数项级数判别法总结
线性代数---数项级数及比较判别法
当级数 v n 收敛时,则级数 u n 收敛;
n 1
n 1
当级数 u n 发散时,级数 v n 发散.
n 1
n 1
例５
n 1
n 1
(unvn)和unvn是 否 一 定 发 散 ？
n1
n1
(2)设
un
n1
n1
1, n
vn
1
1
n1
n n1 3
而
unvn
n1
n1
1 n
1
1
n3
=
n1
1
4
n3
收敛,
即 通项为两个发散级数之积构成的级数 不一定发散.
课堂练习
1.判断下列级数的敛散性，并对收敛的级数求和.
(1) n 2 n 1
n1
即 通项为收敛级数与发散级数之代数和构成的级
数一定发散.
例3
若级数
un
收敛，而级数
v n 发散
,那么级数
n 1
n 1
(unvn)和unvn是 否 一 定 发 散 ？
n 1
n 1
(2)设
un
=
1 n2
, vn
1 n
,则级数
收敛.
unvn
n1
11=
1
n2
n1
n
n3
n1
即 通项为收敛级数与发散级数之积构成的级数不 一定发散.
q 1时，发散.
2.几个重要级数的敛散性
（3）. p 级数
n 1n1p121p31pn1p
p 1时，收敛，
p
1时，发散.
1
（4）. 级数 n2 n(ln n) p
p 1时，收敛，
线性代数 数项级数及比较判别法
un
1 n n 1
n 1
2
1 vn n 1
1 而 发散 ，根据比较审敛法 n 1 n 1
级数
n 1
1 n n 1
发散.
例6 证明级数 发散． n 1 n n 1 1 设vn 解法二： n 1 n(n 1) n un lim 1 因为 lim lim n n n v 1 n n(n 1) n
n 1
解：不一定.
(1)设
un 2 ,
n n 1
n 1
n v 2 n n 1 n 1
n
而 (un vn )= 2
n 1 n 1
2
n
0 0 收敛,
n 1
即 通项为两个发散级数之和构成的级数 不一定发散.
u n 和级数 vn 都发散 ,那么级数 例4 若级数 n 1 n 1
性质5
若级数 u n 收敛,则在该级数中任意添加
n 1
括号所得的新级数仍收敛,且其和不变.
注
性质5也可以这样理解：收敛级数可任意添
加括号.但如果加括号后所成的级数收敛，则不能
断言去括号后原来的级数也收敛.
例3 若级数 u n 收敛，而级数 vn 发散 ,那么级数 n 1
n 1
1 1 所以级数 2 和级数 2 具有相同的敛散性 n 1 n 3 n 1 n 1 又级数 2 收敛 n 1 n
1 故题设级数 2 收敛. n 1 n 3
例1 若级数
un
n 1
收敛，则级数
级数收敛的判别技巧
级数收敛的判别技巧级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列数相加而成的。
在数学中，我们经常需要判断一个级数是否收敛，即求出它的和。
本文将介绍几种常用的级数收敛的判别技巧。
一、正项级数的判别法正项级数是指级数的每一项都是非负数的情况。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。
1. 比较判别法比较判别法是最常用的判别法之一。
它的基本思想是将待判别的级数与一个已知的级数进行比较，通过比较它们的大小关系来判断级数的收敛性。
比较判别法分为两种情况：（1）若存在一个收敛的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≤bn，则待判别的级数∑bn也收敛。
（2）若存在一个发散的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≥bn，则待判别的级数∑bn也发散。
2. 比值判别法比值判别法是判别正项级数收敛性的常用方法之一。
它的基本思想是通过计算级数相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：（1）计算级数相邻两项的比值：rn=an+1/an。
（2）求出极限limn→∞rn。
（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。
3. 根值判别法根值判别法也是判别正项级数收敛性的常用方法之一。
它的基本思想是通过计算级数项的根号的极限来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：（1）计算级数项的根号：rn=(an)^(1/n)。
（2）求出极限limn→∞rn。
（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。
二、任意项级数的判别法任意项级数是指级数的每一项都可以是正数、负数或零的情况。
对于任意项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
数项级数收敛性的判别
数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。
对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。
设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。
该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。
当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。
2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。
比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。
设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。
在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。
高数无穷级数 数项级数敛散性判别法
un 发散 n1
vn 发散 n 1
vn 收敛 n 1 un发散 n1
{ n }有界
{ sn } 有界
{ n }无界
un 收敛 n1 vn 发散 n 1
2
{ sn } 无界
y
例1
审敛 p 级数
y 1 ( p 1) p x
3
p 级数
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
收敛 发散
特殊 情况
p 1时 p 1时
p 1时 对应的是 调和级数
正好是 p 级数敛散的 分界级数
重要的 参考级数
调和 级数 等比级数、p 级数、
4
例2
审敛
n 1
则
0 l 时， un、 v n 具有相同的 敛散性
n 1 n 1
un 0, 相当于 un vn n v n un , 相当于 un vn ( 2 ) lim n v n un l l , 对 , N , 当n N时, 证 lim n v 2 n l un 3l l 3l un 故 v n un v n l 即 2 vn 2 2 2 vn
n
则
un
0
故 发散
绝对 总结 收敛 条件 收敛 un 的状态 n1 发散
24
1 1 1 1 n p 1 2p 3p n p n 1
1 1 1 1 解 若p 1, p , 而 发散， p 发散 n n n 1 n n 1 n
数项级数敛散性判别方法
华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39班成员组成:丁哲祥 201203901联系方式:2012.05.23数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。
本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。
我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。
以便我们更好的掌握它。
关键词：数项级数敛散性判别方法总结Several series gatheredof the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod.Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary一. 数项级数的定义 ：● 数项级数的定义设{a n }是一个数列，则称表达式a 1+a 2+a 3+…a n +… 为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为∑∞=1n n a 或∑n a 称a n 为级数的通项或一般项。
数项级数敛散性判别法。(总结)
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、 若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
an a1 a2 a3 a4 ...............
常见的几类重要的常数项级数 正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数
a aq aq2 aq3 ....... aqn ...... aqn
调和级数
1 1 1 1
23
n
1
n1 ，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.
数项级数重点
数项级数一、数项级数的相关概念数项级数：形如12n u u u ++++的表达式，其中{}n u 为一给定数列。
简记为1nn u∞=∑一般项： 第n 项n u 第n 个部分和：11nn n i i s u u u ==++=∑部分和数列： {}n s收敛级数及其和：若部分和数列{}n s 收敛于s ，即lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，且称部分和数列{}n s 的极限s 为级数1nn u∞=∑的和。
并记12n s u u u =++++发散级数： 若部分和数列{}n s 发散，则称级数1nn u∞=∑发散。
余项： 12n n n n r s s u u ++=-=++两个问题；1、判别级数的敛散性； 2、级数求和（放在最后） 用定义判别敛散性的要点是通过对部分和数列的研究 [例1] 讨论等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑的敛散性。
（结论要熟记）解：因为当1q =时，n s n =；当1q ≠时，21111n n n q s q q qq--=++++=-，且lim nn q →∞存在当且仅当||1q <，所以当||1q <时，等比级数201nn n qq q q ∞==+++++∑收敛于11q-；当||1q ≥时，等比级数发散。
[例2] 已知数列{}n na 收敛，12()nn n n aa ∞-=-∑也收敛，求证：1n n a ∞=∑收敛。
[赛. 1991. 苏]证明：12()nn n n aa ∞-=-∑的第n 个部分和为11111222121111()(1)(1)n n n kk kk k k k n n kkk k n n nk k aa ka kaka k an a a a +++--===+==+=-=-=-+=+--∑∑∑∑∑∑所以1nn a∞=∑的第n 个部分和为：111112(1)()nn kn k k k k an a a k a a ++-===+---∑∑设数列{}n na 收敛于A ，12()nn n n aa ∞-=-∑收敛于B ，则1n n a ∞=∑收敛，其和为1A a B --[例3] 证明调和级数11n n∞=∑发散。
数项级的敛散性判别法
第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使（i ） 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ） 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数）， 则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q∞=∑收敛，根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u ∞=∑发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ） 当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n nn e∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n nre→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nnn ∞=+-∑的敛散性． 解 由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解 答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a∞=-∑收敛，这与1(1)nnn a∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+， 根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lim an n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n pu n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n +→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛 ，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n p u p n=>，那么 这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性． 解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若n u =，1limnn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。
数项级数狄利克雷判别法的证明
数项级数狄利克雷判别法的证明数项级数狄利克雷判别法的证明1. 引言在数学领域中，数项级数的收敛性是一个重要而又复杂的问题，而狄利克雷判别法则为我们提供了一种简单而又有效的方法来判定某些特定级数的收敛性。
本文将对数项级数狄利克雷判别法进行全面的评估，并对其进行证明和深入的讨论。
2. 数项级数和狄利克雷判别法介绍让我们回顾一下数项级数和狄利克雷判别法的基本概念。
数项级数是指由一系列数相加所得的无穷级数，通常表示为∑(a_n)，其中a_n为级数的第n项。
而狄利克雷判别法则是用来判定由一系列数相加所得的级数是否收敛的方法。
3. 狄利克雷判别法的基本理论接下来，让我们来详细探讨狄利克雷判别法的基本理论。
狄利克雷判别法的主要思想是通过对级数的部分和进行分析，引入一个辅助数列b_n，并结合部分和的特性来判断级数的收敛性。
具体来说，若数列b_n单调趋于0且部分和的序列有界，那么原级数收敛；若数列b_n不单调趋于0，但部分和的序列有界，也能推出级数收敛；若数列b_n单调趋于0但部分和的序列不是有界的，则级数发散。
4. 数项级数狄利克雷判别法的证明现在，让我们来进行数项级数狄利克雷判别法的证明。
我们假设数列a_n和b_n满足以下条件：- a_n单调趋于0- b_n单调有界接下来，我们考虑部分和S_n的特性。
由于b_n单调有界，我们可以得出S_n*b_n的部分和序列有界。
再根据a_n单调趋于0，我们知道a_n的部分和序列收敛。
S_n的部分和序列有界。
根据狄利克雷判别法的基本理论，我们可以得出数项级数∑(a_n)的收敛性。
5. 个人观点和总结我个人对狄利克雷判别法的理解是，它是一种简单而又直观的方法来判断特定级数的收敛性，而且在实际应用中也具有一定的便利性。
通过对狄利克雷判别法的证明，我对其理论基础有了更深入的理解，也更加确信其有效性和适用性。
在本文中，我们全面评估了数项级数狄利克雷判别法，并进行了证明和深入讨论。
希望通过本文的阐述，读者能对狄利克雷判别法有一个更加深刻和全面的理解，为进一步学习和探索数学领域提供有力的支持。
数项级数敛散性判别法。(总结)
数项级数敛散性判别法。
(总结)数项级数是一类由无穷多个项组成的数列，它们的和是一个数。
在数学中，我们通常利用一些方法来判断数项级数的收敛性和发散性。
以下是数项级数敛散性判别法的总结：1. 正项级数收敛判别法：如果数列中的每一项都是非负数，且后一项大于等于前一项，那么这个数项级数收敛。
2. 比较判别法：如果一个数项级数的绝对值序列能够被一个已知的收敛数项级数和一个已知的发散数项级数所夹逼，那么这个数项级数与已知的收敛数项级数具有相同的收敛情况，与已知的发散数项级数具有相同的发散情况。
3. 极限比值判别法：对于一个数项级数，如果存在一个常数$q$，使得 $0\leq q<1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<q$，那么数项级数收敛。
如果存在一个常数 $r>1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>r$，那么数项级数发散。
如果 $q=1$，那么该方法不确定。
4. 根号(拉阔)判别法：对于一个数项级数，如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$，那么数项级数收敛；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>1$，那么数项级数发散；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1$，那么该方法不确定。
5. 积分判别法：对于一个递减的正项函数 $f(x)$，如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 可以表示成积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ 的形式，且该积分收敛，那么数项级数也收敛。
如果积分发散，那么数项级数也发散。
数项级数的收敛判别法
1 (n n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2)
n 1
n2
1
(3)
1
n2 (ln n)
第12页/共62页
1
(4)
n2
(ln
n)n
(1)
因为2n
1
n，所以un
(2n
1 1) 2n
1 n 2n
1 2n2
由于
1 ，根据比较判别法可知
n1
1 n2
收敛,
n2
由定理(2)知级数
n1
ln(1
1 n2
)收敛.
第21页/共62页
练习1 判别级数
1 的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n
n2 a2 1
1
(即=1为常数)
n
1
又
是调和级数，它是发散的
n1 n
1
故原级数 n1 n2 a 2
发散.
第22页/共62页
解 : 级数的通项为
由于
nn un n! (n 1)n1
lim un1 lim
u n0 n
n0
(n 1)! nn
lim(1 1 )n e 1,
n0
n
n!
由比值判别法可知所给级数发散.
第27页/共62页
例9 判别级数 1 xn 的敛散性,其中x>0为常数 n1 n!
解：记
un
xn ，则 n!
1 收敛；
n1 2n2
n1 2n2
(2)
数项级数判别法总结
数项级数判别法总结数项级数是一个非常重要的概念，在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
在对数项级数进行求和时，我们需要判断它是否收敛或发散。
为了判断一个数项级数的收敛性或发散性，我们需要使用数项级数的判别法。
这篇文章将会为您详细介绍数项级数判别法的各种方法及其应用。
一、比较判别法比较判别法是数项级数判别法中最常用的方法之一。
在使用比较判别法时，我们将要研究的级数与一个已知的级数相比较，看看它们之间的大小关系。
如果目标级数可看作是一个比已知级数更小的级数，那么它的收敛性可以得到保证，反之则发散。
比较判别法的形式化表述为：设有两个级数{an}和{bn}，令K为正实数，若存在正整数N，使得对于所有的n≥N，都有|an|≤K|bn|，则（1）当{bn}收敛时，{an}也收敛；（2）当{an}发散时，{bn}也发散。
比较判别法的适用范围很广，不仅仅适用于常数项级数，还适用于更广泛的级数情形，比如幂级数和函数项级数等。
需要注意的一点是，比较判别法只能确定级数的收敛性或发散性，并不能确定极限值。
二、极限比值法极限比值法能够被用来确定一个级数的收敛半径。
它的适用范围包括了绝大多数级数的情形，是数项级数判别法中十分重要的一种方法。
极限比值法的形式化表述为：对于级数{an}，设limn→∞│an+1│/│an│=L则有：（1）当0≤L<1时，级数{an}绝对收敛；（2）当L>1时，级数{an}发散；（3）当L=1时，不能确定级数{an}的收敛性或发散性。
需要注意的一点是，极限比值法只有在{an}的每一项都非零时才适用。
三、根值法根值法是数项级数判别方法中另一种经典而重要的方法。
与极限比值法类似，它能够被用来确定级数的收敛半径。
根值法的形式化表述为：对于级数{an}，设limn→∞│an│1/n=L则有：（1）当0≤L<1时，级数{an}绝对收敛；（2）当L>1时，级数{an}发散；（3）当L=1时，不能确定级数{an}的收敛性或发散性。
总结正项级数判别法的原理
总结正项级数判别法的原理1.引言在学习数学中，我们经常会遇到各种各样的级数。
其中正项级数是一种比较特殊的级数，它是由一串正数相加而成的级数。
正项级数判别法是判断正项级数是否收敛的一种方法。
本篇文章将详细介绍正项级数判别法的原理及其应用。
2.原理正项级数判别法是在判断正项级数收敛的时候使用的一种方法。
正项级数指的是级数的各个项都是正数。
在判断正项级数是否收敛的时候，我们需要用到一个非常重要的原理：比较原理。
比较原理是正项级数判别法的核心原理。
以下是比较原理的两种形式：-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$也收敛；-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也发散。
比较原理的第一个形式说明了一个结论：“如果一个级数收敛，那么它的任何小于等于它的级数也收敛”。
这个结论非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来代替意义相同但更复杂的级数。
比较原理的第二个形式则说明了另一个结论：“如果一个级数发散，那么所有大于等于它的级数都发散”。
这个结论同样非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来判断一个级数是否发散。
在使用比较原理判断正项级数的收敛性时，我们需要找到一个小于等于该级数的级数，并且我们知道这个小于等于级数的级数是收敛的或者发散的。
如果这个小于等于级数的级数是收敛的，那么原级数也一定收敛；如果这个小于等于级数的级数是发散的，那么原级数也一定发散。
以上就是正项级数判别法的核心原理：比较原理。
接下来，我们将探讨在实际运用中如何找到一个小于等于该级数的级数，并且如何判断这个小于等于级数的级数是收敛的还是发散的。
总结正项级数判别法的原理
总结正项级数判别法的原理介绍正项级数是指项数都是非负数的级数。
而正项级数判别法是一种用于判断正项级数敛散性的方法。
通过对级数的项进行分析，可以得出级数的敛散性结论。
正项级数判别法是级数敛散性判别法中最常用的一种方法之一。
一级标题1. 收敛和发散在正项级数判别法中，首先需要明确什么是收敛和发散。
一个级数如果存在一个有限的和，我们称其为收敛；如果级数的和是无穷大或者不存在，我们称其为发散。
2. 正项级数判别法的基本思路正项级数判别法的基本思路是通过比较级数的项与已知的敛散性已知的级数的项之间的关系，来判断待判别级数的敛散性。
具体来说，正项级数判别法可以分为以下几种情况：二级标题1. 比较判别法比较判别法是正项级数判别法中最常用的一种方法。
其基本思想是将待判别级数的项与一个已知的敛散性已知的级数的项进行比较。
根据比较的结果，可以得出待判别级数的敛散性。
2. 比较判别法的条件比较判别法需要满足以下两个条件： - 已知级数的项都是非负数 - 待判别级数的项与已知级数的项之间存在一定的关系3. 比较判别法的两种形式比较判别法可以分为两种形式：比较判别法的第一种形式是大于判别法，比较判别法的第二种形式是小于判别法。
4. 比较判别法的具体步骤比较判别法的具体步骤如下： 1. 选择一个已知的敛散性已知的级数 2. 比较待判别级数的项与已知级数的项之间的关系 3. 根据比较的结果，得出待判别级数的敛散性结论三级标题1. 比较判别法的大于判别法比较判别法的大于判别法是指如果待判别级数的项大于一个已知的敛散性已知的级数的项，那么待判别级数也是发散的。
2. 比较判别法的小于判别法比较判别法的小于判别法是指如果待判别级数的项小于一个已知的敛散性已知的级数的项，并且已知级数是收敛的，那么待判别级数也是收敛的。
3. 比较判别法的例子比较判别法的一个例子是比较级数和调和级数。
调和级数是一个已知的敛散性已知的级数，其项为1/n。
如果待判别级数的项大于调和级数的项，那么待判别级数也是发散的。
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数项级数判别法总结
数项级数判别法是高等数学中的一种重要知识点，通过对级数的特征进行分析，判断其是否收敛或发散。
下面将对常用的数项级数判别法进行总结。
一、正项级数判别法
正项级数指的是级数的每一项都是非负数。
正项级数判别法是最简单也是最常用的判别法。
当正项级数的通项公式可以用比较简单的公式表示时，可以直接利用比较大小的方法进行判别。
比如，如果级数的通项公式可以表示成n的k次幂，k为正整数，那么当k>1时，级数收敛；当k<=1时，级数发散。
二、比值判别法
比值判别法是通过计算相邻两项的比值，并观察其极限值的大小来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该极限值小于1，则级数收敛；如果该极限值大于1，则级数发散；如果该极限值等于1，则无法判断级数的收敛性。
三、根值判别法
根值判别法是通过计算相邻两项的n次方根，并观察其极限值的大小来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该极限值小于1，则级数收敛；如果该极限值大于1，则级数发散；如果该极限值等于1，
则无法判断级数的收敛性。
四、积分判别法
积分判别法是通过将级数转化为函数，然后对该函数进行积分计算，来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该函数在无穷大区间上的积分收敛，则级数收敛；如果该函数在无穷大区间上的积分发散，则级数发散。
五、级数收敛的充分条件
如果级数的通项公式满足以下条件，则该级数收敛：
1.通项公式单调递减；
2.通项公式趋于零。
六、级数收敛的必要条件
如果级数收敛，则其通项公式趋于零。
以上是数项级数判别法的常用方法。
需要注意的是，不同的级数判别法适用于不同的级数类型，使用时需要根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中，也需要结合其他数学知识和技巧，灵活运用，才能更好地解决问题。