2024年江西省上饶高三数学第一学期期末考试试题含解析

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2024年江西省上饶高三数学第一学期期末考试试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数2
ln(2),1,()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B .[0,1]
C .[1,)+∞
D .[0,2]
2.四人并排坐在连号的四个座位上,其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是( ) A .12
B .16
C .20
D .8
3.将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,如果正四棱锥的主视图是正三角形,如图(3)所示,则正四棱锥的体积是( )
A 332
63
cm B 364
63
cm C 332
23
cm D 364
23
cm 4.设集合{}1,2,3A =,{}
2
20B x x x m =-+=,若{3}A B ⋂=,则B =( )
A .{}1,3-
B .{}2,3-
C .{}1,2,3--
D .{}3
5.已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ,若2=1,7,3
a b c C π
+==
,则ABC ∆的面积为( )
A .
33
2
B 3
C .33
D .236.设0.50.82a =,sin1b =,lg 3c =,则a ,b ,c 三数的大小关系是 A .a c b << B .a b c << C .c b a <<
D .b c a <<
7.在复平面内,复数2
1(1)i
i +-对应的点位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
8.在复平面内,复数2i
i
z -=(i 为虚数单位)对应的点位于( ) A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
9.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}13,5
A =,,{}2,3,4
B =,则集合()U
B A =( )
A .{}1,2,6
B .{}1,3,6
C .{}1,6
D .{}6 10.定义在上的函数
满足
,且
为奇函数,则
的图象可能是( )
A .
B .
C .
D .
11.已知双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点为1F ,2F ,且C 上点P 满足120PF PF ⋅=,13PF =,24PF =,则双曲线C 的离心率为 A .
10
2
B .5
C .
52
D .5
12.若点位于由曲线与
围成的封闭区域内(包括边界),则的取值范围是( )
A .
B .
C .
D .
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.三棱柱111ABC A B C -中, AB BC AC ==,侧棱1AA ⊥底面ABC ,且三棱柱的侧面积为33若该三棱柱的顶
点都在同一个球O 的表面上,则球O 的表面积的最小值为_____.
14.若()1
2
05
3
a x dx -=
⎰,则a =______. 15.三个小朋友之间送礼物,约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),则三人都收到礼物的概率为______.
16.函数()12x f x -的定义域是__________.
三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数()()
2
13cos f x x x =+.
(Ⅰ)若α是第二象限角,且6
sin α=()f α的值; (Ⅱ)求函数()f x 的定义域和值域.
设函数()()22,f x x a x x R a R =+--∈∈. (1)当1a =-时,求不等式()0f x >的解集;
(2)若()1f x ≥-在x R ∈上恒成立,求实数a 的取值范围.
19.(12分)如图,ABC 为等腰直角三角形,3AB AC ==,D 为AC 上一点,将ABD △沿BD 折起,得到三棱锥1A BCD -,且使得1A 在底面BCD 的投影E 在线段BC 上,连接AE .
(1)证明:BD AE ⊥; (2)若1
tan 2
ABD ∠=
,求二面角1C BA D --的余弦值. 20.(12分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y ϕ
ϕ
=-+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).以坐标原点为极点,x 轴正
半轴为极轴,建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为()2,0-,过P 的直线l 与曲线C 相交于M ,N 两点. (1)若l 的斜率为2,求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程; (2)求PM PN ⋅的值.
21.(12分)这次新冠肺炎疫情,是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难,但从来没有被压垮过,而是愈挫愈勇,不断在磨难中成长,从磨难中奋起.在这次疫情中,全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究,一名同学在数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期x 和全国累计报告确诊病例数量y (单位:万人)之间的关系如下表: 日期x
1 2 3 4 5 6 7 全国累计报告确诊病例数量y (万人)
1.4
1.7
2.0
2.4
2.8
3.1
3.5
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系?
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+(系数精确到0.01).并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.
参考数据:
7
1
16.9i
i y
==∑,7
1
77.5i i i x y ==∑
1.88
= 2.65≈.
参考公式:相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=

回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
()()
1
n
i
i
i n
x x y y b =--=
∑∑,a y bx =-.
22.(10
分)已知椭圆2222:1x y
C a b +=(0a b >>
⎛- ⎝⎭
. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点
)
作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰
关于x 轴对称?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
由()0f x ax a -+恒成立,等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方,然后作出两个函数的图像,利用数形结合的方法求解答案. 【题目详解】
因为2ln(2),1,
()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨->⎩由()(1)f x a x -恒成立,分别作出
|()|y f x =及(1)y a x =-的图象,由图知,当0
a
<
时21(1)|2x a x '
==-=,故02a .
故选:D
【题目点拨】
此题考查的是函数中恒成立问题,利用了数形结合的思想,属于难题. 2、A 【解题分析】
先将除A ,B 以外的两人先排,再将A ,B 在3个空位置里进行插空,再相乘得答案. 【题目详解】
先将除A ,B 以外的两人先排,有222A =种;再将A ,B 在3个空位置里进行插空,有2
3326A =⨯=种,所以共有
2612⨯=种.
故选:A 【题目点拨】
本题考查排列中不相邻问题,常用插空法,属于基础题. 3、B 【解题分析】
设折成的四棱锥的底面边长为a ,高为h ,则32h a =
,故由题设可得12124222
a a a +=⨯⇒=四棱锥的体积23
13646=(42)42323
V ⨯⨯=,应选答案B .
4、A 【解题分析】
根据交集的结果可得3是集合B 的元素,代入方程后可求m 的值,从而可求B .
依题意可知3是集合B 的元素,即23230m -⨯+=,解得3m =-,由2230x x --=,解得1,3x =-. 【题目点拨】
本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题. 5、A 【解题分析】
由余弦定理可得227a b ab +-=,结合2=1a b +可得a ,b ,再利用面积公式计算即可. 【题目详解】
由余弦定理,得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-,由22
721
a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩,解得2
3a b =⎧⎨=⎩,
所以,11sin 232222
ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=
. 故选:A. 【题目点拨】
本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题. 6、C 【解题分析】
利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a ,b ,c 1
2
比较即可. 【题目详解】
由0.50.50.820.8a =>
1sin1sin 23b π<=<== 11
lg3lg1022
c =<==,
所以有c b a <<.选C. 【题目点拨】
本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化. 7、B
化简复数为a bi +的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案. 【题目详解】
211(1)(1)22i i i i
i i i i
+++==---⋅
111
222
i i -+=
=-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第二象限
故选:B. 【题目点拨】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题. 8、C 【解题分析】
化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式,可以确定z 对应的点位于的象限. 【题目详解】 解:复数222(2)(2)12i i i
z i i i i i
--=
==--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选:C . 【题目点拨】
本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题. 9、D 【解题分析】
根据集合的混合运算,即可容易求得结果. 【题目详解】
{}1,2,3,4,5A B ⋃=,故可得
()U
B A ={}6.
故选:D. 【题目点拨】
本题考查集合的混合运算,属基础题. 10、D 【解题分析】
根据
为奇函数,得到函数关于中心对称,排除,计算排除,得到答案.
【题目详解】
为奇函数,即
,函数关于中心对称,排除.
,排除.
故选:. 【题目点拨】
本题考查了函数图像的识别,确定函数关于中心对称是解题的关键.
11、D 【解题分析】
根据双曲线定义可以直接求出a ,利用勾股定理可以求出c ,最后求出离心率. 【题目详解】
依题意得,2121a PF PF =-=,2
2
122
1
5F F PF PF =+=,因此该双曲线的离心率12
21
5F F e PF PF =
=-.
【题目点拨】
本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率,考查了运算能力. 12、D 【解题分析】 画出曲线

围成的封闭区域,
表示封闭区域内的点
和定点
连线的斜率,然后结合图形
求解可得所求范围. 【题目详解】 画出曲线

围成的封闭区域,如图阴影部分所示.
表示封闭区域内的点和定点
连线的斜率, 设
,结合图形可得


由题意得点A,B 的坐标分别为,
∴,
∴或


的取值范围为

故选D . 【题目点拨】
解答本题的关键有两个:一是根据数形结合的方法求解问题,即把
看作两点间连线的斜率;二是要正确画出两曲线
所围成的封闭区域.考查转化能力和属性结合的能力,属于基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13、4π 【解题分析】
分析题意可知,三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱,所以三棱柱的中心即为外接球的球心O ,
设棱柱的底面边长为a ,高为h ,则三棱柱的侧面积为333a h ⋅=22
23a h R ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭,再由重要
不等式即可得球O 表面积的最小值 【题目详解】 如下图,
∵三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ∴设11A C a =,1BB h = ∴三棱柱的侧面积为333a h ⋅=∴3a h ⋅=又外接球半径22
212233a h a h R ⎛⎫⎛⎫
=+≥⋅⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ∴外接球表面积244S R ππ=≥. 故答案为:4π
【题目点拨】
考查学生对几何体的正确认识,能通过题意了解到题目传达的意思,培养学生空间想象力,能够利用题目条件,画出图形,寻找外接球的球心以及半径,属于中档题 14、2 【解题分析】
直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数,进一步求出a 的值. 【题目详解】
解:若1
2
05()3a x dx -=
⎰,则31015|33ax x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭,
即15
33
a -=,所以2a =.
故答案为:2. 【题目点拨】
本题考查的知识要点:定积分的应用,被积函数的原函数的求法,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题. 15、
12
【解题分析】
基本事件总数328n ==,三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=.由此能求出三人都收到礼物的概率. 【题目详解】
三个小朋友之间准备送礼物,
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),
基本事件总数328n ==,
三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=. 则三人都收到礼物的概率4182m p n =
==. 故答案为:12
. 【题目点拨】
本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力,属于基础题.
16、(],0-∞
【解题分析】
由120x -≥,得21x ≤,所以0x ≤,所以原函数定义域为(],0-∞,故答案为(],0-∞.
三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(Ⅱ)函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且,值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解题分析】
(1)由α为第二象限角及sin α的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cos α及tan α的值,再代入()f x 中即可得到结果.
(2)函数()f x 解析式利用二倍角和辅助角公式将()f x 化为一个角的正弦函数,根据x 的范围,即可得到函数值域.
【题目详解】
解:(1)因为α是第二象限角,且sin 3α=

所以cos α=
所以sin tan cos ααα
==
所以()(2
1f α⎛== ⎝⎭(2)函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧
⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且.
化简,得()()
21cos f x x x ==
21cos x ⎛= ⎝
2cos cos x x x =
1cos 222x x +=+ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭, 因为x ∈R ,且2x k ππ≠+
,k Z ∈, 所以72266x k π
ππ+≠+
, 所以1sin 216x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
. 所以函数()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦. (注:或许有人会认为“因为2x k ππ≠+
,所以()0f x ≠”,其实不然,因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.) 【题目点拨】 本题考查同角三角函数的基本关系式,三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题,涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于常考题型.
18、(1)()
(),11,-∞-+∞;
(2)[]6,2-- 【解题分析】
(1)当1a =-时,将原不等式化简后两边平方,由此解出不等式的解集.(2)对a 分成4,4,4a a a <-=->-三种情况,利用零点分段法去绝对值,将()f x 表示为分段函数的形式,根据单调性求得a 的取值范围.
【题目详解】
(1)1a =-时,()0f x >可得212x x ->-,即()()22212x x ->-, 化简得:()()3310x x -+>,所以不等式()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞.
(2)①当4a <-时,()2,232,2,22,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<⎪⎪=--+≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩
由函数单调性可得 ()min 2122
a a f x f ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭,解得;64a -≤<- ②当4a =-时,()()min 2,01f x x f x =-=≥-,所以4a =-符合题意;
③当4a >-时,()2,232,2,22,2a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩
由函数单调性可得, ()min 2122a a f x f ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭
,解得42a -<≤- 综上,实数a 的取值范围为[]6,2--
【题目点拨】
本小题主要考查含有绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立问题的求解,属于中档题.
19、(1)见解析;(2

2 【解题分析】
(1)由折叠过程知1A E 与平面BCD 垂直,得1A E BD ⊥,再取1AA 中点M ,可证1AA 与平面MBD 垂直,得1AA BD ⊥,从而可得线面垂直,再得线线垂直;
(2)由已知得D 为AC 中点,以E 为原点,1,EB EA 所在直线为,x z 轴,在平面BCD 内过E 作BC 的垂线为y 轴建立空间直角坐标系,由已知求出线段长,得出各点坐标,用平面的法向量计算二面角的余弦.
【题目详解】
(1)易知1A E 与平面BCD 垂直,∴1A E BD ⊥,
连接1AA ,取1AA 中点M ,连接,MD MD ,
由11,DA DA BA BA ==得1,AA MD ⊥1AA MB ⊥,MB MD M =,
∴1AA ⊥平面MBD ,BD ⊂平面MBD ,∴1AA BD ⊥,
又111AA A E A =,∴BD ⊥平面1AA E ,∴BD AE ⊥;
(2)由1tan 2ABD ∠=,知D 是AC 中点, 令BE BC λ=,则(1)AE AB BE AB AC λλ=+=-+,
由12
BD AD AB AC AB =-=-,BD AE ⊥, ∴1
((1))()02AB AC AC AB λλ-+⋅-=,解得23
λ=,故22,2BE CE ==. 以E 为原点,1,EB EA 所在直线为,x z 轴,在平面BCD 内过E 作BC 的垂线为y 轴建立空间直角坐标系,如图,
则1232(22,0,0),(2,0,0),(0,0,1),(44
B C A D --, 1(22,0,1)BA =-,9232(44
BD =-,设平面1A BD 的法向量为(,,)m x y z =, 则1220923204m BA x z m BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
,取1x =,则(1,3,2)m =. 又易知平面1A BC 的一个法向量为(0,1,0)n =,
32cos ,2132
m n
m n m n ⋅<>===⋅. ∴二面角1C BA D --的余弦值为
22. 【题目点拨】
本题考查证明线线垂直,考查用空间向量法求二面角.证线线垂直,一般先证线面垂直,而证线面垂直又要证线线垂直,注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化.求空间角,常用方法就是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角.
20、(1)l :2cos sin 40ρθρθ-+=,C :()2214x y ++=;(2)3-
【解题分析】
(1)根据点斜式写出直线l 的直角坐标方程,并转化为极坐标方程,利用22sin cos 1ϕϕ+=,将曲线C 的参数方程转化为普通方程.
(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,结合直线参数的几何意义以及根与系数关系,求得PM PN ⋅的值.
【题目详解】
(1)l 的直角坐标方程为()22y x =+,即240x y -+=,
则l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ-+=.
曲线C 的普通方程为()2214x y ++=.
(2)直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨=⎩(t 为参数,α为l 的倾斜角), 代入曲线C 的普通方程,得22cos 30t t α--=.
设M ,N 对应的参数分别为1t ,2t ,所以123t t ⋅=-,,M N 在()2,0P -的两侧.则
12cos π3PM PN PM PN t t ⋅=⋅⋅=-=-.
【题目点拨】
本小题主要考查直角坐标化为极坐标,考查参数方程化为普通方程,考查直线参数方程,考查直线参数的几何意义,属于中档题.
21、(1)可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)0.351y x =+,预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有
4.5万人.
【解题分析】
(1)根据已知数据,利用公式求得()()
9.9080.995.3 1.88
n
i i
x x y y r --===⨯∑,再根据r 的值越大说明它们的线性相关性越高来判断.
(2)由(1)的相关数据,求得()()()121n i i i n i i x x y y
b x
x ==--=-∑∑,a y bx =-,写出回归方程,然后将10x =代入回归方程求解.
【题目详解】
(1)由已知数据得,4x =,16.9 2.4147
y =
=, 所以()()11
77.574 2.4149.908n n i i i i
i i x x y y x y nxy ==--=-=-⨯⨯=∑∑,
5.3===,
所以()()
9.9080.995.3 1.88
n
i i
x x y y r --===⨯∑. 因为y 与x 的相关近似为0.99,说明它们的线性相关性相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)由(1)得,()()()1219.9080.35428
n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--===-∑∑, 2.4140.35440.998a y bx =-=-⨯=,
所以,y 关于x 的回归方程为:0.351y x =+, 2月10日,即10x =代入回归方程得:0.35101 4.5y =⨯+=.
所以预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人.
【题目点拨】
本题主要考查线性回归分析和回归方程的求解及应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
22、 (1) 2
214
x y += (2)见解析 【解题分析】
(1)由题得
a,b,c 的方程组求解即可(2)直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称,等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数,即1212y y 0x t x t +=-
-,整理)
()1212t y y 2my y
0+-=.设直线l 的方程为x my 0+=,与椭圆C 联立,将韦达定理代入整理即可.
【题目详解】
(1)c a =,22131a
4b +=,又222a b c -=,
解得2a 4=,2b 1=.
所以,椭圆C 的方程为2
2x y 14
+= (2)
存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭
,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.
设直线l
的方程为x my 0+=,与椭圆C 联立,整理得,(
)224m
y 10+--=. 设()22B x ,y ,11x x y y 12
+=,定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠
则由韦达定理可得,12y y +=
1221y y 4m -=+. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称,等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数. 所以,1212y y 0x t x t
+=--,即得()()1221y x t y x t 0-+-=.
又11x my 0+=
,22x my 0+=,
所以,
))1221y my t y my t 0-+-=
,整理得,)
()1212t y y 2my y 0+-=.
从而可得,
)21t 2m 04m
--⋅=+,
即()
2m 40-=,
所以,当t =
Q ⎫⎪⎪⎝⎭
时,直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地,当直线l 为x
轴时,Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述,存在x
轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭
,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 【题目点拨】
本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.。

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