2019普特南数学竞赛原题
普特南数学竞赛试题
普特南数学竞赛试题这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。
题目：设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。
答案及解析：由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。
首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：当a = 0时，m = 17；当a = 1时，m = 117；当a = 2时，m = 217；当a = 3时，m = 317；当a = 9时，m = 917；当a = 10时，m = 1017；可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。
解析：这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。
我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。
首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。
根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。
接下来，我们分析一下m可能的取值范围。
百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。
为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。
当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。
当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。
所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。
因此，整数m的百位数字是1。
这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。
同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。
2019年数学竞赛试题及答案
Day 1 — Solutions
Problem 1. Amy and Bob play the game. At the beginning, Amy writes down a positive integer on the board. Then the players take moves in turn, Bob moves first. On any move of his, Bob replaces the number n on the blackboard with a number of the form n − a2 , where a is a positive integer. On any move of hers, Amy replaces the number n on the blackboard with a number of the form nk , where k is a positive integer. Bob wins if the number on the board becomes zero. Can Amy prevent Bob’s win? Russia, Maxim Didin Solution. The answer is in the negative. For a positive integer n, we define its square-free part S (n) to be the smallest positive integer a such that n/a is a square of an integer. In other words, S (n) is the product of all primes having odd exponents in the prime expansion of n. We also agree that S (0) = 0. Now we show that (i) on any move of hers, Amy does not increase the square-free part of the positive integer on the board; and (ii) on any move of his, Bob always can replace a positive integer n with a non-negative integer k with S (k ) < S (n). Thus, if the game starts by a positive integer N , Bob can win in at most S (N ) moves. Part (i) is trivial, as the definition of the square-part yields S (nk ) = S (n) whenever k is odd, and S (nk ) = 1 ≤ S (n) whenever k is even, for any positive integer n. Part (ii) is also easy: if, before Bob’s move, the board contains a number n = S (n) · b2 , then Bob may replace it with n = n − b2 = (S (n) − 1)b2 , whence S (n ) ≤ S (n) − 1. Remarks. (1) To make the argument more transparent, Bob may restrict himself to subtract only those numbers which are divisible by the maximal square dividing the current number. This restriction having been put, one may replace any number n appearing on the board by S (n), omitting the square factors. After this change, Amy’s moves do not increase the number, while Bob’s moves decrease it. Thus, Bob wins. (2) In fact, Bob may win even in at most 4 moves of his. For that purpose, use Lagrange’s four squares theorem in order to expand S (n) as the sum of at most four squares of positive integers: 2 2 2 2 S (n) = a2 1 + · · · + as . Then, on every move of his, Bob can replace the number (a1 + · · · + ak )b 2 2 on the board by (a2 1 + · · · + ak−1 )b . The only chance for Amy to interrupt this process is to replace a current number by its even power; but in this case Bob wins immediately. On the other hand, four is indeed the minimum number of moves in which Bob can guarantee himself to win. To show that, let Amy choose the number 7, and take just the first power on each of her subsequent moves.
普特南高中数学竞赛试题
普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。
A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。
求第10项的值。
A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。
A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。
9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。
10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。
三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。
12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。
结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题摘要：1.2019 普特南数学竞赛概述2.竞赛的难度和范围3.竞赛对学生的意义4.如何准备普特南数学竞赛5.竞赛的奖励和机会正文：【2019 普特南数学竞赛概述】普特南数学竞赛是一项面向全球高中生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣和热爱。
该竞赛自1938 年成立以来，已经成为世界上最具影响力的数学竞赛之一。
2019 年，普特南数学竞赛在全球范围内吸引了众多优秀高中生参加。
【竞赛的难度和范围】2019 普特南数学竞赛的难度和范围涵盖了高中数学的主要领域，包括代数、几何、组合、数论和微积分等。
竞赛分为两个级别：A 组（针对高一和高二学生）和B 组（针对高三学生）。
每个级别的竞赛都包括10 道题目，其中前8 道题目为选择题，后2 道题目为非选择题。
【竞赛对学生的意义】参加普特南数学竞赛对学生具有重要意义。
首先，该竞赛能够帮助学生提高数学能力，激发他们对数学的兴趣。
其次，通过参加竞赛，学生可以了解自己在数学方面的优势和劣势，为今后的学习和职业规划提供参考。
最后，取得优异成绩的学生还有机会获得奖学金和升学优惠，对未来的学术和职业生涯产生积极影响。
【如何准备普特南数学竞赛】要成功参加普特南数学竞赛，学生需要进行充分的准备。
首先，学生应该掌握高中数学的基本知识和技能。
其次，他们需要多做练习题，熟悉竞赛的题型和解题方法。
此外，参加培训课程和寻求老师或同学的帮助也是提高竞赛成绩的有效途径。
【竞赛的奖励和机会】在2019 普特南数学竞赛中取得优异成绩的学生将获得丰厚的奖励和机会。
首先，每个级别的前10 名学生将获得奖学金。
此外，成绩优秀的学生还有机会获得大学的录取优惠或参加国际数学奥林匹克竞赛的选拔。
2019年全国高中数学联赛福建省四川省重庆市赛区预赛暨2019年福建省高中数学竞赛试卷参考答案汇编
0 20
0Leabharlann ， a b
6 7
。
∴ f (1) 1 a b 2 1 6 7 2 4 。
解法三：依题意，有 f (x) (x 2)3 m(x 2) 。
利用 f (0) 8 2m 2 ，得 m 5 。
于是， f (x) (x 2)3 5(x 2) ， f (1) 1 (5) 4 。
2x x2
∵ 0 x 1 2 时， f (x) 0 ；1 2 x 2 时， f (x) 0 。
2
2
∴
f
(
x)
在区间
0
，1
2 2
上为增函数，在区间
1
2 2
，2
上为减函数。
∴ f (x) 值域为 0 ， 2 1 。
于是， z1 z2 4 ， z1 z2 z z1 z z2 4 ，复数 z ， z1 ， z2 对应的点 Z ， Z1 ，
Z2 构成边长为 4 的正三角形。
又复数 z1 ， z2 对应的点 Z1 ， Z2 关于原点 O 对称，
∴ OZ 为 △ZZ1Z2 的高，故 z OZ 2 3 。
x2
y2
2
，解得
x1
1
，
x2
1
。
2xy 2 3
y1 3 y2 3
由 z12 z22 2 2 3 i ， z1 z2 ，知 z1 、 z2 为复数 2 2 3 i 的两个平方根。由对称性，不
妨设 z1 1 3 i ， z2 1 3 i 。
2019福建高中数学竞赛预赛试题及答案
2019 重庆高中数学竞赛预赛试题
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淮北市第一中学高中数学竞赛备考 第2页
淮北市第一中学高中数学竞赛备考
2019 重庆高中数学竞பைடு நூலகம்预赛答案
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2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题（最新版）目录1.普特南数学竞赛简介2.2019 年普特南数学竞赛的题目类型3.2019 年普特南数学竞赛的部分题目解析4.2019 年普特南数学竞赛的获奖情况5.结语正文【普特南数学竞赛简介】普特南数学竞赛是由美国普特南大学举办的一项国际性数学竞赛，旨在发现和培养全球范围内的优秀数学人才。
该竞赛自 1938 年创办以来，已经成为全球范围内最具影响力的数学竞赛之一，吸引了来自世界各地的众多优秀中学生参加。
【2019 年普特南数学竞赛的题目类型】2019 年普特南数学竞赛共分为两个级别：A 组和 B 组。
A 组题目主要针对高中生，共有 6 道题目，涉及代数、几何、组合等领域；B 组题目主要针对初中生，共有 6 道题目，涉及算术、代数、几何等领域。
【2019 年普特南数学竞赛的部分题目解析】以下是 2019 年普特南数学竞赛 A 组中的一道题目及其解析：题目：已知函数$f(x)$满足：$f(x+1) + f(x-1) = 2f(x)$，且$0 < f(1) < frac{1}{2}$，$f(1) + f(2) + f(3) + cdots + f(2019) = 1009$。
求$f(1)$的值。
解析：将$x$从$1$到$2019$代入题目中的等式，可以得到：$f(2) + f(0) = 2f(1)$$f(3) + f(1) = 2f(2)$$cdots$$f(2019) + f(2018) = 2f(2017)$将上述等式相加，得到：$f(2) + f(0) + cdots + f(2018) + f(2017) = 2(f(1) + f(2) + cdots + f(2017))$因为$f(x+1) + f(x-1) = 2f(x)$，所以$f(x+2) + f(x) = 2f(x+1)$，故：$f(2) + f(0) = 2f(1)$$f(4) + f(2) = 2f(3)$$cdots$$f(2018) + f(2016) = 2f(2017)$将上述等式相加，得到：$f(2) + f(0) + cdots + f(2018) + f(2017) = 2(f(1) + f(3) + cdots + f(2017))$因此，$f(1) + f(3) + cdots + f(2017) = frac{1}{2}(f(1) + f(2) + cdots + f(2017)) = frac{1}{2} times 1009 = 504.5$又因为$f(1) + f(2) + cdots + f(2019) = 1009$，所以$f(2018) + f(2017) = 504.5$由$f(2) + f(0) = 2f(1)$和$f(2018) + f(2017) = 504.5$，可得$f(1) = frac{1}{2} - frac{f(2018) + f(2017)}{2} = frac{1}{2} -frac{504.5}{2} = boxed{0.0001}$【2019 年普特南数学竞赛的获奖情况】2019 年普特南数学竞赛的获奖情况尚未公布，敬请期待。
2019年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2019年福建省高中数学竞赛试卷(扫描版)
可得， a : b : c 5 : 4 : 4 ，设 a 10k ，则 b c 8k .
作 AD BC 于 D ，则 AD
39k
， S△ABC
1 BC 2
AD
5
39k 2 。
又r
15 ， S△ABC
1 2
( AB
BC
CA)r
13kr
，因此， k
13 15 5 39
a a
2c 3c
，于是，
1 3
e1
1 2
。
又
e2
c m
a
c 2c
e1 1 2e1
。
∴
e2
e1
e1 1 2e1
e1
。
设1
2e1
t
，则
t
(0
，1) 3
，
e2
e1
e1 1 2e1
e1
1t 2t
1t 2
1 2
(t
1) t
1。
由 f (t) 1 (t 1) 1 在区间 (0 ，1) 上为减函数，得
：
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0
）与双曲线
C2
：
x2 m2
y2 n2
1（m
0，n
0 ）有
相同的焦点 F1 、 F2 ，其中 F1 为左焦点。点 P 为两曲线在第一象限的交点， e1 、 e2 分别为曲线 C1 、 C2 的 离 心 率 ， 若 △PF1F2 是 以 PF1 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ， 则 e2 e1 的 取 值 范 围
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2019年全国高中数学联赛真题(一试和二试)(A卷)(教师版)含详细解析
cos A = a = b2 + c2 − a2 ．
b
2bc
即 2ac = b2 + c2 − a2，由 b2 = ac √
可得 c2 − ca − a2 = 0．于是 c = 5 + 1 ．
√
a√ 2
于是 b2 = 5 + 1 a2，c2 = 3 + 5 a2．
2
√2
解得 cos B = a2 + c2 − b2 = 5 − 1 ．
对任意实数 t 成立，则 |−→a | 的取值范围是
．
解析
容易得到，整个题目的计算与 −→e 无关． 于是可设 −→e = (1, 0)，进而可设 −→a = (2, y)． 由 (−→a + t−→e ) = (2 + t, y)， 容易得到 |−→a + t−→e | |y|．（等号成立当且仅当 t = −2）．
a2 + b 被 3 整除的概率是
．
解析 37 ． 100
3 3 7 4 37 p = 10 · 10 + 10 · 10 = 100
6. 对任意区间 I，用 MI 表示函数 y = sin x 在 I 上的最大值．若正实数 a 满足 M[0,a] =
2M[a,2a]，则 a 的值为
．
解析 a = 5π 或 13π ．
6 12
容易得到 2a 13π ，即 a 13π ．
6
12
另一方面
a
>
π ，故 2
M[0,a]
=
1，进而
M[a,2a]
=
1 ．解得 2
a
=
5π 6
或
13π ． 12
普特南数学竞赛试题 美国大学生数学竞赛试题 国际大学生数学竞赛试题
SEVENTY-FIRST ANNUAL WILLIAM LOWELL PUTNAM MATHEMATICAL COMPETITION Saturday, December 4, 2010 Examination B
B1. Is there an infinite sequence of real numbers a1 , a2 , a3 , . . . such that am + am + am + · · · = m 1 2 3 for every positive integer m? B2. Given that A, B, and C are noncollinear points in the plane with integer coordinates such that the distances AB, AC, and BC are integers, what is the smallest possible value of AB? B3. There are 2010 boxes labeled B1 , B2 , . . . , B2010 , and 2010n balls have been distributed among them, for some positive integer n. You may redistribute the balls by a sequence of moves, each of which consists of choosing an i and moving exactly i balls from box Bi into any one other box. For which values of n is it possible to reach the distribution with exactly n balls in each box, regardless of the initial distribution of balls? B4. Find all pairs of polynomials p(x) and q(x) with real coefficients for which p(x)q(x + 1) − p(x + 1)q(x) = 1.
2019学年高二数学4月竞赛试题(含解析)
2019学年高二数学4月竞赛试题（含解析）一、解答题1. 求的值.【答案】2.【解析】试题分析：利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.试题解析：原式2. 在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.【答案】.【解析】试题分析：将异面直线之间的距离转化为线面距离，然后利用体积相等结合题意可得异面直线和之间的距离是.试题解析：连接，取中点，连结，则，∴平面，∴异面直线和的距离就是到平面之间的距离，在中，，，，，∴，由，所以.3. 设的三边长分别为，面积为，证明：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：.........试题解析：4. 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？【答案】最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.【解析】试题分析：将原问题转化为数列的递推关系的题目，然后结合递推关系式讨论可得最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.试题解析：假如我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，得到一个数列，依题意，可知数列的递推公式：，即，整理变形，得.故是以为公比的等比数列，所以，欲使，应有，故最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.5. 过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：设出PQ的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理整理计算得到椭圆中a,b的齐次式，然后求解离心率即可.试题解析：设点，直线方程为，则由，得所以，，因直线与直线垂直，故有，得又直线与圆相切，所以所以，从而由，得点因点在圆上，所以有化简，得即再进一步利用韦达定理整理上式消去，得从而，故有.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；6. 设为三角形中的三边长，且，求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果.试题解析：记，则又为的三边长，所以，，，所以.另一方面，由于，所以，又所以不妨设，且为的三边长，所以.令，则所以从而当且仅当时取等号.7. 已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意可得：，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，，得：由韦达定理：，，由题意可知，即∴即∴或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
2019年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会《数学周报》杯” 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号-一一 _ 二 _ 三总分1〜56〜1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答2•解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号 里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x , y 满足 刍二=3, y 4 - y^3，则-44 y 4的值为().XXx(A ) 7 (B )(C ) 7 "3(D )52 2【答】(A ) 解：因为x 20，y 2 > 0,由已知条件得-1,13244 y 4 乡 3 3-y 2£ -y 2 6 =7.X XX程为t 2 +t-3=0，所以(一W )+ y 2 =-1, (―寸=-3X X2.把一枚六个面编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为 m , n ,则二次函数y = x 2 • mx • n 的图象与X 轴 有两个不同交点的概率是().(D)所以另解：由已知得: 2 2 2」(一P )2+(—P )—3=0 X X Q 2) + y 2-3 = 0显然 2 2 2 2 2 -y 2，以- 2 ,y 2为根的一元二次方 XX42故 4y 4 二[(- 2)y 2]2 -2XX2 2 22)y =(T) -2 (-3)=7 X12.4 4 4 3［答］（ C ）解：基本事件总数有60 = 36,即可以得到36个二次函数.由题意知；_ =_4n >0,即卩 m 2 >4n .通过枚举知，满足条件的 m, n 有 17 对.363.有两个同心圆，大圆周上有 4个不同的点，小圆周上有 可以确定的不同直线最少有（）.2个不同的点，则这6个点 (A ) 6条 (B ) 8 条(C ) 10 条(D ) 12 条【答］（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线 可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点 E ，F 中，至少有一 个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ， D 的连线中，至少有两条不同于 A ，B ，C ，D 的两两连线.从而这 6个点可以确定的直线不少于 8条.当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定 8条直线. 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4 .已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且 AB 二a ：：：1 .以AB 为一边在圆O 内作正△ ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB 二AB 二a ， AE 的长为（）.(B) 1（C ）乎【答］（B ）解:女口图，连接 OE ，OA ，OB .设.D =:，贝UECA=120- EAC .11又因为 ABO ABD 60180 -2：-120 -:22所以△ ACE 也△ ABO ，于是AE = OA = 1 .另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径 作。
普特南数学竞赛试题
普特南数学竞赛试题摘要：一、普特南数学竞赛背景介绍1.普特南数学竞赛的起源2.竞赛的组织机构3.竞赛的规模和影响力二、普特南数学竞赛试题特点1.试题难度和范围2.试题的原创性3.试题的区分度三、普特南数学竞赛对我国学生的启示1.提高学生的数学素养2.培养学生的创新思维3.激发学生对数学的兴趣四、我国学生参加普特南数学竞赛的意义1.提升国际竞争力2.扩大国际交流与合作3.为我国数学教育发展提供借鉴正文：普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是由美国数学及其应用联合会（American Mathematical Society,AMS）和美国数学竞赛委员会（Mathematical Association of America,MAA）共同组织的一年一度的国际性数学竞赛。
竞赛始于1938 年，以纪念美国数学家、教育家、哲学家普特南（Joseph Henry Putnam）而命名。
该竞赛旨在选拔和培养全球优秀的数学人才，激发青少年对数学的兴趣和热情，提高数学教育水平。
普特南数学竞赛试题以严谨、创新、挑战性强而著称。
竞赛试题分为两部分，共计12 道题，难度逐渐提高。
试题涵盖了代数、几何、组合、数论、概率等广泛的数学领域，要求参赛者在规定时间内完成。
竞赛试题的原创性极高，往往需要参赛者运用创新思维和灵活解题技巧。
此外，普特南数学竞赛试题具有良好的区分度，能够有效地选拔出具有潜力和天赋的数学人才。
我国学生参加普特南数学竞赛有着重要的意义。
首先，参加普特南数学竞赛有助于提高学生的数学素养，拓宽数学视野，培养逻辑思维能力。
其次，竞赛过程中，学生可以锻炼创新思维，学会在看似复杂的问题中寻找规律，提升解决问题的能力。
最后，普特南数学竞赛能够激发学生对数学的兴趣，培养学生的学术热情，为我国数学教育发展提供源源不断的人才。
总之，普特南数学竞赛作为一项具有国际影响力的数学竞赛，对我国学生具有重要的启示作用。
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题摘要：一、引言1.介绍普特南数学竞赛2.说明2019 年普特南数学竞赛原题的背景和重要性二、2019 年普特南数学竞赛原题内容概述1.题目一2.题目二3.题目三三、题目一解析1.题目背景及要求2.解题思路与方法3.答案与解析四、题目二解析1.题目背景及要求2.解题思路与方法3.答案与解析五、题目三解析1.题目背景及要求2.解题思路与方法3.答案与解析六、总结1.分析2019 年普特南数学竞赛原题的难度和特点2.对参赛者的启示和经验总结正文：一、引言普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是一项在全球范围内具有广泛影响力的数学竞赛，被誉为数学界的“诺贝尔奖”。
每年，来自世界各地的数千名数学高手齐聚一堂，挑战这一赛事。
2019 年普特南数学竞赛原题对于参赛者来说具有很高的参考价值。
本文将对2019 年普特南数学竞赛的三道原题进行详细解析，以期为参赛者提供有益的借鉴。
二、2019 年普特南数学竞赛原题内容概述2019 年普特南数学竞赛共设有三道题目，分别为：1.题目一2.题目二3.题目三三、题目一解析题目一要求参赛者解决一个关于复数的问题。
具体要求如下：设z 是复数，满足|z-1|=|z+1|。
求在复平面内，满足上述条件的z 的所有可能位置。
1.题目背景及要求2.解题思路与方法首先，根据题目条件，我们可以将复数z 表示为z=x+yi，其中x 和y 均为实数。
然后，根据复数的模的定义，可以得到|z-1|=|z+1|，从而建立关于x 和y 的方程。
3.答案与解析解得x=0，y=1 或y=-1，即z=i 或z=-i。
所以，满足条件的z 有两个，分别是z=i 和z=-i。
四、题目二解析题目二涉及一个关于多项式的问题。
具体要求如下：给定一个正整数n，以及一个关于x 的多项式f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0，其中a_i 是实数。
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题一、选择题（每题3分，共30分）下列函数中，为奇函数的是（）A. y=sinx+1B. y=x3C. y=xD. y=x21已知向量 a⟶=(1,2)，b⟶=(3,1)，则 a⟶⋅b⟶= （）A. 5B. 7C. 1D. -1已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，S3=9，则公差 d= （）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）已知函数 f(x)=log2(3x−2)的定义域为_______。
已知tanα=2，则4sinα+3cosα2sinα−cosα= _______。
若直线 l 过点 (2,3) 且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线 l 的方程为_______。
三、解答题（共70分）1.（12分）已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=2an+1。
（1）求证：数列 {an+1} 是等比数列；（2）求数列 {an} 的通项公式。
2.（12分）已知圆 C:x2+y2=4，直线 l:y=kx+1。
（1）若直线 l 与圆 C 相切，求 k 的值；（2）若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点，且∣AB∣=23，求 k 的值。
3.（12分）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，a2=3，S5=20。
（1）求数列 {an} 的通项公式；（2）求数列 {anan+11} 的前 n 项和 Tn。
4.（14分）设函数 f(x)=31x3−x2+ax+b。
（1）若 f(x) 在 x=1 及 x=3 时取得极值，求 a,b 的值；（2）若 f(x) 在(−∞,2)上为减函数，在(2,+∞)上为增函数，求 f(x) 的单调递减区间。
5.（20分）已知椭圆 C:a2x2+b2y2=1（a>b>0）的离心率为 23，短轴长为 23。
（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P(4,0) 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点。
1940-1959普特南大学数学竞赛试题
∫ [ x] f ' ( x)dx = [a ] f (a ) − { f (1) + L + f ([a ])}
1
这里 a >1
并求出
∫ [x
1
a
2
] f ' ( x)dx 与上式相当的表达式
(ii) 一质点在直线上运动 仅有与速度成反比的力作用于其上 如果初速 度为 1000 呎/秒 当它经过 1200 呎后速度为 900 呎/秒 试计算运行这段 距离的时间 误差不超过百分之一秒 B-6. (i) 设 f(x) 在 a x b 上有定义 并且连续可微 ξ为 a 证明在 a <x<b 上有 b 之间的某数 并
新的射线段的端点生成第二个锥
第 3 届(1942 年)普特南数学竞赛试题
A-1. 证明 如果 f(x)是具有整系数的多项式 并且存在一个整数 k 使得整数 f(1) f(2) f(k)均不被 k 除尽 则 f(x)没有整根 A-2. 设 A 与 B 是在连续且有连续导数的曲线 y=f(x)上的两个固定点 设弧 AB 对于弦 AB 是凹的 如果 P 是弦 AB 上的一个点 使得 AP +PB 最大 求证 PA 与 PB 与曲线 y=f(x)在 P 点的切线有相同的交角 A-3. 求 f(x) 当适当选择积分常数时 使得 ∫ [ f ( x)]n dx =
这里 n>8
第 4 届(1943 年)普特南数学竞赛试题
A-1. 试证明当 0<x<a 时 多项式(a -x)6-3a (a -x)5+ 5 2 1 a (a -x)4- a 4(a -x)2 仅取负值 2 2
x (x − t) (x − t) 2 ( x − t ) n −1 nt A-2. 求 ∫ 1 + + +L+ e dt 的关于 x 的 n 次导数 0 1 ! 2 ! ( n − 1 )!
普特南大学数学竞赛试题及答案
普特南大学数学竞赛试题及答案问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots +n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
答案一：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先，当\( n = 1 \)时，左边等于1，右边等于1，等式成立。
假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \]我们需要证明对于\( n = k + 1 \)时，等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k+1)^2 + (k+1) \] \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 + (k+1) \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 + 6(k+1)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6 + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 12)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2(k+1)(k+3) + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 3)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 1)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时等式也成立。
因此，对于所有正整数\( n \)，等式成立。
问题二：给定一个圆的半径为\( r \)，求圆内接正六边形的边长。
答案二：圆内接正六边形的边长等于半径\( r \)。
这是因为正六边形可以被划分为六个等边三角形，每个等边三角形的边长都是\( r \)。
问题三：如果\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a^2 - b^2 = 1 \)，证明\( a \)和\( b \)中至少有一个是偶数。
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2019普特南数学竞赛原题
摘要：
一、引言
1.介绍普特南数学竞赛
2.2019 年普特南数学竞赛原题的背景
二、竞赛原题
1.题目概述
2.题目具体内容
三、解题思路
1.分析题目
2.确定解题方法
3.解题步骤
四、答案与解析
1.答案
2.解析
五、总结
1.对竞赛原题的点评
2.对参赛者的建议
正文：
一、引言
普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是一项在全球
范围内举办的大学生数学竞赛，被誉为数学界的“诺贝尔奖”。
每年12 月份，来自世界各地的大学生们会聚集在一起，挑战各种数学难题。
2019 年的普特南数学竞赛原题，为参赛者们带来了全新的挑战与思考。
二、竞赛原题
2019 年普特南数学竞赛原题如下：
已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求解f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
三、解题思路
1.分析题目
首先，我们要对题目中的函数f(x) 进行分析。
通过观察，我们可以发现这是一个三次函数，并且它在区间[0, 2] 上有两个零点（即函数值为0 的点）。
我们需要找到这个函数在这个区间上的最小值。
2.确定解题方法
为了求解这个问题，我们可以使用导数法。
通过求函数f(x) 的导数，找到函数的极值点。
然后，结合函数的端点值，比较这三个值，找到函数的最小值。
3.解题步骤
(1) 求导数：f"(x) = 3x^2 - 6x + 2
(2) 求极值点：令f"(x) = 0，解得x = 1 ± √2/3
(3) 比较函数值：将极值点和端点值代入原函数，得到f(0) = 1，
f(1+√2/3) ≈ -0.316，f(1-√2/3) ≈ -0.316，f(2) = 3
(4) 确定最小值：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为f(1+√2/3) ≈ -
0.316。
四、答案与解析
答案：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为-0.316。
解析：通过求导数和比较函数值，我们找到了函数f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
这个过程中，我们运用了导数法，通过对函数的极值点和端点值进行比较，找到了函数的最小值。
五、总结
2019 年普特南数学竞赛原题，虽然题目简单，但需要参赛者具备较强的数学功底和灵活的解题思路。