二次根式的平方差公式
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式性质与运算(同步)
一、二次根式的概念及性质a 0a ≥二次根式的基本性质：（1）0a ≥（0a ≥）双重非负性；（2）2(a a =（0a ≥）；（3）2 (0) (0)a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．二、二次根式的乘除运算1a b ab （0a ≥，0b ≥）2aab b=（0a ≥，0b >）三、最简二次根式：1、最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 2、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式，原理是平方差公式22()()a b a b a b +-=-；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．四、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：()a x b x a b x =+．同类二次根式才可加减合并．一、对二次根式定义的考察【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：24331x(0)x x >042、1x y +x y +x ≥0，y ≥0）．a b a b 二次根式性质与运算新知学习基础演练【练一练】下列式子中，是二次根式的是（ ）．A ．7B 38C xD ．x【例2】 当x 31x -【例3】 当x 1231x x ++在实数范围内有意义？【练一练】2(6)x --x 有（ ）个 ．A ．0B ．1C ．2D ．无数【练一练】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？【例4】 解答下列题110a b +-=，求20112011a b +的值．【练一练】已知a 、b 522105a a b --=+，求a 、b 的值．【练一练】已知实数a 与非零实数x 满足等式：2221130x a x x x ⎫⎛-+-- ⎪⎝⎭2(2)a -二、对二次根式性质的考察【例5】 计算（1） 23()4 （2） 2(34) （3）2(5) （4） 23(【练一练】计算（1） 2(2)(0)x x +≥ （2）22()a （3）22(21)a a ++ （4）224129)x x -+【例6】 在实数范围内分解下列因式:（1）25x - （2）44x - （3） 223x -【例7】 先化简再求值：当a=9时，求212a a a -+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=2(1)(1)1a a a a -=+-=；乙的解答为：原式=2(1)(1)2117a a a a a -=+-=-=．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．【练一练】若-3≤x ≤2时，试化简222(3)1025x x x x -+-+．【例8】 93xy x y x ，y 必须满足条件 ．【例9】 如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥ B ． 3x ≥C ．03x ≤≤D ． x 为任意实数【练一练】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．【例10】 把4324根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11-B ．11C ．44-D ．44【练一练】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：（1） ;1aa -（2）⋅---11)1(y y【例11】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值．【练一练】探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）222233=+ 验证：3322222(22)22(21)22223332121-+-++--333388=+验证：3322233(33)33(31)33338883131-+-+==+-- 同理可得：44441515=+55552424=+…… 通过上述探究你能猜测出： 21aa -=_______（a >0），并验证你的结论．【练一练】880a b =，， 6.4【例12】 已9966x xx x --=--x 为偶数，求2254(1)1x x x x -++-33231()22nn n nmm m m m （m >0，n >0）三、最简二次根式的概念【例13】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．A ．a 8B ．32-bC ．2yx - D ．y x 23【练一练】把下列各式化成最简二次根式： （123 （2152（335a b （41123+【例14】 计算：（1182460 （2）2346a ab （314822【例15 23的有理化因式是 ；x y 的有理化因式是 ． 11x x -+- 的有理化因式是 ．【例16】 把下列各式分母有理化：（124a + （22x y+ （321- （435233523-+【练一练】a b+【例17 1ab b【例18】 观察规律：32321,23231,12121-=+-=+-=+，……，求值．（1）7221+＝______；（2）10111+＝______；（3）nn ++11＝______．【练一练】3132x x =-+--_______．【例19】 把32,27,125,445,28,18,12,152有 ；与3的被开方数相同的有 ；5的被开方数相同的有 ．【例20】 若35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =．【例21】 若22323m -21410n m --m 、n 的值．【练一练】若4a b b +3a b +a ，b 的值．【练一练】已知最简根式27b a a b -+与a ，b 的值（ ） A ．不存在 B ．有一组 C ．有二组 D ．多于二组【例22】 化简计算：（1322+ （2）5()()8()a b a b a b +--0a b >>)四、二次根式的加减【例23】 计算：（1）3343 （21275【练一练】485127-＝______．【例24】 计算：（1）1128183224（2112434827【练一练】计算：（1）630.1248 （233118182ab a b ab a b【例25】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？CBA五、二次根式的乘除【例26】 计算：（113221355 （2212121335六、二次根式的混合运算【例27】 计算：（1）2(323) （2）(235)(235) （3）22(235)(235)-- （4）20112012(38)(38)【练一练】（1）(23326)(23326) （2）33(3)a b ab ab ab （0,0a b ≥≥）【例28】 解方程或不等式:（1))6171x x +>- （2222133x+=【练一练】已知1018222=++a aa a ，求a 的值．【例29】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【例30】 化22111(1)n n +++，所得的结果为（ ） A ．1111n n +++ B ． 1111n n -++ C ．1111n n +-+ D ．1111n n --+【例31】 计算：（164332(63)(32)++++ （21014152110141521+--+++（3335335755749474749++++++（43151026332185231--+-+++七、非负数性质的综合应用【例32】 21(4)0x y ++-=，则y x 的值等于 ．【例33】 如果23322y x x =--，则2x y += ．【例34】 当2x 22212x x x -+【练一练】已知0a <22114()4()a a a a-++-的值．【例35】 已知实数x ，y ，z 满足2114412034x y y z z z -++-+=，求2()x z y +⋅的值．【练一练】已知实数a ，b ，c 满足2122102a b b c c c -+-+=，求()a b c +【例36】 21(2011)10x y z +-+-=，则()y xz 的值等于 ．【例37】 已知22230a b a ac c a b c ++-++++-=3abc 的值．【练一练】若224250a b a b +--+=22a b a b+-的值．【例38】 已知正数a ，b ，且满足22111a b b a --=，求证：221a b +=．【题1】 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．A ．23-B ．2)3.0(-C ．2-D ．x【题2】 33x +x 应满足的条件是（ ）． A ． x ＞0B ． x ≤0C ． x ≥－3D ． x ＞－3【题3】 若m m 32-+有意义，则m ＝ ．【题4】 计算下列各式：（1） 2)23( （2）2)32(⨯ （3）2)53(⨯- （4）2)323(【题5】 计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：（13＝______；（224______；（3）322＝______；（46y ＝______．【题6】 当a ______时，23-a 有意义；当x______时，31-x 有意义． 当x ______时，x 1有意义；当x ______时，x1的值为1． 【题7】 若b ＜05ab -______． 【题8】 9112,,8,2733是同类二次根式的是 ． 课后作业【题9】 若32x y x y +-64y x y m +++m = ． 【题10】 若a ，b 两数满足b ＜0＜a 且｜b ｜＞｜a ｜，则下列各式有意义的是（ ）．A ．b a +B ．a b -C ．b a -D ．ab【题11】 等2224x x x -+- ）A ．2x ≥B ．2x ≥-C ．22x -≤≤D ．2x ≥或2x ≤- 【题12】 若3,4a b =-=-，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）A ． 222.()3(34)21a a b a a b ++=---=B ． 2222222.3(3)(4)32515a a b a b +=+--+---C ． 22222223(3)(4)32515a a b a a b +=-+-+-==D ．22222223(3)(4)32515a a b a b +±+=±-+-=±±【题13】 计算（1） (32)(23) （2） 78(21)(21)（3） 533()32a aab a b b b⋅ （4） 48)832(3xx x x ÷-（5） (1)(1)(1)x x x x x x +++【题14】 若最简二次根式22a b a b a b +++与是同类根式，求2b a -的值【题15】 已知a 2a - ）A ．aB ． a -C ．1-D ．0【题16】 若 ab 0≠，则等式531a ab b b --成立的条件是 ．【题17】 当x 时，2243x x x -+-．【题18】 如果式子1(1)1a a ---根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A 1a - B 1a - C ．1a -- D ．1a --【题19】 如果0a >，0a b<22(4)(1)b a a b ---+【题20】 计算：21(240.52(6)38-【题21】 计算：12(820.25)(15072)83-【题22】11(27(1245)35-【题23】 计算： 127323+【题24】 计122320112012++++【题25】(3248)(1843)【题26】(236)(623)【题27】(4332)(5027)【题28】 （1）(23)()a b b - （2）335137(16)()248a a a a -【题29】(326)(623)【题30】(1)(1)(1)(1)x x x x x x ++++-【题31】 (2[4]a b ab a b +÷．【题32】1(486)274【题33】()()x xy y x y +÷【题3411883221+【题3520511235+【题36 222224242424n n n n n n n n ++-+--+--++-【题37】 已3327183a a a =，求a 的值．。
二次根式运算的技巧
二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。
下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法例1、计算)3418)(4823(分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算解：原式=)3418)(4823(22=)4818)(4818(=18-48=-30二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65(分析：∵2=2)2(∴3225中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算解：原式=]3)2(25)[65(2 =)]65(2)[65( =)65)(65(2 =2（25-6） =192三、公式法例3、计算)632)(632(分析：整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62[( =22)3()62( =366222=345四、因式分解法例4、计算)()2(y x y xy x 分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x =)()(2y x y x =yx 五、拆项法例5、化简)23)(36(23346分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式=)23)(36()23(3)36( =363231 =3623 =26六、配方法例6、计算3819625223分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=222)34()23()21( =)34()23()12( =-5。
(完整版)二次根式混合运算经典
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
二次根式的计算方法
添加标题
乘法运算的应用：二次根式的乘法运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在计算面积、 体积、长度等物理量时，常常需要进行二次根式的乘法运算。
除法运算
公式：a√b/c√d = (a/c)√(b/d) 例题：(2√3)/(3√2) = (2/3)√(3/2) 注意事项：除法运算中，分母不能为0 应用：二次根式的除法运算在解决实际问题中具有广泛应用
二次根式的定义
概念：二次根式是形如√a（a≥0）的代数式，其中a称为被开方数，√a称为根号。
性质：二次根式具有非负性，即√a≥0（a≥0）。
运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法，遵循一定的运算法则。
应用：二次根式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解方程、计算面积、体积 等。
二次根式的性质
转化为同类二次根式
概念：非同类二次根式是指 根号下含有不同字母的二次 根式
加减运算：将转化后的同类 二次根式进行加减运算，得
到结果
加减法运算规则
二次根式与有理数相加减， 先化成最简二次根式，再相 加减
不同底二次根式相加减，先 化成同底二次根式，再相加 减
同底二次根式相加减，底数 不变，被开方数相加减
03
二次根式的乘除法
乘法运算
添加标题
乘法运算的定义：二次根式的乘法运算是将两个二次根式相乘，得到一个新的二次根式。
添加标题
乘法运算的法则：二次根式的乘法运算法则是：(a√b)(c√d)=(ac)√(bd)。
添加标题
乘法运算的步骤：首先，将两个二次根式相乘，得到新的二次根式；然后，将新的二次根式的 被开方数相乘，得到新的被开方数；最后，将新的二次根式的系数相乘，得到新的系数。
乘除法运算规则
化简二次根式的方法与技巧
化简二次根式的方法与技巧介绍化简二次根式的主要方法和技巧，以及相关的概念。
共轭二次根式如果x=a+√b，y=a-√b，那么我们称x与y是一对共轭二次根式。
则有x+y=2a，xy=a²-b，根据它可以将一些无理式问题转化为有理式问题来处理。
例如我们通常用它进行分母有理化。
分母有理化如果分母原来是无理数，而将该分母化为有理数的过程，叫做分母有理化。
也就是将分母中的根号化去。
(1)分母是一个单项式时，只需把分子分母同时乘以分母即可。
例如分母是√2，可以把分子分母同时乘以√2：(2)分母是一个多项式时，一般利用平方差公式(a+√b)(a-√b)=a²-b进行分母有理化。
分子分母同时乘以相同的数，使分母变成有理数，例如分母是3+√2，可以分子分母同时乘以3-√2：被开方式是分数根据最简二次根式的定义，根号里不能含有分母。
化简方法有两种：(1)可以把分子分母同时乘以分母，即把分母变成完全平方，直接移出根号。
(2)变成分母中含有根号的形式，再进行分母有理化。
可以参照下面的两个公式(a≥0，b>0)：被开方式是小数根据最简二次根式的定义，根号里的数字必须是整数，所以需要先把小数化成分数，再利用上面根号里是分数的化简方法进行化简。
例如√0.5=√(1/2)=√2/2。
只要根号里是能够化成分数的小数(包括循环小数)，都可以化成最简二次根式，但是如果根号里是无限不循环小数，例如√π则无法化简。
复合二次根式的化简如果二次根式的被开方数(式)中含有二次根式，属于复合二次根式，例如：化简这种复合二次根式一般有下面两种方法。
(1)配方法把被开方式a+√b配成完全平方，然后再脱去外层根号，例如：(2)待定系数法设被开方式a+√b=(√x+√y)²，然后比较对应项的系数求出x与y的值，例如：得到x+y=3，xy=2，即x(3-x)=2，解得x=1或x=2。
可得x=1，y=2或x=2，y=1(x与y对称)，所以结果是3+2√2=(1+√2)²。
14.2 .1平方差公式说课稿 2022-2023学年人教版八年级数学上册
14.2.1 平方差公式说课稿一、教材分析本节课是《2022-2023学年人教版八年级数学上册》中的第14章《二次根式》的第2节，主要内容是平方差公式的学习与应用。
通过本节课的学习，学生将掌握如何使用平方差公式来计算含有根号的算式，提高他们解题和计算的能力。
二、教学目标1.知识与技能：–掌握平方差公式的表达方式和含义；–能够运用平方差公式求解相关问题；–进一步理解根号的概念和运算规则。
2.过程与方法：–通过引导学生观察和发现，培养他们的逻辑思维能力；–采用示例演算、归纳总结、参与讨论等方式，激发学生的学习兴趣；–引导学生独立思考和解决问题的能力。
3.情感态度和价值观：–培养学生良好的数学学习态度，激发他们对数学的兴趣和热爱；–提高学生的解决实际问题的能力，培养他们的创新意识和动手实践能力；–培养学生合作学习的意识，加强他们的学习交流和团队合作能力。
三、教学重点和难点1.教学重点：–平方差公式的记忆和理解；–运用平方差公式求解相关问题。
2.教学难点：–引导学生理解平方差公式的含义和推导过程；–培养学生独立运用平方差公式解决问题的能力。
四、教学过程1.导入新课：–引入平方差公式的概念，例如：我们经常会遇到一些带有根号的算式，如√3 - √2，如何计算这样的算式呢？–引导学生观察这种算式的特点，并尝试用已学的知识解答。
2.梳理思路：–引导学生通过观察√3 - √2 这个算式，提出一些问题：这个算式的结果是不是一个有理数？我们能不能化简这个算式呢？–引导学生思考如何将这个算式化简，并帮助他们找到起始点。
3.引入平方差公式：–根据学生的思考，引入平方差公式的表达方式：(a - b)(a + b) = a^2 - b^2。
–解释平方差公式的含义和推导过程。
4.归纳总结：–让学生归纳总结平方差公式的记忆方式和应用场景，如何判断平方差公式能够适用于某个算式。
5.练习与拓展：–给学生提供一些练习题，让他们运用平方差公式解决相关问题，并在解答过程中加强对根号运算的理解。
【课标分析】平方差公式 _数学_中学
课标分析
《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法..因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数)0≥a a a a 时，才有意义．a2. 二次根式的性质1. 非负性：是一个非负数．)0(≥a a 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0((2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用来确定，如：与，与，与a a a =⋅a a b a +b a +b a -等分别互为有理化因式。
b a -②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如与，与，b a +b a -b a +b a -与分别互为有理化因式。
y b x a +y b x a -3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0≥≥⋅=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式——精选推荐
二次根式定义性质和概念如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
二次根式即：若，则x叫做a的平方根，记作x=。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
性质：二次根式1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形势中被开方数不能有分母存在。
二次根式2.零的平方根是零，即；3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。
二次根式4.无理数可用有理数形式表示, 如:。
几何意义二次根式1°(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质在实数范围内因式分解];二次根式2°，都是非负数；当a≥0时，；而中a取值范围是a≥0，中取值范围是全体实数。
二次根式3°c=表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;4° 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如二次根式二次根式﹙a>0﹚，﹙a<0﹚二次根式﹙a≥0﹚，﹙a<0﹚二次根式7° 注意:，即具有双重非负性。
算术平方根正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
0的算术平方根为0.开平方运算化简化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
最简二次根式二次根式化简一般步骤：①把带分数或小数化成假分数；②把开方数分解成质因数或分解因式；③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；④化去根号内的分母，或化去分母中的根号；⑤约分。
运算法则乘除法1.积的算数平方根的性质二次根式（a≥0，b≥0）2. 乘法法则二次根式（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式的平方差公式
二次根式的平方差公式二次根式的平方差公式是数学中的一种重要公式，它在解决一些二次根式的平方差问题中起到了关键作用。
这个公式的具体形式为：$a\sqrt{x}+b\sqrt{y}=(\sqrt{a}\sqrt{x}+\sqrt{b}\sqrt{y})^2-(\sqrt{ab}\sqrt{xy})^2$。
在使用这个公式时，需要注意一些细节和技巧，下面将对其进行详细的介绍和解释。
我们来看一个简单的例子。
假设我们要计算$\sqrt{15}+\sqrt{6}$的平方。
根据平方差公式，我们可以将这个表达式转化为$(\sqrt{15}+\sqrt{6})^2-(\sqrt{90})^2$。
进一步计算可得$(\sqrt{15}+\sqrt{6})^2-90=15+2\sqrt{15}\sqrt{6}+6-90=21+2\sqrt{90}-90=-69+2\sqrt{90}$。
所以，$\sqrt{15}+\sqrt{6}$的平方等于$-69+2\sqrt{90}$。
通过这个简单的例子，我们可以看到平方差公式的应用十分灵活，可以帮助我们化简复杂的二次根式表达式。
接下来，我们来看一些常见的应用场景。
首先是二次根式的平方差问题。
在解决这类问题时，平方差公式可以帮助我们将一个复杂的二次根式表达式转化为一个更简单的形式。
比如，我们要计算$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$，根据平方差公式，可以将它转化为$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{10})^2$。
进一步计算可得$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2-10=5+2\sqrt{5}\sqrt{2}+2-10=-3+2\sqrt{10}$。
所以，$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2=-3+2\sqrt{10}$。
除了平方差问题，平方差公式还可以应用在分式的化简中。
比如，我们要化简$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$。
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1.二次根式的概念二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.二次根式的性质1。
非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到．2。
注意：此性质既可正用，也可反用,反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数．（2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3.最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4.二次根式计算—-分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定,如:与,与，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与,与，与分别互为有理化因式.3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5.二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
4．二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．6.二次根式计算-—二次根式的加减二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变.1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
二次根式的巧运算
二次根式的运算是初中数学的重点，在计算与化简二次根式的过程中，只要能够认真挖掘问题的结构特征，寻求恰当而巧妙的解题途径，便可达到化繁为简的目的。
以下是几种常见的二次根式运算的方法，供大家参考。
1．巧用定义。
例：化简分析：由二次根式定义知解答：由已知得方法规律：运用二次根式定义求出式中字母的隐含条件。
2．巧用平方法。
例：求的值。
分析：观察式子，发现结果大于0，若设，注意到互动为有理化因式，两边平方即可。
解答：设两边平方得：3．巧用乘法公式。
例：化简分析：观察到式中根号内的被开方数可化为完全平方的形式，故逆用公式变形，再用化简。
解答：4．巧用配方法。
例：化简分析：显然，结合分母的特点适当添、拆项后利用完全平方公式和平方差公式解决。
解答：5．巧用拆项法。
例：化简：分析：观察式子，不难发现分子中可拆为。
解答：6．巧用因式分解法。
例：计算分析：显然先算完全平方式很麻烦，若运用平方差公式，先分解因式，可达到化繁为简的目的。
7．巧用换元法。
例：计算分析：本题特点为分子与分母的和和积为一常数，故可用换元法。
解答：设且8．巧用幂的性质。
例：化简分析：式子。
解答：9．巧用通分法。
例：计算分析：观察分母特点，发现第二个分母为第一个分母的倍，故可先通分。
解答：10．巧用约分法。
分析：解答：总之，对于二次根式的有关计算，只要同学们学会根据题目的结构特点，灵活应变，即可达到事半功倍之效。
二次根式的化简与运算
在二次根式的除法运算中，需要注意分母有理化的应用，确保结果的合理性。
平方差公式
在二次根式的运算中，需要注意平方差公式的应用，可以简化计算过程。
05
练习与巩固
总结词
二次根式的化简是二次根式运算的基础，通过化简可以将复杂的二次根式转化为简单的二次根式，便于进行后续的运算。
化简练习
详细描述
二次根式的化简方法包括：将二次根式被开方数中的因数分解；将被开方数相乘除；将被开方数中的幂指数相乘除等。在化简过程中需要注意化简后的二次根式必须满足被开方数为非负数，根指数为2的条件。
简化根式
化简二次根式时，需要将各项中的同类二次根式合并，尽可能将根式简化成最简形式。
确定被开方数的范围
在化简二次根式时，需要先确定被开方数的范围，避免出现负数或分数的平方根。
运算顺序
在二次根式的混合运算中，需要注意运算顺序，先乘方再乘除最后加减。
运算的注意事项
乘法运算
在二次根式的乘法运算中，需要注意分配律的应用，确保各项之间的乘积正确。
练习题
例如，化简$\sqrt{48}$，可以将48分解为16×3，得到$\sqrt{48} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。类似的，还可以对其他复杂的二次根式进行化简。
二次根式的运算是在化简的基础上进行的，主要包括加法、减法、乘法和除法等运算。通过运算可以解决各种实际问题，如计算几何图形的面积、求解方程等。
化简二次根式的方法
化简二次根式就是将被开方数分解质因数，然后将根号外的因式移到根号内，最后去掉根号。
主要知识点回顾
易错点
学生在处理二次根式的化简时，容易忽略被开方数是负数的情况，或者在运算时出错。
初中数学二次根式的性质
初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。
也就是说，二次根式的结果总是非负的。
这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。
2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。
也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。
否则，二次根式就没有意义。
3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。
这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。
4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。
例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。
以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。
16.2二次根式的运算(第2课时)讲解与例题
【例2】计算：
(1)－2－3＋5＋4；
(2)(－)－(－)．
分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－2与5，－3与4被开方数相同，因此可直接进行合并．
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二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
(5)二次根式的加减法的一般步骤：
①将每一个二次根式化成最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式；
③合并同类二次根式．
知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．
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解：(1)－2－3＋5＋4
＝(－2＋5)＋(－3＋4)＝3＋.
平方差公式的运用
浅谈平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。
关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。
一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的、可以是具体数，也可以是单项式、多项式。
可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。
有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。
（一）、整式乘法中的运用例1.分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。
例2．分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。
计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。
解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号=例3、分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。
前一个因式中的结合成，后一个因式结合成，与为相等，z与-z互为相反数，可用公式进行计算。
小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有（1）对因式中各项的系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如、如，此类题目不能运用平方差公式；（2）公式中的字母是多种形式的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。
二次根式二个公式
一般形式
ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数a≠0)
例如：x^2+2x+1=0
1..配方法（可解全部一元二次方程）
2.公式法（可解全部一元二次方程）
3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.
4.开方法（可解全部一元二次方程）一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器有解方程的,不过要一般形式)
5.代数法（可解全部一元二次方程）
直接介绍代数法
ax^2+bx+c=0
同时除以a,可变为x^2+bx+c=0
设：x＝y-b/2
方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0
再变成：y^2+(b^2*3)/4+c=0
y=±√[(b^2*3)/4+c]
如何选择最简单的解法：
1、看是否可以直接开方解；
2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法）；
3、使用公式法求解；
4、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦）.
知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视.
一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0,(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法；5,代数法。
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二次根式的平方差公式
摘要：
1.二次根式的定义与性质
2.平方差公式的概念
3.二次根式的平方差公式推导过程
4.二次根式的平方差公式的应用
5.总结
正文：
1.二次根式的定义与性质
二次根式是指形如√ax+bx+c（其中a≠0）的代数式，其中a、b、c 为常数，x 为未知数。
二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值非负，即√ax+bx+c≥0。
- 求和与差：若x1 和x2 是方程ax+bx+c=0 的两根，则有
√ax1+bx1+c + √ax2+bx2+c = 0。
2.平方差公式的概念
平方差公式是指(a+b)(a-b)=a-b的公式，即两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差。
3.二次根式的平方差公式推导过程
我们可以通过平方差公式将二次根式转化为完全平方的形式，从而推导出二次根式的平方差公式。
考虑二次根式√ax+bx+c，根据平方差公式，我们有：
√ax+bx+c = √(a(x+(b/2a)x+(c/a)))
= √(a(x+(b/2a))+(c/a)-(b/4a))
这里，我们通过将x+(b/2a)x+(c/a) 表示为完全平方的形式，即
(x+(b/2a))+(c/a)-(b/4a)，从而得到了二次根式的平方差公式。
4.二次根式的平方差公式的应用
二次根式的平方差公式在解决一些与二次根式相关的数学问题时非常有用，例如求解二次方程的根、计算二次根式的和与差等。
例如，考虑二次方程ax+bx+c=0 的两根为x1 和x2，根据二次根式的平方差公式，我们有：
√ax1+bx1+c + √ax2+bx2+c = √(a(x1+(b/2a))+(c/a)-(b/4a)) +
√(a(x2+(b/2a))+(c/a)-(b/4a))
= √(a(x1+(b/2a))+(c/a)) - √(b/4a) +
√(a(x2+(b/2a))+(c/a)) - √(b/4a)
= (x1+(b/2a)) - (-b/2a) + (x2+(b/2a)) - (-b/2a)
= x1 + x2
因此，我们可以通过二次根式的平方差公式求解二次方程的根。
5.总结
二次根式的平方差公式是数学中的一个重要公式，它将二次根式转化为完全平方的形式，从而为解决一些与二次根式相关的数学问题提供了便利。