简述bezier曲线的特点

bezier曲线

Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。

它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。

由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。

Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。

以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。

2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。

3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。

4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。

Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。

根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。

一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。

对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。

对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。

Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。

2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。

3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。

贝塞尔曲线——精选推荐

2．2．3 Bezier曲线在工程设计中，由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。

另一方面，在一些更注重外观的设计中，型值点的精度又不很重要。

从1962年起，法国雷诺汽车公司的Bezier开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。

以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统UNIS-URF，1972年在雷诺汽车公司正式使用。

Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（称为特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。

在多边形的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。

第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。

曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。

改变控制点与改变曲线形状有着形象生动的直接联系。

如图2．6所示。

1）Bezier曲线的定义给定 n＋ l个空间向量bi(i= 0，l，…，n），称 n次参数曲线段为Bezier曲线。

式中使用了Bernstein多项式Bi，n（u）作为基函数：u是局部参数，u∈[0，1]。

我们给出n＝3的Bezier曲线的矩阵表示：则有 P(u)=UMB2）Bezier曲线的性质Bezier曲线的基本数学表达式：这说明Bezier曲线在始点和终点处的切线方向是与Bezier控制多边形的第一边及最后一边的走向一致。

这说明曲线在起点和终点处的二阶导数仅与相邻的二点位置有关，而与其余各点的位置关。

Bezier曲线的这一特性说明，只需适当移动控制点就能获得满意的曲线位置和形状。

利用这个特性，当采用分段Bezier 曲线时，只要保证曲线在接点处的折线共线，就可以得到C1连续性。

如图2．7所示的一个公共端点的二条Bezier曲线，当两段曲线的控制折线在接点处共线时，就保证了它们连成的曲线在公共端点的一阶连续。

Bezier曲线还具有凸包性，即B6zier曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内。

所谓凸壳是指用橡皮图从外面去套所有控制点所形成的凸多边形。

Bezier曲线函数

（一）Bezier 曲线定义如下：设有 1+n 个点：),(i i y x ，n i ,,2,1,0 = ，下列参数曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==∑∑=-=-n i i n i i n i n i i n i i n i t t C y t y y t t C x t x x 00)1()()1()( ，10≤≤t ，称为由这 1+n 个点确定的 n 次Bezier 曲线。

例如，已知有下列4个点：)100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x , 它们可以确定一条3次Bezier 曲线。

这条Bezier 曲线的参数表达式为：⎩⎨⎧+-⨯+-⨯+-=+-⨯+-⨯+-=32233223200)1(3100)1(3200)1(100400)1(3300)1(3200)1(100tt t t t t y t t t t t t x ，10≤≤t 。

这条Bezier 曲线的图像为Bezier 曲线的特点是：曲线只通过开头的一点和结尾的一点，不通过中间的各点。

如果我们要求曲线通过中间的各点，显然Bezier 曲线是不符合我们要求的。

（二）如果要求曲线通过给出的每一点，可以采用“3次样条曲线”。

3次样条曲线是这样一种曲线：它在已知的每两个点 ),(11--i i y x 与 ),(i i y x 之间，用一段段3次曲线 32x d x c x b a y i i i i +++= 作连接，而且保证在各段连接处，一阶、二阶导数都是连续的，整条曲线是处处光滑的。

例如，已知有下列4个点： )100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x ,通过这4个点可以作一条3次样条曲线。

这条3次样条曲线在各段上的函数表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤+-+-≤≤-+-=4003000002.021.07282003002000002.015.03626002001000002.009.012600323232x x x x x x x x x x x x y 。

第四章 Bezier曲线曲面(上)

= B (u) = (1u) 0，2 = B (u) = (1u) 1,2 = B (u) = u 2,2 B (u) 1,1 B (u) 0,1 + B (u) + u 1,1 B (u) 0,1
j =1,2, n L
这时，Bezier曲线的方程变为：
r p (t ) = 0 £ t £ 1
其中:
j B j , n (t ) = Cn t j (1 - t ) n - j
Bernstein基函数
j = 0,1, n L
2、Bernstein-Bezier曲线
当n＝3 时： ( ) = ( - t ) 3 B0 , 3 t 1
¢ 证明： B j , n (t )
j n = Cnj jt j -1 (1 - t ) n - j - Cn (n - j )t j (1 - t ) - j -1 -1 j n = nCnj-1 t j -1 (1 - t ) n - j －nCn -1 t j (1 - t ) - j -1
二、Bezier曲线的性质
1、Bernstein基函数的性质 1）非负性：
0 £ Bi , n (u ) £ 1 0 £ u £ 1, i = 0,1, n L
2）规范性：
n
å B
i = 0
i , n
( u ) º 1 ,
n n i n
0 £ u £ 1
n i n -i
i i n = Cn -1u i (1 - u ) n -i + Cn -1 u i (1 - u ) -i -1
= (1 - u ) Bi ,n -1 (u ) + uBi -1, n -1 (u )

贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结

Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。

贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。

贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。

贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。

2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。

与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。

这些基函数决定了曲线上每一点的形状。

B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。

B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。

3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。

NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。

NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。

总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

贝兹尔曲线

贝兹尔曲线贝兹尔曲线是一种光滑曲线，由法国工程师皮埃尔·贝齐埃尔（Pierre Bézier）在20世纪50年代开发的。

该曲线适用于计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学等领域，可以用来描述和绘制复杂的曲线形状。

贝兹尔曲线凭借其灵活性和精确性，成为了二维和三维图形设计的重要工具之一。

贝兹尔曲线的主要特点是可以通过有限数量的点来确定曲线的形状，这些点被称为控制点。

通过调整这些控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状，从而实现任意复杂的曲线绘制。

贝兹尔曲线可以是直线、二次曲线或高阶曲线，具体取决于控制点的数量和权重。

贝兹尔曲线的数学表示形式是通过控制点和权重的线性组合来计算曲线上的点的坐标。

通常使用的参数化表示形式是贝兹尔曲线的一个常见形式，其中曲线上的点的坐标由参数t来表示。

参数t的取值范围通常是0到1之间，可以用来控制曲线的起点和终点位置。

使用参数化表示形式，可以方便地对曲线进行插值和插入操作。

绘制贝兹尔曲线的关键是确定合适的控制点。

控制点的数量和位置直接影响曲线的形状。

一般来说，至少需要两个控制点来绘制一条贝兹尔曲线的直线段，而更多的控制点可以用来描述复杂的曲线形状。

贝兹尔曲线的弯曲程度和流畅性可以通过调整控制点的位置和权重来实现。

贝兹尔曲线的计算和插值方法在计算机图形学中有广泛的应用。

例如，它可以用来绘制平滑的曲线路径，以实现图形的动画效果。

它也可以用来生成复杂的几何形状，如汽车外壳、船体等。

此外，贝兹尔曲线还可以用来表示字体的轮廓和生成曲线字形，以及绘制自然景观和虚拟环境等。

贝兹尔曲线的优点之一是它的灵活性和可控性。

通过调整控制点的位置和权重，可以精确地控制曲线的形状和曲率。

与其他曲线表示方法相比，贝兹尔曲线具有更大的设计自由度和可变性。

此外，贝兹尔曲线具有良好的局部控制性，即对曲线的一部分进行修改不会影响其他部分，这使得在进行曲线编辑和修改时更加方便。

贝兹尔曲线的缺点之一是它对于非均匀参数化的敏感性。

简述bezier曲线的性质

简述bezier曲线的性质一、 bezier曲线的定义1． bezier曲线的概念： bezier曲线就是函数y=f(x)， y=f(-x)，f(x)随x的变化而变化，并且所有这些随机点的集合都包含在一条直线上。

2． bezier曲线的图象： bezier曲线可以由点M(x， y)表示，由点M'(x'， y')表示，由点O(x， y)表示，因为这四个点都属于[-x，0]，这样，它们围成了一个四边形，我们称这个四边形为[-x， 0]A ∪[0， y]B ∩[0， -y]的bezier曲线图象。

3． bezier曲线的性质：①当x→0时， bezier曲线是开口向上的抛物线，②当x→0时， bezier曲线是以y轴为中心对称的双曲线，③当x→0时， bezier曲线是倾斜的;若y=f(x)， f(-x)， f(x)是直线，这是一条平行线;4． bezier曲线的拐点：曲线上某一点到x轴、 y轴的距离相等，或该点既不在x轴上，也不在y轴上，则称这一点是bezier曲线的拐点。

拐点有三类：一类是x=0， y=0;第二类是x=y=0;第三类是x=0， y=y=0。

4． bezier曲线的应用：在线性规划问题中，需要确定使得目标函数值达到最大的水平或垂直线段， bezier曲线可以帮助我们做出正确选择， bezier曲线也可以帮助我们分析解决一些实际问题，如果求极值的问题，求两条或多条实际可行线段交点的问题，通过使实际可行线段交点最小来分析问题和找到最佳点。

总之， bezier曲线是我们解决实际问题的有力工具。

5．综合练习，解答1．利用bezier曲线，讨论函数在某一点的取值范围，再由此判断函数的单调区间; 2．求已知函数f(x)的图象与其一阶导数f'(x)的图象的交点坐标; 3．利用bezier曲线及其图象求下列各函数的一阶导数; 4．已知一元二次方程x=1/2-1/3，用bezier曲线法求解; 5．讨论函数f(x)=-x-7/x是否为增函数，并说明理由。

Bézier曲线

t 从0变到1
P01 (1 t )P0 tP1 P11 (1 t )P1 tP2 P02 (1 t )P01 tP11
(1) (2) (3)
抛物线三切线定理
这表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
在此输入文本内两容个，在顶此点输(文P0本,P内1容)和，后两个顶点(P1,P2)决定的一次
（6）导函数 B'i,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t i 0,1,..., n
（7）最大值
Bin
(t)在t

i n
处达到最大值
（8）升阶公式
(1 t)Bi,n(t) (1 i )Bi, n 1(t) n 1
tBi, n(t) i 1 Bi 1, n 1(t) n 1
如图所示，设P0、P02、P2 是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在点成P立02：的切线pp交001ppP0110P1和pp111Ppp1212P1于ppP00120pp101和12 P11 ，则如下比例
这是所谓抛物线的三切线定理。
图抛物线三切线定理
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法

Cni ti (1 t)ni

(n
n! ti i)!i!
(1 t)ni , (i

0,1,...,
n)
Bernstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
（2）端点性质
Bi,n(0) =
1, i = 0 0, i ≠ 0
Bi,n(0) =

beizer曲线

beizer曲线【实用版】目录1.Beizer 曲线的定义和概述2.Beizer 曲线的应用领域3.Beizer 曲线的优缺点4.Beizer 曲线的实际应用案例正文1.Beizer 曲线的定义和概述Beizer 曲线，又称贝塞尔曲线，是一种通过基函数和控制点加权求和来描述的平滑曲线。

它的主要特点是曲线上的每个点都是由其邻近控制点的加权平均决定，其权重随着距离的增大而减小。

这种曲线具有很好的局部性和灵活性，广泛应用于计算机图形学、动画设计、数值分析等领域。

2.Beizer 曲线的应用领域（1）计算机图形学：Beizer 曲线常用于绘制复杂的曲线和曲面，如汽车车身、飞机机翼等。

（2）动画设计：在动画制作中，Beizer 曲线可以用于生成流畅的运动轨迹，提高动画效果。

（3）数值分析：Beizer 曲线可以用于拟合数据，逼近函数的近似解，求解微分方程等问题。

3.Beizer 曲线的优缺点优点：（1）局部性：Beizer 曲线的每个点仅由其附近的控制点决定，因此具有很好的局部性，可以灵活地适应不同形状的控制点。

（2）平滑性：Beizer 曲线具有自然的平滑性，可以很好地连接控制点，适用于绘制复杂的曲线和曲面。

缺点：（1）计算复杂度：Beizer 曲线的计算涉及到高阶矩阵运算，计算量较大，对于大量的控制点可能会导致计算速度降低。

（2）控制点数量：Beizer 曲线的形状受到控制点数量的影响，当控制点数量较少时，可能出现不连续或不闭合的情况。

4.Beizer 曲线的实际应用案例（1）汽车设计：在汽车设计中，利用 Beizer 曲线可以生成流畅的车身曲线，提高汽车的美观性和空气动力学性能。

（2）动画制作：在动画制作中，通过 Beizer 曲线可以生成逼真的运动轨迹，提高动画的观赏性和视觉效果。

贝塞尔曲线（Bezier曲线）

贝塞尔曲线（Bezier曲线）贝塞尔曲线(Bézier curve)，⼜称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应⽤于⼆维图形应⽤程序的数学曲线。

⼀般的⽮量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的⽀点，线段像可伸缩的⽪筋，我们在绘图⼯具上看到的钢笔⼯具就是来做这种⽮量曲线的。

贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线。

贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。

贝塞尔曲线就是这样的⼀条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的⼀条光滑曲线。

在历史上，研究贝塞尔曲线的⼈最初是按照已知曲线参数⽅程来确定四个点的思路设计出这种⽮量曲线绘制法。

贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“⽪筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产⽣⽪筋伸引⼀样的变换，带来视觉上的冲击。

它的主要意义在于⽆论是直线或曲线都能在数学上予以描述。

线性公式给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是⼀条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

⼆次⽅公式⼆次⽅贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：TrueType字型就运⽤了以贝兹样条组成的⼆次贝兹曲线。

三次⽅公式P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝兹曲线。

曲线起始于P0⾛向P1，并从P2的⽅向来到P3。

⼀般不会经过P1或P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。

P0和P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进P3之前，⾛向P2⽅向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运⽤了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线，⽤来描绘曲线轮廓。

java n阶贝塞尔曲线

Java n阶贝塞尔曲线一、什么是贝塞尔曲线贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔于19世纪中叶提出。

贝塞尔曲线具有平滑的特性，被广泛应用于图像处理、计算机图形学、动画设计、建模等领域。

在计算机图形学中，贝塞尔曲线用于描述二维和三维图形的轨迹，常用于绘制平滑的曲线和曲面。

二、贝塞尔曲线的特点和应用贝塞尔曲线有以下几个重要特点：1.平滑性：贝塞尔曲线的控制点确定了其形状，并且曲线光滑地穿过这些控制点。

2.控制灵活：通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状、弯曲度和尺寸。

3.高阶性：贝塞尔曲线的阶数决定了它能描述的复杂程度，阶数越高，曲线越复杂。

贝塞尔曲线在计算机图形学和动画设计中有广泛应用。

一些常见的应用包括：•图形绘制：贝塞尔曲线可以用于绘制平滑的曲线和曲面，如自然界的弯曲线、物体表面、文字轨迹等。

•动画设计：通过在时间上对贝塞尔曲线进行插值，可以实现平滑的运动轨迹，如物体的缓慢出现和消失效果、自然的弹跳动画等。

•曲线编辑：贝塞尔曲线可以用于编辑和调整曲线的形状和细节，如调整控制点的位置、权重和曲线的平滑度等。

•形状设计：通过组合多个贝塞尔曲线，可以设计出各种形状，如汽车的车身曲线、建筑物的曲线结构等。

三、贝塞尔曲线的表示方法贝塞尔曲线可以使用控制点和权重来表示。

一条n阶贝塞尔曲线由n+1个控制点和n个权重组成。

根据控制点的位置和权重的设置，可以确定曲线的形状。

贝塞尔曲线的公式表示如下：其中，P(t)为曲线上的点坐标，P0到Pn为控制点的坐标，B(i,n,t)为贝塞尔基函数，表示为：四、Java实现n阶贝塞尔曲线Java是一种强大的编程语言，可以实现各种算法和图形操作。

下面给出一个Java 程序示例，演示如何实现n阶贝塞尔曲线。

import java.awt.*;import javax.swing.*;public class BezierCurve extends JFrame {private static final int WINDOW_WIDTH = 800;private static final int WINDOW_HEIGHT = 600;public BezierCurve() {super("Bezier Curve");setPreferredSize(new Dimension(WINDOW_WIDTH, WINDOW_HEIGHT));setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);}@Overridepublic void paint(Graphics g) {super.paint(g);Graphics2D g2 = (Graphics2D) g;g2.setRenderingHint(RenderingHints.KEY_ANTIALIASING, RenderingHints.VA LUE_ANTIALIAS_ON);int[] controlPointsX = {100, 200, 300, 400, 500};int[] controlPointsY = {200, 400, 300, 500, 250};int n = controlPointsX.length - 1;float t = 0;Point2D prevPoint = new Point2D(controlPointsX[0], controlPointsY[0]);while (t <= 1) {float x = 0;float y = 0;for (int i = 0; i <= n; i++) {float basis = getBezierBasis(i, n, t);x += controlPointsX[i] * basis;y += controlPointsY[i] * basis;}Point2D currentPoint = new Point2D(x, y);g2.drawLine(prevPoint.getX(), prevPoint.getY(), currentPoint.getX (), currentPoint.getY());prevPoint = currentPoint;t += 0.01;}}private float getBezierBasis(int i, int n, float t) {float result = 1;for (int j = 0; j <= n; j++) {if (j != i) {result *= (t - j) / (i - j);}}return result;}public static void main(String[] args) {BezierCurve curve = new BezierCurve();curve.pack();curve.setVisible(true);}}在上述代码中，我们使用了Java Swing框架来绘制贝塞尔曲线。

简述bezier曲线的性质

简述bezier曲线的性质
B样条方法是在保留Bezier方法的优点,同时克服其由于整体表示带来不具有局部性质的缺点,及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的.
常用的cad设计中之所以选用3次B样条而不用更高次是因为次数越高,控制点影响的曲线段数就越多,不利于局部控制；而三次Bezier曲线意味着必须有4个控制顶点.
他们的区别主要有以下4点：
1、Bezier曲线的基函数次数等于控制顶点数减1.B样条曲线基函数次数与控制顶点数无关；
2、Bezier曲线的基函数是Beinstein基函数,它是个多项式函数.B样条曲线的基函数是多项式样条.
3、Bezier曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线.B样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线.
4、Bezier曲线缺乏局部性质,即修改任意一个控制顶点都会对曲线整体产生影响.B样条曲线具有性质,即修改一个控制顶点只会对几段曲线产生影响.。

bezier曲线曲面的性质及其应用毕业论文.docx

bezier曲线曲面的性质及其应用毕业论文本科毕业设计(论文)Bezier曲线曲面的绘制及性质研究学院名称理学院专业班级信息与计算科学（试点10）学生姓名导师姓名年月日目录摘要 (2)第一章绪论 (3)1.1发展历程 (3)1.2开发工具——Visual C++ 6.0简介 (4)第二章曲线基础 (5)2.1 曲线的参数表示 (5)2.2 插值与逼近 (6)2.2.1 插值 (6)2.2.1 逼近 (7)2.3.1 函数的可微性 (8)2.3.2 几何连续性 (8)2.4 样条描述 (9)2.5 三次样条 (10)第三章 Bezier曲线与Bezier曲面 (12)3.1 Bezier曲线 (12)3.1.1 Bezier曲线的定义 (12)3.1.2 Bezier曲线的性质 (15)3.1.3 Bezier曲线的拼接 (16)3.1.4 Bezier曲线的绘制 (18)3.1.5 Bezier曲线的几个不足 (19)3.2 Bezier曲面 (20)3.2.1 Bezier曲面的定义 (20)3.2.2 Bezier曲面的性质 (20)3.2.3 Bezier曲面的绘制 (22)3.2.4 Bezier曲面的拼接 (23)3.3 自由曲线是自由曲面的基础 (24)参考文献 (25)附录 (25)致谢 (33)摘要计算机图形学是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。

简单地说，计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。

它的重要性体现在人们越来越强烈地需要和谐的人机交互环境：图形用户界面已经成为一个软件的重要组成部分，可视化已经成为信息领域的一个重要发展趋势。

样条曲线发展迅速。

在基于PC系统的Photoshop、3D Max、AutoCAD、Maya等建模工具中，“样条曲线”以“基本图形对象”的存在形式，实现平面绘图、立体绘图基本功能，是“三维动画”的重要组成元素；样条曲线也是几何造型技术的重要内容。

7.6 Bezier曲线性质

三、Bezier曲线的性质
1、端点性质
P 1 P0 P2 P3 P0 P2 P 1 P3
顶点p0和pn分别位于实际曲线段的起点和终点上
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Bezier曲线段的参数方程表示如下：
p (t ) =

∑
n
n
i= 0
P i B i , n ( t ) = P 0 B 0 , n ( t ) + P1 B 1 , n ( t ) + K + P n B n , n ( t )
i=1
i
− p
i−1
)B
i−1,n −1
当 t=0：
p ' ( 0 ) = n ( p1 − p 0 )
当 t=1：
p ' (1 ) = n ( p n − p n − 1 )
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这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致
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P 1 P0
P2
P2
P3
P1
P3
P0
B i , n ( t ) = B n − i , n (1 − t )
B n − i , n ( 1 − t ) = C nn − i [1 − ( 1 − t )] n − ( n − i ) ⋅ ( 1 − t ) n − i
p (0 ) = p (1 ) =
∑ ∑
n i= 0
i= 0
P i B i , n ( 0 ) = P 0 B 0 , n ( 0 ) + P1 B 1 , n ( 0 ) + K + P n B n , n ( 0 ) = P 0 P i B i , n ( 1 ) = P 0 B 0 , n ( 1 ) + P1 B 1 , n ( 1 ) + K + P n B n , n ( 1 ) = P n

贝兹尔曲线

贝兹尔曲线
贝兹尔曲线是一种计算机图形学中常见的曲线类型，也被称为贝塞尔曲线。

贝兹尔曲线最初由法国工程师皮埃尔·贝塞尔在20世纪50年代发明，用于计算机辅助设计及制造（CAD/CAM）中的线条和曲面的绘制。

贝兹尔曲线的特点是可以通过控制点来定义曲线的形状和路径。

控制点是指曲线上的一些点，通过调整这些点的位置和数量，可以改变曲线的形状和流畅度。

贝兹尔曲线除了可以绘制平滑的曲线外，还可以实现角度变化、缩放和旋转等复杂效果，适用于各种计算机绘图应用。

在计算机图形学中，贝兹尔曲线是一种基于控制点和曲线生成算法的曲线类型。

其算法的核心是对控制点进行插值计算，以实现平滑的曲线效果。

当控制点变化时，贝兹尔曲线可以通过重新计算控制点来实现曲线动态效果，如动画、路径跟随等。

除了在计算机图形学中的应用，贝兹尔曲线还在很多其他领域得到了广泛使用。

例如，在工业设计中，贝兹尔曲线可以用于设计平滑的产品表面；在游戏开发中，贝兹尔曲线可以用于绘制角色动画路径和游戏地图；在艺术创作中，贝兹尔曲线可以用于绘制复杂的艺术图案等。

总之，贝兹尔曲线是一种非常有用的曲线类型，在计算机图形学和其他领域得到了广泛应用。

学会使用贝兹尔曲线，可以大大提升计
算机绘图和设计的效率，为各种应用提供更加灵活和多样的曲线绘制工具。

无差别曲线

无差别曲线
用Bézier无差别曲线可以让计算机快速地生成任意形状的精确曲线。

Bézier无差别曲线又称为贝兹曲线，它是法国数学家和声学家皮埃尔·贝兹 1880 年代提出的经典几何曲线模型，它是一种以参数方程表示的二维曲线，主要用于计算机图形学中近似描述大量细节的二维曲线，例如图象模糊化、几何图像扭曲和技术矢量模式的绘制。

基本上，Bézier无差别曲线由一组控制点和一系列彼此相连的曲线段组成，每个曲线段都有一个确定的数学公式，这个公式可以根据数组中每个控制点的位置和颜色来绘制出一条曲线。

曲线的顶点可以拖动来改变曲线的形状，计算机可以快速地根据控制点生成曲线，这个曲线的形状可以是任何精确的曲线，这样可以根据不同的图形来绘制出任何形状的曲线。

在实际应用中，Bézier无差别曲线在图像处理中的应用最为广泛。

例如，它可以用来绘制出任何精确的三维模型，它可以用于调制声音，帮助使声音变得更加细腻，还可以用于设计特效。

Bézier无差别曲线也常常被用来做字体设计，用来表示精细而复杂的字体轮廓。

另外，Bézier无差别曲线也被广泛应用于图形设计中，用于设计一些独特的曲线，例如彩虹桥或门楣等；它也可以应用于照片编辑，用于添加一些小细节，模糊照片，调节图片色调等。

另外，还可以用于交互式图形和动画设计，例如通过它来设计复杂的立体动画物体或设计一些复杂的精细动画效果。

因此，可以看出，Bézier无差别曲线具有极强的应用场景，几乎涵盖所有的图形和演示设计，它的出现给图形和演示设计带来了极大的便利和可靠的质量。

bezier曲线拟合 python

一、概述Bezier曲线作为计算机图形学中常用的一种曲线拟合方法，具有高度灵活性和精确度，因此在工程设计、计算机辅助设计等领域得到了广泛的应用。

在本文中，我们将着重讨论使用Python对Bezier曲线进行拟合的方法和技巧。

二、Bezier曲线简介1. Bezier曲线是一种由法国工程师Pierre Bezier于1962年引入的曲线表示方法，它由一系列控制点构成，通过控制点之间的线性插值来生成平滑的曲线。

2. Bezier曲线的特点包括可变性、可逼近性和局部控制性，使得它成为了一种非常实用的曲线拟合工具。

三、Python中的Bezier曲线拟合1. 在Python中，可以使用各种数学库和图形库来实现Bezier曲线的拟合。

其中，numpy、scipy和matplotlib等库提供了丰富的数学运算和绘图功能，非常适合用于实现Bezier曲线的拟合和可视化。

2. 一般来说，Bezier曲线的拟合可以分为两个步骤：首先是选择合适的控制点，然后是利用这些控制点来生成贝塞尔曲线。

四、Bezier曲线拟合的具体方法1. 选择控制点：在Bezier曲线拟合中，控制点的选择是非常关键的一步。

控制点的数量和位置会直接影响到拟合曲线的形状和精度。

通常情况下，我们可以根据实际需求和数据特点来选择控制点的数量和位置。

2. 生成Bezier曲线：一旦确定了控制点，我们就可以利用这些点来生成Bezier曲线。

利用Bezier曲线的定义，可以通过一定的数学运算来得到曲线上的任意点的坐标，从而实现曲线的绘制和拟合。

五、使用Python进行Bezier曲线拟合的示例下面我们将通过一个具体的示例来演示如何使用Python进行Bezier 曲线的拟合。

（这里可以插入具体的代码示例和详细步骤，以及可视化结果）六、总结与展望利用Python进行Bezier曲线的拟合是一种非常灵活和高效的方法。

在工程设计、计算机辅助设计等领域，我们可以利用Python实现各种复杂的曲线拟合任务，从而提高工作效率和准确度。

简述bezier曲线的性质

简述bezier曲线的性质对于一条单摆曲线，如果存在一点P(x， y)使得Q(x， y)=P，那么这个曲线叫做平面内的bezier曲线。

它是曲线中一个重要的图形，是数学中常用的工具。

bezier曲线的概念及几何意义：1、性质1，在某点P（ x， y）， P（ y， x）两点之间的所有bezier曲线的积的集合；经验表明，在平面内，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。

因此，根据这个原理，当n不为0时，两曲线差别的总和为1。

因此我们将一条已知曲线P（ x， y）向左或向右平移一个固定值M（ x， y）后得到的曲线称为bezier曲线。

在曲线上，对于任意的M，都有：经验表明，在曲线上，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。

因此我们将一条已知曲线P（ x，y）向左或向右平移一个固定值M（ x， y）后得到的曲线称为bezier 曲线。

在曲线上，对于任意的M，都有：当m<N时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差一段距离；当m>N时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差一段距离；当M=N时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差无穷远。

3、性质2：当a， b， c， d， e为五个整数，并且a＜b＜c＜d＜e时， bezier曲线上存在唯一的bezier 点P（ x， y）；经验表明，在平面内，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或向右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。

bezier曲线具有的性质

bezier曲线具有的性质
贝塞尔曲线是一种绘制图形所用到的数学曲线，它是一种可简化复杂图像绘制的有效方法。

贝塞尔曲线名字以其创始人Pierre Bouchard命名，他发现在建模过程中，可以通过调整
起始点和结束点之间的控制点来设计任意复杂度的曲线。

首先，贝塞尔曲线具有平滑性，即曲线通常不存在明显的折现，其弯曲度可由控制点调整。

其次，贝塞尔曲线具有可变性，它可以根据需要调整起始和结束点之间的控制点，以使曲线的形状更精确。

最后，贝塞尔曲线具有平面再生性，根据所使用的控制点，曲线可以在平面上产生不同的运动轨迹。

通过以上性质的综合应用，贝塞尔曲线在绘制曲线图形时具有很大的优势，它可以帮助开发者实现图像复杂度变化和复杂图像处理，如智能机器人，动画，游戏，图像处理等等。

总之，贝塞尔曲线具有平滑性，可变性和平面再生性等多种有益的特性，为绘制图像，大大减少了开发者的工作量以及设计节省时间。

贝塞尔曲线的变形性质和灵活性也使它成为实现复杂图像处理手段的基础。