中国矿业大学北京《高等数学上》2019-2020第一学年期末试题B

中国矿业大学(北京)

《高等数学A1》试卷（B 卷）

得分：

一、填空题（每空3分，共30分）

1．极限=+-→)21ln(arctan lim 30x x

x x 1

6

-

2. 设x e x f arctan )(=，则微分=

)(x df 21x

x

e

dx e

+ 3．函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠-+=0,0,1

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0=x 处连续，则=a 1- 4．设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y

确定的隐函数，则=)0(''y 3- 5．设x

e x x

f 2)(=，则=)0()

100(f

99

1002⋅

6. 抛物线x x y +=2在点)0,1(-处的曲率为2

7. 若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-，则=b 3

8. =+⎰-

xdx x x cos )(22

π

π 2-π

9. 已知⎰

+='C x dx x

x f 2)

(ln ，则=)(x f C e x +2 10. 以x Ce y x += 为通解的微分方程是.01'=-+-x y y

二、计算（每小题6分，共12分）

1、求极限2013sin cos

lim

(1cos )ln(1)

x x x x x x →+++ 解：原式=x

x x x x 1

cos

sin 3lim

21

20+→=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+→

→x x x x x x 1cos lim sin 3lim 2100

=2

3

2、设

()2arctan ln 1x t y t t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩

，求dy dx ，22dx y d . 解: 222

21

11211t dy

t t t dx

t -

+==+-+，()()22222122(1)111t t d y t t dx t '+-=

=

+-+ 三、（6分）设方程

y =

确定y 是x 的函数，求'y .

解:取对数得：()()211

ln ln 1ln 2ln arcsin 339

y x x x =

-+-- 方程两边同时求导得：

121111131329arcsin y y x x x -'=⋅+⋅---，得 21111131329arcsin y x x x ⎫

-'=⋅

+⋅---

四、计算题（共14分）

1. （7分）求不定积分1

sin 2cos dx x x

⎰ 解: 2

2111csc sec sin 2cos 2sin cos 2dx dx x xdx x x x x ==⎰⎰⎰ ()111

csc tan csc tan tan csc cot 222

xd x x x x x x dx =

=⋅-⋅-⋅⎰⎰ 1111

csc tan csc csc tan ln csc cot 2222

x x xdx x x x x C =⋅+=⋅+-+⎰

2. （7分）设()cos ,01,01x

x x x f x x e <⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，求

()⎰

-2

1dx x f .

解:

()()21

1

01

1011cos 1x

f x dx f t dt x xdx dx e ---==++⎰⎰

⎰⎰

=()0

1

0101

10101sin sin sin 111x x

x x e xd x dx x x xdx d e e e -------+=--+++⎰⎰⎰⎰ =1

11cos1sin1ln 2

e -+---

五、(8分) 求函数x e x x f -=2)(的单调增减区间、极值和凹凸区间、拐点。 解：x e x x y --=)2('2, 0'=y 得,0=x 或2

)24(''2+-=-x x e y x ，0''=y 得22±=x .

列表知：单增区间]2,0[，单减区间),0,(-∞),2[+∞

凹区间：),22(),22,(+∞+--∞，凸区间：]22,22[+- 极小值为：0)0(=f ，极大值为：24)2(-=e f

拐点：))22(,22(),)22(,22(222222--+-++--e e

六、（8分）计算两条抛物线2

2,x y x y ==在第一象限所围图形的面积，并求该

平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.

面积3211

1

2

30

000211

333

A x dx x x =-=-=⎰

⎰

体积()

11

252

1

12

20

0032510

x x V dx x dx π

π

πππ=-=⋅-⋅=⎰⎰