人教版初三数学:垂径定理—知识讲解(基础)
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
![九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计](https://img.taocdn.com/s3/m/2bc08947c381e53a580216fc700abb68a982adbd.png)
4.通过解决实际问题,使学生认识到数学在生活中的重要作用,增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础,掌握了圆的基本概念和相关性质,能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分,学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此,在教学过程中,要注意以下几点:
-在复杂问题中,如何识别和应用垂径定理,以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
(二)教学设想
1.教学策略:
-采用探究式教学法,引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程,自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学,增强学生的直观体验,帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题,由浅入深,逐步引导学生掌握垂径定理的运用,提高学生的解题技巧。
-总结反思:引导学生总结垂径定理的特点和应用方法,反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价:
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式,关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式,全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价,培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度,激发学习兴趣,培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系,使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上,教师应制定针对性的教学策略,帮助学生在掌握垂径定理的基础上,提高解决实际问题的能力,培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用,以及提高他们的解题技能,特此布置以下作业:
1.学生在理解垂径定理时,可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时,可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题,帮助学生总结解题方法,提高解题能力。
专题24.3 垂径定理【十大题型】(人教版)(原卷版)
![专题24.3 垂径定理【十大题型】(人教版)(原卷版)](https://img.taocdn.com/s3/m/c8f16f5fa200a6c30c22590102020740be1ecd8c.png)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】(2022•雨花区校级开学)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若AB=8,EC=2√13,则CD的长为()A.1B.3C.2D.4【变式1-1】(2022•宁津县二模)如图,已知圆O的半径为10,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为()A.6B.6√2C.8D.8√2【变式1-2】(2022•建华区二模)如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,EB=1,∠AEC =30°,则CD的长为()A.5B.2√3C.4√2D.2√2+√3+1【变式1-3】(2022春•徐汇区校级期中)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,且CE=CB,若BE=2AE,CD=5,那么⊙O的半径为.【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】(2022•泰安模拟)如图,⊙O的半径OA,OB,且OA⊥OB,连接AB.现在⊙O上找一点C,使OA2+AB2=BC2,则∠OAC的度数为()A.15°或75°B.20°或70°C.20°D.30°̂上的【变式2-1】(2022秋•天心区期中)如图,已知⊙O半径OA=4,点B为圆上的一点,点C为劣弧AB一动点,CD⊥OA,CE⊥OB,连接DE,要使DE取得最大值,则∠AOB等于()A.60°B.90°C.120°D.135°【变式2-2】(2022秋•青田县期末)如图,在⊙O中,半径OC过弦AB的中点E,OC=2,OE=√2.(1)求弦AB的长;(2)求∠CAB的度数.【变式2-3】(2022秋•开州区期末)如图,在⊙O中,弦BC与半径OA垂直于点D,连接AB、AC.点E 为AC的中点,连接DE.(1)若AB=6,求DE的长;(2)若∠BAC=100°,求∠CDE的度数.【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】(2022•威海模拟)⊙O中,点C为弦AB上一点,AB=1,CD⊥OC交⊙O于点D,则线段CD的最大值是()A.12B.1C.32D.2【变式3-1】(2022•河北模拟)如图所示,在⊙O中,AB为弦,OC⊥AB交AB于点D.且OD=DC.P为⊙O上任意一点,连接P A,PB,若⊙O的半径为1,则S△P AB的最大值为()A.1B.2√33C.3√34D.3√32【变式3-2】(2022秋•龙凤区校级期末)如图,矩形ABCD中,AB=20,AD=15,P,Q分别是AB,AD 边上的动点,PQ=16,以PQ为直径的⊙O与BD交于点M,N,则MN的最大值为.【变式3-3】(2022秋•延平区校级期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D、E分别是AC、BC上的一点,且DE=3,若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为()A.910B.65C.85D.125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】(2022•包河区校级二模)如图,在⊙O中,直径AB=10,CD⊥AB于点E,CD=8.点F是弧BC 上动点,且与点B、C不重合,P是直径AB上的动点,设m=PC+PF,则m的取值范围是()A.8<m≤4√5B.4√5<m≤10C.8<m≤10D.6<m<10【变式4-1】(2022•佛山)如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.【变式4-2】(2022秋•盐都区校级月考)如图,点P是⊙O内一定点.(1)过点P作弦AB,使点P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹);(2)若⊙O的半径为13,OP=5,①求过点P的弦的长度m范围;②过点P的弦中,长度为整数的弦有条.【变式4-3】(2022秋•天河区校级期中)已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离OH=3,点P是圆上一动点,设过点P且与AB平行的直线为l,记直线AB到直线l的距离为d.(1)求AB的长;(2)如果点P只有两个时,求d的取值范围;(3)如果点P有且只有三个时,求连接这三个点所得到的三角形的面积.【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】(2022•山海关区一模)已知⊙O的直径CD=10,CD与⊙O的弦AB垂直,垂足为M,且AM=4.8,则直径CD上的点(包含端点)与A点的距离为整数的点有()A.1个B.3个C.6个D.7个【变式5-1】(2022秋•新昌县期末)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点C,连接OB,点P是半径OB上任意一点,连接AP,若OB=5,OC=3,则AP的长不可能是()A.6B.7C.8D.9【变式5-2】(2022•桥西区校级模拟)如图,AB是⊙C的弦,直径MN⊥AB于点O,MN=10,AB=8,如图以O为原点建立坐标系.我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点,则线段OC长是3,⊙C上的整数点有个.【变式5-3】(2022秋•肇东市期末)已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离为3,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有()A.4个B.3个C.2个D.1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】(2022•武汉模拟)如图,在半径为1的⊙O中有三条弦,它们所对的圆心角分别为60°,90°,120°,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是()A.√2B.1C.√32D.√22【变式6-1】(2022秋•黄州区校级月考)如图,矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上,顺次连接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD=12,DF=4,则菱形ABCD的面积为.【变式6-2】(2022秋•西城区校级期中)如图,AB为⊙O直径,过点O作OD⊥BC于点E,交⊙O于点D,CD∥AB.(1)求证:E为OD的中点;(2)若CB=6,求四边形CAOD的面积.【变式6-3】(2022•新洲区模拟)如图,点A,C,D均在⊙O上,点B在⊙O内,且AB⊥BC于点B,BC ⊥CD于点C,若AB=4,BC=8,CD=2,则⊙O的面积为()A.125π4B.275π4C.125π9D.275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】(2022秋•襄都区校级期末)如图所示,一圆弧过方格的格点AB,试在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(0,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是()A.(﹣1,2)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(2,1)【变式7-1】(2022春•海门市期中)如图所示,⊙P过B、C两点,写出⊙P上的格点坐标.【变式7-2】(2022•商城县三模)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A、B、C均在小正方形的顶点上,点C同时也在AB̂上,若点P是BĈ的一个动点,则△ABP面积的最大值是.【变式7-3】(2017秋•靖江市校级月考)如图,在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格图中进行下列操作(以下结果保留根号):(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置,并写出D点的坐标为;(2)连接AD、CD,则⊙D的半径为,∠ADC的度数.【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】(2022•博山区一模)如图,在平面直角坐标系中,半径为5的⊙E与y轴交于点A(0,﹣2),B (0,4),与x轴交于C,D,则点D的坐标为()A.(4−2√6,0)B.(−4+2√6,0)C.(−4+√26,0)D.(4−√26,0)【变式8-1】(2022秋•西林县期末)如图,⊙P与y轴交于点M(0,﹣4),N(0,﹣10),圆心P的横坐标为﹣4.则⊙P的半径为()A.3B.4C.5D.6【变式8-2】(2022•印江县三模)如图,直线l为y=x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3;…,按此作法进行下去,则点A2022的坐标为.【变式8-3】(2015•宜春模拟)如图,半径为5的⊙P与y轴交于点M(0,﹣4),N(0,﹣10),函数y =﹣2x+m图象过点P,则m=.【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】(2022秋•化德县校级期末)⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,CD=16cm,则AB 和CD的距离为()A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm【变式9-1】(2022•包河区二模)已知圆O的半径为5,弦AB=8,D为弦AB上一点,且AD=1,过点D 作CD⊥AB,交圆O于C,则CD长为()A.1B.7C.8或1D.7或1【变式9-2】(2022秋•方正县期末)如图,⊙O的弦AB与半径OC垂直,点D为垂足,OD=DC,AB=2√3,点E在⊙O上,∠EOA=30°,则△EOC的面积为.【变式9-3】(2022秋•淮南月考)如图,已知⊙O的半径为2.弦AB的长度为2,点C是⊙O上一动点,若△ABC为等腰三角形,则BC2的长为.【题型10 垂径定理的应用】【例10】(2022秋•武昌区校级期末)某地有一座圆弧形拱桥,它的跨度(弧所对的弦的长)24m,拱高(弧的中点到弦的距离)4米,则求拱桥的半径为()A.16m B.20m C.24m D.28m【变式10-1】(2022•望城区模拟)《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺.如图,已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,(注:1尺=10寸)问这块圆柱形木材的直径是()A.13寸B.6.5寸C.26寸D.20寸【变式10-2】(2022秋•西城区校级期中)京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,风格更加简约.如图,摩天轮直径88米,最高点A距离地面100米,匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面的距离超过34米时,可视为最佳观赏位置,在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟.【变式10-3】(2022•浙江)如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B是圆上的点,O为圆心,̂,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通∠AOB=120°,从A到B只有路AB过计算可知,这些市民其实仅仅少走了步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:√3≈1.732,π取3.142)。
人教版九年级数学24.1.2:垂径定理(教案)
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在今天的教学中,我发现学生们对垂径定理的理解普遍较好,他们能够通过观察和实验操作,发现直径与弦的关系。但在定理的证明部分,有些学生显得有些吃力,需要我通过图示和步骤分解来逐步引导。这让我意识到,在今后的教学中,我应该更加注重培养学生的逻辑推理能力和几何直观。
在讲授垂径定理的应用时,我尽量用生活中的实例来说明,让学生感受到数学知识在实际生活中的重要性。这一点从学生的反馈来看,效果还是不错的,他们能够主动思考定理在生活中的应用。但我也注意到,部分学生在解决综合性较强的题目时,还是显得有些力不从心。这说明在今后的教学中,我需要进一步加强学生对知识综合运用能力的培养。
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在画圆或者观察圆的时候,有没有注意过直径与弦的关系?”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索垂径定理的奥秘。
(二)新课讲授(用时10分钟)
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调垂径定的证明,我会通过图示和步骤分解来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。通过实际画圆和测量,学生可以直观地看到直径和弦的关系。
人教版九年级数学讲义垂径定理(含解析)(2020年最新)
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第11讲垂径定理知识定位讲解用时:3分钟A、适用范围:人教版初三,基础一般B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论,着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用,掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法,能够结合勾股定理进行熟练计算。
本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用,涉及的知识点较多,考查的内容较广,具有一定的综合性。
希望同学们认真学习,为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。
知识梳理讲解用时:15分钟垂径定理及其推论(1)垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧。
(2)相关推论①如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧;①如果圆的直径平分弧,那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦;①如果一条直线是弦的垂直平分线,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧;①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且垂直于这条弦;①如果一条直线垂直于弦,并且平分弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦。
总结:在圆中,对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中,如果有两组关系成立,那么其余两组关系也成立。
课堂精讲精练【例题1】下列判断中,正确的是()。
A.平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦B.不与直径垂直的弦不能被该直径平分C.互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D.同圆中,相等的弦所对的弧也相等【答案】C【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦,故A错误;任意两条直径互相平分,故B错误;同圆中,相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等,故D错误。
讲解用时:3分钟解题思路:根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
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人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容,本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指:圆中,如果一条直线垂直于直径,那么这条直线平分这条直径,并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念,然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了圆的基本概念和性质,如圆的周长、直径、半径等。
同时,学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是,学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明,因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示,帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生理解和掌握圆中的垂径定理,能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法:通过观察、操作、证明等过程,培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点:理解和掌握垂径定理,能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点:垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活中的实例引入垂径定理,激发学生的学习兴趣。
2.演示法:通过图形的直观展示,帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法:通过提出问题和解决问题,引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习:鼓励学生分组讨论和合作,培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备:多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材:教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示生活中的实例,如自行车轮子、时钟等,引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系,激发学生的学习兴趣。
2.呈现(10分钟)展示垂径定理的定义和性质,通过图形的直观展示,让学生理解和掌握垂径定理。
同时,引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论和合作,尝试证明垂径定理。
人教版初中数学垂径定理知识点总结
![人教版初中数学垂径定理知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/7a29deba05a1b0717fd5360cba1aa81145318f5b.png)
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线(或圆)交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点,那么这条直径平分过这两点的线段,并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦(不是直径),并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线,并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用,特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如,可以利用垂径定理来证明圆的性质,如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外,垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题,如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短,其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短,其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明:1.直接证明法:通过作图和推理,直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁,但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法:利用圆的性质和代数运算,证明垂径定理。
这种方法比较抽象,但具有普适性,可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时,要注意区分直径和其他弦的区别,避免混淆。
2.在作图时,要确保所作的线段是垂直于弦的直径,否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时,要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小:垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如,通过测量圆的直径或半径,可以确定圆的大小;通过观察垂径定理的各种表现,可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积:垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如,通过已知的直径或半径,可以计算出圆的周长和面积。
垂径定理巧记口诀
![垂径定理巧记口诀](https://img.taocdn.com/s3/m/64b677502379168884868762caaedd3383c4b5e9.png)
垂径定理的巧记口诀
垂径定理的巧记口诀可以根据其内容概括为“五二三或知二推三”。
具体来说,垂径定理包含五点内容:过圆心的直径、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的两条弧、平分弦(不是直径)垂直于弦。
其中任取两个作为题设,另外三个作为结论都是成立的。
例如,已知平分于弦的直径,垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧,则弦被直径平分,弦所对的两条弧也被平分。
此外,垂径定理还可以通过实际操作进行巧记。
具体操作如下:在纸上画一圆,标明直径AB;沿AB对折,在两半圆上任找一重合点记为C与D;打开,连接C、D;把AB和CD的交点记作E,圆心记为O,根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD,通过实际操作得AC 与AD重合,BC与BD重合,CE与DE重合。
由此可得出:若AB是直径,且AB垂直于CD,则AC=AD,BC=BD,CE=DE。
以上是垂径定理的巧记口诀和操作方法,通过这些方法可以更好地理解和记忆垂径定理。
人教版九年级数学上册课件:24.1.2垂径定理(共15张PPT)
![人教版九年级数学上册课件:24.1.2垂径定理(共15张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/56e7dd593968011ca2009147.png)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导(二)
认真阅读课本8 2页赵州桥问题,并思考:
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆?心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__,拱 高是__C_D__,弦心距是__O_D___,半径是__O_A_,_O_B___ , AD= _B_D___.
任意知道两个量,可根据垂径定理求出第三个量:
必做题:课本P83练习1、2题。 选做题:课本P89第2题。 思考题:课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图,直径为10cm的圆中,圆心到弦 AB的距离OM为4cm,求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己,我能行
破镜重圆
自学指导(一)
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形, __________都是它 的对称轴,对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ? 4、垂径定理的推论是什么?
人教版 九年级数学 垂径定理讲义 (含解析)
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第9讲垂径定理知识定位讲解用时:3分钟A、适用范围:人教版初三,基础偏上B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论,着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用,掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法,能够结合勾股定理进行熟练计算。
本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用,涉及的知识点较多,考查的内容较广,具有一定的综合性。
希望同学们认真学习,为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。
知识梳理讲解用时:15分钟垂径定理及其推论(1)垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧。
(2)相关推论①如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧;①如果圆的直径平分弧,那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦;①如果一条直线是弦的垂直平分线,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧;课堂精讲精练【例题1】下列说法正确的个数是()。
①垂直于弦的直线平分弦;①平分弦的直线垂直于弦;①圆的对称轴是直径;①圆的对称轴有无数条;①在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。
A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质,①垂直于弦的直径平分弦;故错误;①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦;故错误;①圆的对称轴是直径所在的直线;故错误;①圆的对称轴有无数条;故正确;①在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等,故正确,故选:B.讲解用时:5分钟解题思路:根据垂径定理,轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。
教学建议:逐项排除。
难度:3 适应场景:当堂例题例题来源:香坊区校级月考年份:2016秋【练习1】如图,①O的半径OC与弦AB交于点D,连结OA,AC,CB,BO,则下列条件中,无法判断四边形OACB为菱形的是()。
垂径定理—知识讲解(基础)
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垂径定理—知识讲解(基础)【学习目标】1.理解圆的对称性;2.掌握垂径定理及其推论;3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.要点诠释:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=6 cm,OD=4 cm,则DC的长为()A.5 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm【思路点拨】欲求CD 的长,只要求出⊙O 的半径r 即可,可以连结OA ,在Rt △AOD 中,由勾股定理求出OA.【答案】D ;【解析】连OA ,由垂径定理知13cm 2AD AB ==,所以在Rt △AOD 中,5AO ==(cm ).所以DC =OC -OD =OA -OD =5-4=1(cm ).【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形。
举一反三:【变式】如图,⊙O 中,弦AB ⊥弦CD 于E ,且AE=3cm ,BE=5cm ,求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm .2.如图所示,直线与两个同心圆分别交于图示的各点,则正确的是( )A .MP 与RN 的大小关系不定B .MP =RNC .MP <RND .MP >RN【答案】B ;【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系,首先可通过测量猜测MP 与RN 相等,而证明两条线段相等通常利用全等三角形,即证△OMP ≌△ONR ,如果联想到垂径定理,可过O 作OE ⊥MN 于E ,则ME =NE ,PE =RE ,∴ ME -PE =NE -RE ,即MP =RN .【点评】在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三:【变式】已知:如图,割线AC 与圆O 交于点B 、C ,割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5,且30DAC ︒∠=,AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3.如图1,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24m,拱的半径为13m,则拱高为()A.5m B.8m C.7m D.【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题,即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题.【答案】B;【解析】如图2,AB表示桥拱,弦AB的长表示桥的跨度,C为AB的中点,CD⊥AB于D,CD表示拱高,O为AB的圆心,根据垂径定理的推论可知,C、D、O三点共线,且OC平分AB.在Rt△AOD中,OA=13,AD=12,则OD2=OA2-AD2=132-122=25.∴ OD=5,∴ CD=OC-OD=13-5=8,即拱高为8m.【点评】在解答有关弓形问题时,首先应找弓形的弧所在圆的圆心,然后构造直角三角形,运用垂径定理(推论)及勾股定理求解.4.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中,点O是的圆心,•其中CD=600m,E为上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.【答案与解析】如图,连接OC,设弯路的半径为R,则OF=(R-90)m,∵OE⊥CD,∴CF=12CD=12×600=300(m),根据勾股定理,得:OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2,解得R=545,∴这段弯路的半径为545m.【点评】构造直角三角形,利用垂径定理、勾股定理,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握.举一反三:【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险,现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.【答案】不需要采取紧急措施设OA=R,在Rt△AOC中,AC=30,OC=OD-CD=R-18,R2=302+(R-18)2, R2=900+R2-36R+324,解得R=34(m).连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中,ME=16,342=162+(34-x)2,x2-68x+256=0,解得x1=4,x2=64(不合题意,舍),∴DE=4m>3m,∴不需采取紧急措施.。
初三数学垂径定理知识精讲
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初三数学垂径定理知识精讲知识考点:1、垂径定理及其推论是指:一条直线①过圆心;②垂直于一条弦;③平分这条弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个,即可得出另三个(平分弦时,直径除外),要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题:【例1】如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ,若AE =2cm ,BE =6cm ,∠CEA =300,求: (1)CD 的长; (2)C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
分析:有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究,所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解:(1)过点O 作OF ⊥CD 于F ,连结DO ∵AE =2cm ,BE =6cm ,∴AB =8cm∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA =300,∴OF =1 cm∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得:CD =2DF =152cm(2)过C 作CG ⊥AB 于G ,过D 作DH ⊥AB 于H ,易求EF =3cm ∴DE =)315(+cm ,CE =)315(-cm∴253315315-=+-==DE CE DH CG 【例2】如图,半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ,它们的交点E 到圆心O 的距离等于1,则22CD AB +=( )A 、28B 、26C 、18D 、35分析:如图,连结OA 、OC ,过O 分别作AB 、CD 的垂线,垂足分别为M 、N ,则AM =MB ,CN =ND 。
∵OM ⊥MN ,ME ⊥EN ,CN =ND∴222OE ON OM =+从而22222OE CN OC AM OA =-+-即222221)2(2)2(2=-+-CD AB ∴2822=+CD AB 故选A 。
∙例1图H E F G O DCBA ∙例2图MN E O DCBA∙例2图MN E O DCBA【例3】如图,等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ,AB =AC ,tanB =31。
人教版九年级数学上册24.-垂径定理的应用(用)1课件(共39张)
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经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD 据由1垂题A径设B定得 理1A,BD7是.2A7.B2的3,C.6中D, 点,2C.是4, HANB的中12点M,CND就1.是5.拱高.
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
OA2 AD2 OD 2 , 即R2 3.62 (R 2.4)2.
中点,EF过圆心O,CDAB为什么?
C F D 分析: CD AB
.O
CFE= BEF
A
E
B CFE=90
BEF=90
OFCD
OE AB
OF过圆心
OE过圆心
点F是CD中点 点E是AB中点
2. 在我们生活中处处存在数学问题,比如:
某村在村口建一个如图形状的门楼,半圆拱 的圆心距地面2米,半径1.5米。现有一辆 高2.9米,宽2.5米的集装箱卡车,问能通 过这个门楼吗?要解决这个问题,必须运用 圆的有关知识,
你是第一 个告知同 学们解题 方法和结 果的吗?
随堂练习P92 4
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是AB 的中点,CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
圆的线段问题转化
O
为直角三角形问题
变式1:如上图,若以O为圆心再画一 个圆交弦AB于C,D,则AC与BD间可 能存在什么关系?
A C E DB O
(1)
AC
DB
O
(2)
人教版初三(上)数学第67讲:垂径定理(教师版)
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垂径定理1.掌握垂径定理中相关的概念;2.掌握垂径定理的推理、应用.1.弦心距:(1)圆心到弦的距离叫做______。
(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的圆心角也相等,所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等,则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.圆的性质:(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称:圆是____________,____________________是它的对称轴.3.垂径定理及推论:(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且____________________.(2)平分弦(__________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.(5)_________夹的弧相等.参考答案:1.(1)弦心距2.(2)轴对称图形,经过圆心的任一直线3.(1) 平分弦所对的两条弧(2) 不是直径(5) 平行弦1.垂径定理的基本概念【例1】(2014浙江绍兴中考)如图,已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是()A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED. ∠AOC=60°【解析】考查垂径定理的内容,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对应的弧。
【答案】B练习1.(2014四川梅州一模)如图所示,圆O的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB()A.是正方形B.是长方形C.是菱形D.以上答案都不对【答案】C练习2.(2014甘肃天水一中期末)下面四个判断中正确的是()A. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有最长的弦,没有最短的弦B. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有最短的弦,没有最长的弦C. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,有且只有一条最长的弦,也有且只有一条最短的弦D. 过圆内一点(非圆心)的无数条弦中,既没有最长的弦,也没有最短的弦【答案】C2.垂径定理的简单计算【例2】(2014江苏徐州一模)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为()A.10B.8C.5D.3【解析】根据垂径定理,可求CP的长度,根据勾股定理可求半径。
九年级上册数学 人教版 垂径定理
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垂径定理一、错题回顾1、已知抛物线过A(-4,m)和B(8,m),求对称轴的直线方程。
2、已知抛物线与x轴的一个交点为(-3,0),对称轴为直线x=1,求抛物线与x轴的另一个交点坐标。
3、某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件,如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少买10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x 元(x为正整数),每个月的销售利润为y元。
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是多少元。
4、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请队参加。
课题:垂径定理圆中相关概念的结构示意图 圆()()⎩⎨⎧⇒⇒ 等圆大小半径同心圆位置圆心相关概念⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒圆周角圆心角等弧半圆、优弧、劣弧弧直径弦例1、如图,圆中弦的条数为( )A .2条B .3条C .4条D .5条 例2、判断题(1)直径是弦 ( ) (2)弦是直径 ( ) (3)半圆是弧 ( ) (4)弧是半圆 ( ) (5)长度相等的两段弧是等弧( ) (6)等弧的长度相等 ( )知识点一:垂径定理圆的轴对称性:过圆心的任一条直线(直径所在的直线)都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
)的直径垂直于弦,且推论:平分弦(非直径对的两条弧;平分弦,并且平分弦所定理:垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论,即条件⇒⎩⎨⎧)直线和弦垂直,()直线过圆心,(21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
)直线平分弦所对的优(弧,)直线平分弦所对的劣()直线平分弦,(543 符号语言:⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ,的弦,为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1:在(1)、(2)、(3)、(4)、(5)中,任意两个成立,都可以推出另外三个都成立。
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垂径定理—知识讲解(基础)【学习目标】1.理解圆的对称性;2.掌握垂径定理及其推论;3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.要点诠释:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=6 cm,OD=4 cm,则DC的长为()A.5 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm【思路点拨】欲求CD 的长,只要求出⊙O 的半径r 即可,可以连结OA ,在Rt △AOD 中,由勾股定理求出OA. 【答案】D ;【解析】连OA ,由垂径定理知13cm 2AD AB ==, 所以在Rt △AOD 中,2222435AO OD AD =+=+=(cm ).所以DC =OC -OD =OA -OD =5-4=1(cm ).【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形。
举一反三:【高清ID 号:356965 关联的位置名称(播放点名称):例4-例5】【变式】如图,⊙O 中,弦AB ⊥弦CD 于E ,且AE=3cm ,BE=5cm ,求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm .2.(2015•巴中模拟)如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点D ,若AC=8cm ,DE=2cm ,求OD 的长.【答案与解析】解:∵E 为弧AC 的中点, ∴OE ⊥AC , ∴AD=AC=4cm ,∵OD=OE ﹣DE=(OE ﹣2)cm ,OA=OE ,∴在Rt △OAD 中,OA 2=OD 2+AD 2即OA 2=(OE ﹣2)2+42, 又知0A=OE ,解得:OE=5, ∴OD=OE ﹣DE=3cm .【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形. 举一反三:【高清ID 号:356965 关联的位置名称(播放点名称):例2-例3】【变式】已知:如图,割线AC 与圆O 交于点B 、C ,割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5,且30DAC ︒∠=,AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3.如图1,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24m ,拱的半径为13m ,则拱高为( )A .5mB .8mC .7mD .53m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题,即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题.【答案】B ;【解析】如图2,AB 表示桥拱,弦AB 的长表示桥的跨度,C 为AB 的中点,CD ⊥AB 于D ,CD 表示拱高,O 为AB 的圆心,根据垂径定理的推论可知,C 、D 、O 三点共线,且OC 平分AB .在Rt △AOD 中,OA =13,AD =12,则OD 2=OA 2-AD 2=132-122=25. ∴ OD =5,∴ CD =OC -OD =13-5=8,即拱高为8m .【点评】在解答有关弓形问题时,首先应找弓形的弧所在圆的圆心,然后构造直角三角形,运用垂径定理(推论)及勾股定理求解. 4.(2015•蓬溪县校级模拟)如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径AB 是河底线,弦CD 是水位线,CD ∥AB ,且AB=26m ,OE ⊥CD 于点E .水位正常时测得OE :CD=5:24 (1)求CD 的长;(2)现汛期来临,水面要以每小时4m 的速度上升,则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满?【答案与解析】解:(1)∵直径AB=26m,∴OD=,∵OE⊥CD,∴,∵OE:CD=5:24,∴OE:ED=5:12,∴设OE=5x,ED=12x,∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132,解得x=1,∴CD=2DE=2×12×1=24m;(2)由(1)得OE=1×5=5m,延长OE交圆O于点F,∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m,∴,即经过2小时桥洞会刚刚被灌满.【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识,求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决.举一反三:【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险,现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.【答案】不需要采取紧急措施设OA=R,在Rt△AOC中,AC=30,OC=OD-CD=R-18,R2=302+(R-18)2, R2=900+R2-36R+324,解得R=34(m).连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中,ME=16,342=162+(34-x)2,x2-68x+256=0,解得x1=4,x2=64(不合题意,舍),∴DE=4m>3m,∴不需采取紧急措施.附录资料:弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并应用这些公式解决问题;2.了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,会应用公式解决问题;3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式:n°的圆心角所对的圆的弧长公式:(弧是圆的一部分)要点诠释:(1)对于弧长公式,关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即;(2)公式中的n表示1°圆心角的倍数,故n和180都不带单位,R为弧所在圆的半径;(3)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径,知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式:n°的圆心角所对的扇形面积公式:要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即;(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为,底面半径为r ,侧面展开图中的扇形圆心角为n °,则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =, 圆锥的全面积.要点诠释:扇形的半径就是圆锥的母线,扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此,要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积,全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1.如图(1),AB 切⊙O 于点B ,OA=23,AB=3,弦BC∥OA,则劣弧BC 的弧长为( ). A .33π B .32πC .πD .32π图(1) 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ,如图(2)则0OBA ∠︒=9,OB=3,0A ∠︒=3,0AOB ∠︒=6, 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒=, 所以△OBC 为等边三角形,0BOC ∠︒=6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ,故选A. 图(2) 【总结升华】主要考查弧长公式:.CBAO举一反三:【变式】制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm,n=110∴的长==≈76.8(mm)因此,管道的展直长度约为76.8mm.【高清ID号:359387 高清课程名称:弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称(播放点名称):经典例题1-2】2.如图,⊙O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积(结果保留π)【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分,∴OC⊥AB,OM=MC=OC=OA.∴∠B=∠A=30°,∴∠AOB=120°∴S扇形=.【总结升华】运用了垂径定理的推论,考查扇形面积计算公式.举一反三:【高清ID号:359387 高清课程名称:弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称(播放点名称):经典例题1-2】【变式】如图(1),在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于E,交AC于F,点P是⊙A上的一点,且∠EPF=40°,则图中阴影部分的面积是().A.449-π B.849-π C.489-π D.889-πAEB F P图(1)【答案】连结AD,则AD⊥BC,△ABC的面积是:BC•AD=×4×2=4,∠A=2∠EPF=80°.则扇形EAF的面积是:2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π.图(2)故选B.类型二、圆锥面积的计算3.(2014秋•广东期末)如图,一个圆锥的高为cm,侧面展开图是半圆,求:(1)圆锥的底面半径r与母线R之比;(2)圆锥的全面积.【思路点拨】(1)设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长,利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可;(2)首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长,然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可.【答案与解析】解:(1)由题意可知∴,R=2r(3分)r:R=r:2r=1:2;(2)在Rt△AOC中,∵R2=r2+h2∴,4r2=r2+27r2=9,r=±3∵r>0∴r=3,R=6.∴S侧=πRr=18π(cm2)(cm2)∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π(cm2).【总结升华】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是牢记有关的公式.类型三、组合图形面积的计算4.(2015•槐荫区三模)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠CDB=30°,CD=2,求图中阴影部分的面积.【答案与解析】解:∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=.∵∠CDB=30°,∴∠COE=60°,在Rt△OEC中,OC==2,∵CE=DE,∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE,∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π.【总结升华】本题考查了垂径定理,扇形的面积等,解此题的关键是求出扇形和三角形的面积.。