分离变量积分练习题

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分离定理练习题

分离定理练习题分离定理是微积分中的一个重要定理，与积分运算紧密相关。

通过使用分离定理，我们可以将一个函数的积分分解成两个函数的积分之和。

在这篇文章中，我们将通过几个练习题来巩固对分离定理的理解和应用。

练习题一计算以下定积分∫(2x+3)dx，其中积分下限为1，上限为4。

练习题二计算以下定积分∫(e^x + sin(x))dx，其中积分下限为0，上限为π/2。

练习题三计算以下定积分∫(x^2 + 5x + 6)dx，其中积分下限为-2，上限为2。

解答练习题一：根据分离定理，我们可以将∫(2x+3)dx分解为∫(2x)dx + ∫(3)dx，然后分别进行积分计算。

首先计算∫(2x)dx:∫(2x)dx = x^2 + C （其中C为常数）然后计算∫(3)dx:∫(3)dx = 3x + C （其中C为常数）将以上两个结果相加，得到∫(2x+3)dx的结果为：∫(2x+3)dx = x^2 + 3x + C （其中C为常数）接下来，我们将积分下限为1，上限为4代入上述结果，即可求得定积分的值：∫[1,4] (2x+3)dx = [(4^2 + 3*4) - (1^2 + 3*1)]= (16 + 12) - (1 + 3)= 40 - 4= 36所以，定积分∫[1,4] (2x+3)dx的值为36。

解答练习题二：根据分离定理，我们将∫(e^x + sin(x))dx分解为∫(e^x)dx + ∫(sin(x))dx。

首先计算∫(e^x)dx：∫(e^x)dx = e^x + C （其中C为常数）然后计算∫(sin(x))dx：∫(sin(x))dx = -cos(x) + C （其中C为常数）将以上两个结果相加，得到∫(e^x + sin(x))dx的结果为：∫(e^x + sin(x))dx = e^x - cos(x) + C （其中C为常数）得定积分的值：∫[0,π/2] (e^x + sin(x))dx = [(e^(π/2) - cos(π/2)) - (e^0 - cos(0))]= [(e^(π/2) - 0) - (1 - 1)]= e^(π/2)所以，定积分∫[0,π/2] (e^x + sin(x))dx的值为e^(π/2)。

分离规律练习题

分离规律练习题练习一：请写出下列分式的分母，并判断其分离规律。

1. $\frac{3}{4x^2}$2. $\frac{2}{3y}$3. $\frac{5}{27z^3}$4. $\frac{1}{2x^2y}$解答：1. 分离规律：根据第一分离规律，分式的分母是一个完全平方数。

因此分式 $\frac{3}{4x^2}$ 的分母为 $4x^2$。

2. 分离规律：根据第三分离规律，分式的分母是一个质数。

因此分式 $\frac{2}{3y}$ 的分母为 $3y$。

3. 分离规律：根据第四分离规律，分式的分母是一个立方数。

因此分式 $\frac{5}{27z^3}$ 的分母为 $27z^3$。

4. 分离规律：根据第五分离规律，分式的分母是一个变量的乘积。

因此分式 $\frac{1}{2x^2y}$ 的分母为 $2x^2y$。

练习二：请将下列分式按照分离规律进行因式分解。

1. $\frac{6x^4y}{4x^2}$2. $\frac{12abc}{8a^2b^3c^2}$3. $\frac{15a^3b^5}{3a^2b^3}$4. $\frac{8x^4y^2z}{2x^2yz}$解答：1. 根据第一分离规律，分母为完全平方数 $4x^2$，可以分解为$(2x)^2$。

因此分式 $\frac{6x^4y}{4x^2}$ 可以写成$\frac{3}{2}(2x)^2y$。

2. 根据第五分离规律，分母为变量的乘积 $8a^2b^3c^2$，可以分解为 $2^3(a^2)(b^3)(c^2)$。

因此分式 $\frac{12abc}{8a^2b^3c^2}$ 可以写成 $\frac{3}{2}(2)(a)(b^2)(c)$。

3. 根据第五分离规律，分母为变量的乘积 $3a^2b^3$，可以分解为$(3)(a)(a)(b^2)(b)$。

因此分式 $\frac{15a^3b^5}{3a^2b^3}$ 可以写成$5(a^2)b^2ab^3$。

分离变量法很好的例题共28页文档

拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左
分离变量法很好的例题
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•、勤学如春起之苗，不见其增，日有所长。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结，箪瓢屡空，晏如也。
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿

高数一阶微分方程(可分离变量型)

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【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时，H = 37 又 ∵ t = 2 时，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型】变量代换后化为可分离变量的微分方程题型【例2】求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解】 . 【解】
由和差化积公式：和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】思考与练习题】

大学物理-分离变量法例题

所以 (6-1-8)
相应的本征函数为
思考：n 只取正整数的原因？
3. 求解关于 T(t) 的常微分方程
将
代入(6-1-6)，得到
其通解为
由此得到 u(x,t) 的特解
(6-1-9) (6-1-10)
(6-1-11)
4. 利用叠加原理，将特解进行叠加，得到通解一般说来，un(x,t) 不可能满足初始条件，但特解的线性叠加仍满足方程与边界条件。将特解线性叠加，得到通解：
(x) C1 x C2
而由 (7) 式有
C1a C2 0 C1a C2 0
于是有 C1= C2 = 0，从而有φ(x) = 0，所以λ≠ 0。
2. 若λ< 0，则由式 (6' ) 有
x C1e x C2e x
而由 (7) 式有 C1e x C2e x 0 C1e x C2e x 0
(k 1, 2,
)
故本征值问题 (6' ) ~ (7) 的本征值为
En
n 2 2
n2 2 2 8a2
(n 1, 2,
)
(13)
这是能量本征值，而由(10)和(12)式可得相应的本征函数为
n
(
x)
Cn
sin
n
2a
(
x
a)
(14)
这是第 n 个定态 (即不含时的) 波函数。
方法二通过坐标平移利用已知结果来求解。我们已看到上述求解本征值问题 (6' ) ~ (7) 的过程是相
即
i f '(t) 2 ''(x) 令 E (能量) f (t) 2 (x)
于是得
i
d f Ef dt
(5)

完整word版,分离变量法习题

第十章习题解答1 求解混合问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02x x u x u t l u t u t l x u a u t xx tt ϕ，其中⎪⎩⎪⎨⎧<≤++<<--≤<=lx c c x c v c x x δδδδϕ000)(0解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为)()(),(t T x X t x u =，则，)()(),(),()(),(t T x X t x u t T x X t x u xx tt ''=''=代入混合问题中的微分方程可得：λ-=''=''⇒=''-'')()()()(0)()()()(22t T t T a x X x X t T x X a t T x X 由初始条件可得：0)()0(0)()(),()()0(),0(==⇒====l X X t T l X t l u t T X t u 由此可得，)(x X 为如下常微分方程边值问题的非零解：⎩⎨⎧==<<=+''0)(,0)0()0(0)()(l X X l x x X x X λ若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 )ex p()ex p()(21x c x c x X λλ-+=，代入边值条件后可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。

若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c c x X 21)(+=，代入边值条件后仍可得0)(021≡⇒==x X c c ，不符合要求。

若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+=，代入边界条件后可得：x c x X c c c X λλλsin )(00sin 0cos )0(2121=⇒==+=，22,0sin 0)(,0sin )(⎪⎭⎫⎝⎛===⇒≠==l n l x X l c l X n πλλλλ，所以可取 ),2,1(sin)()(Λ===n lx n x X x X n π由)(t T 所满足的方程可得： latn b l at n a t T t T t T at T n n n ππλsincos)()(0)()(22+==⇒=+''，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 lxn l at n b l at n a t T x X t x u t x u n n n n n πππsin)sin cos ()()(),(),(+===，设原混合问题的解函数为 ∑+∞=+=1sin )sin cos(),(n n nlx n l at n b l at n at x u πππ，则由初始条件可得：),2,1(0sin)0,(01Λ==⇒==∑+∞=n a lxn a x u n n n π ∑+∞==1sin cos ),(n n t l xn l at n b l a n t x u πππ， ⎰∑=⇒==+∞-l n n n t dx l xn x a n b l x n b l at n x u x 01sin )(2sin )0,()(πϕπππϕ， ))(cos )((cos 2sin 22200l c n l c n an l v dx l x n v a n b c c n δπδππππδδ+--==⎰+- （*）所以，原混合问题的解为 ∑+∞==1sin sin),(n n lxn l at n b t x u ππ，其中的n b 由（*）给出。

分离变量练习题

分离变量练习题分离变量是微积分中一种常用的技巧，用于解决某些复杂函数的微分方程。

通过分离变量，我们可以将一个关于多个变量的微分方程转化为一系列关于单个变量的方程，从而更容易求解。

以下是几道分离变量的练习题，帮助你熟悉和掌握这个技巧。

练习题一：解方程：dy/dx = xy解法：首先将方程中的变量分离，得到 dy/y = x dx。

对上述等式两边进行积分，得到 ln|y| = (x^2)/2 + C，其中C为常数。

再通过指数函数的性质，得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。

练习题二：解方程：dy/dx = 3x^2 y^2解法：将方程中的变量分离，得到 y^(-2) dy = 3x^2 dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 -y^(-1) = x^3 + C，其中C为常数。

移项并对等式两边取倒数，得到 y = -1/(x^3 + C)，其中C为任意常数。

练习题三：解方程：dy/dx = 2xy/(1+x^2)解法：将方程中的变量分离，得到 (1+y^2) dy = 2x dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 y + (1/3)y^3 = x^2 + C，其中C为常数。

练习题四：解方程：dy/dx = x/y解法：将方程中的变量分离，得到 y dy = x dx。

对上述等式两边同时积分，可以得到 (1/2)y^2 = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。

通过以上四道练习题，你有机会更好地理解和掌握分离变量的技巧。

不同的题目可能会有不同的方程形式，但核心思想始终是将方程中的变量分离并进行积分，最终得到解析解。

在实际应用中，分离变量常被用于求解物理、生物和经济等领域中的微分方程问题。

需要注意的是，对于某些方程，可能不存在解析解，或者解析解过于复杂难以计算。

在这种情况下，我们可以考虑使用数值方法进行求解，例如欧拉法或龙格-库塔法等。

希望以上练习题对你加深对分离变量的理解有所帮助。

继续练习和应用这个技巧，你会在微积分的学习中取得更多的进展。

常微分方程的变量分离

常微分方程的变量分离当然可以！这里是根据“常微分方程的变量分离”主题设计的20道试题，包括选择题和填空题，每道题目都有详细的序号：1. 选择题：常微分方程中，何种方法适用于变量分离？A. 欧拉法B. 全微分法C. 分部积分法D. 变量分离法2. 填空题：对于方程 $ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $，变量分离的条件是 ____________ 。

3. 选择题：对于方程 $ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y} $，采用变量分离法得到的解是？A. $ x^2 + y^2 = C $B. $ x^2 - y^2 = C $C. $ xy = C $D. $ \ln |y| = \frac{x^3}{3} + C $4. 填空题：求解微分方程 $ \frac{dy}{dx} =\frac{2x}{y} $，采用变量分离法可得到解为 ____________ 。

5.选择题：变量分离法常用于解决具有什么形式的微分方程？A. $ \frac{dy}{dx} = f(x) $B. $ \frac{dy}{dx} = g(y) $C. $ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $D. $ \frac{d^2y}{dx^2} = f(x)g(y) $6. 填空题：对于微分方程 $ \frac{dy}{dx} =\frac{x^2}{y^2} $，采用变量分离法得到的解是 ____________ 。

7. 选择题：在哪种情况下，变量分离法无法直接应用？A. $ \frac{dy}{dx} = y^2 $B. $ \frac{dy}{dx} = x^2 $C. $ \frac{dy}{dx} = xy $D. $ \frac{dy}{dx} = \sin(x) $8. 填空题：求解微分方程 $ y' = \frac{2x}{3y} $，采用变量分离法可得到解为 ____________ 。

分离变量通关50题，整体和部分分离方法

分离变量通关50题，整体和部分分离方法
一、整体分离变量
对于一个方程（或不等式），如果其中含有两个以上字母，我们常常将含有一个字母的式子分离到方程（或不等式）的一边，我将这称为“整体分离变量”.
这类题目在我们平日的解题中是十分常见的，分离变量不仅使过程变得简洁清晰，还避免或减少了由于参数混杂其中导致的分类讨论，大大节省了答题时间，义不需要太大的思维量.
在这里，小编归纳了一些适合使用整体变量分离的题型：
①题中变量虽清晰，但需分类讨论，而且义较为复杂；
②题中变量关系复杂，一时理不出头绪；
③变量易于分离，且分离后得到的式子易于解题.
以上可以看出，整体分离变量研究问题往往比较简单，也许有人会问，既然整体变量分离这么实用，是不是分离变量都会简单，是不是还有其他分离变量的方法？小编总结出了“部分变量分离”.
二、部分分离变量
小编对“部分分离变量”下的定义是：有时一个变量出现的频率太高，而且变量出现在“不该出现”的地方，模糊了我们的解题方向，这时，一方面，我们不一定要将变量完完全全分离出来，可以考虑处理那些“不该出现”在某处的变量；另一方面，有时我们难以“整体分离变量”，只能采用“第二套方案”.
①式子结构比较复杂，如分子分母中都有变量，根号内外都有变量；
②式子虽简单，但是某个变量特别难以处理.如含有根号问题，某个整体出现多次，常常需要换元，以便分离变量.。

2019届二轮(理科数学) 知识拓展变量分离技巧专题卷(全国通用)

知识拓展:变量分离技巧一、选择题1.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)= f(1+x)成立,且当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( C )(A)(-1,0) (B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞) (D)(-∞,-1)解析:因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)图象的对称轴为x=1,则a=2.易知f(x)在(-∞,1)上单调递增,当x∈[-1,1]时,f(x)>0,故只需f(-1)=b2-b-2>0,解得b>2或b<-1.2.已知y=x3-ax2+x+1是(0,+∞)上的单调递增函数,则a的取值范围是( D )(A)(-∞,0) (B)[-2,2] (C)(-∞,2) (D)(-∞,2]解析:由题意可知,y′=x2-ax+1≥0在(0,+∞)恒成立,所以a≤x+, a≤(x+)min=2.3.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是 ( B )(A)(0,1) (B)(0,)(C)(-∞,1) (D)(0,+∞)解析:由题意得,函数f(x)的导数f′(x)=3x2-6b,f(x)有极小值点,则6b>0,由f′(x)=3x2-6b=0得x=±,则0<<1,所以0<b<.4.“a≤0”是“函数f(x)=ax2+2ln x存在极值”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:依题意,函数有极值,即f′(x)=2ax+=0(x>0)有解,且其导函数有正有负.所以a=-有正根,则需a<0,故a≤0是其必要不充分条件.5. 对任意实数定义运算“⊗”:a⊗b=设f(x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数h(x)=f(x)+k恰有三个零点,则实数k的取值范围是( D ) (A)(-2,1) (B)[0,1](C)[-2,0) (D)[-2,1)解析:由题意可得f(x)=画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知,-1<-k≤2,即-2≤k<1,选D.6.已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( B ) (A)(0,2) (B)(0,8)(C)(2,8) (D)(-∞,0)解析:当m=0时,f(x)=-8x+1>0在(-∞,)上恒成立,而g(x)=0在R上恒成立,显然不满足题意;当m<0时,g(x)在R上递减且g(x)=mx>0只在(-∞,0)上恒成立,而f(x)是一个开口向下且恒过定点(0,1)的抛物线,显然不满足题意.(如图(1))当m>0时,g(x)在R上递增且g(x)=mx>0在(0,+∞)上恒成立,而f(x)是一个开口向上且恒过定点(0,1)的抛物线,要使对任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则只需f(x)>0在(-∞,0]上恒成立.(如图(2))则有Δ=4(4-m)2-8m<0或≥0,解得2<m<8或0<m≤4,综上可得0<m<8,即m∈(0,8).二、填空题7.不等式x2-a2+5≥2x-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为.解析:原不等式化为x2-2x+5≥a2-3a,而x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4.解得-1≤a≤4.答案:[-1,4]8.若存在x∈(1,2),使得x2+mx+4=0成立,则m的取值范围是.解析:当x∈(1,2)时,由x2+mx+4=0得m=-.令f(x)==x+,则易知f(x)在(1,2)上是减函数,所以4=f(2)<f(x)<f(1)=5,所以-5<m<-4.答案:(-5,-4)9.已知x∈(-∞,1]时,不等式1+2x+(a-a2)·4x≤0无解,则实数a的取值范围是.解析:问题转化为x∈(-∞,1]时,不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立, 令2x=t,因为x∈(-∞,1],所以t∈(0,2],所以原不等式可化为a2-a<,要使上式在t∈(0,2]上恒成立,只需求出f(t)=在t∈(0,2]上的最小值即可.因为f(t)==+=-,∈[,+∞),所以f(t)min=f(2)=,所以a2-a<,所以-<a<.答案:(-,)10.若关于x的方程ax2-2(a-3)x+(a-13)=0至少有一个整数根,则非负整数a的值为.解析:当a=0时,6x-13=0,x=,不合题意,所以a≠0,因为ax2-2(a-3)x+(a-13)=0,所以(x-1)2a=-6x+13,所以a=≥1,(*)所以x2+4x-12≤0,所以-6≤x≤2,因为x是整数,且x≠1,所以x=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,2,把x分别代入(*)式得a=1或13.答案:1或1311.若对于任意角θ总有sin2θ+2mcos θ+4m-1<0成立,则实数m的取值范围是.解析:由原不等式得m(2cos θ+4)<cos2θ,又cos θ+2>0,则原不等式等价变形为2m<恒成立.令f(θ)=,则2m<f(θ)min.因为f(θ)===cos θ+2+-4≥4-4=0,当且仅当cos θ=0时,有最小值为0,故m<0.答案:(-∞,0)12.已知f(x)=且函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是.解析:当x<0时,f(x)=(x+1)2-,把函数f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y=f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数f(x)在[0,+∞)上的图象.如果函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,即函数y=f(x),y=-ax的图象有三个不同的交点,实数a应满足-a<-或>-a>,即a>或-<a<-.答案:(-,-)∪(,+∞)三、解答题13. 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-1+4a.如果函数y=f(x)在区间[-1,0]上有零点,求a的取值范围.解:问题转化为2ax2+2x-1+4a=0在区间[-1,0]上有(存在)解,分离变量得a=,x∈[-1,0]有解,只需求y=(x∈[-1,0])的值域即可.令1-2x=t,则y===(t∈[1,3]),t=1时,y min=; t=3时,y max=.所以a∈[,].14. 已知f(x)=x2+x,g(x)=ln(x+1)-a,(1)若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围;(2)若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围;(3)若对任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),求实数a 的取值范围.解:f(x),g(x)在[0,2]上都是增函数,所以f(x)的值域A=[0,4],g(x)的值域B=[-a,ln 3-a].(1)若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)>g(x2),只需f(x)max>g(x)min,即4>-a,所以a>-4.(2)若存在x1,x2使得f(x1)=g(x2),则A∩B≠ ,所以-a≤4且ln 3-a≥0,所以实数a的取值围是[-4,ln 3].(3)若对任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),则B⊆A,所以所以ln 3-4≤a≤0.15.已知f(x)=x|x-a|+b,x∈R.若b<0,且对任何x∈[0,1]不等式f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.解:当x=0时,a取任意实数,不等式f(x)<0恒成立,故只需考虑x∈(0,1],此时原不等式变为|x-a|<-,即x+<a<x-, 只需<a<,x∈(0,1].又函数g(x)=x+在(0,1]上单调递增,所以=g(1)=1+b;对于函数h(x)=x-,x∈(0,1].①当b<-1时,在(0,1]上h(x)单调递减,=h(1)=1-b,又1-b> 1+b,所以此时a的取值范围是(1+b,1-b).②当-1≤b<0时,在(0,1]上,h(x)=x-≥2,当x=时,=2,此时要使a存在,必须有即-1≤b<2-3,此时a的取值范围是(1+b,2).综上,当b<-1时,a的取值范围是(1+b,1-b);当-1≤b<2-3时,a的取值范围是(1+b,2);当2-3≤b<0时,a的取值范围是 .。

数-第二章分离变量法作业题

2
(3)
R (0) < ∞
自然边界条件
u (0, θ ) < +∞ R(0)Φ (θ ) = R(0) Φ (θ ) < +∞
求解特征值问题
Φ′′(θ ) + λΦ (θ ) = 0 (1) (2) Φ (0) = Φ (π ) λ < 0时得(1)的通解为Φ(θ ) = C1e λθ + C2 e
B0 , ( n = 0 ) 其通解为 Tn (t ) = a 2 n 2π 2 t l 2 Bn e , ( n = 1, 2, )
由此,就得到原方程满足边界条件的变量分离的非零特解:
C , n = 0 0 un ( x, t ) = X n ( x)Tn (t ) = ( anπ ) 2 - 2 t (nπ )2 C e l cos x, n 2 l C =AB
解: 边界条件是非齐次的.本问题中,方程的自由项与边界条件均与t 无关,所以令 u(x,t)=V(x,t)+W(x)
代入方程及边界条件,有
V 2V 2W = a 2 2 + a 2 2 + A, 0 < x < l , t > 0 x x t V x =0 + W x =0 = 0, V x =l + Wx =l = 0, t > 0 V t =0 + W t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l
l 2 , m = n ≠ 0 l mπ nπ x cos xdx = l m = n = 0 cos ∫0 l l 0 m≠n
nπ x. 由初始条件知 x = u ( x ,0 ) = C 0 + ∑ C n cos l n =1
∞

高中数学分离变量通关50题

䁪
h ，其中
在
䁪处取得极值，且
䁪
时，函数有两个不同的零点
h ．设䁪，求函数
，䁪．
①求 h 的取值范围；
②求证：
䁪
e䁪
．
．的单调区间；
45. 已知函数
e
䁪䁪 h h h 䁪 h ，其中
，e 为自然对数的底数．
（1）若函数的图象在（2）关于的不等式
处的切线与直线 h
垂直，求的值；
he 在
（2）记
h 䁪 h ln 䁪 h
，并设，䁪
点，若 h
，求
䁪
䁪的最小值．
䁪是函数
的两个极值
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29. 已知函数
⸰ ，曲线
ln
自然对数的底数）．
在点 e䁪 e䁪处的切线与直线䁪 h
垂直（其中 e 为
高途课堂整理
6. 设函数（1）当（2）若对
䁪䁪ht ．时，求函数的单调区间；
h 都有
成立，求的取值范围．
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7. 已知函数，
（1）当（2）当
时，若时，求函数
，
h h 对任意的最小值．
䁪，． h 恒成立，求实数 h 的取值范围；
ln
．
（1）若曲线
在点
处的切线斜率为，求函数的最大值；
高途课堂整理（2）若不等式䁪
hh
数的取值范围．
与
䁪䁪 h e䁪䁪

习题12分离变量法

2 0 l 0 2
l
代入边界条件得 X ( x ) = 0 ，所以只有 λ > 0 。
⎛ nπ ⎞ λ > 0 时解为 X ( x ) = a sin λ x + b cos λ x ，由边界条件可得 b = 0 ， λ = ⎜ ⎟ 。 ⎝ l ⎠
nπ ⎛ nπ ⎞ 所以对应本征值 λn = ⎜ 。 x （ n = 1, 2," ） ⎟ 的本征函数为 X n ( x ) = sin l ⎝ l ⎠
令第一个方程两边同乘 X 2 减去第二个方程两边同乘 X 1 ，并对 x 积分得
( λ1 − λ2 ) ∫0 X 1 ( x ) X 2 ( x )dx = ∫0 X 1 ( x ) X 2′′ ( x ) − X 1′′ ( x ) X 2 ( x )dx
′ ( x ) + X 1′ ( x ) X 2 ( x ) = 0 。 = X1 (x) X 2 0 0
a1 ( x ) X ′′ ( x ) Y ( y ) + b1 ( y ) X ( x ) Y ′′ ( y ) + a2 ( x ) X ′ ( x ) Y ( y ) + b2 ( y ) X ( x ) Y ′ ( y ) = 0 。
两边同除 X ( x ) Y ( y ) 得
a1 ( x ) X ′′ ( x ) + a2 ( x ) X ′ ( x ) b ( y ) Y ′′ ( y ) + b2 ( y ) Y ′ ( y ) =− 1 。 X ( x) Y ( y)
（ λ1 ≠ λ2 ）即设两对本征值和本征函数为 ( λ1 , X 1 ) ， ( λ2 , X 2 ) ，
2
2
′′ + λ2 X 2 = 0 ⎧ ⎧ ⎪ X 1′′ + λ1 X 1 = 0 ⎪X2 ，⎨ 。 ⎨ ⎪ ⎩ X 1 ( 0 ) = 0, X 1 ( l ) = 0 ⎪ ⎩ X 2 ( 0 ) = 0, X 2 ( l ) = 0

分离变量通关50题(含答案)

䁪
（2）若函数ƒx在区间1칌䁪上为单调函数，求a的取值范围．
17. 已知函数ƒx=x−1．
x
（1）用函数单调性的定义证明：函数ƒx在区间0칌h∞上为增函数；
（2）方程䁪t·ƒht−⸰ƒ䁪t=0，当t∈1칌䁪时，求实数⸰的取值范围．
18. 奇函数ƒx=的定义域为R，其中y=gx为指数函数且图象过点䁪칌9．
（1）求证：函数ƒx是奇函数；
（2）如果当x∈−1칌0时，有ƒx✈0，试判断ƒx在−1칌1上的单调性，并用定义证明你的判断；
（3）在（Ⅱ）的条件下，若a−8xh1>0对满足不等式ƒx−
恒成立，求a的取值范围．
hƒ−䁪x✈0的任意x
16. 函数ƒx=䁪ax−x䁪hlnx，a为常数．
（1）当a=1时，求ƒx的最大值；
（1）求a，h的值；
（2）判断gx的单调性（不要求证明）；
（3）若不等式gƒx>g⸰−x在1칌h∞上恒成立，求实数⸰的取值范围．
11. 定义gx=ƒx−x的零点x0为ƒx的不动点，已知函数ƒx=ax䁪hhh1xhh−1aG0．
（1）当a=1，h=−䁪时，求函数ƒx的不动点；
（2）对于任意实数h，函数ƒx恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围x䁪−䁪⸰xh䀀h1⸰>0在区间
（1）求函数gx的解析式；
0칌3
上有最大值h，最小值0．
（2）设ƒx=gx−䁪x．若ƒ䁪x−k·䁪x≤0在x∈
x
−3칌3
时恒成立，求k的取值范围．
21. 设数列a䀀的前䀀项和为S䀀，a1=1，当䀀≤䁪时，a䀀=䁪a䀀S䀀−䁪S䁪．
（3）若函数gx只有一个零点且h>1，求实数a的最小值．
12. 已知函数ƒx=x䁪halnx．

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分离变量积分练习题
分离变量积分是微积分中的一个重要概念和技巧，用于解决一些特殊形式的微
分方程。

它的核心思想是将含有多个变量的微分方程，通过适当的变换，化为
仅含有一个变量的方程，从而简化求解过程。

假设有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知函数。

我们
希望找到y(x)的解。

为了使用分离变量的方法，我们可以将方程改写为dy/g(y)
= f(x)dx。

现在，我们可以对方程两边进行积分。

对左边进行积分时，我们需要使用y作
为积分变量，而对右边进行积分时，我们需要使用x作为积分变量。

这样，我
们得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

接下来，我们需要对两边的积分进行求解。

首先，我们对左边的积分进行求解。

这里需要注意的是，由于g(y)是一个关于y的函数，而我们对y进行积分，因
此需要根据具体的g(y)函数形式，选择相应的积分方法。

假设g(y) = y，那么∫(1/g(y))dy = ∫(1/y)dy = ln|y| + C1，其中C1是常数。

如
果g(y)是其他函数形式，我们需要根据具体情况选择不同的积分方法。

接下来，我们对右边的积分进行求解。

这里需要注意的是，由于f(x)是一个关于x的函数，而我们对x进行积分，因此需要根据具体的f(x)函数形式，选择相应
的积分方法。

假设f(x) = x，那么∫f(x)dx = ∫xdx = (1/2)x^2 + C2，其中C2是常数。

如果f(x)是其他函数形式，我们需要根据具体情况选择不同的积分方法。

现在，我们将左右两边的积分结果相等，得到ln|y| + C1 = (1/2)x^2 + C2。

为了求解y(x)，我们可以通过一系列的代数运算，将方程转化为y(x)的显式表达式。

首先，我们可以通过移项，得到ln|y| = (1/2)x^2 + C2 - C1。

接下来，我们可以通过对数的性质，将方程转化为指数形式，得到|y| = e^((1/2)x^2 + C2 - C1)。

由于指数函数的定义域是正实数，因此我们可以去掉绝对值符号，得到y =
±e^((1/2)x^2 + C2 - C1)。

最后，我们可以合并常数项，得到y =
Ae^((1/2)x^2)，其中A = ±e^(C2 - C1)是一个新的常数。

至此，我们已经成功地求解了原始的微分方程dy/dx = f(x)g(y)，得到了y(x)的解析表达式。

通过这个例子，我们可以看到分离变量积分的强大威力，可以将原本复杂的微分方程化简为简单的积分问题，从而得到解析解。

当然，实际应用中的微分方程往往更加复杂，需要更加复杂的积分技巧和数值计算方法来求解。

但是分离变量积分作为微分方程求解的基础方法，对于理解微分方程的本质和解法思路具有重要意义。

总结起来，分离变量积分是微积分中的一个重要概念和技巧，用于解决一些特殊形式的微分方程。

通过适当的变换，将含有多个变量的微分方程化为仅含有一个变量的方程，然后通过积分求解，最终得到解析解。

分离变量积分不仅在理论研究中有重要应用，也在实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。