交流电相关物理量的描述

第二课时交流电的描述2019.11.12导学目标：1．掌握交变电流的周期、频率、线圈转动角速度三者之间的关系。

2．能理解电流的有效值是与热效应有关的量，而平均值只是简单意义的平均。

3．掌握交变电流有效值与最大值的关系，会进行有效值的计算。

4．掌握交变电流的变化规律及两种表示方法。

一、交变电流的概念1．大小和方向都随时间做周期性变化的电流叫交变电流，简称交流．2．方向不随时间变化的电流称为直流．大小、方向都不随时间变化的电流称为恒定电流．3．对直流电流和交变电流的区分主要是看电流方向是否变化．4．对中性面的理解:(1)中性面是与磁场方向垂直的平面，是假想的一个参考面。

(2)线圈平面位于中性面时，穿过线圈平面的磁通量最大，而磁通量的变化率为零，产生的感应电动势为零。

(3)线圈平面与中性面垂直时，穿过线圈平面的磁通量为零，但磁通量的变化率最大，产生的感应电动势最大。

(4)线圈每经过中性面一次，电流方向就改变一次，线圈转动一周，两次经过中性面，所以电流的方向改变两次。

【练习题组1】1．关于线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流，以下说法中正确的是()A．线圈平面每经过中性面一次，感应电流方向就改变一次，感应电动势方向不变B．线圈每转动一周，感应电流方向就改变一次C．线圈平面每经过中性面一次，感应电动势和感应电流的方向都要改变一次D．线圈转动一周，感应电动势和感应电流方向都要改变一次2．如图，各图面积均为S的线圈均绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动，能产生正弦交变电动势e＝BSωsin ωt的图是()A B C D E F3．处在匀强磁场中的矩形线圈abcd，以恒定的角速度绕ab边转动，磁场方向平行于纸面并与ab 边垂直．在t＝0时刻，线圈平面与纸面重合，如图所示，线圈的cd边离开纸面向外运动．若规定沿a →b →c →d →a 方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流i 随时间t 变化的图像是( ) 4．如图5甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N 、S 间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，为交流电流表．线圈绕垂直于磁场方向的水平轴OO ′沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图象如图乙所示，以下判断正确的是 ( ) A ．电流表的示数为10 A B ．线圈转动的角速度为50π rad/s C ．t ＝0.01 s 时线圈平面与磁场方向平行 D ．t ＝0.02 s 时电阻R 中电流的方向自右向左5．如图甲所示，一矩形线圈abcd 放置在匀强磁场中，并绕过ab 、cd 中点的轴OO ′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a 流向b 时，电流方向为正．则下列四幅图中正确的是 ( )【问题探究】如图所示，回答下列问题： （1）线圈经过什么位置开始计时 ；（2）交变电流完成一次周期性变化需要多长时间 ；在1 s 内完成多少次周期性变化 ；（3）线圈转动的角速度 ；转速为 。

二、周期和频率1．周期(T )：交变电流完成一次周期性变化所需的时间，用T 表示，单位是秒．2．频率(f )：交变电流在1_s 内完成周期性变化的次数，用f 表示，单位是赫兹，符号是Hz. 3．转速(n )：线圈单位时间(1 s 或1 min)转过的圈数，单位是r /s 或r/min. 4．各物理量之间的关系：f ＝1T ，ω＝2πT ＝2πf ，ω＝2πn (n 的单位为r/s)．5．我国电网中交变电流的周期是0.02 s ，频率是50 Hz.【例题1】矩形金属线圈共10匝，绕垂直于磁场方向的转动轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的交流电动势e 随时间t 变化的情况如图所示．下列说法中正确的是( )A ．此交变电流的频率为0.2 HzB ．1 s 内电流方向变化10次C ．t ＝0.1 s 时，线圈平面与磁场方向平行D ．1 s 内线圈转5圈 二、最大值和有效值1．最大值：它是所有瞬时值中的最大值．(1)当线圈平面跟磁感线平行时，感应电动势最大，E m ＝nBSω(转轴垂直于磁感线)． (2)电容器接在交流电路中，交流电压的最大值不能超过电容器的耐压值．2．有效值：让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，我们就把这个恒定电流的电流值I 、电压值U ，叫做这个交变电流的有效值．计算时要注意三同：“相同电阻”上、“一个周期”内、产生“相同热量”．3．正弦式交变电流的有效值I 、U 与最大值I m 、U m 的关系：I ＝I m 2、U ＝U m2.注意：非正弦式交变电流的有效值只能根据电流的热效应计算． 4．有效值的应用(1)计算与电流热效应有关的量(如功率、热量)要用有效值．(2)交流电表的测量值，电气设备标注的额定电压、额定电流，通常提到的交流电的数值均指有效值．5．平均值的应用：计算通过导体某一截面的电荷量时，只能用交变电流的平均值，即q ＝I ·Δt ＝E R Δt ＝ΔΦR.【例题2】一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图4甲所示．已知发电机线圈内阻为5.0 Ω，外接一只电阻为95.0 Ω的灯泡，如图乙所示，则 ( ) A ．电压表的示数为220 VB ．电路中的电流方向每秒钟改变50次C ．灯泡实际消耗的功率为484 WD ．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J 【练习题组3】1．小型手摇发电机线圈共N 匝，每匝可简化为矩形线圈abcd ，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO ′，线圈绕OO ′匀速转动，如图5所示．矩形线圈ab边和cd 边产生的感应电动势的最大值都为e 0，不计线圈电阻，则发电机输出电压( ) A ．峰值是e 0 B ．峰值是2e 0 C ．有效值是22Ne 0D ．有效值是2Ne 02．一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，周期为T .从中性面开始计时，当t ＝112T时，线圈中感应电动势的瞬时值为2 V ，则此交变电流的有效值为( )A ．2 2 VB ．2 VC ． 2 VD ．22V 3．以下说法正确的是 ( )A ．交变电流的有效值就是它的平均值B ．任何交变电流的有效值都是它最大值的12C ．如果交变电流接在电阻R 上产生的热量为Q ，那么该交变电流的有效值为QRD ．以上说法均不正确4．图6甲、乙分别表示两种电压的波形，其中图甲所示电压按正弦规律变化，下列说法正确的是( )A ．图甲表示交流电，图乙表示直流电B ．两种电压的有效值相等C ．图甲所示电压的瞬时值表达式为u ＝311sin (100πt ) V D ．两种电压的周期相同5．某交流电压瞬时值表达式u ＝62sin (100πt ) V ，把标有“6 V,2 W ”的小灯泡接在此电源上会不会被烧坏？把标有6 V 的电容器接在此电源上会不会被击穿？ 三、非正弦式交变电流有效值的计算利用有效值的定义，根据电流的热效应计算，计算时注意取一个完整周期的时间，而不是简单地对电压求平均值．进行有效值计算时，要紧扣电流通过电阻生热进行计算。

注意“三同”：即“相同电阻”，“相同时间内”产生“相同热量”。

计算时“相同时间”一般取一个周期。

【例题3】图是通过一个R ＝1 Ω的电阻的电流i 随时间t 变化的曲线．这个电流不是恒定电流． (1)怎样计算1 s 内电阻R 中产生的热量？(2)如果有一个大小、方向都不变的恒定电流通过这个电阻R ，也能在1 s 内产生同样的热量，这个电流是多大？（3）如图5所示的交变电流由正弦式交变电流的一半和反向脉冲电流组合而成，则这种交变电流的有效值为( ) A ．12I 0 B ．22I 0 C ．32I 0 D ．I 0【小结】非正弦式交变电流有效值的计算的常见情形1．阻值为1 Ω的电阻上通一交变电流，其i －t 关系图象如图2所示，则在0～1 s 内电阻上产生的热量为( )A ．1 JB ．1.5 JC ．2 JD ．2.8 J2．如图3所示是某种交变电流的电流强度随时间变化的图线，i >0部分的图线是一个正弦曲线的正半周，i <0部分的图线是另一个正弦曲线的负半周，则这种交变电流的有效值为( ) A ．I 0 B ．I 0 C ．3I 0 D ．6I 03．如图4所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1 min 的时间，两电阻消耗的电功之比W 甲∶W 乙为( ) A ．1∶ 2 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶6【例题4】一个电阻为r 、边长为L 的正方形线圈abcd 共N 匝，线圈在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴OO ′以如图3所示的角速度ω匀速转动，外电路电阻为R . (1)写出此时刻线圈中感应电流的方向； (2)线圈转动过程中感应电动势的最大值为多大； (3)线圈平面与磁感线夹角为60°时的感应电动势为多大；(4)从图示位置开始，线圈转过60°的过程中通过R 的电荷量是多少； (5)图中电流表和电压表的示数各是多少。

1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，从中性面开始转动180°的过程中，平均感应电动势和最大感应电动势之比为( )A ．π2B ．2πC ．2πD ．π2．如图7甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图乙中曲线a 、b 所示，则( )A ．两次t ＝0时刻线圈平面均与中性面重合B ．曲线a 、b 对应的线圈转速之比为2∶3C ．曲线a 表示的交变电动势频率为25 HzD ．曲线b 表示的交变电动势有效值为10 V3．交流发电机线圈电阻r ＝1 Ω，用电器电阻R ＝9 Ω，闭合开关后电压表示数为9 V ，如图12所示，那么该交流发电机( )A ．电动势的峰值为10 VB ．电动势的有效值为9 VC ．交流发电机线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10 2 VD ．交流发电机线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为202π V4如图6所示，单匝矩形线圈放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，以恒定的角速度ω绕ab 边转动，磁场方向垂直于纸面向里，线圈所围面积为S ，线圈导线的总电阻为R .t ＝0时刻线圈平面与纸面重合．则( ) A ．t 时刻线圈中电流的瞬时值表达式为i ＝BSωR cos ωtB ．线圈中电流的有效值为I ＝BSωRC ．线圈中电流的有效值为I ＝2BSω2RD ．线圈消耗的电功率为P ＝B 2S 2ω22R5．图7甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图．其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO ′匀速转动，线圈的匝数n ＝100匝，电阻r ＝10 Ω，线圈的两端经集流环与电阻R 连接，电阻R ＝90 Ω，与R 并联的交流电压表为理想电表．在t ＝0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t 按图乙所示正弦规律变化．求：(1)交流发电机产生的电动势最大值； (2)电动势的瞬时值表达式；(3)线圈转过130 s 时电动势的瞬时值；(4)电路中交流电压表的示数．第二课时 交流电的描述 2019.11.13答案 【练习题组1】1．解析：根据交变电流的变化规律可得，如果从中性面开始计时有e ＝E max sin ωt 和i ＝I max sin ωt ；如果从垂直于中性面的位置开始计时有e ＝E max cos ωt 和i ＝I max cos ωt ，不难看出：线圈平面每经过中性面一次，感应电流方向就改变一次，感应电动势方向也改变一次；线圈每转动一周，感应电流和感应电动势方向都改变两次，C 正确．答案 C 2．AEF 3．C 4．AC 5．C【例题1】解析：由图像知T ＝0.2 s ，故f ＝1T ＝10.2Hz ＝5 Hz ，即1 s 内完成5个周期，线圈转5圈，每转1圈电流方向改变2次，故A 错，B 、D 对；在t ＝0.1 s 时，e ＝0，所以线圈平面与磁场方向垂直，故C 错．答案 BD【例题2】D 解析:电压表示数为灯泡两端电压的有效值，由题图知电动势的最大值E m ＝220 2 V ，有效值E ＝220 V ，灯泡两端电压U ＝RER ＋r ＝209 V ，A 错；由题图甲知T ＝0.02 s ，一个周期内电流方向变化两次，可知1 s 内电流方向变化100次，B 错；灯泡的实际功率P ＝U 2R ＝209295 W ＝459.8 W ，C 错；电流的有效值I ＝ER ＋r ＝2.2 A ，发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为Q r ＝I 2rt ＝2.22×5×1 J＝24.2 J ，D 对． 【练习题组3】1．解析:由题意可知，线圈ab 边和cd 边产生的感应电动势的最大值都为e 0，因此对单匝矩形线圈总电动势最大值为2e 0，又因为发电机线圈共N 匝，所以发电机线圈中总电动势最大值为2Ne 0，根据闭合电路欧姆定律可知，在不计线圈内阻时，输出电压等于感应电动势的大小，即其峰值为2Ne 0，故A 、B 错误；又由题意可知，若从图示位置开始计时，发电机线圈中产生的感应电流为正弦式交变电流，由其有效值与峰值的关系可知，U ＝U m2，即U ＝2Ne 0，故C 错误，D 正确．答案 D2．解析：先用代入法求出感应电动势的最大值：由e ＝E max sin ωt 得2 V ＝E max sin (2πT ×T12)，由此得E max ＝4 V ，因此有效值为2 2 V ，选项A 正确．答案 A3．解析：有效值是根据电流的热效应来定义的，平均值并不是有效值，例如线圈在匀强磁场中转动一圈，其平均电动势为零，故A 错．在正弦(余弦)式交变电流中，其有效值为最大值的12，对于其他交变电流并不一定满足此关系，故B 错．交变电流要产生热量需要一定的时间，C 选项中没有告诉时间，因此是错误的．答案 D4．CD 解析：图甲、乙都表示交流电，图甲中有效值U ＝3112 V ≈220 V ，而图乙中的有效值不存在这一关系，所以它们的有效值不相同．由图甲看出T ＝2×10－2s ，ω＝2πT＝100π rad/s ，所以u ＝311sin (100πt ) V ．由图象可知两种电压的周期都是2×10－2 s.5．答案：小灯泡不会被烧坏，交流电压瞬时值表达式u ＝62sin (100πt ) V 中6 2 V 是最大值，其有效值为6 V ，而标有“6 V ,2 W ”的小灯泡中的6 V 是有效值．电容器会被击穿．【例题3】 (1)Q ＝I 21Rt 1＋I 22Rt 2＝42×1×0.5 J ＋22×1×0.5 J ＝10 J (2)由Q ＝I 2Rt 得I ＝QRt ＝ 101×1A ＝10 A （3）解析：由i －t 图像知交变电流的周期T ＝2 s ．一个周期内：前半个周期电流的有效值：I 1＝I 02，后半个周期电流的有效值：I 2＝I 0.设交变电流的有效值为I ，根据交变电流有效值的定义有I 2RT ＝I 21R T 2＋I 22R T 2＝⎝⎛⎭⎫I 022R T 2＋I 20R T 2，解得I ＝32I 0，故选项C 正确．答案 C 【练习题组4】1．解析：因为所加的电流为交变电流，大小在变化，所以只能分时间段来求热量．在0～1 s 内电流的瞬时值大小为1 A 和2 A 的时间段分别为t 1＝0.4 s ，t 2＝0.6 s ，所以Q ＝I 21Rt 1＋I 22Rt 2＝2.8 J. 答案D2．C 解析：电功用有效值计算，题图甲中，由有效值的定义得(12A)2R ×2×10－2 s ＋0＋ (12A)2R ×2×10－2 s ＝I 21R ×6×10－2 s ，得I 1＝33 A ；题图乙中，i 的值不变，故I 2＝1 A ，由W ＝UIt＝I 2Rt 可以得到W 甲∶W 乙＝1∶3，C 正确． 3.C【例题4】解析:(1)由右手定则可判定电流的方向沿adcba . (2)E m ＝NBSω＝NBL 2ω.(3)线圈平面与磁感线成60°角时的瞬时感应电动势 e ＝E m cos 60°＝12NBL 2ω.(4)通过R 的电荷量 q ＝I ·Δt ＝N ΔΦΔtR ＋r·Δt＝N ΔΦR ＋r ＝NBL 2·sin 60°R ＋r ＝3NBL 22(R ＋r )(5)电流表的示数I ＝E R ＋r ＝E m 2(R ＋r )＝NBL 2ω2(R ＋r ) 电压表的示数 U ＝IR ＝NBL 2ωR 2(R ＋r ).【练习题组5】1．B2．AC 解析:线圈位于中性面时，磁通量最大，电动势为零，A 正确；转速之比等于周期的反比，故该比值为3∶2，B 错误；频率为周期的倒数，a 的周期为0.04 s ，频率为25 Hz ，C 正确；正弦式交变电流的电动势的有效值为E ＝E m 2＝NBSω2，已知E a ＝152V ，且ωb ＝23ωa ，故可知E b ＝23×152 V ＝5 2 V ，D 错误．3．解析：电压表示数等于路端电压，电路中的电流为I ＝U R ＝99 A ＝1 A ，所以电动势的有效值为：E＝I (R ＋r )＝1×(1＋9) V ＝10 V ，所以电动势的最大值为E m ＝2E ＝10 2 V ，故选项A 、B 错；线圈通过中性面时Φ最大，但ΔΦΔt ＝0，故e ＝0，选项C 错；线圈从中性面转过90°过程中，ΔΦ＝BS ，Δt＝T 4＝π2ω，所以E ＝n ΔΦΔt ＝2nBSωπ，由于E m ＝nBSω，所以E ＝2E m π＝202π V ，选项D 对．答案 D 4 CD 解析:回路中感应电动势的最大值E m ＝BSω，电流的最大值I m ＝E m R ＝BSωR，t ＝0时刻线圈位于中性面，故电流的瞬时值表达式i ＝BSωR sin ωt .线圈中电流的有效值I ＝I m 2＝2BSω2R ，P ＝I 2R ＝B 2S 2ω22R，故A 、B 错误，C 、D 正确．5．解析 (1)交流发电机产生电动势的最大值E m ＝nBSω 而Φm ＝BS ，ω＝2πT ，所以E m ＝2n πΦmT由Φ－t 图线可知，Φm ＝2.0×10－2 Wb ，T ＝0.2 s所以E m ＝20π V ＝62.8 V.(2)线圈转动的角速度ω＝2πT ＝2π0.2 rad/s ＝10π rad/s ，由于从垂直中性面位置开始计时，所以感应电动势的瞬时值表达式为e ＝E m cos ωt ＝62.8cos (10πt ) V (3)当线圈转过130 s 时e ＝62.8cos (10π×130) V ＝31.4 V(4)电动势的有效值E ＝E m2＝102π V U ＝R R ＋rE ＝90100×102π V ＝92π V ≈40 V .。