-BE<2AD<AB+BE ,∴7-3<2AD<7+3. ∴2<AD<5.。

小学数学变式练习题可打印

小学数学变式练习题可打印在小学数学教学中，练习题是非常重要的一环。

通过练习题的完成，学生能够巩固知识、提高解题能力，培养逻辑思维和创新思维。

本文将为大家提供一些小学数学的变式练习题，并提供可打印的链接，方便学生进行练习。

一、加减法练习1. (1) 58 + 27 =(2) 43 + 65 =(3) 91 - 38 =(4) 76 - 29 =2. (1) 176 + 65 =(2) 256 - 93 =(3) 382 + 237 =(4) 879 - 462 =3. (1) 623 + 158 =(2) 779 - 347 =(3) 524 + 237 =(4) 964 - 582 =4. (1) 1234 + 567 =(3) 289 + 456 =(4) 987 - 221 =二、乘除法练习1. (1) 7 × 8 =(2) 9 × 3 =(3) 25 ÷ 5 =(4) 42 ÷ 6 = 2. (1) 15 × 6 =(2) 27 × 4 =(3) 64 ÷ 8 =(4) 98 ÷ 7 = 3. (1) 23 × 7 =(2) 43 × 5 =(3) 72 ÷ 9 =(4) 84 ÷ 4 = 4. (1) 34 × 9 =(2) 52 × 8 =(3) 99 ÷ 3 =三、综合运算练习1. 求下列各题的值：(1) 15 + 46 - 8 × 3 ÷ 2 =(2) (28 - 7 × 3) ÷ 5 + 9 =(3) 4 + 5 × 7 - 6 ÷ 2 =(4) (56 ÷ 7 + 3) × 4 - 9 =2. 小明一共有35元，他买了一本数学书花了18元，剩下的钱他想平均分给他的两个朋友，请问每个人能分到多少钱？3. 一包巧克力有8块，小明吃掉了其中的3块，请问还剩下多少块巧克力？4. 阿姨从市场上买回来8斤苹果，她用了2斤苹果煮成了一大锅苹果汁，剩下的苹果有多少斤？以上是一些小学数学的变式练习题，供学生进行练习。

初二数学变式练习题

初二数学变式练习题1. 小明和小红同时从A地出发，走向B地，两人的行走速度分别为5 km/h和7 km/h。

已知A地到B地的距离为25 km，请问他们什么时候会相遇？解析：设小明走了t小时后相遇，那么小红已经走了t-1小时。

小明走的距离为5t km，小红走的距离为7(t-1) km。

根据题意，5t + 7(t-1) = 25。

解得t=3，所以他们会在3小时后相遇。

2. 某班级有40名男生和35名女生。

如果男生人数增加了20%，女生人数减少了15%，请问两者人数相等时，班级总共有多少名学生？解析：设女生人数为x，则男生人数为1.2x。

根据题意，x + 1.2x = 40 + 35。

解得x = 35，所以两者人数相等时，班级总共有(35 + 42) = 77名学生。

3. 甲乙丙三人共有1000元钱，甲拥有的钱比乙多200元，乙拥有的钱比丙多400元。

请问三人各自拥有多少钱？解析：设丙拥有的钱为x，则乙拥有的钱为x + 400，甲拥有的钱为x + 600。

根据题意，x + (x + 400) + (x + 600) = 1000。

解得x = 100，所以甲拥有的钱为700元，乙拥有的钱为500元，丙拥有的钱为100元。

4. 小明的成绩比班级平均成绩高12分，比班级最低成绩高24分。

如果小明的成绩是班级成绩的平均值，且班级人数为50人，请问班级的总分是多少？解析：设班级总分为x，班级平均成绩为y。

根据题意，x/50 = y。

小明的成绩为y + 12，班级最低成绩为y - 24。

根据题意，(x - 24 - (y - 24)) / 50 = y + 12。

解得x = 3325，所以班级的总分是3325分。

5. 甲乙两个容器的容量之比是4:5，已知甲容器中有30升的水，请问两个容器中共有多少升的水？解析：设乙容器中有x升的水。

根据题意，30 / x = 5 / 4。

解得x = 24，所以两个容器中共有30 + 24 = 54升的水。

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