分别简述树、树枝、连支的概念
电路的一般分析法
第三章电路的一般分析法前面讲的等效变换法可用来：分析简单电路使复杂电路的局部得到简化而对于复杂电路的一般分析，就要采用“系统化”的普遍方法：系统化──便于编制程序普遍性──适用于任何线性电路总的思路(步骤)1) 选择一组完备的独立变量，可选的电路变量有电流、电压；独立性──各变量不能相互表示完备性──其它电压、电流可由它们表示2) 由KVL、KCL及元件的VAR建立方程；3) 求解方程得到这些独立变量，进而解出其它待求量。
电路的一般分析法主要有：支路法(支路电流法)：以支路的电流为变量，列写方程回路法(网孔法)：以网孔电流为变量结点法：以结点电压为变量§3－1 支路电流法以图示电路为例来说明支路法的应用。
图中：支路数b=3，结点数n=2，回路数l=3，网孔数m=2。
原则：以支路的电流为变量，列写方程，求解电路参数。
支路电流法的步骤：1) 在图中标出支路电流的参考方向2) 列出(n－1)个独立结点的KCL方程，这里即I I I--+=0(1)1233) 列出m＝b－n＋1个独立回路的KVL方程(每选一回路，均有新支路，通常可选网孔)这里即： ⎩⎨⎧=+-=-(3) (2)23322212211s s s U I R I R U U I R I R4) 联立求解这b 个方程，得出支路电流，进而由支路VAR 求出各元件电压降、功率等变量。
例：上图中， ΩΩ=Ω===24 6.0 1 117 130321s21＝，，，，R R R V U V U s 求：吸吸，，，2121U s U s P P I I 。
解：--+=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪I I I I I I I 12312230061301170624117..I AI A I A 1231055==-=⎧⎨⎪⎩⎪ P us 1吸W I U s 130011-=-=P u s 2吸W I U s 58522=-= ※ 电路中存在电流源，如下图。
图论在电路分析中的应用及其可视化实现
解：做出有向图如图3( b) 所示，选支路1、2、3为树枝( 图中本割集) 。树枝电压也就是割集电
压，并 以树枝电压方 向为割集的方 向。
基本 割集矩阵 Q为
l
2
1l O
4
，
ll
Q=2 O l
3O O
—l O ll
用拉 氏变 换表示 时． 有
Us( s )=O I so) =【L( ! ) ! ：：( ! 】Q Q Q 1r
z=diag[1墨，R，，鸣，，砒，形崛】
2
团
鑫 委 Ⅵ 渊I ll l；
b$---=[型山]7
把上 述各 式带入 便得 回路电 流方 程的矩 阵形 式
置 +础 +志 一 志
l
j aJC5
足 +池 +去
●， j 儿
R
=
^吒 —． ． ．L ●， J 吐 1●， ●， ●J —． ． ．L 一
1● ● ●J
( 三) 电路割集矩阵O 对于摹本割集( 含且仅含一个树枝) ，电路割集矩阵92( g。) ( ¨M． 根据支路k 与割集j 方向相同、方向相反和与割集j 没有关联，qp分别取1， 一l 和O。 ( 四) 支路方程的矩阵形式
Z．0 Z=
对整个 电路有，其中 Z为支路阻抗矩 阵， 三、 田论 中。材 ”在 求■大 规曩 电路中 的应 用 首先 ，电 路是 由连 接在 一起的 许多 两端 元件 组成的 。抛 开元 件本 身的 属 性 ，一 个电 路可 以用 一个 图来 表示 、描 述。 具体 地， 连接 处就 是节 点． 连接 线段就是支路( 树枝或者连支) 。 以回路( 即环) 为线索．若各个同路中的电流已确定，则该电路的参数 也 就定 了。 现在 的问 题是 如何 选择 回路 。从 而使 该电 路的 参数 由且 由这 些回 路中的电流所确定?——这就要用到图论中“树”和“余树”的概念。在电 路对应的图中选定一棵树，然后相应地定出所谓“基本回路”。( 基本回路 就是指回路中含且仅含一个连支，其余均为树枝) 。基本回路的数目与连支 的数 目一样 。这样． 在线性 方程中 回路电 流各个 量之间自 然就线 性无关 。 具体的求解过程如下：
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电力网络分析的一般方法
对于一个具体图G来说，其树的选定有任意性，即可以有多 种选择，但一旦选定以后，则树支和连支就有确定性。
基本回路(Basic Loop):每一个回路必然包含不少于一条连 支，只包含一条连支的回路称为基本回路。对于一个连通图 G来说，基本回路数必然与其连支数相对应。
割集(Cut set)和基本割集(Basic Cut set)：连通图G中的 一组支路的最小集合，它把图G分割成两个互不连通的子图 (其中一个子图可以是一个孤立的节点)，这个支路集合称为 图G的一个割集。割集是分割出来的部分与图G其他部分之间 的联系，分割出来的部分是图G的一个广义节点。每一个割 集至少包含一条树支。仅包含一条树支的割集称为基本割集。 对于图G来说基本割集数必然与树支数相对应。
1.2 电力网络的拓扑约束
1.2.1 图的概念和一些基本定义
研究网络的拓扑约束时，与网络元件的特性，即具体的支路 参数无关，可以把网络的联结关系抽象成一个图(Graph)。
图(Graph):抽象支路和节点的集合，它反映节点与支路之间 的关系。
节点(Node)或顶点(Vertex)：是支路端点的抽象，也是支路 的连接点。
uj
电容：
t
1 C j i jdt
uj
欧姆定律
Vk zk I k
线性支路与线性元件：参数Rj，Lj，Cj与电气量和 时间无关，组成该元件的支路均为线性支路，则该 元件为线性元件；
线性网络：网络中所有元件均为线性元件，则该网 络称为线性网络；
电路第五版邱关源原著电路教案第15章
第15章电路方程的矩阵形式●本章重点1、了解图有关的概念；2、掌握与图的描述有关的三个矩阵；3、基本回路与基本割集的选择；4、状态方程的列写方法。
●本章难点1、复杂电路建立状态方程。
●教学方法本章主要讲述了图论中的基本概念、三个重要矩阵（关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵）及由此导出的KCL、KVL矩阵方程，最后，讲述了列写电路的状态方程的两种方法，即直观法和系统法。
对重点内容，课堂上不仅要把概念讲解透彻，并通过讲例题加以分析，课下布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章讲授共用4课时。
对回路电流方程、节点电压方程、割集电压方程和列表方程等内容以自学为主。
●授课内容15.1割集一、图的概念1，图(线图)：线段（支路）与点（节点）的集合。
2，有向图：标出支路电压，电流参考方向的图。
3，连通图：任意两个节点间至少存在一条由支路构成的路径。
4，子图：若图G1中所有支路和节点都属于图G，就把G1称为G的子图。
二、树、基本回路、割集(a) (b) (c)(d) (e) (f)1、树1）定义：在连通图G中，把所有的节点连通起来，但不包含任一闭合路径的部分线图称为一棵树。
①含所有节点，②不具有回路，③连通的，④为G的子图。
电路的图G如图(a)所示，图(b)为图G的一棵树，图(c)不是图G的树（未含所有节点）；图(d)不是图G的树（出现了回路）；图(e)不是图G的树（不是连通图）；图(f)不是图G的树（不是图G的子图）。
2）树支：属于一棵树的支路称为该树的数支。
树支数＝n－1＝独立节点数3）连支：不属于一棵树的支路称为该树的连支。
连支数＝b-(n-1)=独立回路数。
连支的集合称为余树、补树2、基本回路：在图G中选取一棵树后，由一条连支及相应的树支所构成的回路称为该树的基本回路(单连支回路)。
1）基本回路数=连支数。
2）基本回路的KVL方程相互独立。
3）不同的树对应于不同的基本回路。
3、割集：图G中所有被切割支路的集合同时满足下列两个条件时称为割集。
树的基本概念
基本概念结点的层次（Level）从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层。
二叉树的高度：树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。
二叉树在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。
通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。
二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
二叉树的第i层至多有2的（i-1）次方个结点；深度为k的二叉树至多有2的k次− 1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。
树和二叉树的2个主要差别：1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。
……树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很象自然界中的树那样。
树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。
树在计算机领域中也得到广泛应用，如在编译源程序如下时，可用树表示源源程序如下的语法结构。
又如在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一。
一切具有层次关系的问题都可用树来描述。
一、树的概述树结构的特点是：它的每一个结点都可以有不止一个直接后继，除根结点外的所有结点都有且只有一个直接前趋。
以下具体地给出树的定义及树的数据结构表示。
（一）树的定义树是由一个或多个结点组成的有限集合，其中：⒈必有一个特定的称为根(ROOT)的结点；⒉剩下的结点被分成ｎ>=0个互不相交的集合T1、T2、......Tn，而且，这些集合的每一个又都是树。
树T1、T2、......Tn被称作根的子树(Subtree)。
树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
树的详细介绍
(9)结点的层次(layer）：从根开始,树的根结点的层次
(也称层数)定义为1,其余结点的层数等于它的双亲结点 的层数加1,如A结点的层数为1,K结点的层数为4。
(10)树的深度(depth)：树中所有结点的最大层数
称为树的深度(也称高度),如树T的高度为4。
(11)有序树和无序树:树T中,如果各子树Ti之间是
有先后次序的,则称为有序树,否则称为无序树。
(12)森林:m (m>0)棵互不相交的树的集合。
一棵树删除根结点所剩子树的集合即为森林。
5.1.3树的基本操作
图5.2树的示例T
树的表示常见的有树状表示法和逻辑表示法 两种,图5.2给出了树状表示法的一个实例。树的 逻辑表示法则给出树中的结点的集合及这个集 合上的关系。如图5.2中的树可描述为T=(N,R)。
其中结点集合N={A,B,C,D,E,F,G,HJ,J,K,L}
N上的关系 R={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<B,E>,<B ,F>,<C,G>,
叉树,则返回空值Null。 • (5)Parent(BT,X):返回结点x的双亲结点。当结点x为
根时,返回空值Null。 • (6)LeftChild(BT,x):返回结点x的左孩子.当结点x为
叶子结点或无左孩子时,返回空值Null。 • (7)RightChild(BT,x):返回结点x的右孩子。当结点x
为叶子结点或无右孩子时,返回空值Null。 • (8)TraverseTree(BT):遍历二叉树BT。按某种次序
高等电力网络分析-基本概念
2）电感
i
L u
di uL dt
u，i取关联参考 方向
j L I U
jLI jx I U L xL L ——感抗
du iC dt
u，i取关联参考 方向
3）电容
i C
u
1 j C I
U
jCU I 1 xC C
bt
bl ( n 1)b
qij 1
qij 0
C1 [Q f ] E QL Cn 1
例
C1
按T-L编号的割集矩阵矩阵
y1 y2 C2 y4 y3 y5
C3
1 0 0 1 0 Q 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1
树支数目=独立节点数目=n
如上图T1、T2中：
T1：
y6
T2
y6
①
y4
y1
②
y3y2③①来自y4y1②
y3
y2
③
y5
y5
④
④
( y4 , y5, y6 ) 为连支。
( y3 , y5, y6 ) 为连支
1.4 电力网络的的4个基本矩阵
1、关联矩阵A
①
y1
A表示节点与支路的关联关系。A 的元素 aij 1,1,0
，
z 1,2,1;2,3,2;2,0,3;1,0,4;3,0,5;1,3,6;
k1 0, Ak 2 , i 1
k 2 0, Ak1 , i 1
Ak1 , i 1, Ak 2 , i 1
§1.6 网络运行拓扑约束的电压、电流表示法
1 2 b 1 [ B] l
东南大学,电路基础,实验班讲义第07讲
第二章 直流电路的分析
等效变换法：电路化简，较灵活。 电路方程法：依据两类约束关系列方程组。 本章的主要内容包括：
2.1 电阻的串并联等效变换 2.2 电阻的星形与三角形连接 2.3 支路电流法 2.6 替代定理 2.7 等效电源定理 2.8 节点电压法 2.9 网孔电流法与回路电流法 2.10 特勒根定理
I 2 IL2
将IL1＝Is，IL4＝β I2代入整理，可得
( R 2 R 3) IL2 R 3 IL3 Us1 Us2 R 2 Is ( R 4 R 3 R 2) IL2 ( R 3 R 4) IL3 Us2 R 2 Is
回路电流法的应用步骤： （1） 选定一组独立回路，假定各回路电流的参考方向；
I2
IL 4
R4
2 + U2 -
回路2 R2 IL1 ( R2 R3) IL 2 R3 IL3 Us1 Us2
回路3
R3 IL2 ( R3 R4) IL3 R4 IL4 Us2 U 2
将受控源的控制量用回路电流表示，有
U 2 R 2( IL1 IL2 )
4Ia-3Ib=2 ① -3Ia+6Ib-Ic=-3U2 -Ib+3Ic=3U2 ② U2=3(Ib-Ia)
解：
将②代入①，得 4Ia-3Ib=2 -12Ia+15Ib-Ic=0 9Ia-10Ib+3Ic=0
③
由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。
例2、 列写含无伴电流源的电路的网孔电流方程。 R3 _ Ui + I3 + R4
US1_
R1
IS R2 _ I1 U S2 +
分别简述树、树枝、连支的概念
分别简述树、树枝、连支的概念树是植物界中的一类重要生物体，也是地球上最古老、最广泛分布的植物类型之一。
树木的形态特征和结构给予它们独特的生态功能和美学价值。
本文将分别简述树、树枝和连支的概念，介绍它们在生物学和环境科学领域的重要性。
一、树的概念树是指生长在陆地上、高度较大并存活较长时间的植物。
树木一般由根、茎和叶组成。
根在地下扎根，吸收水分和养分；茎是树木的主体部分，支撑和输送水分和养分；叶则是进行光合作用的器官。
树木的高度通常大于5米，可以达到十几米乃至更高的高度。
树木可以分为阔叶树和针叶树两类，根据叶子的形态和习性进行区分。
树在自然界中有着重要的地位。
首先，树木通过光合作用将二氧化碳转化为氧气，是地球上的主要氧气来源之一。
其次，树木的根系有助于保持土壤的稳定性，防止水土流失和地质灾害的发生。
此外，树木为许多动物提供了栖息地，有助于维持生物多样性。
二、树枝的概念树枝是树的主干分枝，属于树木的一部分。
树枝生长在树干上，与树干呈一定角度。
树枝通常较细长，也可以分为主枝和次枝。
主枝是从树干上生长出来的大型分支，次枝则从主枝上分出。
树枝的末端一般会长出叶子或花朵。
树枝在树木的生长和发育中起到重要的作用。
首先，树枝可以扩大树木的生物表面积，增加光合作用的地方，提高光能的吸收效率。
其次，树枝的生长也是树木生长的标志之一，树枝的长度和分布密度能够反映树木的生长状态和环境变化。
此外，树枝也为许多动物提供了栖息和觅食的场所。
三、连支的概念连支是树枝分布于树干上的整体形态。
它描述了树干上连续的树枝排列方式和形态规律。
连支在树木的生长过程中有着重要的地位。
树的连支形态直接影响树冠的形成和树木的整体结构。
连支的形态主要受到树木的遗传性和环境条件的影响。
在树木生长过程中，连支的位置和数量会受到多种因素的影响，包括光照、水分、营养等。
合理的连支分布和形态可以有效提高树木的光合作用效率和生长水平。
总结：树、树枝和连支作为树木的重要构成部分，在生物学和环境科学领域具有重要的研究价值。
333#——电路解析
解，S闭合前即t＝0－时，i L 0－＝－Is＝－1A S闭合后即t＝0＋时，i L 0＋＝i L 0－＝－1A U s 10 ＝ ＝5A R 2 i L ＋Is＝i i L ＝5－1＝4A t 时，iR＝Vs， i ＝ R eq＝R＝2，＝ L 2 ＝ ＝1s R eq 2
10 0 V
–
25 –
+
1 ＝ ， U 2 ＝5 U1 U2 5
U1
100。 ＝ I1 ＋ U1 25 I 2 ＋ U 2 ＝0 I1 ＝－5 I 2 ， I 2 ＝－1A 联立得， U 2 ＝25V
《电路》模拟题
一、填空题 1、如果电路图的结点数为3，支路数为6，则树枝数为 （ ），连枝数为（ ），独立回路数为（ ）。 2、对于星型连接的对称三相电源，线电流（ ）相 电流，线电压等于对应相电压的（ ），相位（ ） 30度。 3、正弦量的三要素是（ 和初相角，其相量与（ ）、（ ）、 ）和（ ）两要素有关。
i
10V
1 1
i1
S
i2
3i
图1
I1 1 2. 电路如图2，用结 点法或回路法求U, I1 , I2 , I3 。 3 + 9V _ + U _ I3
I2 2 + 4V _
6
图2
0
10 3. 电路如图3，求： 1）R取何值时获得最 大功率Pmax ，2）R获 得的最大功率Pmax 。 + 5V -
二、选择题 1、图2-1中，u、i的参考方向是（ A、关联；B、非关联 2、如果图2-1中u>0，i>0,则元件实际（ A、发出；B、吸收 ）
电网络第一讲（大纲125）讲义——
电⽹络第⼀讲（⼤纲125）讲义——电⽹络理论讲义（⼀）1 ⽹络元件和⽹络的基本性质1.1 ⽹络及其元件的基本概念1.1.1 ⽹络的基本表征量（1）基本表征量分为三类：1）基本变量：电压u (t )、电流i (t )、电荷q (t )和磁链Ψ(t )。
2）基本复合量：功率P (t )和能量W (t )。
3）⾼阶基本变量：()uα和()iβ()0 1αβ≠-、，()d d k k k xxt =，2()112...()...ktt t k kx x d d d ττττ--∞-∞-∞=0k ?? ?>例如，22d d i u E t =，22d d u i D t =等基本变量和⾼阶基本变量⼜可统⼀成()u α和()i β两种变量，其中α和β为任意整数。
（2）基本表征量之间存在着与⽹络元件⽆关的下述普遍关系：()()d t u t dt ψ=(1)()()tt u u d ττ--∞ψ==?()()dq t i t dt =(1)()()tq t ii d ττ--∞==?()()()()dW t p t u t i t dt ==()()()()t t W t p d u i d τττττ-∞-∞==??（3）容许信号偶和赋定关系可能存在于（多⼝）元件端⼝的电压、电流向量随时间的变化或波形称为容许的电压—电流偶，简称容许信号偶，记作{}(),()t t u i 。
3Ω电阻的伏安关系为，3u i =，{}3cos ,cos t t ωω是容许信号偶，｛3, 1｝不是容许信号偶。
容许信号偶必须是向量或者时间的函数。
元件所有的容许信号偶的集合，称为该元件的赋定关系（本构关系) 。
（3）基本⼆端代数元件基本⼆段元件的定义为：()()()()(){}, , , ,u i u q i q ηθ∈ψψ，，，，或(), 0f ηθ=例如线性电阻元件u=iR , 电容元件q=Cu 等。
如图所⽰。
⼀般性分类：η控元件：θ＝θ(η) θ控元件：η＝η(θ)单调元件：元件既是η控的,⼜是θ控的多值元件：元件既不是η控的,也不是θ控的这个概念与数学上的函数定义可以类⽐，若η是θ的函数，则元件是θ控元件；若θ是η的函数，则元件是η控元件；若函数单调，元件既是η控的,⼜是θ控的；若η不是θ的函数，且θ也不是η的函数，则元件既不是η控的,也不是θ控的。
3-4学时(第一章KCL,KVL定律及电路变量的独立性)
方程: 节点a 的KCL方程 方程
i 4 i 1 i6 = 0
既： i 4 = i 1 + i6
KCL的推广： 的推广： 的推广 i1 A i2 i3 B
见书P8页的简单证明。 见书 页的简单证明。 页的简单证明
i1 + i2 + i3 = 0
想象为广义的节点
如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。 c. 如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
15
1、有向图和无向图 、
标明支路参考方向的图称为有向 否则为无向图。 图，否则为无向图。 的任意两节点间至少有一 图G的任意两节点间至少有一 的任意两节点间 时称为连通图， 条连通路径时称为连通图 条连通路径时称为连通图，非 连通图中至少存在两个分离部 分。
基尔霍夫电压定理（ 基尔霍夫电压定理（KVL）使用小结： ）使用小结：
∑ u (t) = 0
k k =1
K
第一： 方程是系数为1， ， 的线性齐次代数方程 的线性齐次代数方程。 第一：KVL方程是系数为 ，-1，0的线性齐次代数方程。它 方程是系数为 表明一个回路中各个支路电压的线性约束关系,即支路电 表明一个回路中各个支路电压的线性约束关系 即支路电 压是线性相关的. 压是线性相关的 第二：KVL适用于任何集总参数电路，它仅与元件的连接方 第二： 适用于任何集总参数电路， 适用于任何集总参数电路 式有关，与元件的性质无关。 式有关，与元件的性质无关。 方程时， 列KVL方程时，必须选定回路的绕行方向。支路 方程时 必须选定回路的绕行方向。 电压参考方向与回路绕行方向一致的取正号 取正号， 电压参考方向与回路绕行方向一致的取正号，相 反的取负号 取负号。 反的取负号。 例：
离散数学第十一章 树
v ,2 , , v w , w , , w 为权的叶分别为 vv 1 m。显然，在所有的叶中， 1 和 v 1 2 m
11.1 树与生成树
树及其性质
推论11.1 任何非平凡树至少有二片叶。
m dv ( i)≥ t 2 ( n t) ，由定理11.1中命题 证明：设（n,m）树T有t片叶，则 2
n
( n t ) ≥ t 2 n 2 t，即 t ≥ 2 （2），可得 2
例11.2 设 是一棵树，它有两个2度节点，一个3度节点，三个4度节点，求 的树 叶数。 解：设树 T 有 x 片树叶，则T
11.2 有向树及其应用
假定我们要找有m片叶，并且它们的权分别为 w 的最优二 , w , , w 1 2 m
, w , , w 叉树。不妨设 w 是按递增顺序排列的。 1 2 m
≤ w ≤ ≤ w 即w 。设<D,W>是满足要求的最优二叉树，D中以 1 2 m
' D vv ,2 的级最大。不妨设 v 1 和 v 2 与同一个分支结点 v ' 邻接，令 D 1
生成树。
图11.3
11.1 树与生成树
生成树与最小生成树
Kruskal算法
（1）选取G中权最小的一条边，设为 e
1
。令 S e ,i 1 1
（2）若 i n 1 ，输出G（S），算法结束。 （3）设已选边构成集合 S 。从E-S中选边 e i
11.1 树与生成树
一端口网络：任一复杂电路通过两个连接端钮与外电路相连,这样
1-5 无源一端口网络的等效变换一端口网络：任一复杂电路通过两个连接端钮与外电路相连，这样具有两个端钮的网络即称为一端口网络或二端网络。
用方框加P 来表示一个无源一端口网络。
A-有源 N-有源、无源等效变换的条件：两个内部结构完全不同的一端口网络P1、P2，如果他们端口上的电压—电流之间的伏安特性完全相同，则称为两者等效。
U 自然等位点和强迫等位点：当R 从0 ∞变化时，ΦA=ΦB 则称A 、B 为自然等位点。
仅当R=0时，ΦA=ΦB 则称A 、B 为强迫等位点。
反过来，如果确定A 、B 为自然等位点，则：R=0或者R= ∞也就是：A 、B 之间可以短接或开路，对外界电路等效。
例：R 1=1Ω，R 2=2Ω，U S1=1V ，当U S2=2V 或U S2= –2V 时，求电压Uab 。
解：当U S2=2V121212133S S U U I AR R −−===−+11141()133ab S U U R I V=−=−−×=12121213S S U U I AR R −+===+当 U S2= –2VU ab =U s1-R 1I=1-1×1=0V电阻的串并联/nR 1R 2Rn R=R 1+R 2+…+R n=1R 1R 1+1/R 2+…+1/R例：求关于AB 端口的等值电阻R AB 。
∥R4(R1+Rc) R9∥ReR AB=(Rf+Rg)//Rd 平衡电桥当满足：R1×R4=R2×R3电桥平衡 I0=0bc、d为自然等位点c、d短接 Rab= R1// R2 +R3// R4c、d断开Rab=（R1+ R3）//（R2+ R4）R ab=R/2例：图中所有的电阻均为R，求ab端口的等效电阻R ab。
Rcd c利电路的对称性R例：图中所有的电阻均为，求ab 端解：的等效电阻R ab 。
利用对称性c 、d 是自然等位点e 、f 、g 是自然等位点h 、i 是自然等位点 324422ab R R R R R R =+++=利用 Y-△变换一、星形联接：每条支路的一端均联接于一个公共点、另一端通向外界的联接方法。
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树、树枝、连支的概念
树（Tree）是一种抽象的数据类型，通常用于表示具有层次结构的数据。
树由一个根节点和若干个子节点组成，每个子节点可以进一步分解为更小的子树。
树的概念可以广泛应用于各种领域，如计算机科学、图形学、人工智能等。
在计算机科学中，树通常被用于表示具有层次结构的数据，例如文件系统、组织结构、XML文档等。
树可以表示为一种特殊的图（Graph），其中每个节点都有一个父节点，除了根节点外。
树中的每个节点可以有多个子节点，但只有一个父节点。
这种结构使得树在处理具有层次结构的数据时非常方便。
树的定义和性质：
每个节点都有一个值。
根节点的值是唯一的。
每个子节点的值都是唯一的。
每个子节点可以进一步分解为更小的子树。
树中的每个节点只有一个父节点，但可以有多个子节点。
树可以表示为一种特殊的图，其中每个节点都有一个父节点。
树可以用于表示具有层次结构的数据，例如文件系统、组织结构
等。
树枝（Branch）是树的一部分，它从树的根节点开始，经过若干个子节点，最终到达一个叶子节点。
树枝由根节点、若干个子节点和连接这些节点的边组成。
在树中，根节点没有父节点，叶子节点没有子节点。
树枝的概念可以用于表示树的结构和层次关系。
连支（Connected Component）是指图形中相互连接的顶点组成的子图。
在一个无向图中，如果任意两个顶点之间都存在一条路径相连，则称该图为连通的。
在连通图中，任意两个顶点之间都存在一条路径，因此连支可以被定义为连通图的子图。
在非连通图中，连支可以被定义为与连通图的连通分量相对应的子图。