初一数学下册不等式知识点归纳
初中数学不等式知识点大全
一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。
常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：>； （2）小于、比……小、低于：<；（3）不大于、不超过、至多：≥； （4）不小于、不低于、至少：≤；（5）正数：0>； （6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（ ）A. 1+m 是负数B. 2a 是正数C.n m +等于xD. 1-m 是非负数【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）02≥x ：____________.（2）0≤-x ：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即 如果0,>>c b a ，那么cb c a bc ac >>,.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即 如果0,<>c b a ，那么cb c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（ ）A. b a <B. 13-<+b aC. 31+<-b aD. 31-<+b a【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（ ）A. b a 33->-B. b b a 2>+C.b a 2222-<-D.b a +->+-11【例3】下列判断中，正确的是（ ）A. 若b a <，则c b c a <B. 若b a <，则22bm am <C. 若22bm am <，则b a <D. 若b a <，则22b a <【例4】 若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>ba ；③ ab b a <+；④ba 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为ax -<12，试化简：21++-a a .【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（ ）A ． b a 22-<-B ．b m a m 22<C ．21-<-b aD ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（ ）A ．66->-y xB ．y x 33>C ．y x 22-<-D ．6363+->+-y x【练习3】下列叙述正确的是（ ）A ．若b a =，则b a =B ．若b a >，则b a >C ．若b a <，则b a <D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（ ）0<+n m ；0>-m n ；n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）A ．b a b a -<-<<B ．b a a b <-<<-C ．b a b a <-<-<D ．a b b a -<<-<知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。
初一下册数学不等式
初一下册数学不等式一、不等式的基本概念1、不等式的定义：不等式是指两个表示数量大小的算式之间的一种比较关系，它主要有以下比较关系：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等关系。
2、不等式的解法：不等式的解法可以分为两个大类，一是数值比较，即把不等式通过数值对比，直接得出有解或无解的结论；二是构建图像比较法，即构造图像，找出满足不等式的所有符合的解。
二、一元一次不等式的解法1、绝对值不等式的解法：绝对值不等式的图像是一条双线段，其满足条件的解即是在双线段上的所有实数，该解法常应用于根据某一等价条件选择最优解时。
2、平方式不等式：平方式不等式的图像是一个双曲线，它的满足条件的解是在两个双曲线之间的所有实数解。
3、一元一次不等式概括法：一元一次不等式概括法是给出一元一次不等式的一般形式，通过其中的“≥”或者“≤”确定其中不等式的解的区间，根据给出的条件判断所有不等式的解。
三、一元二次不等式的解法1、分类解法：分类解法是根据不等式中a、b、c三个系数的大小来判断不等式有多少个解，及其解的范围，适用于求解有两个实数解的一元二次不等式。
2、构造图像比较法：构造图像比较法，它的图像是一个二次函数的图像，可以找出所有满足条件的不等式的解。
四、不等式的应用1、用于科学研究：不等式在科学探究中也有着重要的作用，它可以帮助科学家们得出一些初步的结论，如经济学中的供求情况、物理学中的极限分析等，可以给出有关观察对象的某些假设和概念。
2、用于工程计算：不等式在工程计算中也有着不可替代的作用，它可以帮助工程师解决一些复杂的问题，如土木工程中的振动分析和工作量计算等，可以帮助工程师给出更加优化的计算方案。
不等式知识点归纳总结初中
不等式知识点归纳总结初中不等式是数学中一个重要的概念，它是比较两个不相等的数值大小关系的表达方式。
在初中数学学习中，我们经常会遇到不等式的问题。
下面，我们将对初中的不等式知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 不等式的定义和表示方法不等式是比较两个数的大小关系的数学语句，表示为a<b、a>b、a≤b或a≥b。
其中，a、b是实数或者变量，<、>、≤和≥是比较符号，表示小于、大于、小于等于和大于等于的关系。
2. 不等式的性质（1）传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
（2）加减法性质：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c（其中c是一个实数）。
（3）乘除法性质：如果a>b，且c是一个正数，则ac>bc；如果a>b，且c是一个负数，则ac<bc（需要注意的是，如果c是一个负数，则不等号方向需要反转）。
3. 不等式的解集表示对于不等式a<b，它的解集可以通过数轴上的点或者数对的形式来表示。
比如，在数轴上，我们可以用一个开区间(,)、一个闭区间[ ]、一个半开半闭区间( ]或[ )来表示。
另外，不等式的解集也可以通过一个数对(x,y)的形式表示，其中x表示不等式的下界，y表示不等式的上界。
4. 不等式的求解方法（1）加减法解不等式：对于不等式a+b>c，我们可以先将不等式转化为a>c-b，然后根据不等号的性质和数轴上的表示方法，得到解集。
（2）乘除法解不等式：对于不等式a×b>c或a/b>c，我们可以先将不等式转化为a>c/b，然后根据不等号的性质和数轴上的表示方法，得到解集。
（3）绝对值不等式的解法：对于形如|a|<b或|a|>b的绝对值不等式，可以根据绝对值的定义和性质，转化为两个简单的不等式，然后进行求解。
（4）复合不等式的解法：对于形如a<b<c的复合不等式，可以将其分解为两个简单的不等式，然后求解得到解集的交集。
不等式及其解集(3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)七年级数学下册
第01讲不等式课程标准学习目标①不等式②不等式的解与解集③不等式解集的表示方法1.理解不等式及其解的概念，能熟练判断不等式与不等式的解集。
2.学会用不等式表示熟练关系，形成数形结合的思想。
3.了解不等式解集的表示方法，能够熟练的在数轴上表示不等式的解集。
知识点01不等式与不等号1.不等式的定义：用不等号表示大小关系或不等关系的式子叫做不等式。
表示的不等关系必须成立。
2.常见的不等号：①小于：符号表示为＜；实际意义为小于，不足等。
②大于：符号表示为＞；实际意义为大于，超过等。
③小于或等于：符号表示为≤；实际意义为不大于，不超过，至多等。
④大于或等于：符号表示为≥；实际意义为不小于，不低于，至少等。
⑤不等于：符号表示为≠；实际意义为不相等。
3.列不等式：审清题意，弄清关键词的含义，找出已知量与未知量以及他们之间存在的关系，然后用不等式将不等关系表示出来。
4.常见的不等式基本语言与符号表示：若a 是正数表示为0＞a ；若a 是负数表示为0＜a ；若a 是非正数表示为0≤a ；若a 是非负数表示为0≥a ；若b a ，是同号表示为0＞ab ；若b a ，是异号表示为＜ab ；【即学即练1】1．下列数学式子：①﹣3＜0；②2x +3y ≥0；③x ＝1；④x 2﹣2xy +y 2；⑤x +1≠3；其中是不等式的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．【解答】解：①﹣3＜0，是不等式，符合题意；②2x +3y ≥0，是不等式，符合题意；③x ＝1，是等式，不符合题意；④x 2﹣2xy +y 2，是多项式，不符合题意；⑤x +1≠3，是不等式，符合题意；综上：是不等式的有①②⑤，共3个．故选：C ．【即学即练2】2．“x 为正数”的表达式是（）A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ≥0D ．x ≤0【分析】正数即为大于0的数，据此可列出不等式．【解答】解：∵正数是指大于0的数，∴x 是正数，即x ＞0，故选：B ．【即学即练3】3．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少13元．”乙说：“至多10元．”丙说：“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元）所在的范围为（）A．8＜x＜10B．10＜x＜12C．x＞10D．10＜x＜13【分析】根据甲说：“至少13元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”可以得到相应的不等式组，从而可以得到x的取值范围．【解答】解：∵甲说：“至少13元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”∴，可得无解，∵三人都说错了，∴10＜x＜13．故选：D．知识点02不等式的解与解集1.不等式的解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
初中数学知识点：不等式
初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版 数学 七年级 下册 第九章 不等式与不等式组 知识点
第九章不等式与不等式组一、知识结构图二、知识定义一、不等式1.不等式及其解集1）不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
2.不等式的基本性质:性质 1：如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2：不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3：不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法则）性质 4：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(不等式的加法法则)性质5：如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.(可乘性)性质6：如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0<n<1时也成立.(乘方法则)二、一元一次不等式1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2．解一元一次不等式的一般方法：可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出以两条不等式组成的不等式组为例，①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。
若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。
此乃“相交取中”④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。
人教版七年级数学下册不等式与不等式组知识点及习题
三 不等式与不等式组1. 不等式的概念不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
不等式的解集：1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数 的值，都叫做这个不等式的解。
2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式 的解的集合，简称这个不等式的解集。
3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
用数轴表示不等式的方法，2.不等式基本性质1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3. {4. 一元一次不等式➢ 一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
➢ 解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为14. 一元一次不等式组➢ 一元一次不等式组：1）几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2）几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不 等式组的解集。
[如果a ＞b, 那么a ±c ＞b ±c < 如果a ＞b, c ＞0，那么ac ＞bc （或b ＞a ） 如果a ＞b, c ＜0，那么ac ＜bc （或cb c ＜a ）3）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
➢一元一次不等式组的解法：1）分别求出不等式组中各个不等式的解集2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
四不等式与不等式组1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
—2.抽样调查：一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法。
初中数学不等式知识点大全
初中数学不等式知识点大全一、不等式的基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中表示两个数的大小关系的一种数学符号表示法。
2.不等式符号的意义："<"表示小于、">"表示大于、"<="表示小于等于、">="表示大于等于。
3.一元一次不等式、二元一次不等式和多变量不等式的定义和性质。
4.不等式的解集：表示满足不等式的全部解的集合，可以用数轴表示。
二、不等式的性质1.不等式的传递性：如果a<b，b<c，则a<c。
2.不等式两边加减同一个数，不影响不等关系的大小。
3.不等式两边乘除同一个正数，不影响不等关系的大小。
4.不等式两边乘除同一个负数，不等关系会发生改变。
5.不等式两边取倒数时，要注意变号问题。
6.乘以不等式时，要考虑所乘以的数的正负情况。
三、不等式的解法1.第一类不等式（一元一次不等式）的解法：根据不等式的性质，将不等式中的未知数移到一边，得到关于未知数的集合表示的解，进而求解交集、并集或全集。
2.第二类不等式（一元二次不等式）的解法：将不等式变形为一元二次函数的图像问题，通过观察函数图像，确定不等式的解集。
3.系统不等式的解法：将多个不等式作为一个整体进行考虑，得到多个不等式的交集或并集形式，再求解。
四、一些常见的数学不等式1.加减法不等式：例如2x+3>7，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>22.乘除法不等式：例如3x/5>=6，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>=10。
3.绝对值不等式：例如，3x+5，<7，根据绝对值的性质进行分段讨论，得到解集-4<x<24.开方不等式：例如√(x-1)>3，根据开方的定义和性质进行讨论，得到解集x>10。
5.取整不等式：例如[x]>2，根据整数函数的定义和性质进行讨论，得到解集x>3五、不等式的应用1.不等式在图像问题中的应用：例如求一元一次不等式的解集时，可以将不等式表示的区间在数轴上进行标注，直观地表示解集。
七年级数学下册第九章不等式与不等式组知识点归纳
第九章 不等式与不等式组一、知识结构图 二、知识要点 (一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号(“＜”“＞"“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式,用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括: ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解:使不等式左右两边成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）.4、解不等式:求不等式的解集的过程，叫做解不等式.5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画,小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
(二、）不等式的基本性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321不等式性质1:不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >,那么c b c a ±>±;如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为: 如果0,>>c b a ,那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <（或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 负数 ,的方向 改变 .用字母表示为： 如果0,<>c b a ,那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >（或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式.(注：①传递性：若a ＞b ，b ＞c ,则a ＞c 。
初中数学知识点归纳不等式
初中数学知识点归纳不等式初中数学中的不等式是一个非常重要的知识点，它存在于各个章节中，如函数、代数方程组、数列等。
不等式是用不等号连接的含有未知数的数学式，在数学问题中经常用来表示一些量的大小关系。
下面将对初中数学中常见的不等式进行归纳。
一、基本性质：1.不等式变形：对不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号的方向不变。
2. 相乘型：若a > b，c > 0，则ac > bc；若a < b，c < 0，则ac > bc。
3.相除型：若a>b，c>0，则a/c>b/c；若a<b，c<0，则a/c>b/c。
二、一元一次不等式：1.加减法解不等式：对不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号的方向不变。
2.乘除法解不等式：对不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；对不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。
3.绝对值不等式：当，x-a，>b时，有x<a-b或x>a+b。
4.复合不等式：可以将不等式分解为两个简单的不等式，再求解。
三、一元二次不等式：1.求解一元二次不等式，可以先将其转化成一元二次方程，求出解的区间。
2.解一元二次不等式的关键是求出与解有关的a值，即把不等式转化为方程，得到轮廓图，再确定解的范围。
3.解一元二次不等式时，当a>0时，不等式的解集为开口向上的抛物线所在的区间；当a<0时，不等式的解集为开口向下的抛物线所在的区间。
四、绝对值不等式：1.解绝对值不等式时可以根据绝对值的定义，将不等式划分成正数和负数的情况进行求解。
2.若，x-a，<b，则-a<x-a<b，从而x-a<b，a-x<b。
3.若，x-a，>b，则x-a>b或x-a<-b。
五、函数与不等式：1.根据函数的性质，可以求解函数不等式。
2.若f(x)>g(x)，则将f(x)-g(x)>0，根据函数图像的上下关系求解。
初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质
初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质初中数学知识归纳——不等式的基本概念和性质不等式是数学中常见的一种关系表示方法，用于描述数值的大小关系。
在初中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，掌握不等式的基本概念和性质对于解题和拓展数学思维非常关键。
本文将对初中数学中不等式的基本概念、不等式的性质以及一些相关的解题方法进行归纳总结。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的两个数之间的大小关系。
例如，a < b表示a小于b，a > b表示a大于b，a ≤ b 表示a小于等于b，a ≥ b表示a大于等于b。
2. 不等式的解：对于单个不等式，解是使得不等式成立的数的取值范围。
解可以是有限集合，也可以是无限集合。
二、不等式的性质1. 不等式的传递性：对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。
这意味着如果不等式链中的不等号方向一致，则整个不等式链成立。
2. 不等式的加减性：对于不等式a < b和任意实数c，有a + c < b + c。
同样地，如果a > b，则有a - c > b - c。
这就是不等式的加减性质。
3. 不等式的乘除性：对于不等式a < b和正实数c，有ac < bc；如果a > b且c为负实数，则有ac > bc。
同样地，如果c为正实数，且a > b，则ac > bc。
这就是不等式的乘除性质。
4. 反向不等式：对于不等式a < b，取相反数得到-a > -b。
同样地，如果a > b，则-a < -b。
反向不等式是指改变不等号方向后得到的不等式。
三、不等式的解题方法1. 图解法：对于简单的不等式，可通过图形来解决。
将不等式表示的数轴上的点标出，并根据不等号表示的关系确定解的范围。
2. 存在性法：对于含未知数的不等式，可以通过判断某个特定数是否满足不等式，并验证该数范围的其他数是否满足不等式来确定解的范围。
初中数学不等式的性质与解法知识点总结
初中数学不等式的性质与解法知识点总结在初中数学中，不等式是一个重要的概念，它涉及到比较大小的关系。
本文将对初中数学不等式的性质和解法进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质是我们研究不等式的基础，以下为不等式的基本性质总结：1. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
即不等式两边同时加（减）一个数，不等号方向不变。
2. 正数性质：若a>b且c>0，则ac>bc。
即不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。
3. 负数性质：若a>b且c<0，则ac<bc。
即不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变。
4. 乘法性质：若a>b且c>d，则ac>bd。
即不等式两边同时乘以不等的两个数，不等号方向可能改变。
以上是不等式的一些基本性质，掌握这些性质对于后续解不等式问题非常重要。
二、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中只含有一次幂的变量，下面将介绍一次不等式的解法。
1. 消去绝对值：若|x-a|<b，则-a<x<a。
若|x-a|>b，则x<-a或x>a。
2. 倍增倍减法：若ax+b>c，则x>(c-b)/a。
若ax+b<c，则x<(c-b)/a。
3. 区间法：对于一次不等式ax+b≥0或ax+b≤0，首先找到使ax+b=0的x值，分割数轴，解出x属于哪个区间。
对于不等号方向相反的情况，解法类似。
以上是一次不等式的解法，掌握这些方法可以帮助我们快速解决一次不等式的问题。
三、二次不等式的解法二次不等式是指不等式中含有二次项的变量，下面将介绍二次不等式的解法。
1. 因式分解法：将二次不等式转化为因式相乘的形式，然后求出各个因子的符号条件，最后得出解的范围。
2. 图像法：将二次不等式转化为对应的二次函数的图像，通过观察图像得出解的范围。
人教版七年级下册数学不等式与不等式组知识点
不等式与不等式组知识点归纳上大附中 何小龙一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是 。
3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为 。
4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。
5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是 。
6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7.若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x ->10-a 的解集为错误!未找到引用源。
<３，则a10.若a >b >c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x b x ax 的解集是 11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x <１，则错误!未找到引用源。
人教版初一数学下册：不等式及其性质(基础)知识讲解
附录资料：不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画． 注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性质】 要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)． 要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6； (3)m 除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m+≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x -y ＞0；若x 小于y ，则有x -y ＜0等．举一反三： 【变式】（2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B．类型二、不等式的解及解集2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是()A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】根据不等式解的定义作答．【答案】D【解析】解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．故知x＝2不是原不等式的解．【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是()【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．【答案】C【解析】解：∵不等式x＞1∴在数轴上表示为:故选C．【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．【高清课堂：一元一次不等式370042练习2】举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4【答案】B类型三、不等式的性质4.（2015•浙江模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【答案】C ． 【解析】解：A 、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B 正确； C 、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C 错误； D 、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D 正确； 故选：C ．【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 举一反三：【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？ 【答案】解：如图，设c ,b ,a 为任意一个三角形的三条边，则：b ac ,a c b ,c b a >+>+>+移项可得：a b c ,c a b ,b c a ->->-> 即：三角形两边的差小于第三边．附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用． 【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集． 【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2． 其解集在数轴上表示如图所示．（2） 原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x < 解②得：12x ≥-故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：437611 4376132x xx x+>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵） 答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【答案与解析】 解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本； 方案二：文学名著27本，动漫书47本； 方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？ 【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆． （2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）； 方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）； 方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。
人教版七年级数学下册《一元一次不等式》知识点
不等式知识点归纳一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。
3．当x 时，代数式52+x 的值不大于零4..若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）5.不等式x 27->１，的正整数解是6.不等式x ->10-a 的解集为x <３，则a7.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质 的含量为 _____ g三、一元一次不等式（重点）1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2．解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母 （2）去括号 （3）移项（4）合并同类项 （5）将x 项的系数化为1例：一、 判断题（每题1分，共6分）1、 a ＞b ，得a ＋m ＞b ＋m （ ）2、 由a ＞3，得a ＞23 （ ） 3、 x = 2是不等式x ＋3＞4的解 （ ）4、 由－21＞－1，得－2a ＞－a （ ） 5、 如果a ＞b ，c ＜0，则ac 2＞bc 2 （ ）6、 如果a ＜b ＜0，则ba ＜1 （ ） 二、 填空题（每题2分，共34分）1、若a ＜b ，用“＞”号或“＜”号填空：a －5 b －5； －2a －2b ；－1＋2a －1＋2b ；6－a 6－b ； 2、x 与3的和不小于－6，用不等式表示为 ；3、当x 时，代数式2x －3的值是正数；4、代数式41＋2x 的不大于8－2x 的值，那么x 的正整数解是 ； 5、如果x －7＜－5，则x ；如果－2x ＞0，那么x ； 6、不等式ax ＞b 的解集是x ＜a b ，则a 的取值范围是 ； 7、一个长方形的长为x 米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x 应满足的不等式为 ；8、点A （－5，y 1）、B （－2，y 2）都在直线y = －2x 上，则y 1与y 2的关系是 ；9、如果一次函数y =（2－m ）x ＋m 的图象经过第一、二、四象限，那么m 的取值范围是 ；易错点分析：例 解关于x 的不等式（12－a ）x ＞1－2a ． 错解：去分母，得(1－2a )x ＞2(1－2a )．将不等式两边同时除以（1－2a ），得x ＞2． 错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a )，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．正解：将不等式变形，得(1－2a )x ＞2(1－2a )．（1）当1－2a ＞0时，即a ＜12时，x ＞2； （2）当1－2a ＝0时，即a ＝12时，不等式无解； （3）当1－2a ＜0时，即a ＞12时，x ＜2．。
最新初一数学七下不等式所有知识点总结和常考题型练习题
不等式知识点1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。
6.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式练习一、选择题1. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）（A ）m ＋2＞n ＋2 （B ）2m ＞2n （C ） （D ）2．把不等式组⎩⎨⎧x+1＞0，x -1≤0的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A B C D3．不等式组1011x x +>⎧⎨-⎩≤的解集是： （ ） A 、2x ≤ B 、1x >- C 、1x -<≤2 D 、无解4. 下列说法不一定成立的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则 5．关于x 的不等式组⎩⎨⎧1a x ＞＞x 的解集为x ＞1 ，则a 的取值范围是（ ） A ． a ＞1 B ． a ＜1 C ． a ≥1 D ． a ≤16．已知：y 1=2x -5，y 2=-2x +3．如果y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞-2D ．x ＜-27. 不等式组的整数解的个数是（ ） A ． 3 B ． 5 C ． 7 D ． 无数个8. 已知点P (1-m ,2-n )，如果m ＞1，n ＜2，那么点P 在第( )象限A ．一B ．二C ．三D ．四9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每题4个答案，其中只有一个正确，选对得4分，不选或选错倒扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖至少应答对题（ ）A ．18题B ．19题C ．20题D ．21题11. 某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为15.5元，那么x 的最大值是（ ）A ．11B ．8C ．7D ．5二、填空题1. 已知a ＞b ，用“＜”或“＞”填空： (1)1-a 1-b ； (2)m 2a m 2b (m ≠0)． 2. 不等式组的解集是 ．3．不等式组⎩⎨⎧x -1≤0，-2x ＜3的整数解．．．是 ． 4. 不等式组的所有整数解的积为 ．5. 关于x 的方程kx -1=2x 的解为正实数，则 k 的取值范围是_______________．三、解答题1. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x -7＜2(1-3x )，x -32+1≤3x -14 ，并把它的解集在数轴上表示出来．2. 已知不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3(2x -1)＜2x +8，2+3(x +1)8 ＞3-x -14 ． (1)求此不等式组的整数解；(2)若上述的整数解满足方程ax +6=x -2a , 求a 的值.3．已知A =﹣（1）化简A ； （2）当x 满足不等式组，且x 为整数时，求A 的值．4．在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？5. 每年的5月20日是中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？6. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．7. 某幼儿园在六一儿童节购买了一批牛奶．如果给每个小朋友分5盒，则剩下38盒，如果给每个小朋友分6盒，则最后小朋友不足5盒，但至少分得1盒．问：该幼儿园至少有多少名小朋友？最多有多少名小朋友？。
初一数学七下不等式所有知识点总结和常考题型练习题
初一数学七下不等式所有知识点总结和常考题型练习题1.不等式是用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子。
不等式的解是指使不等式成立的未知数的值。
不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解。
一元一次不等式是指不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式。
2.一元一次不等式组是关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起的不等式组。
3.不等式有三个基本性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
练：1.选项（D）。
2.解集为$x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$，正确选项为（B）。
3.解集为$x\in(-1,2]$，正确选项为（C）。
4.选项（D）。
5.因为$x>1$，所以$a>x>1$，即$a>1$，正确选项为（A）。
6.将$y_1<y_2$代入得$5x<8$，即$x<\frac{8}{5}$，正确选项为（B）。
7.解为$x=3,4,5,6,7,8,9$，共7个整数解，正确选项为（C）。
8.点P的横坐标大于1，纵坐标小于2，因此P在第四象限，正确选项为（D）。
9.解集为$x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$，正确选项为（B）。
10.设答对$x$题，则得分为$4x-2(25-x)=6x-50$分。
因为得分不低于60分，所以$6x-50\geqslant 60$，解得$x\geqslant18\frac{1}{3}$，因此至少答对19题，正确选项为（D）。
11.某市出租车的收费标准为起步价8元，超过3千米以后每增加1千米加收1.5元。
某人从甲地到乙地的路程为x千米，出租车费为15.5元。
求x的最大值。
解：根据题意，可以列出方程：8 + 1.5⌈x-3⌉ = 15.5，其中⌈x-3⌉表示向上取整。
初中不等式知识点公式总结
初中不等式知识点公式总结初中不等式知识点公式总结初中阶段是学习不等式的重要阶段。
不等式作为数学中的重要概念和工具，在解决实际问题和进行数学推理推导时起着重要的作用。
下面将对初中不等式的知识点和相关公式进行综合总结。
一、不等式的概念与性质1. 不等式的定义：不等式是用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示的数之间的大小关系。
2. 不等式的性质：(1) 等价不等式：对于同一不等式，若在两边同时加（或减、乘、除）相同的非负数，则不等号的方向不变。
(2) 字母互换不等号改变：若将一个不等式中的两个数的位置调换，不等式的符号必须改变。
(3) 不等式两边乘以同号数：若不等式两边乘以同号数，则不变不等式的符号。
(4) 小于0整体取反：若不等式两边乘以同号数时，若乘积小于0，则不变不等式的符号。
(5) 加减不等式：若两个不等式都成立，则其代数和（或代数差）也成立。
(6) 乘除不等式：若两个不等式都成立，其代数积（或代数商）也成立。
二、常见的不等式及其性质1. 平均值不等式(1) 算数平均数和几何平均数不等式：对于正数a1，a2，...，an，有2/(1/a1+1/a2+...+1/an) ≤ (a1+a2+...+an)/n ≤√(a1*a2*...*an)(2) 算术平均不等式：对于非负数a1，a2，...，an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)(3) 加权平均不等式：对于正数a1，a2，...，an和权重w1，w2，...，wn，有(w1*a1+w2*a2+...+wn*an)/(w1+w2+...+wn) ≥√(w1*a1*w2*a2*...*wn*an)2. 差积等式(1) 平方差等式：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a²-2ab+b²(2) 立方差等式：对于任意实数a和b，有(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³3. 等差数列与等差不等式(1) 等差数列的通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d其中，a1为首项，d为公差。
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初一数学下册《不等式与不等式组》知识点归纳一、目标与要求
1。
感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式和一元一次不等式的意义,通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;
2。
经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;
3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学,并能将它们应用到生活的各个领域.
二、知识框架
三、重点
理解并掌握不等式的性质;
正确运用不等式的性质;
建立方程解决实际问题，会解”ax+b=cx+d"类型的一元一次方程；
寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型；
一元一次不等式组的解集和解法.
四、难点
一元一次不等式组解集的理解;
弄清列不等式解决实际问题的思想方法,用去括号法解一元一次不等式;
正确理解不等式、不等式解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示到数轴上。
五、知识点、概念总结
1。
不等式：用符号”〈",”〉",”≤”,”≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2。
不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号"〉"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）”≥"，”≤"连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。
3。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
5。
不等式解集的表示方法：
（1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来,例如:x—1≤2的解集
是x≤3
(2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。
6.解不等式可遵循的一些同解原理
（1）不等式F（x）〈G(x)与不等式G(x)〉F(x）同解。
（2）如果不等式F(x）〈G（x)的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H（x）+F（x)
（3）如果不等式F(x）〈G(x）的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，并且H（x)>0，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H(x）F（x）0，那么不等式F（x）〈G（x)与不等式H（x)F（x）>H(x)G(x）同解。
7.不等式的性质:
(1)如果x〉y，那么yy；（对称性)
（2）如果x〉y，y〉z;那么x〉z;(传递性）
（3)如果x>y，而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法则）
(4)如果x>y,z〉0，那么xz>yz；如果x〉y,z〈0，那么xz
(5)如果x〉y，z>0，那么x÷z〉y÷z;如果x〉y,z〈0，那么x÷z
（6)如果x>y,m>n,那么x+m〉y+n（充分不必要条件）
(7）如果x>y>0,m>n〉0，那么xm〉yn
（8)如果x〉y>0，那么x的n次幂〉y的n次幂（n为正数)
8。
一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
9.解一元一次不等式的一般顺序:
（1）去分母(运用不等式性质2、3）
(2）去括号
(3）移项(运用不等式性质1）
(4)合并同类项
(5）将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)
(6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
10。
一元一次不等式与一次函数的综合运用：
一般先求出函数表达式,再化简不等式求解。
11。
一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成
了一个一元一次不等式组。
12.解一元一次不等式组的步骤:
(1) 求出每个不等式的解集；
(2) 求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)
(3）用代数符号语言来表示公共部分。
（也可以说成是下结论) 13.解不等式的诀窍
(1）大于大于取大的（大大大)；
例如：X>-1，X〉2 ，不等式组的解集是X〉2
（2）小于小于取小的(小小小);
例如：X〈—4，X<—6,不等式组的解集是X<—6
（3)大于小于交叉取中间；
(4）无公共部分分开无解了;
14.解不等式组的口诀
(1)同大取大
例如，x>2，x>3 ，不等式组的解集是X>3
(2)同小取小
例如,x〈2，x〈3 ，不等式组的解集是X〈2
（3)大小小大中间找
例如,x<2，x〉1，不等式组的解集是1
（4）大大小小不用找
例如，x<2，x〉3,不等式组无解
15。
应用不等式组解决实际问题的步骤
（1)审清题意
（2)设未知数，•根据所设未知数列出不等式组
（3）解不等式组
（4)由不等式组的解确立实际问题的解
（5）作答
16.用不等式组解决实际问题：其公共解不一定就为实际问题的解，所以需结合生活实际具体分析，最后确定结果。
四、经典例题
例1某种植物适宜生长在温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.5℃，现在测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？（假设山脚海拔为0米)
例2某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起,可供持票者使用一年)。
年票分A、B、C三类:A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B 类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元;C类年票每张40元,持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.
(1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算，找出可进入该园林的次数最多的购票方式。
(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。