基于Kriging模型的有限元模型修正方法研究

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基于kriging模型梯度解析解的改进一次二阶矩方法

基于kriging模型梯度解析解的改进一次二阶矩方法基于Kriging模型的改进一次二阶矩方法是一种用于优化问题的数值计算方法。

在传统的Kriging模型中，通过对已知数据点进行拟合，并进行插值推断，得到未知位置的预测值。

然而，Kriging模型在求解过程中需要大量的计算资源和时间，因此需要进行优化。

在本文中，将介绍基于Kriging模型梯度解析解的改进一次二阶矩方法的原理和实现。

首先，我们来介绍Kriging模型的基本原理。

Kriging模型是一种基于空间插值法的预测模型，它基于已知数据点的空间结构和变异性，通过最小化插值误差来对未知位置的值进行预测。

Kriging模型的核心是协方差函数，它描述了不同位置数据值之间的相关性。

在原始的Kriging模型中，通过求解协方差矩阵的逆矩阵来计算预测值。

然而，这种方法在计算大规模数据集时非常耗时，并且需要大量的内存。

为了解决这个问题，我们引入改进一次二阶矩方法。

该方法基于梯度解析解，通过对协方差函数的一阶和二阶导数进行计算，构建二次拟合模型，从而实现快速求解。

具体而言，改进一次二阶矩方法通过在每个预测点处进行局部二次插值，来近似协方差函数的形状。

这样一来，就可以通过求解局部插值方程得到对应位置的预测值和方差。

该方法的关键步骤可以概括如下：1.根据已知数据点，计算协方差函数的一阶和二阶导数。

这里需要使用局部填充法或者全局填充法来对协方差函数进行插值。

2.对每个需要预测的位置，构建二次拟合模型。

该模型可以通过协方差函数的一阶和二阶导数来构建。

3.求解二次拟合模型，计算预测值和方差。

在这一步中，可以使用符号计算工具或者数值计算方法来求解。

4.根据预测值和方差，选择适当的策略来进行进一步的优化。

可以根据预测值和方差之间的关系，来确定最优的下一步方向。

通过以上步骤，可以大大减少计算量和内存需求，提高求解效率。

改进一次二阶矩方法在实际中得到了广泛应用，特别是在大规模数据集的优化问题中。

基于Kriging模型和模拟退火粒子群算法的结构有限元模型修正

集,并将样本点代入有限元计算得到结构响应作
为输出集,根据输入和输出集拟合得到Kriging 函数.因此试验设计方法直接影响构造Kriging 模型的精度，同时也是决定结构有限元计算量的
主要因素.
本文样本抽样方法选用的是由Timothy 等[15*提出的一种基于分层抽样思想的拉丁超立
方设计(LHD). LHD将变量空间分成n个子区间，每个子区间概率相同且互不重叠,然后分别独
火粒子群算法优化设计参数，修正初始有限元模型.利用一空间桁架结构数值算例对所提方法进
行了验证•结果表明，基于Kriging函数和模拟退火粒子群算法的结构有限元模型修正避免了反复
调用有限元进行大量迭代运算，较快的收敛到全局最优解，提高了模型修正计算效率•
关键词：Kriging模型；模型修正；拉丁超立方；模拟退火粒子群算法
康俊涛柯志涵胡佳
（武汉理工大学土木工程与建筑学院武汉430070）
摘要：提出一种基于Kriging模型和模拟退火粒子群算法的结构模型修正方法.利用拉丁超立方对
结构设计参数（不同杆件的密度）进行抽样，并代入有限元模型得到响应特征参数（频率），通过构
建Kriging函数来拟合设计参数和特征参数之间关系.基于建立的Kriging函数模型，利用模拟退
中图法分类号：U44& 27
doi：10. 3963/j. issn. 2095-3844. 2019. 04. 016
0引
言
Kriging模型由于存在随机过程，更适合于复杂非
性的结构、
，有常高的度.
工程中，实际结构现场试验响应值与建立的
结构有限元分析模型计算值往往存在误差，需要
对建立的初始有限元模型进行修正.模型修正在

Kriging模型及代理优化算法研究进展

Kriging模型及代理优化算法研究进展一、本文概述随着科学技术的发展，代理模型（Surrogate Model）和优化算法在复杂系统设计和优化中发挥着越来越重要的作用。

其中，Kriging 模型作为一种高效的代理模型，以其出色的预测精度和灵活的适应性在多个领域得到广泛应用。

代理优化算法则通过构建代理模型来避免直接对复杂系统进行优化，大大提高了优化效率。

本文旨在综述Kriging模型及代理优化算法的研究进展，以期为相关领域的研究人员提供有价值的参考。

本文将介绍Kriging模型的基本原理及其在不同领域的应用案例。

Kriging模型是一种基于统计学习的插值方法，它结合了回归分析和空间相关性的概念，能够有效地处理高维、非线性和带有噪声的数据。

在产品设计、地质勘探、环境科学等领域，Kriging模型已经展现出其独特的优势。

本文将回顾代理优化算法的发展历程，并分析其与传统优化算法的区别与联系。

代理优化算法通过构建代理模型来逼近复杂系统的真实性能，从而实现对原问题的快速求解。

这类算法在解决大规模、高复杂度优化问题时具有显著的优势，尤其在处理多目标优化、约束优化等复杂场景时表现突出。

本文将探讨Kriging模型与代理优化算法的结合点，分析它们在复杂系统设计和优化中的协同作用。

通过整合Kriging模型和代理优化算法，我们可以进一步提高复杂系统的优化效率和质量，为实际工程问题提供更为有效的解决方案。

本文旨在全面介绍Kriging模型及代理优化算法的研究进展，分析它们在复杂系统设计和优化中的应用潜力，为相关领域的研究人员提供有益的参考和启示。

二、Kriging模型的基本理论与方法Kriging模型，又称为克里金插值或克里金模型，是一种高效的空间插值技术，广泛应用于地质统计和资源评估领域。

其基本理论与方法的核心在于通过结合结构函数和随机过程，实现对空间数据的最优无偏估计。

Kriging模型的基本原理是假设空间中的任意两点之间的属性值存在一定的空间相关性，这种相关性可以通过变差函数（也称为半变异函数）来度量。

基于Kriging模型的频响函数有限元模型修正方法

基于Kriging模型的频响函数有限元模型修正方法
杨修铭;郭杏林;李东升
【期刊名称】《计算力学学报》
【年(卷),期】2018(035)004
【摘要】针对使用频响函数进行有限元模型修正的问题,提出了一种基于Kriging 模型的修正方法,用于检测结构由损伤引起的在单元刚度特性上的衰减.本文方法可以在不需要推导修正参数与频响函数残差代数关系的前提下,通过少量测点提供的有效数据快速求解;还可以通过控制算法的终止准则来提高对未知区域的探索程度,降低结果收敛到局部解上的可能.使用Kriging模型可以有效地减少原有限元模型的计算次数,保证计算效率的同时,为对结构进行更准确精密的有限元建模提供了便利.
【总页数】7页(P487-493)
【作者】杨修铭;郭杏林;李东升
【作者单位】大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室,大连116024;大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室,大连116024;大连理工大学土木工程学院,大连 116024
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.基于Kriging模型的钢管混凝土连续梁拱桥有限元模型修正 [J], 胡俊亮;颜全胜;郑恒斌;崔楠楠;余晓琳
2.基于Kriging模型和模拟退火粒子群算法的结构有限元模型修正 [J], 康俊涛;柯志涵;胡佳
3.基于频响函数奇异值的模型修正方法 [J], 曹明明;彭珍瑞;刘满东
4.基于自适应Kriging模型的人行斜拉桥有限元模型修正 [J], 秦世强;廖思鹏;黄春雷;唐剑
5.基于Kriging模型和改进MCMC算法的随机有限元模型修正 [J], 张雪萍;彭珍瑞;张亚峰
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基于Kriging模型的钢管混凝土连续梁拱桥有限元模型修正

基于Kriging模型的钢管混凝土连续梁拱桥有限元模型修正胡俊亮;颜全胜;郑恒斌;崔楠楠;余晓琳【摘要】提出基于Kriging模型的有限元模型修正方法。

Kriging模型为据区域内若干信息样品某种特征数据对该区域同类特征未知数作线性无偏、最小方差估计方法，其只用少量样本即可获得较高精度预测结果。

用Kriging模型对平面桁架进行有限元模型修正，验证该方法的可行性与准确性；对一连续梁拱桥进行模型修正，并与GA算法、BP神经网络方法模型修正结果比较分析。

Kriging模型仅需一定量测量频率信息即可完成模型修正，能避免修正过程中进行有限元模型迭代计算。

结果表明，该方法能准确预测有效频率范围（active frequency range）外模态信息，计算效率、精度较高，可用于工程实践。

%A new method for FEM updating based on Kriging model was developed.The Kriging model is a linear unbiased minimum variance estimation to the unknown data in a region according to some characteristic information of region’s samples which have similar features with the unknown data.This method can obtain higher accuracy predicted results based on a small number of samples.Through a planar truss FEMupdating example,the feasibility and accuracy of the Kriging model were verified.And then the Kriging model was applied to a concrete-filled-steel-tubular (CFST)arch/continuous beam bridge FEM updating and the results were compared with those by the method of genetic algorithm (GA) combined with BP neural network.The analysis results show that the Kriging model needs only a certain amount of measured frequency data for FEM updating.There is no iterative calculation like in the FEM,which will exhaust much calculation time inupdating program.This method can accurately predict the modal information outside the active frequency range.The results testify the high computational efficiency,accuracy and feasibility of the method applied in actual engineering.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(000)014【总页数】7页(P33-39)【关键词】Kriging模型;模型修正;线性无偏;最小方差估计;连续梁拱桥【作者】胡俊亮;颜全胜;郑恒斌;崔楠楠;余晓琳【作者单位】华南理工大学土木与交通学院，广州 510640;华南理工大学土木与交通学院，广州 510640;华南理工大学土木与交通学院，广州 510640;华南理工大学土木与交通学院，广州 510640;华南理工大学土木与交通学院，广州510640【正文语种】中文【中图分类】TU317由于桥梁结构发展的复杂化，导致较难直观判断构件受力状况。

基于Kriging方法的结构可靠性分析及优化设计共3篇

基于Kriging方法的结构可靠性分析及优化设计共3篇基于Kriging方法的结构可靠性分析及优化设计1基于Kriging方法的结构可靠性分析及优化设计随着科技的不断发展，人们对于机械结构的可靠性要求越来越高。

如何提高机械结构的可靠性，并且满足设计的要求，是每个工程师都需要考虑的问题。

在结构设计领域中，Kriging方法是一种流行的优化方法，该方法能够通过最小化变量值的方差来优化设计。

本文将介绍Kriging方法在机械结构分析中的应用，并探讨如何通过该方法来优化结构设计。

一、Kriging方法的原理Kriging方法是一种基于统计学的插值方法，主要用于通过已有数据点的变量值，推导出未知点的变量值。

该方法的原理是基于高斯过程模型，即变量的数值可用一个随机高斯过程表示。

在Kriging方法中，通过与已有数据点之间的协方差来估算未知点的数值，同时考虑这些值之间的空间特征。

二、Kriging方法在结构可靠性分析中的应用在机械结构设计中，快速有效的结构可靠性分析至关重要。

传统的方法是通过蒙特卡罗模拟的方式来计算结构的可靠性，但这种方法时间成本较高。

而Kriging方法则可以通过插值法，计算出未知参数的值，从而减少计算时间。

同时，Kriging方法还具有较高的精度，能够准确地预测变量值的变化趋势，使得结构分析更加准确。

三、基于Kriging方法的结构优化设计Kriging方法在结构分析中的优越性能，使得它成为一种流行的结构优化方法。

基于Kriging方法的结构优化分为两个环节：第一，通过Kriging方法来分析已有结构的性能，从而找到可优化的空间；第二，通过寻找最优解来改进结构优化。

这种方法使得结构优化的过程更加高效准确，同时能够适应不同的客户要求。

四、总结本文介绍了基于Kriging方法的结构可靠性分析及优化设计，该方法可以用于预测机械结构的性能，优化设计结构。

Kriging方法具有高度的精度和可靠性，在结构优化的实践中得到广泛应用。

基于kriging代理模型的优化设计方法及其在注塑成型中的应用共3篇

基于kriging代理模型的优化设计方法及其在注塑成型中的应用共3篇基于kriging代理模型的优化设计方法及其在注塑成型中的应用1随着工程设计的深入发展，更为高效、快速、精确的优化设计方法在注塑成型领域成为了追求的目标。

在这方面，经典的kriging代理模型逐渐成为注塑成型中实验设计和优化设计的一种重要方法。

本文将简要介绍基于kriging代理模型的优化设计方法以及该方法在注塑成型中的应用。

kriging代理模型，也称为高斯过程、克里金插值或克里格代理模型，是一种基于统计学方法的回归分析工具，通常用于建立输入与输出之间的关系，能有效地预测因数之间的关联性，并支持衡量不确定性和进行假设检验。

kriging代理模型的核心思想是插值，即通过对已知数据进行插值来预测可能的输出结果。

其中，典型的kriging代理模型主要有普通kriging、简单kriging、泛指kriging和克里金样条等。

在注塑成型中，kriging代理模型通常被用于实验设计和优化设计。

实验设计主要是为了了解注塑成型的各项因素对于最终产品性能的影响，以集体调节各个因素并找出最优的组合，从而使注塑成型更为高效、经济、精确。

优化设计则是在实验设计的基础上，利用kriging代理模型进行预测和优化，以实现优化的目标。

在这方面，kriging代理模型由于其高度灵活和精确，被广泛应用于应对不同的注塑成型挑战。

在应用kriging代理模型的优化设计方法中，首先需要通过design of experiment (DOE)方法进行实验设计，以获取样本数据。

其次，根据样本数据建立kriging代理模型，通过该模型预测变量间的相互作用，并得出最优的组合方案。

最后，根据kriging代理模型预测结果，进行优化设计，并进行相关性检验，以校准模型。

总的来说，kriging代理模型作为一种优秀的分析工具，有良好的精度和稳定性，并可以适应各种优化目标。

在注塑成型中的应用，不仅有助于提高注塑成型的效率和效益，同时也能够为行业的发展注入新的活力总之，kriging代理模型在注塑成型中的应用具有重要意义。

Kriging代理模型表征混凝土小箱梁典型劣化的有限元模型修正方法

Kriging代理模型表征混凝土小箱梁典型劣化的有限元模型修
正方法
孔强;章清涛;李广奇;姚望;高天皓
【期刊名称】《上海公路》
【年(卷),期】2022()4
【摘要】桥梁在运营过程中,由于受到荷载与环境作用,其结构与材料的性能不可避免地产生劣化,运营期间的桥梁状态与设计施工时相应的桥梁状态之间,总会存在一定的差异。

以某混凝土小箱梁桥为背景,针对混凝土小箱梁桥的有关典型劣化问题,依据该桥在运营期间通过传感器所测得的数据,采用Kriging代理模型,对桥梁有限元模型进行修正,并通过预设的桥梁典型劣化模式进行验证。

结果表明,采用Kriging代理模型方法,使得有限元模型在修正过程中的调用次数有明显的降低,计算效率提高,模型修正结果精度更高,模拟效果较好。

该方法可为其它类似桥梁提供借鉴和参考。

【总页数】6页(P49-52)
【作者】孔强;章清涛;李广奇;姚望;高天皓
【作者单位】济南市城乡建设发展服务中心;山东高速股份有限公司;山东省交通科学研究院;同济大学土木工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】U44
【相关文献】
1.基于监测数据的中小跨径混凝土梁式桥有限元模型修正方法研究
2.基于Kriging 模型的钢管混凝土连续梁拱桥有限元模型修正
3.基于Kriging模型的频响函数有限元模型修正方法
4.基于Kriging代理模型的异形钢桁架桥有限元模型修正
5.基于Kriging模型及代理优化算法的老旧桥梁有限元模型修正
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基于kriging模型的有限元模型修正方法研究

基于kriging模型的有限元模型修正方法研
究
有限元模型是机械设计中不可或缺的工具，然而模型的精度往往
受限于建模时的假设和误差。

本文介绍了一种基于克里格模型的有限
元模型修正方法，旨在提高有限元模型的精度和可靠性。

克里格模型是一种基于统计学原理的插值模型，可以根据已知的
数据点生成预测值。

在有限元模型修正中，克里格模型经常用于解决
数据不充分的问题。

当有限元模型的误差与某些参数相关联时，克里
格模型可以对这些参数进行建模，并在未知点处生成较为准确的预测值。

具体地说，有限元模型的修正过程如下：首先获取一组真实的数
据点和与之相对应的有限元模型的预测值，并建立一组参数模型。

然后，使用克里格模型根据已知数据点生成修正值，并将其添加到原模
型预测值中。

最后，重新运行有限元模型，比较修正后的结果与真实
数据的误差，如果误差得到了显著改善，那么该方法就被认为是有效的。

修正过程可能涉及的参数包括材料属性、几何结构、边界条件等，而确定这些参数的方法可以是试验测试、数值模拟或者响应面分析。

当然，参数模型的建立也需要充分的数据支持，否则容易产生过拟合
或欠拟合的问题，导致修正后的模型并无任何实际意义。

总的来说，基于克里格模型的有限元模型修正方法是一种直观、可靠且易于实现的方法，可以为机械设计师提供更加精确和可信赖的有限元模型。

然而，该方法仍然存在一定的局限性，特别是在数据不足和参数之间高度耦合的情况下。

因此，在实际应用时需要综合考虑各种因素，做出最优化的决策。

基于序贯Kriging代理模型的优化方法及其工程应用

03
利用代理模型，还可以预测不同材料组合的性能，模拟
序贯Kriging代理模型可以模拟复杂的工程工艺流程，帮助工程师了解整个流程的运行情况和可能的问题。
流程改进
通过代理模型，可以发现工艺流程中的瓶颈和问题，并提出改进方案，提高生产效率和质量。
工艺参数优化
1. 选择合适的训练样本，并利用Kriging方法建立代理模型。
2. 利用已建立的代理模型进行预测，并将预测结果与实际结果进行比较，更新样本点集合。
3. 重复步骤2，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。
序贯Kriging代理模型特点与优势
序贯Kriging代理模型能够根据有限的样本点快速构建代理模型，并在迭代过程中不断更新样本点集合，提高模型的预测精度。
03
可扩展性
序贯Kriging代理模型方法可以与其他优化算法相结合，形成混合优化策略，进一步增强其优化性能。
局限性分析
对初始样本点敏感
序贯Kriging代理模型方法的性能很大程度上取决于初始样本点的选择，如果初始样本点选择不当，可能会影响最终优化结果的准确性和可靠性。
无法处理强非线性问题
对于一些强非线性问题，序贯Kriging代理模型方法可能会出现较大的误差，需要采取其他更为复杂的非线性代理模型方法。
可以利用深度学习技术的强大拟合能力，将序贯Kriging代理模型与深度学习相结合，形成更为强大的混合优化策略。
加强与其他优化算法的融合
可以探索将序贯Kriging代理模型与其他优化算法（如遗传算法、粒子群算法等）的融合方式，以实现优势互补，提高优化性能。
感谢您的观看
THANKS
1. 可以处理高维、复杂、非线性的优化问题。

基于Kriging代理模型的异形钢桁架桥有限元模型修正

(6)
若上式所示残差的平均值为 0，则得到的结构响应值则为无偏估计值，可得到下式所示关系：
(7) 可以求得结构响应估计值的方差为：
安徽建筑
(8)
式中：! 为相关矩阵 " 中的某一列。通过求解结构响应估计值方差的最小值，并使其满足无偏估计的约束，可建立优化目标函数：
（9）
式中：为拉格朗日乘子向量，通过优化求解可得以下结果：
(10)
将上述结果引入结构响应估计值可得：
. All Rights Reserved.
(11)
若令
则可
使用极大似然估计进行求解，建立极大
似然估计函数：
(12)
0 前言
于 1951年提出，最初是用来确定矿产储量分布。Sacks[6]等第一次将 Kriging方法
灵活运用，其建立的代理模型具有很强的灵活性，这样一来，模型可以更好的运
近些年，有限元分析得到广泛应用，应用于结构设计。Romero[7]等将其应用用于求解复杂情况的非线性结构，解决
. A但l是l由R于i受g到ht有s限元Re模s型e的rv网e格d划. 分、于求解结构可靠度问题中。Kriging代理了传统基于多项式函数所建立的代理模
中图分类号：U448.21+1 文献标志码：A
模型与 Kriging代理模型等。
责模拟局部近似计算。'（"）是随机过程，
文章编号：1007-7359（2020）03-0091-05
其中，Kriging代理模型方法[5]也称其均值为零且协方差不为零。在 Kriging
DOI：10.16330/ki.1007-7359.2020.03.044 空间局部估计法，由南非地质学者 Krige 代理模型中，由于 '（"）这一随机过程的

人工智能大模型安全认证证书

人工智能大模型安全认证证书
对于基于Kriging模型的有限元模型修正方法的研究，可以从以下几个方面进行探讨：
1. Kriging模型：Kriging是一种基于统计学原理的插值方法，常用于估计和预测空间上的连续变量。

在有限元模型中，Kriging模型可以用来根据已知数据点的信息推断出未知点的数值，从而实现对模型的修正和优化。

2. 有限元模型：有限元模型是一种将连续物体或系统离散为有限个小单元，并通过数值计算方法对其进行建模和分析的技术。

有限元模型广泛应用于工程领域，例如结构力学、流体力学等。

然而，在实际应用中，由于各种因素的不确定性和误差，有限元模型可能存在偏差和不准确性。

3. 修正方法：基于Kriging模型的有限元模型修正方法旨在通过利用Kriging模型的插值能力，对有限元模型的误差和不确定性进行预测和校正。

这种修正方法可以通过利用已知的实验数据和观测结果，将精确性较高的实验数据与有限元模型的预测结果进行比较，进而对模型进行修正和优化。

4. 应用领域：基于Kriging模型的有限元模型修正方法在工程设计、材料科学、地质勘探等领域具有广泛的应用。

例如，在结构设计中，通过将实际观测数据与有限元模型的结果进行比较，可以对模型的参数和假设进行校正，从而提高结构设计的准确性和可靠性。

总之，基于Kriging模型的有限元模型修正方法是一种利用统计
学原理和插值技术对有限元模型进行修正和优化的方法。

通过这种方法，我们可以根据实际观测数据对模型进行校正，提高模型的精确性和可靠性，进而在工程设计和科学研究中获得更准确的结果和预测。

基于kriging模型梯度解析解的改进一次二阶矩方法

基于kriging模型梯度解析解的改进一次二阶矩方法改进一次二阶矩方法（Improved First-Order Second-Moment method，IFOSM）是一种基于二阶矩信息进行可靠度分析的方法，通常使用Monte Carlo模拟来估计二阶矩信息。

然而，随着计算机技术的发展，使用解析解来估计二阶矩信息的方法越来越受到关注。

其中，基于kriging模型的梯度解析解方法是一种常用的解析解方法。

kriging模型是一种通过已知数据点来预测未知点的统计模型，通常用于空间插值问题。

如果将可靠度分析问题看作一种空间插值问题，那么kriging模型就可以应用于可靠度分析中。

基于kriging模型梯度解析解的IFOSM方法可以解决随机性参数数量很大、Monte Carlo模拟计算量很大的问题。

此方法的步骤如下：
1. 建立kriging模型，用已知随机变量的观测值拟合模型，得到kriging模型的表达式。

2. 计算kriging模型的梯度，即对每一个随机变量求偏导数，得到kriging模型的梯度表达式。

3. 计算梯度的二阶矩，即对每一个随机变量求二阶偏导数，得到kriging模型的二阶矩信息。

4.使用IFOSM方法，将随机变量看作坐标轴上的点，计算每个方向上的梯度和二阶矩信息，得到可靠度指标。

由于kriging模型基于统计学原理，适用于适度非线性的模型情形，因此该方法适用性广。

同时，由于使用解析解，计算速度比Monte Carlo 方法快得多，因此可以处理复杂可靠度分析问题。

基于Kriging模型的航空发动机管道系统有限元模型修正

第２１卷第９期２０２３年９月动力学与控制学报J O U R N A L O FD Y N AM I C SA N DC O N T R O LV o l ．２１N o ．９S e p．２０２３文章编号:１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ２１(９)Ｇ０２３Ｇ０１０D O I :１０．６０５２/１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２２Ｇ０４１㊀２０２２Ｇ０８Ｇ１７收到第１稿,２０２２Ｇ０９Ｇ１３收到修改稿．∗国家自然科学基金(１２０７２１８１,１１７０２１７０)和机械系统与振动国家重点实验室课题资助项目(M S V ２０２１０５),N a t i o n a lN a t u r a l S c i e n c eF o u n Ｇd a t i o no fC h i n a (１２０７２１８１,１１７０２１７０)a n d t h eS t a t eK e y L a b o r a t o r y o fM e c h a n i c a l S y s t e m s a n dV i b r a t i o n (M S V ２０２１０５)．†通信作者E Ｇm a i l :w e i s h a １２１９＠１２６．c o m基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正∗陈奕丰１㊀范鑫２㊀魏莎１,３†㊀郑冰月１㊀丁虎１,３㊀陈立群１,３(１．上海大学力学与工程科学学院,上海㊀２００４４４)(２．中国科学技术大学工程科学学院,合肥㊀２３００２６)(３．上海市应用数学和力学研究所,上海㊀２０００７２)摘要㊀为获得精确可靠的航空发动机外部管道结构动力学模型,采用将K r i g i n g 模型与多目标遗传算法(MO G A )相结合的模型修正方法进行有限元模型修正．首先进行管道模型的模态试验和有限元建模,分别获得模态参数的试验值和有限元分析值;然后在合理的参数选取和试验设计(D O E )的基础上,拟合得到K r i g i n g 模型;最后基于K r i g i n g 模型采用多目标遗传算法进行有限元模型修正,并对比了不同修正方法的精度和修正效果．结果表明:采用K r i g i n g 模型进行有限元模型修正可以有效提升修正效果,获得更为准确的有限元模型;对于航空发动机管道系统,基于K r i g i n g 模型的模型修正方法相较于基于灵敏度分析的模型修正方法具有更高的修正效率和修正精度．关键词㊀管道,㊀有限元模型修正,㊀模态分析,㊀K r i g i n g 模型,㊀灵敏度分析中图分类号:V ２３３;T H １１３．１文献标志码:AF i n i t eE l e m e n tM o d e lU p d a t i n g o f a nA e r o e n g i n eP i pe S y s t e mB a s e do nK r i g i n g Mo d e l ∗C h e nY i f e n g １㊀F a nX i n ２㊀W e i S h a １,３†㊀Z h e n g B i n g y u e １㊀D i n g H u １,３㊀C h e nL i qu n １,３(１．S c h o o l o fM e c h a n i c s a n dE n g i n e e r i n g S c i e n c e ,S h a n g h a iU n i v e r s i t y ,S h a n gh a i ㊀２００４４４,C h i n a )(２．S c h o o l o fE n g i n e e r i n g S c i e n c e ,U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ofC h i n a ,H e f e i ㊀２３００２６,C h i n a )(３．S h a n g h a i I n s t i t u t e o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s ,S h a n gh a i ㊀２０００７２,C h i n a )A b s t r a c t ㊀I no r d e r t oo b t a i na na c c u r a t ea n dr e l i a b l ed y n a m i cm o d e l o f a e r o e n g i n ee x t e r n a l p i p es t r u c Ｇt u r e s ,t h e f i n i t e e l e m e n tm o d e l (F E M )i s u p d a t e db y c o m b i n i n g t h eK r i g i n g m o d e l w i t h t h em u l t i Ｇo b j e c Ｇt i v e g e n e t i c a l g o r i t h m (MO G A )．F i r s t l y ,b o t h t h em o d a l t e s t a n d t h e f i n i t e Ｇe l e m e n t a n a l ys i s a r e c o n d u c Ｇt e d t o i d e n t i f y t h e d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p i p e l i n em o d e l ．T h e n ,b a s e d o n t h e s e l e c t e d p a r a m e t e r s a n dD e s i g no f E x p e r i m e n t (D O E ),t h eK r i g i n g s u r r o g a t em o d e l s o f t h e F E Mo f p i p e a r e s e t u p b y me a n s of f i t t i ng ．F i n a l l y ,b a s e do nK r i g i n g s u r r o g a t em o d e l s ,th eF E Mi s u p d a t e db y MO G A ;t h e c o m pa r i s o n i s c o n d u c t e do n t h e a c c u r a c y a n du p d a t i n g e f f e c t o f d i f f e r e n tm o d e l u p d a t i n g me t h o d s ．T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h eK r i g i n g s u r r o g a t em o d e l c a nb e a p p l i e d t ou p d a t e t h eF E M ,w h i c hw i l l g r e a t l y i m p r o v e t h e ef f i Ｇc i e n c y a n d a c c u r a c y i n c a l c u l a t i o n ．T h eK r ig i n g m o d e lm e th o d h a s o b vi o u s a d v a n t a g e s o v e r t h e s e n s i t i v i t y a n a l y s i sm e t h o d f o r a e r o e n g i n e p i pe s t r u c t u r e ．K e y wo r d s ㊀p i p e ,㊀f i n i t e e l e m e n tm o d e l u p d a t i n g ,㊀m o d a l a n a l y s i s ,㊀K r i g i n g m o d e l ,㊀s e n s i t i v i t y a n a l Ｇys i s动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷引言航空发动机外部管路是航空发动机的重要组成部分,如同血管一般为航空发动机输送燃料㊁液压油等工作介质．由于航空发动机外部管路具有结构的复杂性㊁激励的多源性以及耦合的关联性,在其工作过程中极易发生管路系统共振,从而降低整个系统的安全可靠性[１,２]．目前航空发动机管路的振动特性分析多聚焦于流固耦合方面,缺少对管道模型结构本身的研究．为此,针对航空发动机外部基本管道建立精确的有限元模型是十分必要的．在工程设计阶段,基于已有参数建立的有限元模型由于受到局部网格划分㊁材料参数不确定以及模型固有的阶次误差㊁离散误差等因素的影响[３],有限元模型预测结果与实验结果之间会存在一定误差,从而使得初始模型很难反映实际几何结构．为保证模型的状态预测㊁分析与评估具有实际意义,需要基于模态试验数据对初始有限元模型加以修正．有限元模型修正的本质在于通过修正有限元模型中的相关参数,缩小有限元模拟结果与试验实测结果之间的误差,从而建立出更高精度的有限元模型,以替代实际结构进行分析与监测．传统的模型修正方法主要分为矩阵法和参数法[４]．参数法通过调整设计参数以实现修正目标,同矩阵法相比更容易在工程中实现应用．代理模型方法是参数法中应用十分广泛的一种．所谓代理模型,通常是指在分析和优化设计过程中可替代那些比较复杂和费时的数值分析的近似数学模型,也称为响应面模型㊁近似模型或元模型[５,６]．使用代理模型方法可以极大地提高计算效率,还能同其他优化算法相结合．常用的代理模型有多项式响应面模型[７,８]㊁径向基函数模型[９,１０]和K r i g i n g模型[１１,１２]等．K r i g i n g模型是一种基于随机过程的代理模型,被称为样本点的无偏线性估计函数[１３]．K r i g i n g模型在结构优化与可靠性分析领域中应用广泛,其优势在于针对非线性结构进行模型修正具有较强的适用性,在较少样本点的情况下依然能保障较高的修正精度．该模型不仅在地质㊁水文㊁气象㊁环境科学等自然科学领域得到应用,也在航空航天㊁汽车等工程科学领域得到研究㊁发展和应用[１４]．例如,王文竹等[１５]引入K r i g i n g模型,对鼓式制动器稳定性进行了优化设计,抑制了制动噪声;张文鑫等[１６]使用自适应K r i g i n g结合M o n t eC a r l o模拟以及所提停止准则计算了涡轮盘盘心低周疲劳寿命可靠性,验证了该方法的可靠性;C u i等[１７]将K r i g i n g模型引入空间仪器的热模型修正中,使模型区域的温度值与热平衡实验结果相接近;Y i n等[１８]构建了K r i g i n g模型㊁二次多项式模型和径向基函数模型三种代理模型,针对平面桁架有限元模型进行了有限元模型修正,并对比了三种方法的异同．本文以航空发动机管道模型为研究对象,通过模态试验和有限元建模得出管道模态试验值和有限元分析值,然后选取合适的待修正参数和试验设计(D e s i g n o fE x p e r i m e n t,D O E)方法,构建出K r i g i n g代理模型．利用构建好的代理模型代替有限元模型,基于多目标遗传算法(m u l t io b j e c t i v e g e n e t i c a l g o r i t h m,MO G A)实现对管道模型的有限元模型修正．通过将采用K r i g i n g模型的修正结果与灵敏度分析方法的修正结果进行对比,验证了所用模型修正方法的可行性．１㊀管道模态试验１．１㊀模态试验方案选取某航空发动机管道模型作为研究对象．管道部件由导管㊁堵头㊁锁紧螺母㊁支座㊁垫圈㊁直通管接头㊁扩口式平管嘴和外套螺母构成,管道模型结构如图１所示．图１㊀管道模型结构示意图F i g．１㊀S c h e m a t i c d i a g r a mo f t h e p i p em o d e l s t r u c t u r e４２第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正模型中导管为两端带扩口的直径６mm ,壁厚０．６m m 的５００m m 不锈钢直管,密度为７９３０k g/m ３,弹性模量为１９４G P a ,泊松比为０．３．导管与支座之间采用螺栓连接方式,外套螺母和管嘴起到导管与直通管接头之间的密封连接作用．整体模型通过沉头螺栓紧固安装在铸铁试验台上,最大程度上降低了环境的影响．由于本文主要分析管道系统中硬管干模态下的振动特性,故忽略模型两端软管及其连接件,模型各组件材料参数如表１所示．表１㊀管道模型各组件材料参数T a b l e １㊀M a t e r i a l p a r a m e t e r s f o r e a c hc o m po n e n t o f t h e p i pem o d e l A s s e m b l yu n i t D e n s i t y (g c m －３)M o d u l u s o fe l a s t i c i t y/G P a P o i s s o nr a t i o P i pe l i n e ７．９３０１９４０．３P l u g g i n g h e a d ７．８５０２１００．３１L o c kn u t ７．８５０２１００．３１W a s h e r１１．３４４１７０．４２P i p e jo i n t ７．８５０２１００．３１S l e e v e n u t４．５１０１１００．３４F l a r e dn o z z l e ７．９３０１９４０．３S u p po r t ２．８１０７１０．３３为分析系统模态特性,选用L M S 数据采集仪㊁P C B 冲击锤和P C B 单轴加速度传感器对管道模型进行模态试验,试验模态测试系统如图２所示．图２㊀试验模态测试系统示意图F i g ．２㊀S c h e m a t i c d i a g r a mo fm o d e t e s t s ys t e m 在试验模态测试过程中,利用冲击力锤施加脉冲激励,采用单点激励多点响应的形式[１９],将力传感器信号和拾振点处单轴加速度传感器信号反馈给数据采集系统,采集输入输出信号,基于多参考点最小二乘复频域方法(P o l yr e f e r e n c el e a s t Ｇs q u a r e s c o m p l e x f r e q u e n c y Ｇd o m a i nm e t h o d ,P o l y ＧMA X )[２０]对输入输出信号进行分析处理,进而获得系统模态参数．在导管表面从端部起每隔５０mm 布置一个测点,共布置１１个测点,如图３所示．为确保试验结果真实有效,每次敲击均由同一名试验人员依次对测点进行横向激励并进行５次有效平均．图３㊀测点布置示意图F i g ．３㊀S c h e m a t i c d i a gr a mo fm e a s u r e m e n t p o i n t s １．２㊀试验结果分析基于上述试验测试方案,得出管道模型前５阶模态频率为１２８．７６H z ㊁２１８．６２H z ㊁４０９．３７H z㊁６５１．５６H z ㊁１０４９．７６２H z ．试验模型的前５阶模态振型如图４所示．图４㊀模型前５阶模态振型示意图F i g ．４㊀S c h e m a t i c d i a g r a mo f t h e f i r s t f i v em o d a l s h a p e s o f t h e s ys t e m 管道模型整体在－z 方向力锤激励下发生横向振动,随着模态阶次的增加,振型中波数和节点数随之增加．由第二阶振型㊁第四阶振型和第五阶振型可以明显看出,管道端部存在较大的位移．因此,建模时不能仅将导管端部视为固定端约束,需要考虑到管道端部连接结构对试验模型整体模态的影响．５２动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷２㊀管道有限元建模及分析针对直管管道试验模型,采用S O L I DWO R K S三维建模软件和A N S Y S 有限元软件进行了有限元建模㊁网格划分和动力学特性分析．在A N S Y S中建立的有限元模型如图５所示．导管部分采用六面体单元(H E X A )划分网格,两端连接组件及支座部分采用四边形单元(Q U A D ４)划分网格,共２５３０９个单元．根据接触设置分析算例[２１]并结合工程实际,将与直通管接头外圆柱面接触的外套螺母㊁锁紧螺母㊁堵头等组件与直通管接头之间的接触方式设置为绑定接触,其余接触均设置为粗糙接触,支座底面设置为固定端约束面．使用A N S Y S 对有限元模型进行模态分析,提取前５阶模态参数结果,模态频率的对比结果如表２所示．有限元分析结果与实测模态结果中,模态频率误差在２０％以内,各阶振型无较大差异,具有一定的相关性．同时,实测模态频率与有限元分析结果相比最大误差达到８．６０％,各阶误差均超过５％,超出工程实际中可接受的范围,有必要进行有限元模型修正．为探究支座及管接头组件对有限元模型的影响,建立了去除全部管接头组件的有限元模型A 和仅去除支座的有限元模型B 并分别进行模态分析,模态频率结果如表２所示．模型A 的最大误差达到７６．５８％,模型B 的最大误差达到９３．７５％,误差远超过工程实际中可接受的范围．模型A 和模型B 与实际结构之间存在振型不匹配现象．相比于模型A 和模型B ,完整模型的模态参数更加接近于实测模态参数．可见支座和管接头连接组件对试验模型整体模态参数具有较大影响,建模时应予以保留．表２㊀计算模态频率与实测模态频率的对比T a b l e ２㊀C o m p a r i s o no f c a l c u l a t e dm o d a l f r e q u e n c i e s a n dm e a s u r e dm o d a l f r e qu e n c i e s M o d e M e a s u r e dv a l u e /H z C o m pl e t em o d e l C a l c u l a t e dv a l u e /H z E r r o r/％M o d e lAC a l c u l a t e dv a l u e /H z E r r o r /％M o d e l BC a l c u l a t e dv a l u e /H z E r r o r /％１１２８．７６１３６．４３５．９６１２９．９３０．９１１４３．７１１１．６１２２１８．６２２３１．０３５．６８３５７．３７６３．４７３９４．３４８０．３８３４０９．３７４３４．４４６．１２６９８．５４７０．６４７６８．７９８７．８０４６５１．５６６９６．６４６．９２１１５０．５０７６．５８１２６２．４０９３．７５５１０４９．７６１１４０．００８．６１７１１．２０６３．０１１８７０．７０７８．２０图５㊀系统有限元模型F i g ．５㊀F i n i t e e l e m e n tm o d e l o f t h e s ys t e m ３㊀管道有限元模型修正基于K r i g i n g 模型的有限元模型修正流程如图６所示．可大致概括为３个主要流程:①将模态试验实测数据与有限元模型模拟结果进行自由度匹配与相关性分析,确保有限元模型与实际结构具有一定的相关性．其中,若有限元分析频率与实测模态频率的误差在２０％以内且有限元分析振型与实测模态振型之间无较大差异,则视为满足相关性条件．②K r i g i n g 模型的生成．首先选取合适的待修正参数并进行试验设计,使得在一定的样本空间内图６㊀基于K r i g i n g 模型的有限元模型修正流程图F i g ．６㊀F l o wd i a g r a mo f f i n i t e e l e m e n tm o d e l u p d a t i n gb a s e do n t h eK r i g i n g mo d e l 最大化获取修正空间内信息．常用的试验设计方法６２第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正有正交设计㊁均匀设计㊁D 最优设计㊁中心复合设计抽样㊁拉丁超立方抽样等．之后基于训练样本拟合K r i g i n g 模型并检验模型精度直至符合精度要求．③针对目标函数的修正．在所拟合的K r i g i n g 模型的基础上,构建目标函数,之后引入如遗传算法㊁退火模拟算法㊁粒子群算法等优化算法对目标函数进行迭代处理,获取参数修正值．３．１㊀参数筛选与试验设计根据工程经验,初选结构中部分组件的材料参数和几何参数作为待修正参数．管道模型中选择的修正对象有导管密度㊁导管弹性模量㊁支座密度㊁支座弹性模量㊁外套螺母密度㊁外套螺母弹性模量等６个材料参数及导管内径㊁直通管接头长度㊁垫圈厚度㊁外套螺母长度等４个几何参数共１０个参数．基于斯皮尔曼(S pe a r m a n )等级相关系数[２２],分析各初选几何参数和材料参数对前５阶模态频率的灵表３㊀设计参数取值范围T a b l e ３㊀R a n g e o f d e s i gn p a r a m e t e r s D e s i gn p a r a m e t e r s I n i t i a lv a l u e L o w e rl i m i t U p pe r l i m i t P i p e l i n e d e n s i t y ρ１/(g c m －３)７．９３７．７７１８．０８９E l a s t i cm o d u l u s o f p i p e l i n e E １/G P a １９４１９０．１２０１９７．８８０S u p p o r t d e n s i t y ρ２/(g c m －３)２．８１２．７５４２．８６６E l a s t i cm o d u l u s o f s u p p o r t E ２/G P a ７１６９．５８０７２．４２０S l e e v en u t d e n s i t y ρ３/(g c m －３)４．５１４．４２０４．６００E l a s t i cm o d u l u s o f s l e e v e n u t E ３/G P a １１０１０７．８００１１２．２００I n n e r d i a m e t e r o f p i pe l i n e d /mm ４．８４．７０４４．８９６P i p e j o i n t l e n g t h L １/mm ４７４６．０６０４７．９４０W a s h e r t h i c k n e s s t /mm ２１．９６０２．０４S l e e v en u t l e n gt h L ２/mm １７１６．６６０１７．３４０图７㊀参数灵敏度分析F i g ．７㊀P a r a m e t e r s e n s i t i v i t y a n a l ys i s 敏度．选取显著性水平为０．０５,对各待修正参数设置上下２％的微小变化,如表３所示．计算前五阶频率对各参数的灵敏度,如图７所示．结合工程经验,剔除灵敏度相对较小的参数,选取导管内径d ㊁导管密度ρ１㊁导管弹性模量E １和支座弹性模量E ２四个参数作为待修正参数．试验设计方法采用拉丁超立方抽样方法,共选取了２５个样本点,如表４所示．拉丁超立方抽样是一种基于分层抽样思想的方法,将变量的概率分布函数分成数个互不重叠的等概率子区间,然后在每个子区间内进行独立随机采样,确保能在每个子区间内精确采样[２３]．表４㊀拉丁超立方抽样设计T a b l e ４㊀L a t i nh y p e r c u b e s a m p l i n g d e s i gn S a m pl eN o ．dρE １E ２１４．８００７．８０３１７６．９２８７０．４３２２４．９５４８．２４７２００．２０８６９．８６４３４．３３９７．９３０２０６．４１６６６．４５６４４．８７７８．６２８１９５．５５２６９．２９６５４．４１６７．４２２１８４．６８８７４．９７６６５．２２２８．１２０１８３．１３６７６．１１２７４．８３８８．３１１２０１．７６０７５．５４４８５．１８４７．５４９１９７．１０４７１．０００９４．６０８８．３７４１８６．２４０７３．８４０１０４．５３１７．４８６２１２．６２４７７．８１６１１４．６８５７．２９６１７５．３７６６４．７５２１２４．４９３８．５６４１９２．４４８７１．５６８１３４．７６１８．５０１１８７．７９２６８．１６０１４４．９９２７．７４０２０７．９６８６５．３２０１５４．６４６８．６９１１８１．５８４７６．６８０１６５．１０７７．６７６２０３．３１２６８．７２８１７５．０６９７．６１３１９０．８９６７７．２４８１８４．９１５７．９９３２０９．５２０６５．８８８１９４．４５４７．２３２１８９．３４４６７．０２４２０４．３７８８．１８４２１１．０７２６７．５９２２１４．７２３８．０５７１９８．６５６７４．４０８２２５．１４６８．４３８１７８．４８０６４．１８４２３５．２６１７．８６７２０４．８６４７２．１３６２４４．５７０７．３５９１８０．０３２７３．２７２２５５．０３０７．１６９１９４．０００７２．７０４３．２㊀K r i g i n g 模型构造K r i g i n g 模型是一种基于随机过程的半参数化７２动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷模型,由线性回归部分和非参数随机部分组成．对于一组给定的输入参数和输出响应X ＝[x １,x ２, ,x m ]T 和输出响应Y ＝[y １,y ２, ,y m ]T ,K r i g i n g 模型的数学形式可表示为y (x i )＝ðpl ＝１βl f l(x i )＋z (x i )＝f T(x i )β＋z (x i )(１)式中,f l (x i )是基函数,βl 是基函数系数,z (x i )为拟合偏差函数,是对模型局部偏差的近似,f (x i )＝[f １(x i ),f ２(x i ), ,f p (x i )]T 是关于样本x 的多项式向量,β＝[β１,β２, ,βp ]T是线性回归系数向量,z (x )服从正态分布N (０,σ２z)并具有非零协方差,其协方差表达式为C o v [z (x i ),z (x j )]＝σ２z R (２)式中,z (x i ),z (x j )为任意两个样本点x i 和x j 的局部偏差;R 是由R i j (x i ,x j )组成的相关函数矩阵．R i j (x i ,x j )是一种可选定的相关函数,表示任意两个样本点间的空间相关性．本文选取工程中常用的高斯函数作为相关函数,其形式如下R i j (x i ,x j )＝e x p －ðnk ＝１θk x ki －x k j２()(３)式中,x ki和x k j分别为样本点x i 和x j 的第k 个分量;n 为设计变量的数目;θk 为未知的相关系数,控制不同维度上的相关衰减率．在训练K r i g i n g 模型中的参数时,通常使用最大似然估计．样本点的似然函数可表示为:L ＝１(２πσ２z )m Re x p －(Y －F β)TR －１(Y －F β)２σ２z éëêêùûúú(４)式中R 是相关函数矩阵R 的行列式,F 为样本点处f (x )向量值组成的矩阵．β和σ２z 的最小二乘估计可以表示为β^＝(F TR －１F )－１F TR －１Y (５)σ^２z ＝[(Y －F β)T R －１(Y －F β)]/m (６)将β和σ２z 最小二乘估计代入样本点的似然函数,忽略常数项并取对数,即可得到最大似然函数的对数形式为－n ２l n (σ２z )－１２l n R (７)σ２z和R 均为θk 的函数,通过优化算法求得式(７)的最大值,即可确定θk 的值．对于任意待测点x ０,最终响应的最佳线性无偏预测结果可表示为y ^(x ０)＝f T (x ０)β^＋r T(x ０)R －１(Y －F β^)(８)式中r T (x ０)＝[R (x ０,x １),R (x ０,x ２), ,R (x ０,x n )]基于上述K r i g i n g 模型理论,采用表４所示的拉丁超立方设计中的样本,拟合管道模型模态频率与四个设计变量之间的函数关系,绘制K ri g i n g 响应曲面,部分结果如图８所示．图８㊀模态频率响应曲面图F i g ．８㊀R e s p o n s e d i a g r a mo fm o d a l f r e qu e n c i e s ３．３㊀K r i g i n g 模型拟合精度分析为确定该模型能否代替有限元模型进行后续结构响应值的计算分析,对K r i g i n g 模型进行精度校验．常用的精度校验评价指标有:决定系数R ２㊁修正可决系数R ２a d j ㊁均方根误差R M S E 等[２４]．本文选用决定系数和均方根误差R M S E 两种检验标准,如式(９)和式(１０)所示．R ２＝１－ðKi ＝１(y i－y ^i )２ðKi ＝１(y i－y －)２(９)R M S E ＝１K y－ðKi ＝１(yi －y ^i )２(１０)式中,y i 为设计点处有限元计算值;y ^i 为响应面计算值;y －为有限元计算结果的平均值,K 为样本点总数．R ２ң１．表明代理模型与原模型相似度高,R M S E ң０表示代理模型误差小．K r i g i n g 模型精度检验结果如表５所示．结果显示前五阶决定系数均为１且R M S E 都接近于０,这表明所拟合的K r i gＧi n g 代理模型误差小㊁拟合精度高,可以作为原有限８２第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正元模型的替代模型．表５㊀模态频率决定系数和均方根误差T a b l e ５㊀D e t e r m i n a t i o n c o e f f i c i e n t a n d r o o tm e a ns q u a r e e r r o r o fm o d a l f r e qu e n c i e s M o d e R ２RM S E１１３．０４E －０９２１１．６２E －０８３１１．０９E －０８４１２．７４E －０８５１１．１３E －０７３．４㊀模型修正及结果分析本文以修正后的管道模型有限元模型与实际管道模型响应尽可能接近为总体目标,利用模态试验所得模态频率构建的目标函数为m i n F (x )＝ðmi ＝１f ~i －f i f~i æèçöø÷２㊀s ．t ．㊀xjl o wɤx jɤx ju p ㊀(j ＝１,２,．．．,n )(１１)式中,f ~i 为第i 阶实测模态频率;f i 为第i 阶计算模态频率;x j 为第j 阶修正参数,x j l o w 和x ju p 为修正参数的最小值和最大值;m 为参与修正的样本个数;n 为修正参数的个数．基于拟合的K r i g i n g 模型,本文选用MO G A 遗传算法对目标函数进行求解优化．MO G A 遗传算法是基于受控精英主义策略的快速非支配排序遗传算法(N S G A ＧⅡ)[２５]的变体,它可以允许多个目标和约束,能获得分布均匀且兼具多样性的P a Ｇr e t o 解集．基于MO G A 遗传算法进行优化求解,最初生成４０００个样本,每次迭代生成８００个样本,并在最多２０次迭代中筛选出３个数据较好的样本点,在６９３７次评估后收敛,得到最终的K r i gＧi n g 模型修正结果．为验证本文模型修正方法的修正精度和修正效率,将K r i g i n g 模型修正方法与传统模型修正方法灵敏度方法进行对比,两种方法获得的管道模型修正前后的结构参数和模态频率的结果分别如表６和表７所示．表６㊀管道模型修正前后结构参数表T a b l e ６㊀C o m p a r i s o no f t h e p i p e l i n e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r sb e f o r e a n da f t e rm o d e l u p d a t i n gP a r a m e t e rI n i t i a l v a l u eU p d a t e dm o d e l b a s e d U pd a te dv a l u e o nK r i g i n g mo d e l E r r o r /％U p d a t e dm o d e l b a s e d U pd a te dv a l u e o ns e n s i t i v i t y a n a l ys i s E r r o r /％d ４．８４．７７００．６２４．５７８４．８５ρ７．９３８．３９４５．８５８．１８８３．１５E １１９４１８０．６９０６．８６１８２．０２８６．５８E ２７１６３．９１５９．９８６９．１０１２．７５表７㊀管道模型修正前后模态频率结果表T a b l e ７㊀C o m p a r i s o no f p i p e l i n em o d a l f r e q u e n c i e sb e f o r e a n da f t e rm o d e l u p d a t i n gM o d eN o ．T e s t r e s u l t s /H zO r i gi n a lm o d e l F r e qu e n c i e s /H z E r r o r /％U p d a t e dm o d e l b a s e d F r e q u e n c i e s /H z o nK r i g i n g m o d e l E r r o r /％U p d a t e dm o d e l b a s e d F r e qu e n c i e s /H z o n s e n s i t i v i t y a n a l ys i s E r r o r /％１１２８．７６１３６．４３５．９６１２７．５４０．９６１２７．４０１．０６２２１８．６２２３１．０３５．６８２１８．５５０．０３２２４．３６２．５６３４０９．３７４３４．４４６．１２４１１．５４０．５３４１４．５８１．２６４６５１．５６６９６．６４６．９２６５１．５４０．００６５１．４９０．０１５１０４９．７６１１４０．００８．６０１０６５．０５１．４３１０６９．１８１．８２㊀㊀从表中可以发现:(１)通过灵敏度方法和K r i g i n g 模型修正方法修正后,管道各参数修正率较为接近,可以相互证实所提修正方法的可行性．(２)采用K r i g i n g 模型修正方法,修正前有限元模型与试验值之间各阶误差均超过工程允许的５％的误差范围,修正后将有限元模型误差同修正前原始误差相比,最大误差由８．６０％变为１．４３％,各阶相对误差均在５％以内,已满足工程实际的计算需求．(３)灵敏度分析方法得到的最大相对误差达到２．５６％,修正精度略逊于K r i g i n g 模型．同时,在同一系统上进行计算时,采用灵敏度分析方法进行修正需耗时２h ,而采用K r i g i n g 模型进行修正只需５m i n ,可９２动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷见K r i g i n g 模型在计算效率方面具有显著的优越性．图９给出了重点修正的模态阶次所对应的模态振型．从结果中可以看出,通过K r i g i n g 模型修正后的有限元计算振型与实测振型具有较好的一致性,进一步说明了采用K r i g i n g 模型修正方法对管道结构进行有限元模型修正的适用性．图９㊀修正后模态振型与试验模态振型F i g ．９㊀U p d a t e dm o d e s h a p e s a n d t e s tm o d e s h a pe s ４㊀结论本文以某航空发动机管道模型为研究对象,采用力锤法进行了结构的模态试验并得出模态参数,通过A N S Y S 有限元分析软件建立有限元模型并进行模态分析,对比实测模态数据与有限元分析结果以确定有限元模型的精确度．结合工程经验与灵敏度分析方法筛选出待修正参数,采用拉丁超立方抽样设计进行试验设计,拟合出模态频率与结构参数之间的K r i g i n g 模型,利用MO G A 遗传算法完成了有限元模型修正．根据模态试验与有限元模型修正的结果,可得出以下结论:(１)通过对管道模型的模态试验结果进行分析,得到了管道模型的模态参数．其中,管道振型中端部有较大位移,管接头连接组件和支座对模态参数有较大影响,建模时应予以保留．(２)利用K r i g i n g 模型代替复杂的管道有限元模型进行有限元模型修正可以明显提高计算精度和效率．同修正前的有限元模型相比,所得各阶模态频率最大误差由８．６０％降为１．６３％,各阶相对误差均在５％以内,满足工程实际的计算需求．(３)对于管道结构,K r i g i n g 模型修正方法同灵敏度分析方法相比具有更高的修正精度和修正效率．灵敏度分析方法最大误差为２．５６％,K r i g i n g 模型修正方法最大误差为１．４３％,K r i g i n g 模型修正方法修正精度优于灵敏度分析方法．修正后的有限元模型能起到更好的预测效果,可为此类管系结构模型修正提供参考．参考文献[１]汪博,高培鑫,马辉,等．航空发动机管路系统动力学特性综述[J ]．航空学报,２０２２,４３(２):０２５３３２．WA N GB ,G A OPX ,MA H ,e t a l ．D yn a m i c c h a r Ｇa c t e r i s t i c so fa e r o Ｇe n g i n e p i p e l i n e s y s t e m :r e v i e w [J ]．A c t aA e r o n a u t i c a e tA s t r o n a u t i c aS i n i c a ,２０２２,４３(２):０２５３３２．(i nC h i n e s e)[２]张宇飞,王昊．基础激励作用下悬臂输流管的振动实验研究[J ]．动力学与控制学报,２０２２,２０(３):５０－５５．Z HA N G YF ,WA N G H．E x p e r i m e n t a l s t u d y on v i Ｇb r a t i o no f c a n t i l e v e r p i p e c o n v e y i n g fl u i du n d e r f u n Ｇd a m e n t a le x c i t a t i o n [J ]．J o u r n a lo f D yn a m i c sa n d C o n t r o l ,２０２２,２０(３):５０－５５．(i nC h i n e s e )[３]张皓,李东升,李宏男．有限元模型修正研究进展:从线性到非线性[J ]．力学进展,２０１９,４９:５４２－５７５．Z HA N G H ,L I DS ,L IH N．R e c e n t p r o gr e s s o n f i Ｇn i t e e l e m e n tm o d e l u p d a t i n g :f r o ml i n e a r i t y ton o n Ｇl i n e a r i t y [J ]．A d v a n c e s i n M e c h a n i c s ,２０１９,４９:５４２－５７５．(i nC h i n e s e)[４]屈美娇,陈果．一种航空发动机整机振动模型支承刚度的辨识方法[J ]．振动工程学报,２０１９,３２(３):４９０－５００．Q U M J ,C H E N G．As u p po r t s t i f f n e s s i d e n t i f i c a Ｇt i o n m e t h o df o rw h o l ea e r o Ｇe n g i n ev i b r a t i o n m o d e l [J ]．J o u r n a l o fV i b r a t i o nE n g i n e e r i n g ,２０１９,３２(３):４９０－５００．(i nC h i n e s e)[５]HA N Z H ,Z I MM E R MA N N ,G O R T ZS ．A l t e r n a Ｇt i v ec o k r i g i n g m o d e lf o rv a r i a b l e Ｇf i d e l i t y s u r r o g a t e m o d e l i n g [J ]．A I A AJ o u r n a l ,２０１２,５０(５):１２０５－０３第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g模型的航空发动机管道系统有限元模型修正１２１０．[６]HA N Z H,G O R T ZS．H i e r a r c h i c a lk r i g i n g m o d e lf o r v a r i a b l eＧf i d e l i t y s u r r og a t e m o d e l i n g[J]．A I A AJ o u r n a l,２０１３,５０(９):１８８５－１８９６．[７]D I N G YJ,WA N G ZC,C H E N G,e t a l．M a r k o vC h a i n m o n t ec a r l oＧb a s e db a y e s i a n m e t h o df o rn o nＧl i n e a rs t o c h a s t i c m o d e l u p d a t i n g[J]．J o u r n a lo fS o u n da n dV i b r a t i o n,２０１９,５２０:１１６５９５．[８]秦仙蓉,潘杰,徐俭,等．塔式起重机结构有限元模型修正的响应面方法[J]．振动与冲击,２０１８,３７(６):２４４－２５０．Q I N X R,P A NJ,X U J,e ta l．R e s p o n s es u r f a c em e t h o d f o r t h e s t r u c t u r a l f i n i t e e l e m e n tm o d e l u p d aＧt i n g o f t o w e rc r a n e s[J]．J o u r n a lo fV i b r a t i o na n dS h o c k,２０１８,３７(６):２４４－２５０．(i nC h i n e s e) [９]张亚峰,彭珍瑞,张雪萍,等．基于径向基模型和巴氏距离的随机有限元模型修正[J]．振动与冲击,２０２１,４０(１９):２２１－２２９＋２７６．Z HA N G YF,P E N GZR,Z HA N GXP,e t a l．S t oＧc h a s t i c f i n i t e e l e m e n tm ode l u p d a t i n g b a s e d o n r a d i a lb a s i sm o d e l a n dB h a t t ac h a r y y ad i s t a n c e[J]．J o u r n a lo fV i b r a t i o na n dS h o c k,２０２１,４０(１９):２２１－２２９＋２７６．(i nC h i n e s e)[１０]D E N GZ M,G U OZP,Z HA N GXJ．I n t e r v a lm o dＧe l u p d a t i n g u s i n gp e r t u r b a t i o nm e t h o d a n d r a d i a l b aＧs i s f u n c t i o nn e u r a ln e t w o r k s[J]．M e c h a n i c a lS y sＧt e m s a n dS i g n a l P r o c e s s i n g,２０１７,８４:６９９－７１６．[１１]Z HA N G J,A U F T K,Y A N G D．F i n i t ee l e m e n t m o d e l u p d a t i n g o f l o n gＧs p a nc a b l eＧs t a y e db r i d g eb yK r i g i n g s u r r o g a t em o d e l[J]．S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n ga n d M e c h a n i c s,２０２０,７４(２):１５７－１７３．[１２]张建侠,宋明顺,方兴华,等．基于K r i g i n g模型的多目标代理优化算法及其收敛性评估[J]．计算机集成制造系统,２０２１,２７(７):２０３５－２０４４．Z HA N GJX,S O N G MS,F A N GX H,e t a l．K r i gＧi n gＧa s s i s t e d m u l t iＧo b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h ma n d i t s c o n v e r g e n c e a s s e s s m e n t[J]．C o m p u t e r I n t eＧg r a t e d M a n u f a c t u r i n g S y s t e m s,２０２１,２７(７):２０３５－２０４４．(i nC h i n e s e)[１３]WA N GJT,WA N GCJ,Z HA OJ P．F r e q u e n c y r eＧs p o n s e f u n c t i o nＧb a s e dm o d e l u p d a t i n g u s i n g K r i g i n gm o d e l[J]．M e c h a n i c a l S y s t e m sa n dS i g n a lP r o c e s sＧi n g,２０１７,８７:２１８－２２８．[１４]韩忠华．K r i g i n g模型及代理优化算法研究进展[J]．航空学报,２０１６,３７(１１):３１９７－３２２５．HA NZ H．K r i g i n g s u r r o g a t em o d e l a n d i t s a p p l i c aＧt i o n t od e s i g no p t i m i z a t i o n:ar e v i e wo f r e c e n t p r oＧg r e s s[J]．A c t aA e r o n a u t i c ae tA s t r o n a u t i c aS i n i c a,２０１６,３７(１１):３１９７－３２２５．(i nC h i n e s e)[１５]王文竹,李杰,刘刚,等．基于K r i g i n g代理模型鼓式制动器稳定性的优化设计[J]．振动与冲击,２０２１,４０(１１):１３４－１３８＋１６２．WA N G W Z,L I J,L I U G,e t a l．O p t i m i z a t i o nd eＧs i g no f d r u mb r a k e s t a b i l i t y b a s e do nK r i g i n g s u r r oＧg a t e m o d e l[J]．J o u r n a lo f V i b r a t i o na n d S h o c k,２０２１,４０(１１):１３４－１３８＋１６２．(i nC h i n e s e) [１６]张文鑫,吕震宙．一种新的自适应K r i g i n g法停止准则及其在涡轮盘疲劳寿命可靠性中的应用[J]．机械工程学报,２０２２,５８(６):２６３－２７３．Z HA N G W X,L V Z Y．N e ws t o p p i n g c r i t e r i o no fa d a p t i v eK r i g i n g m e t h o da n di t sa p p l i c a t i o ni nf aＧt i g u e l i f e r e l i a b i l i t y f o r t u r b i n ed i s k[J]．J o u r n a lo fM e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g．２０２２,５８(６):２６３－２７３．(i nC h i n e s e)[１７]C U IQL,L I N G Y,C A O DS,e t a l．T h e r m a l d eＧs i g n p a r a m e t e r sa n a l y s i sa n d m o d e lu p d a t i n g u s i n gK r i g i n g m o d e l f o rs p a c ei n s t r u m e n t s[J]．I n t e r n aＧt i o n a lJ o u r n a l o f T h e r m a l S c i e n c e s,２０２２,１７１:１０７２３９．[１８]Y I N H,MAJ J,D O N GKL,e t a l．M o d e l u p d a t i n g m e t h o db a s e do n K r i g i n g m o d e l f o rs t r u c t u r a ld yＧn a m i c s[J]．S h o c k a n d V i b r a t i o n,２０１９,２０１９:８０８６０２４．[１９]李星占,董兴建,岳晓斌,等．振动响应传递率的动力学特性研究及其在工作模态分析中的应用[J]．振动与冲击,２０１９,３８(９):６２－７０．L IX Z,D O N G X J,Y U E X B,e ta l．D y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fv i b r a t i o nr e s p o n s e t r a n s m i s s i b i l i t ya n d i t s a p p l i c a t i o n i no p e r a t i o n a lm o d a l a n a l y s i s[J]．J o u r n a l o fV i b r a t i o na n dS h o c k,２０１９,３８(９):６２－７０．(i nC h i n e s e)[２０]P E E T E R SB,A U W E R A E R H VD,G U I L L A U M EP,e t a l．T h e P o l y MA Xf r e q u e n c y d o m a i n m e t h o d:an e ws t a n d a r df o r m o d a l p a r a m e t e re s t i m a t i o n[J]．S h o c ka n dV i b r a t i o n,２００４(１１):３９５－４０９．[２１]沈旻昊．飞机液压管路的简化建模及振动特性分析[D]．西安:西安电子科技大学,２０１４:１５－１８．S H E N M H．S i m p l i f i e dm o d e l i n g a n d v i b r a t i o n a n a lＧy s i s o f t h ea i r c r a f 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基于Kriging_模型和小波包能量谱的随机模型修正

Journal of Mechanical Strength2023,45(2):255-261DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.001∗20210626收到初稿,20210728收到修改稿㊂国家自然科学基金项目(51768035),甘肃省高校协同创新团队项目(2018C-12)资助㊂∗∗孙永朋,男,1993年生,甘肃通渭人,汉族,兰州交通大学硕士研究生,主要研究方向为模型修正㊂∗∗∗彭珍瑞,男,1972年生,甘肃民勤人,汉族,兰州交通大学教授,博士,博士研究生导师,主要研究方向为结构动力学与模态分析,主持国家自然科学基金两项以及甘肃省㊁兰州市项目,发表论文100余篇㊂基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正∗STOCHASTIC MODEL UPDATING BASED ON THE KRIGING MODEL AND WAVELET PACKET ENERGY SPECTRUM孙永朋∗∗㊀彭珍瑞∗∗∗㊀白㊀钰(兰州交通大学机电工程学院,兰州730070)SUN YongPeng ㊀PENG ZhenRui ㊀BAI Yu(School of Mechanical Engineering ,Lanzhou Jiaotong University ,Lanzhou 730070,China )摘要㊀针对随机模型修正精度和效率低的问题,提出一种基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机有限元模型修正方法㊂首先,假设模型待修正参数和响应特征均服从正态分布,将不确定性的模型修正转化为均值和标准差的修正;其次,将待修正参数作为Kriging 模型输入,加速度频响函数经过小波包分解后提取的结点能量作为输出,引入政治优化算法优化相关系数以构造Kriging 模型;然后,将最小化试验响应与预测响应之差的绝对值作为修正均值的目标函数,最小化交叉熵作为修正标准差的目标函数,通过政治优化算法先后修正参数均值和标准差;最后,以空间桁架结构为例,选取弹性模量和密度为待修正参数验证该方法的可行性㊂结果表明,所提方法能够有效地修正结构参数均值和标准差,修正后的参数均值㊁标准差的误差分别低于0.1%㊁3.5%㊂关键词㊀模型修正㊀加速度频响函数㊀交叉熵㊀小波包能量谱㊀Kriging 模型中图分类号㊀TH113.1Abstract ㊀Aiming at the low accuracy and efficiency of stochastic model updating,a stochastic finite element modelupdating method based on the Kriging model and wavelet packet energy spectrum was proposed.Firstly,assume that the parameters and response characteristics of the model to be updated obey normal distributions,the uncertainty model updating was transformed into the updating of mean and standard deviation.Secondly,the parameters to be updated were taken as inputs of Kriging model,the node energies extracted by the acceleration frequency response function after wavelet packet decomposition were taken as the outputs,the political optimizer algorithm was introduced to optimize the correlation coefficient to construct Kriging model.Then,minimize the absolute value of the difference between the test response and the predicted response as the objective function for updating mean,and minimize the cross entropy as the objective function for updating standard deviation,and updated the parameters mean and standard deviation through the political optimizer algorithm.Finally,taking a space truss structure as the example,the elastic modulus and density were selected as the parameters to be updated to verify the feasibility of the proposed method.The results show that the proposed method can effectively update the mean and standard deviation of structural parameters,and errors of the updated mean and standard deviation are less than 0.1%and 3.5%,respectively.Key words㊀Model updating ;Acceleration frequency response function ;Cross entropy ;Wavelet packet energy spectrum ;Kriging modelCorresponding author :PENG ZhenRui ,E-mail :pzrui @ ,Tel :+86-931-4955789,Fax :+86-931-4955789The project supported by the National Natural Science Foundation of China (No.51768035),and the Collaborative Innovation Team Project of Universities in Gansu Province (No.2018C-12).Manuscript received 20210626,in revised form 20210728.0㊀引言㊀㊀近几十年来,模型修正方法在结构动力学领域逐渐成为研究热点,在结构损伤识别㊁健康监测和寿命预测等领域取得了广泛应用㊂根据是否考虑结构参数和响应的不确定性,结构动力学模型修正可分为确定性方法和不确定性方法两类[1]㊂确定性模型修正只能依据某次特定情形下的试验数据进行修正,并没有考㊀256㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀虑其他情况下的试验结果,导致无法完整地描述结构的实际状况[2]㊂但在工程实际中,由于结构材料㊁几何尺寸㊁试验测试和环境噪声等的影响,不确定性问题普遍存在㊂因此,考虑不确定性的模型修正方法更具有研究意义[3-4]㊂在模型修正过程中,使用代理模型可以有效地减少因调用有限元模型而产生的计算成本,是提高模型修正效率的有效途径[5]㊂代理模型主要有径向基函数(Radial Basis Function,RBF)㊁Kriging模型㊁支持向量回归机(Support Vector Machine,SVM)㊁多项式混沌展开(Polynomial Chaos Expansions,PCE)和神经网络(Neural Networks,NNs)等[6]㊂Kriging模型不仅可以对非线性函数良好的近似能力给出参数预估值,还可以给出预估值的误差估计,因此在结构优化设计和结构响应预测等领域被广泛应用[7]3197-3225㊂近年来,不确定性模型修正引起了学者的广泛关注,并取得了一定的成果㊂方圣恩等[8]建立了一种逐步修正参数均值㊁标准差的随机模型修正框架,有效地简化了修正过程㊂HUA X G等[9]将改进的摄动技术与基于灵敏度的模型修正方法相结合,利用不确定模态数据进行随机模型修正㊂ZHAI X等[10]利用结构静态响应数据,基于高级蒙特卡洛仿真与改进的响应面模型修正了航空发动机定子系统㊂蒋伟等[11]提出了基于多链差分进化算法的贝叶斯有限元模型修正方法,为解决传统贝叶斯算法在高维参数下采样率低㊁收敛难的问题提供了一种新手段㊂陈辉等[12]利用混合摄动-伽辽金法推导随机模型修正方程,改善了不完备测量模态导致结构参数随机的情况㊂秦仙蓉等[13]将岸桥结构作为研究对象,实测模态数据作为响应,利用代理模型有效地修正了结构参数均值和标准差㊂HOKMABADY H等[14]在时程分析基础上,利用数学函数对影响参数不确定性的因素进行校正,构建了一种同时考虑结构和参数不确定性的模型修正策略㊂上述模型修正方法都是基于模态参数的修正方法㊂然而,对试验模态参数进行识别出现的误差,有时可能会大于模型参数误差本身,但是基于频响函数(Frequency Response Function,FRF)的方法无需模态识别即可进行模型修正,既避免了模态分析带来的误差,又可以利用频响函数的互易性使各点间的数据进行相互检验,因此基于频响函数研究不确定性模型修正是极其必要的[15-16]㊂此外,模型修正的关键是得到全面㊁稳定的信号特征㊂由小波变换发展而来的小波包分解是一种更加精细的信号分解方法,能在整个频带内对信号进行分解㊂小波包分解后,提取某一层信号的结点能量谱可以更完整㊁详尽地反映结构信息㊂罗辉等[17]306-314将小波包能量谱的变化作为损伤指标,基于互信息建立了一种快速判断结构损伤程度的新框架㊂郭伟超等[18]利用小波包变换对信号进行分解,通过主成分分析对关键频带能量谱进行降维,有效地改善了常见的时频域分析方法无法准确反映信号故障特征的问题㊂综上所述,提出一种基于Kriging模型和小波包能量谱的随机模型修正方法㊂首先,以待修正参数为输入,加速度FRF经过小波包分解后计算得到的结点能量为输出,构建Kriging模型代替有限元模型进行计算,通过政治优化(Political Optimizer,PO)算法寻得Kriging模型的最优相关系数值;其次,利用交叉熵(Cross Entropy,CE)衡量两个概率密度函数(Probability Density Function,PDF)之间的相似性,将最小化交叉熵作为目标函数,通过PO先后修正参数均值和标准差;最后,利用空间桁架结构验证该方法的可行性㊂1　小波包能量谱㊀㊀与小波变换相比,小波包分解能够在去噪㊁滤波㊁故障诊断以及非平稳信号的特征提取等方面为信号提供一种更精细的分析方法,它不仅对信号低频进行分解,也对信号高频进行分解[19]㊂信号x(t)的r层小波包分解可表示为x(t)=ð2r-1s=0x r,s(t)=ðɕl=-ɕc r,s,lφr,s,l(t)(1)式中,c r,s,l为小波包系数;φr,s,l(t)为小波包,c r,s,l=ʏ+ɕ-ɕx(t)φr,s,l d t;r㊁s㊁l分别为尺度参数㊁平移参数和调整参数,且均为正整数㊂信号x(t)的3层小波包分解过程如图1所示㊂图1㊀3层小波包分解过程Fig.1㊀Process of3-layer wavelet packet decomposition 信号经过小波包分解后得到的结点能量与小波包系数相比,更具有鲁棒性[17]306-314㊂对原始信号x(t)经过r层分解后得到2r个子频带,其中,第u个子频带的能量为G u=ð|f u|2,u=0,1,2, ,2r-1(2)式中,f u为经过r层分解后原始信号的第u+1个子频带,即结点u+1㊂则原始信号的小波包能量谱可表示为G r=[G0,G1,G2, ,G2r-1]T(3)㊀㊀小波包分解后提取的能量谱可按结点能量大小从大到小排列㊂由于能量较小的小波包成分易受噪声干㊀第45卷第2期孙永朋等:基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正257㊀㊀扰,因此可以忽略这些成分[20]㊂选择结点能量占比较大的前m 个频带近似表示原始信号㊂调整参数的引入,避免了小波包分解出现小波变换时间分辨率高㊁频率分辨率低的现象,因此选取基函数为Daubechies 小波族的db5,分解层数r 取为5[21]1088-1101㊂尽管加速度FRF 较模态参数可以更全面地反映信号特征,但存在频率点及频率区间选择困难的问题㊂将加速度FRF 通过傅里叶逆变换为时域的加速度脉冲信号,利用小波包变换对该信号进行5层小波包分解,提取小波包结点能量作为代理模型的输出,也作为加速度FRF 的响应特征进行模型修正,可避开频率点和频率区间的选择㊂2㊀Kriging 模型的构造2.1㊀Kriging 模型㊀㊀Kriging 模型是一种基于插值理论的代理模型,由线性回归和随机过程两部分组成[7]3197-3225,其表达式为Y =f T (x i )β+z (x i )(4)式中,f T (x i )β为线性回归模型,f (x i )为多项式函数,β为回归模型系数;z (x i )~N (0,σ2)为随机过程,σ2为过程方差㊂通过最小二乘法可求得β和σ2的估计值分别为β=(F T R -1F )-1F T R -1E (5)σ2=1n(E -Fβ)T R (E -Fβ)(6)式中,F 为样本向量所构成的矩阵;E 为样本响应的列向量;R 为空间相关矩阵,元素R ij =R (x i ,x j )(i ,j =1,2, ,n );n 为样本数㊂β和σ2皆为相关系数θ的函数,未知数θ的值决定Kriging 模型的预测精度㊂2.2㊀政治优化器㊀㊀PO 是受多阶段政治过程启发,由ASKARI Q等[22]105709提出的全局优化算法㊂该算法提出基于最近历史的位置更新策略(Recent Past-based Position Updating Strategy,RPPUS),使候选人能够与一对独特的更优解进行交互,以便基于最近位置探索最优区域,避免陷入局部最优,相比其他算法,准确性较高,收敛较快,提高了寻优效率㊂因此本文采用PO 进行寻优来提高模型的修正精度㊂算法流程如下:(1)政党组成和选区分配㊂人口P 划分为w 个政党,每个政党的第j 个党员都从选区C j 参加竞选㊂设政党数㊁选区数和每个政党的候选人数相同㊂大选决定政党领袖及选区获胜者,如式(7)所示:q =arg min f (p ji ),∀i ɪ{1,2, ,w }p ∗i =p q i p ∗={p ∗1,p ∗2,p ∗3, ,p ∗w }c ∗={c ∗1,c ∗2,c ∗3, ,c ∗w }ìîíïïïïïï(7)式中,q 为适应度值;p ∗i 为第i 政党的领袖;p ∗为政党领袖集合;c ∗j 为第j 选区获胜者,即议员;c ∗为选区获胜者集合㊂(2)竞选活动㊂提高候选人竞选表现,利用RPPUS 更新候选人位置,详见文献[22]105709㊂(3)政党转换㊂每个党员p j i 都以概率τ与随机选择的某政党p v 中好感度最低党员p q i 交换㊂τ=0.9,为政党转换率㊂(4)选举㊂评估所有选区候选人的好感度并宣布获胜者,如式(8)所示:q =arg min 1<i <wf (p j i )c ∗j =pj q{(8)式中,c ∗j 为第j 选区C j 的获胜者㊂(5)议会事务㊂党内选举结束,政府成立㊂每个议员c ∗j 根据某随机选择的议员c ∗v 对其好感度的影响更新其位置㊂2.3㊀Kriging 模型的构造及检验㊀㊀在构造Kriging 模型时,由于相关系数θ影响模型预测精度,需要先优选θ值㊂采用拉丁超立方抽样法,在待修正参数上下20%区间内抽取样本,将其按一定比例分为训练集和测试集,并计算相应的响应特征㊂建立目标函数o θ=ðLl =1ðki =1(y i -y ^i )(9)式中,y^i 为Kriging 模型预测的测试集结点能量;y i 为测试集有限元模型加速度FRF 经过5层小波包分解后提取的结点能量;k 为测试集样本数;L 为响应特征数㊂利用PO,以最小化式(9)迭代求解Kriging 模型最优θ值,建立Kriging 模型㊂利用均方根误差RMSE 和决定系数R 2作为评价准则,校验所构建Kriging 模型的精度㊂RMSE 可表示为e RMSE=1k y -f ðki =1(y ^i -y i )2(10)㊀㊀R 2表示为R 2=1-ðki =1(y ^i -y i )/ðki =1(y i -y -fi )(11)式中,y -f为测试集有限元模型响应特征平均值㊂RMSE 的值越接近于0,R 2值越接近于1,表明Kriging 模型预测响应与有限元模型的计算响应差异越小,所构建Kriging 模型的精度越高;反之,精度越低㊂3㊀交叉熵㊀㊀交叉熵作为一种信息熵,用来衡量两个概率分布之间的相似性[21]1088-1101㊂在连续变量R 上,对于服从正态分布的两个概率密度函数p (x )和q (x ),交叉熵㊀258㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀的定义为H(p,q)=ʏp(x)lg1q(x)d x(12)㊀㊀在离散变量上的定义为H(p,q)=ðp(x)lg1q(x)(13)式中,p(x)为试验分布;q(x)为预测分布㊂均值为λ㊁标准差为δ2的服从正态分布的概率密度分布f(x)的表达式为f(x)=1δ2πe-(x-λ)22δ2(14)㊀㊀对于试验分布p(x)~N(λ1,δ21)和预测分布q(x)~N(λ2,δ22)的概率密度函数,其交叉熵由定义得H(p,q)=12lg(2πδ22)+δ21+(λ21-λ22)2δ22(15)㊀㊀由式(15)可知,q(x)越逼近于p(x),H越逼近于0;反之,H越大㊂4㊀模型修正过程㊀㊀首先,计算有限元模型FRF,进行小波包分解,提取第5层结点能量作为响应特征;其次,利用PO优化Kriging模型的相关系数,构造尽可能准确的Kriging模型代替有限元模型进行计算;最后,采用PO分步求解参数均值和标准差,使有限元模型的响应均值与标准差和仿真试验模型的响应均值与标准差的误差趋于最小㊂具体修正过程如下:第一步,修正参数均值㊂以最小化式(16)为目标,利用PO迭代寻优,对参数均值进行修正㊂o g=ðe i=1|g^i-g t i|(16)式中,g^i为Kriging模型预测的第5层小波包结点能量;g t i为试验加速度FRF经小波包5层分解后提取的结点能量平均值;e为小波包第5层结点能量个数㊂第二步,修正参数标准差㊂此阶段,将交叉熵作为目标函数,依据已修正均值,在每次迭代中随机生成1500组服从正态分布的样本,通过已建立的Kriging 模型预测样本响应,以最小化Kriging模型预测响应与试验响应两者之间的交叉熵为目标,利用PO迭代修正参数标准差㊂模型修正流程如图2所示㊂5㊀数值算例㊀㊀选择图3所示空间桁架结构验证本文所提方法㊂该桁架结构包含66个杆单元㊁28个节点和48个自由度,其中杆单元横截面积为0.0001m2㊂桁架节点铰接,约束条件为4个支座固定(节点1㊁8㊁9㊁16),每个节点只考虑Y向和Z向的平动自由度,激励点和测点分别图2㊀模型修正流程Fig.2㊀Flow chart of model updating如图3中节点23和节点17所示㊂将所有杆的弹性模量E㊁密度ρ的均值和标准差作为桁架结构待修正参数㊂试验模型㊁有限元模型的参数设置如表1所示㊂图3㊀空间桁架模型结构图Fig.3㊀Structure of space truss model表1㊀待修正结构参数均值和标准差Tab.1㊀Mean and standard deviation of structuralparameters to be updated弹性模量Elasticmodulus E/GPa密度Densityρ/(kg/m3)均值Mean标准差Standarddeviation均值Mean标准差Standarddeviation试验值Test value190 1.7780035有限元值Finite element value210 7020 由表1可知,待修正参数弹性模量E和密度ρ的有限元值均值与试验值均值的初始误差分别为9.5%和-10%㊂将模型的加速度FRF进行5层小波包分解后,可得到各个结点的信号特征,提取结点能量的小波㊀第45卷第2期孙永朋等:基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正259㊀㊀包能量谱㊂图4给出了试验模型加速度FRF 经过5层小波包分解后,第5层结点1的信号特征㊂图4㊀第5层小波包分解结点1信号特征Fig.4㊀Signal characteristics of node 1after 5-layerwavelet packet decomposition采用拉丁超立方抽样法抽取500组样本,按4ʒ1的比例分为训练集和测试集,依据2.3节所述方法构造Kriging 模型㊂政治优化算法参数设置:政党数w =8,政党转换率τ=0.9㊂通过PO 对θ进行迭代寻优,所得最优值为0.3591㊂然后,由式(10)㊁式(11)可得均方根误差RMSE 的值为2.7306ˑ10-4,R 2值为0.9998,表明构建的Kriging 模型预测精度高,可以代替有限元模型进行迭代计算㊂使用表1中试验弹性模量E ㊁密度ρ的均值和标准差随机抽取150组样本,计算相应有限元模型的加速度FRF,提取经5层小波包分解后的结点能量,得到仿真试验响应的均值,根据式(16),通过PO 经100次迭代,修正参数均值;然后,根据修正后的参数均值在每次迭代过程中随机生成1500组样本,通过所建立的Kriging 模型预测样本响应,利用PO 经150次迭代,修正参数标准差,修正结果如表2所示㊂图5给出了参数均值迭代收敛曲线,其中纵坐标表示经过标准化的参数均值修正值㊂表2㊀修正前后结构参数均值和标准差Tab.2㊀Initial and updated mean and standard deviationof the structural parameters弹性模量Elastic modulus E /GPa 密度Density ρ/(kg /m 3)均值Mean标准差Standard deviation 均值Mean 标准差Standard deviation 试验值Test value 190 1.7780035有限元值Finite element value 210 7020 修正值Updated value 189.85 1.667795.3333.94修正前误差Pre-updating error /%9.50 10.00 修正后误差Updated error /%0.082.340.063.03㊀㊀由表2可知,修正后弹性模量E ㊁密度ρ的均值误差均低于0.1%,标准差误差均低于3.5%,表明本文所提随机模型修正方法具有较高的修正精度㊂利用表2中修正后的参数均值计算加速度FRF,将其进行5层小波包分解并提取结点能量,对结点能量按从大到小顺序排序,提取能量占比较大的前10个结点绘制能量谱㊂图6给出了试验模型㊁有限元模型和修正后模型的参数均值对应的FRF 曲线,图7给出了小波包结点能量谱㊂图5㊀参数均值迭代曲线Fig.5㊀Iteration curves of parametermean图6㊀FRF 曲线Fig.6㊀Curves of frequency responsefunctions图7㊀第5层小波包结点能量谱Fig.7㊀Node energy spectrum of 5-layer wavelet packet由图6可知,修正后的FRF 曲线与试验模型FRF 曲线基本重合;由图7可知,有限元模型小波包能量谱与试验模型小波包能量谱相差较大,修正后小波包能量谱与试验模型的小波包能量谱基本一致,验证了本文所提方法的有效性㊂㊀260㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀㊀㊀利用修正后参数均值和标准差随机生成150组样本,提取其小波包结点能量,进一步评估本文所提随机模型修正方法的修正效果㊂图8给出了加速度FRF 经5层小波包分解后,结点5㊁9试验模型和修正后模型的结点能量分布云图和95%置信椭圆图㊂图9给出了第5层小波包结点1㊁2㊁5和9修正前后结点能量的PDF 曲线㊂由图8可知,置信椭圆修正前后基本一致,修正值和试验值的置信椭圆中心偏移较小,由于置信椭圆能够直观反映标准差修正误差,表明修正后的参数均值和标准差与试验模型的较为接近;由图9可知,修正值与试验值的PDF 曲线基本重合㊂上述结果均表明了所提随机模型修正方法取得了很好的效果㊂图8㊀结点能量分布云图及95%置信椭圆Fig.8㊀Distribution nephogram and 95%confidenceellipse of nodeenergy图9㊀第5层小波包结点1㊁2㊁5和9结点能量PDF 曲线Fig.9㊀Node energy PDF curves of 5-layer waveletpacket node 1,2,5and 9为进一步验证本文所提随机模型修正方法的修正精度和效率,分别将加速度FRF 和经过5层小波包分解后提取的结点能量作为响应特征进行模型修正,修正结果如表3所示㊂由表3可知,与加速度FRF 直接作为响应特征相比,将加速度FRF 经过5层小波包分解后,提取的结点能量作为响应特征进行模型修正,不仅提高了修正精度,而且缩短了构建Kriging 模型的时间以及总运行时间,提高了模型修正效率㊂上述分析均基于CPU 为Intel(R)Core(TM)i7-7700HQ,主频为2.80GHz,Matlab2018b 平台运行㊂表3㊀不同响应特征修正结果对比Tab.3㊀Comparison of different characteristic responseupdating results加速度FRFAcceleration FRF小波包结点能量Node energy of wavelet packetE 均值误差Error of E mean /%0.100.08ρ均值误差Error of ρmean /%0.070.06E 标准差误差Error of E standard deviation /% 5.33 2.34ρ标准差误差Error of ρstandard deviation /%5.56 3.03构建Kriging 模型时间Time to construct Kriging model /s380116总运行时间Total running time /min41306㊀结论㊀㊀本文针对模型修正精度和效率低的问题,提出了一种基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机有限元模型修正方法,通过构建的精确Kriging 模型对参数均值和标准差进行修正,选用空间桁架结构进行验证,修正效果良好,得到结论:1)利用小波包能量谱能够有效地对加速度FRF进行不同频带分解的特性,将其作为FRF 的特征响应,不仅可以保留FRF 的关键信息,且能够避免FRF 频率点及频率区间的选择难题,减少了修正时间㊂2)利用PO 优选Kriging 模型相关系数值,使建立的具有良好预测能力和拟合效果的Kriging 模型能够代替有限元模型进行计算,提高了修正效率㊂3)利用交叉熵能够有效地衡量两个样本响应概率分布之间相似性的特性,并结合PO 修正参数标准差,提高了模型修正精度㊂参考文献(References )[1]㊀BI S,PRABHU S,COGAN S,et al.Uncertainty quantificationmetrics with varying statistical information in model calibration and validation[J].AIAA Journal,2017:1-14.[2]㊀姜㊀东,费庆国,吴邵庆.基于摄动法的不确定性有限元模型修正方法研究[J].计算力学学报,2014,31(4):431-437.JIANG Dong,FEI QingGuo,WU ShaoQing.A study on stochastic finite element model updating based on perturbation approach [J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2014,31(4):431-437(In Chinese).[3]㊀张㊀皓,李东升,李宏男.有限元模型修正研究进展:从线性到㊀第45卷第2期孙永朋等:基于Kriging模型和小波包能量谱的随机模型修正261㊀㊀非线性[J].力学进展,2019,49:542-575.ZHANG Hao,LI DongSheng,LI HongNan.Recent progress on finiteelement model updating:From linearity to nonlinearity[J].Advances in Mechanics,2019,49:542-575(In Chinese). 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基于kriging的改进响应面法

基于kriging的改进响应面法摘要：Kriging法是一项估计技术，相比传统插值技术，有两方面的优点[1]：第一，模型的建立只使用估计点附近的部分信息，而不是采用所有的信息对未知信息进行模拟；第二，Kriging法同时具有局部和全局的统计特性，这使得它可以分析、预测己知信息的趋势。

本文将Kriging模型作为响应面函数，采用拉丁超立方抽样进行初始样本试验设计，应用ANSYS建立参数化有限元模型，结合MATLAB软件，用基于Kriging的改进响应面法计算结构可靠度，并通过算例验证了方法的高效性和精确性。

关键词：可靠度；kriging；响应面；拉丁超立方抽样引言结构可靠性包括：安全性、适用性和耐久性，即结构在规定时间内，在规定条件下，完成预定功能的能力。

度量可靠性的指标叫可靠度。

可靠度常用计算方法有FORM、SORM、MC法、响应面法等。

FORM是近似计算可靠度指标最简单的方法，只需考虑随机变量的均值和标准差、功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项。

SORM在计算失效概率过程中考虑极限状态曲面在验算点附近的曲率变化，将功能函数在验算点处展开成泰勒级数，并取至二次项，以此二次函数曲面来代替原失效面，但其计算过程繁琐，不利于工程实际应用。

MC法又称为统计实验法，计算机的发展为其提供了高效的计算手段，使其应用范围越来越广。

响应面法是用一个简单的显示函数去逼近实际的隐式的极限状态函数，先假设一个包括一些未知参数的极限状态方程，然后用插值方法来确定表达式中的未知参数，确定显式的响应面方程。

响应面方程有多项式响应面方程和其它形式的响应面方程。

多项式模拟的响应面方法能在一定程度能反映极限状态方程的非线性，但如果隐式极限状态方程是高于二次的，精度是很低的，甚至可能得出错误的结果。

针对这些问题，人们开始寻找能替代多项式表达式的其他响应面法，如神经网络模拟响应面法，基于支持向量机的响应面法和基于Kriging的响应面法。

基于Kriging模型的多次尝试差分进化贝叶斯有限元模型修正

基于Kriging模型的多次尝试差分进化贝叶斯有限元模型修正秦世强;李宁;宋任贤【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2024(43)9【摘要】标准差分进化自适应Metropolis(differential evolution adaptive Metropolis,DREAM)算法需进行多条马氏链并行计算,存在收敛效率低和计算成本高的问题。

为此,提出一种基于Kriging模型的多次尝试差分进化贝叶斯有限元模型修正(multiple-try differential evolution adaptive Metropoliswith“ZS”,MT-DREAM(ZS))框架。

该框架在DREAM的基础上引入历史向量差分采样、斯诺克更新以及多次尝试Metropolis抽样,并利用Kriging模型代替有限元模型进行随机抽样,实现利用极少数并行链便可快速探索多维修正参数后验分布。

利用固结钢板梁模型试验,比较了DREAM和MT-DREAM(ZS)的修正效果。

结果表明:MT-DREAM(ZS)可实现马尔科夫链的快速收敛,其收敛效率较DREAM提升了3.42倍,且修正结果精度和稳定性有提升;Kriging模型可大幅度降低计算成本。

所提框架为解决多参数不确定模型修正中的收敛效率低和计算成本高等问题提供了一种新思路。

【总页数】10页(P204-213)【作者】秦世强;李宁;宋任贤【作者单位】武汉理工大学土木工程与建筑学院【正文语种】中文【中图分类】TU311【相关文献】1.基于贝叶斯法的复杂有限元模型修正研究2.基于多链差分进化的贝叶斯有限元模型修正方法3.基于Kriging模型的空心板梁有限元模型修正4.基于Kriging模型与MOGA算法的有限元模型修正5.基于Kriging模型的航空发动机管道系统有限元模型修正因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于kriging模型的仿真优化方法

基于kriging模型的仿真优化方法引言：在许多工程和科学领域中，优化是一个重要的任务。

优化的目标是寻找最佳的解决方案，以满足特定的约束条件和目标函数。

然而，在实际问题中，往往存在着高昂的计算成本和复杂的函数关系，这使得传统的优化方法无法满足需求。

因此，基于模型的仿真优化方法应运而生。

1. 简介基于kriging模型的仿真优化方法是一种基于统计学的优化方法，它通过建立一个代理模型来近似真实系统的行为，并利用该模型来进行优化。

Kriging模型是一种基于高斯过程的回归模型，它能够通过已知数据来推测未知数据，并给出每个预测值的置信度。

因此，基于kriging模型的仿真优化方法能够在考虑不确定性的情况下，快速而准确地找到最优解。

2. 建立代理模型在基于kriging模型的仿真优化方法中，首先需要根据已有的数据建立代理模型。

代理模型是对真实系统的近似，它能够根据输入变量的取值预测输出变量的值。

具体来说，代理模型使用一组已知的输入-输出数据来估计系统的行为，并基于高斯过程进行建模。

3. 优化过程一旦建立了代理模型，就可以使用优化算法来搜索最优解。

在基于kriging模型的仿真优化方法中，常用的优化算法包括遗传算法、粒子群优化算法等。

这些算法通过对代理模型进行迭代优化，逐步逼近最优解。

在每一次迭代中，根据代理模型的预测结果，选择新的输入变量取值，并更新代理模型。

4. 不确定性分析在基于kriging模型的仿真优化方法中，不仅考虑了优化问题的目标函数和约束条件，还考虑了系统的不确定性。

通过kriging模型，我们可以得到每个预测值的置信度，从而对系统的不确定性进行分析。

这种不确定性分析有助于评估优化结果的可靠性，并帮助决策者做出准确的决策。

5. 实例研究为了验证基于kriging模型的仿真优化方法的有效性，我们在某个工程领域进行了实例研究。

在该研究中，我们以一个复杂的流程优化问题为例，通过采集大量的输入-输出数据，建立了代理模型。