2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第6节双曲线练习新人教A版

第八章 第6节 双曲线
[基础对点练]
1．(导学号14577755)双曲线x 2
－my 2
＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.1
4 B.12 C ．2
D ．4
解析：D [双曲线的方程可化为x 2－y 21
m
＝1，∴实轴长为2，虚轴长为2
1m
，
∴2＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫
2
1m ，解得m ＝4.]
2．(导学号14577756)(2018·天津市十二区县一模)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)
的左顶点与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－1，－2)，则双曲线的焦距为( )
A ．6 5
B ．3 5
C ．6 3
D ．3 3
解析：A [根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－1，－2)，即点(－1，－2)在抛物线的准线上，则p ＝2，则抛物线的焦点为(1,0)；则双曲线的左顶点为(－3,0)，即a ＝3；点(－1，－2)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y ＝±2x ，由双曲线的性质，可得b ＝6；则c ＝9＋36＝35，则焦距为2c ＝6 5.故选A.]
3．(导学号14577757)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1
的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3
，则E 的离心率为( )
A. 2
B.32
C. 3
D ．2
解析：A [设|MF 1|＝x ，则|MF 2|＝2a ＋x .
∵MF 1与x 轴垂直，∴(2a ＋x )2
＝x 2
＋4c 2
，∴x ＝b 2
a
.
∵sin ∠MF 2F 1＝13，∴3x ＝2a ＋x ，∴x ＝a ，∴b
2
a ＝a ，
∴a ＝b ，∴c ＝2a ，∴e ＝c
a
＝ 2.故选A.]
4．(导学号14577758)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y
2
－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x 25－y 24＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 23－y 2
6
＝1 D.x 26－y 2
3
＝1 解析：A [圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b
a 2＋
b 2
＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝32－22
＝5，故所求的双曲线方程是x 2
5－y 2
4＝1.]
5．(导学号14577759)(2018·佳木斯市三模)椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1与双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，
b >0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为
( )
A.1
2 B.22 C.33
D.
32
解析：D [椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的焦点坐标(±1,0)，离心率为1
2
.
双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b >0)的焦点(±1,0)，c ＝1，双曲线的离心率为2.
可知a ＝12，则b ＝32，双曲线渐近线y ＝±3x 的倾斜角的正弦值为3
2.故选D.]
6．(导学号14577760)(2018·邯郸市一模)已知点A (a,0)，点P 是双曲线C ：x 2
4－y 2
＝1
右支上任意一点，若|PA |的最小值为3，则a ＝ ________ .
解析：设P (x ，y )(x ≥2)，则|PA |2
＝(x －a )2
＋y 2
＝54⎝
⎛⎭⎪⎫x －45a 2＋15a 2
－1.
a ＞0时，x ＝4
5a ，|PA |的最小值为15
a 2－1＝3，
∴a ＝25；
a ＜0时，2－a ＝3，∴a ＝－1.
答案：－1或2 5
7．(导学号14577761)(2016·高考北京卷)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正
方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ ________ .
解析：取B 为双曲线右焦点，如图所示．
∵四边形OABC 为正方形且边长为2， ∴c ＝|OB |＝22，
又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π
4＝1，即a ＝b .
又a 2
＋b 2
＝c 2
＝8，∴a ＝2. 答案：2
8．(导学号14577762)(2016·高考浙江卷)设双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，
F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 ________ .
解析：如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，
由于△PF 1F 2为锐角三角形，
结合实际意义需满足⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋
2
＜m 2
＋42
，42＜m ＋2＋m 2，
解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案：(27，8)
9．(导学号14577763)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，
F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．
解析：(1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
a －m ＝4，7·13a ＝3·13
m ，
解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.
∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1.
(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6， 所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，
∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|
2
2|PF 1||PF 2|
＝
102
＋42
－1322×10×4
＝45
. 10．(导学号14577764)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF →1·MF →
2＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．
解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ. ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 2
6
＝1.
(2)证明：法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)．
∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m
3－23
.
kMF 1·kMF 2＝
m 29－12＝－m 2
3
.
∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2
＝6，m 2
＝3； 故kMF 1·kMF 2＝－1.∴MF 1⊥MF 2. ∴MF →1·MF →
2＝0.
法二 ∵MF →
1＝(－3－23，－m )， MF →
2＝(23－3，－m )，
∴MF →1·MF →2＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2
.∵M 点在双曲线上，∴9－m 2
＝6， 即m 2
－3＝0.∴MF →1·MF →2＝0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，
△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.
[能力提升练]
11．(导学号14577765)(2018·潍坊市三模)已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的左右焦点
F 1、F 2，P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C 1与双曲线C 2的离心率为e 1，e 2，且e 1e 2＝13，若∠F 1PF 2＝π
3
，则双曲线C 2的渐近线方程为( )
A ．x ±y ＝0
B ．x ±
3
3
y ＝0 C ．x ±
2
2
y ＝0 D ．x ±2y ＝0
解析：C [设椭圆C 1的方程x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，双曲线C 2的方程x 2a 22－y 2
b 22
＝1(a 2＞0，
b 2＞0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
由e 1＝c a 1，e 2＝c a 2，由e 1e 2＝13，则a 2a 1＝1
3
，则a 1＝3a 2.
由题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2， 则|PF 1|＝a 1＋a 2＝4a 2，|PF 2|＝a 1－a 2＝2a 2.
由余弦定理可知：|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，则(2c )2
＝(4a 2)2
＋(2a 2)2
－2×4a 2×2a 2×12
，
c 2＝3a 22，b 22＝c 2－a 22＝2a 2
2，则b 2＝2a 2，
双曲线的渐近线方程y ＝±b 2
a 2x ＝±2x ，即x ±
2
2
y ＝0.故选C.] 12．(导学号14577766)(2018·滨州市一模)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右
顶点为A ，抛物线C ：y 2
＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P 使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )
A ．(1,2)
B.⎝
⎛⎦⎥⎤1，324
C ．(2，＋∞)
D.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫324，＋∞ 解析：B [双曲线E ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2
＝8ax 的
焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，可设P ⎝
⎛⎭
⎪⎫m ，b a m ，
即有AP →＝(m －a ，b a
m )，FP →
＝(m －2a ，b a
m )．
由PA ⊥FP ，即为AP →⊥FP →，可得AP →·FP →
＝0，
即为(m －a )(m －2a )＋b 2a
2m 2
＝0，
化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋b 2
a 2·2a 2≥0，即有a 2≥8
b 2
＝
8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2
，则e ＝c a ≤324
.
由e ＞1，可得1＜e ≤32
4
.故选B.]
13．(导学号14577767)(2018·吴忠市模拟)已知双曲线C ：x 2
3－y 2
＝1的左、右焦点分
别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P 、Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为 ________ .
解析：由双曲线C ：x 2
3－y 2
＝1，得a ＝3，b ＝1，
∴c ＝a 2
＋b 2
＝2，则F 1(－2,0)，F 2(2,0)． 由于点P 的横坐标为2，则PQ ⊥x 轴， 令x ＝2，有y 2
＝43－1＝13，
即y ＝±
33，则|PF 2|＝33
， |PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝23＋
33＝73
3
， 则△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝733＋733＋233＝163
3.
答案：163
3
14．(导学号14577768)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
解：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a
x ，∴a ＝b ， ∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝2a 2
＝4，∴a 2
＝b 2
＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 2
2＝1.
(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，
则直线AO 的斜率满足y 0x 0
·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0.①
依题意，圆的方程为x 2
＋y 2
＝c 2
，
将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2
，即y 0＝12c ，
∴x 0＝
32
c ， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.②
由a 2
＋b 2
＝c 2
，得b 2
＝c 2
－a 2
代入②式，整理得
34
c 4
－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2＋4＝0，
∴(3e 2
－2)(e 2
－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.。