新教材适用2023_2024学年高中数学第6章6.2.4组合数课件新人教A版选择性必修第三册

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B.mCnm=nCmn--11 D.n-1 mAmn +1=Amn
[分析] 根据题目的特点,选择适当的组合数公式进行求值或证明. [解析] (1)分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积, 最大的为n+100,最小的为n, 故nn+1n+ 1020!…n+100 =101·nn+1n+1021!…n+100 =101C1n0+1100.
第六章 计数原理
6.2 排列与组合 6.2.3 组 合 6.2.4 组合数
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1.通过实例,理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别 与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式,并熟练掌握组合数公式及组 合数的性质,能运用组合数的性质化简、计算、证明.
2.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,有___8_4___种 不同的选法.
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可,从而有 C39=93× ×82× ×71=
84(种)选法. 3.(1)C26=__1_5____;(2)C1178=___1_8___. [解析] (1)C26=6×2 5=15.(2)C1178=C118=18.
组合数公式的应用
典例 2 (1)式子nn+1n+ 1020!…n+100可表示为( D )
A.A1n0+0100 C.100C1n0+0100
B.C1n0+0100 D.101C1n0+1100
(2)(多选)下列关于排列数与组合数的等式中,正确的是( ABD )
A.(n+1)Amn =Amn++11 C.Cnm=nA!nm
素中取出m个元素的一个组合. 想一想:组合概念中的两个要点是什么? 提示:(1)取出的元素是不同的. (2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关,无序性是组合的
特征性质.
练一练: (多选)下列选项是组合问题的是( BD ) A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普 查,有多少种不同的选法 B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学,有多少种不同的选法 C.3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法 D.3本相同的书分给4名同学,每人最多得一本,有多少种分配方 法 [解析] A、C与顺序有关,是排列问题,B、D与顺序无关,是组合 问题.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应 用问题,提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
1.通过学习组合与组合数的概念,提升数学抽象素养. 2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算,培养数学运算素养.
必备知识•探新知
知识点 1 组合的定义 从n个不同元素中取出m(n≥m)个元素作为一组,叫做从n个不同元
A.4
B.3
C.3或4
D.7
[解析] 由组合数性质知x=4或x+4=7,即x=4或x=3.
3.A24-C23=( A )
A.9
B.12
C.15
D.3
[解析] 由题意得 A24-C23=4×3-3×2 2=12-3=9.
4.C127n-n+C3nn+13=___3_1___.
[解析]
2n≥17-n,
[错解] 先从 10 人中选出 4 人,共有 C410种不同选法.再从选出的 4 人中选出 2 人参加会议甲有 C24种选法,剩下的 2 人参加会议乙、丙有 C22 种选法,所以共有 C410C24C22=1 260(种).
[辨析] 计数问题中,首先要分清楚是排列问题还是组合问题,即 看取出的对象是“合成一组”还是“排成一列”,不能将二者混淆.若 将排列问题误认为是组合问题,会导致遗漏计数,反之,会导致重复计 数.
对点训练❷ (1)计算:C58+C91800·C77; (2)已知C1m5 -C1m6 =107Cm7 ,求 Cm8 . [解析] (1)原式=C38+C2100×1=83××72××61+1020××199=56+4 950=
5 006. (2)原方程可化为 m!55!-m!-m!66!-m!=7×170-×m7!!m!
组合数公式
阶乘式
n! Cmn =____m_!___n_-__m__!_____
Fra Baidu bibliotek
性质
Cmn =__C__nn-_m__,Cmn+1=__C__mn +__C__mn_-_1__
备注 ①n,m∈N*且 m≤n,②规定:C0n=1
想一想:组合数的两个性质在计算组合数时有何作用? 提示:第一个性质中,若 m>n2,通常不直接计算 Cmn ,而改为计算 Cnn-m, 这样可以减少计算量;第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个 组合数或者把两个组合数合成一个组合数,在解题中要注意灵活运用.
课堂检测•固双基
1.(多选)下列说法正确的是( ABD ) A.从 a1,a2,a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有 组合的个数为 C23 B.从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C24个积 C.C35=5×4×3=60 D.C22 002243=C12 024=2 024
2.若 Cx7=C47,则 x 的值为( C )
A.C42 020
B.C52 020
C.C42 021-1
D.C52 020-1
(2)若 C28x-1=Cx8+3,则 x 的值为____2_或__4___;
(3)求证:Cnm+2=Cnm+2Cnm-1+Cnm-2.
[分析] 恰当选择组合数的性质进行求值、证明与解不等式. [解析] (1)C34+C35+C36+…+C32 020 =C44+C34+C35+C36+…+C32 020-C44 =C45+C35+…+C32 020-1=… =C42 020+C32 020-1=C42 021-1. (2)由 C28x-1=Cx8+3得 2x-1=x+3 或 2x-1+x+3=8,解得 x=4 或 x =2.
n-1 mAmn +1=n-1 m·n·(n-1)·…·(n-m)=n(n-1)·…·(n-m+1)=Amn , 故 D 正确.故选 ABD.
[规律方法] 巧用组合数公式解题 (1)涉及具体数字的可以直接用 Cmn =AAmmnm=nn-1n-m2!…n-m+1 进行计算. (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cnm=m!nn!-m!计算. (3)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式, 以及组合数的性质,求解时,要注意由 Cmn 中的 m∈N*,n∈N*,且 n≥m 确定 m,n 的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.
[分析] 区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看取出的 元素是否有顺序,有顺序就是排列问题,无顺序就是组合问题.
[解析] 组合问题与顺序无关,排列问题与顺序有关,D选项中,选 出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱,乙参加独舞”与“乙参 加独唱,甲参加独舞”是两个不同的选法,因此是排列问题,不是组合 问题,选D.
即m!55!-m!-m!6-6×m5!5-m! =7×m!170-×m7×66-×m5!5-m!. ∴1-6-6 m=7-m606-m, 即 m2-23m+42=0,解得 m=2 或 21. 而 0≤m≤5,m=2. ∴Cm8 =C28=28.
题型三
组合数性质的应用
典例 3 (1)计算 C34+C35+C36+…+C32 020的值为( C )
[规律方法] 判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 (1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,与顺序 有关即为排列问题,与顺序无关为组合问题. (2)写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照“顺序后 移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来.
对点训练❶ 已知A,B,C,D,E五个元素,写出每次取出3 个元素的所有组合.
剩下的n-m个元素的组合相对应

作用 →当 m>n2时,计算 Cnm通常转化为计算 Cnn-m
对点训练❸ (1)C05+C15+C25+C35+C45+C55; (2)解方程 3Cxx--37=5A2x-4. [解析] (1)原式=2(C05+C15+C25)=2(C16+C25)=26+52× ×41=32. (2)由排列数和组合数公式,原方程可化为 3·x-x-73!!4!=5·xx- -46! !, 则34x-!3=x-5 6,即为(x-3)(x-6)=40.
练一练: 1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1) 从 a1 , a2 , a3 三 个 不 同 元 素 中 任 取 两 个 元 素 组 成 一 个 组 合 是 C.( × ) (2)从a,b,c,d中选取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组 合.( √ ) (3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”,叫做“从3个不同元素 中取出2个的组合数”.( × ) (4)组合和排列一样,都与“顺序”有关.( × )
[解析] 方法一:可按AB→AC→AD→BC→BD→CD的顺序写出, 即
∴所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE,CDE.
方法二:画出树形图,如图所示.
∴所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE,CDE.
题型二
由题意及组合数公式知n+13≥3n, n∈N*,
解得 n=6.
所以原式=C1112+C1189=C112+C119=12+19=31.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
组合的概念
典例 1 下列问题不是组合问题的是( D ) A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会,有 多少种选法?
B.平面上有2 016个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意 两点可以构成多少条线段?
C.集合{a1,a2,a3,…,an}含有三个元素的子集有多少个? D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独 唱、独舞节目,有多少种选法?
∴x2-9x-22=0, 解之可得x=11或x=-2. 经检验知x=11是原方程的根,x=-2是原方程的增根. ∴方程的根为x=11.
易|错|警|示
混淆“排列”与“组合”的概念致错 典例 4 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人
参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的 安排方法共有______2_5_2_0_____种(用数字作答).
(2)(n+1)Anm=(n+1)n(n-1)·…·(n-m+1)=Amn++11,故 A 正确; Cnm=m!nn!-m!,Cmn--11=m-1n!-1n! -m!, 所以 Cnm=mm-n1n-!1n!-m!=mn ·m-1n!-1n! -m!=mn ·Cmn--11, 所以 mCmn =nCmn--11,故 B 正确; Cnm=AAnmmm=mA!mn ,故 C 错误;
(3)由组合数的性质 Cmn+1=Cmn +Cmn -1可知, 右边=(Cnm+Cnm-1)+(Cnm-1+Cnm-2) =Cnm+1+Cnm-+11=Cnm+2=左边, 右边=左边,所以原式成立.
[规律方法] 性质“Cnm=Cnn-m”的意义及作用.
反映的是组合数的对称性,即从n个不 意义 → 同的元素中取m个元素的一个组合与
知识点 2 组合数的概念、公式、性质 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有___不__同__组__合___
组合数定义 的个数,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ___C__mn ___
组合数公式
乘积式
Cmn =AAmmnm=____n__n_-__1__n_-__2m__!·…__·__n_-__m_+__1____
[正解一] 先从10人中选出2人参加会议甲,再从余下8人中选出1人 参加会议乙,最后从剩下的7人中选出1人参加会议丙.
根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有 C210C18C17=2 520(种).
[正解二] 先从10人中选出2人参加会议甲,再从余下8人中选出2人 分别参加会议乙、丙.
根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有 C210A28=2 520(种).
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