苏科版九年级上册数学期中考试试卷带答案

苏科版九年级上册数学期中考试试题
一、单选题
1．方程的解为（ ）
A ．x ＝2
B ．x 1x 2＝0
C ．x ＝0
D ．x 1＝2，x 2＝0 2．下列方程中，有实数根的是（ ）
A ．x 2﹣x+1＝0
B ．x 2﹣2x+3＝0
C ．x 2+x ﹣1＝0
D ．x 2+4＝0
3．以下各组数据中，众数、中位数、平均数都相等的是（ ）
A ．4，9，3，3
B ．12，9，9，6
C ．9，9，4，4
D ．8，8，4，5
4．小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差（ ）
A ．不变
B ．增大
C ．减小
D ．无法确定
5．已知圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ） A ．1.5cm B ．3cm C ．4cm D ．6cm
6．已知2222(1)(3)8x y x y ++++= ，则 22x y +的值为（ ）
A ．-5或1
B ．1
C ．5
D ．5或-1
7．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上两点，若40BCD ∠=︒，则ABD ∠的大小为（）
A ．60°
B ．55°
C ．50°
D ．45° 8．一元二次方程x 2-2x+1=0的根的情况是（ ）
A ．没有实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
9．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，D 是AB 的中点，若100AOB ∠=︒，则BCD ∠的度数是
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
10．一元二次方程2230x x +-=的二次项系数是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3-
D ．0
二、填空题
11．将一元二次方程(2x-1)(x+1)=1化成一般形式ax 2+bx+c=0为__________．
12．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分． 13．已知m 是方程2310x x --=的一个根，则代数式2265m m --的值等于____． 14．关于x 的方程()211420m m x x +-++=是一元二次方程，则m 的值为_______． 15．如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是__．
16．圆内接四边形ABCD 的内角::2:3:4A B C ∠∠∠=，则D ∠=________度．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 、CD 分别是过⊙O 上点B 、C 的切线，且
⊙BDC=110°．连接AC ，则⊙A=__________°．
18．已知Rt⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，以C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 有两个交点，则r 的取值范围是___________．
19．如图，⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为 _______ .
三、解答题
20．解方程：
（1）2(2)3(2)x x -=- （2）2410x x -=+．
21．判断关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的根的个数．
22．如图，学校打算用16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图，墙长9m ），面积是30m 2．求生物园的长和宽．
23．如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，⊙APB ＝60°，求阴影部分的周长．
24．某中学开展歌咏比赛，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格：
（2）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩稳定．
25．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为⊙ABC 三边的长．
(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断⊙ABC 的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断⊙ABC 的形状，并说明理由．
26．阅读下面的例题：解方程2
20x x --=
解：当x≥0时，原方程化为x 2－x －2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝－1（不合题意，舍去）； 当x ＜0时，原方程化为x 2＋ x －2＝0，解得：x 1＝1，（不合题意，舍去）x 2＝－2； ⊙原方程的根是x 1＝2，x 2＝－2． 请参照例题解方程2
110x x ---=．
27．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，E 为BC 的中点，连接DE ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若AC ＝BC ，判断四边形OCED 的形状，并说明理由．
28．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连接BD ，⊙BAD=105°，⊙DBC=75°．
（1）求证：BD=CD ；
（2）若圆O 的半径为3，求BC 的长．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．A
5．C
6．B
7．C
8．B
9．B
10．A
11．2x 2+x-2=0
【详解】解：()()2111x x -+=，
22211x x x +--=，
2220x x +-=，
故答案为：2220x x +-=．
【点睛】题目主要考查将一元二次方程化为一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题关键．
12．88
【详解】解：⊙笔试按60%、面试按40%计算，
⊙总成绩是：90×60%+85×40%=88（分），
故答案为：88．
13．-3
【分析】把x=m 代入方程得出m 2-3m-1=0，求出m 2-3m=1，推出2m 2-6m=2，把上式代入2m 2-6m-5求出即可．
【详解】解：⊙实数m 是关于x 的方程x 2-3x-1=0的一根，
⊙把x=m 代入得：m 2-3m-1=0，
⊙m 2-3m=1，
⊙2m 2-6m=2，
⊙2m 2-6m-5=2-5=-3，
故答案为-3．
【点睛】考点: 一元二次方程的解．
14．-1
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m 的值，注意二次项的系数不为0．
【详解】解：⊙21(1)420+-++=m m x x 是一元二次方程，
212m ∴+=
解得：1m =±
10m -≠
1m ∴≠，
⊙1m =-，
故答案为：-1．
15．2
【分析】过O 点作OD⊙BC ，D 点为垂足，则DB=DC ，所以OD 为⊙BAC 的中位线，即有OD=1
2AC ；由AB 为⊙O 的直径，得到⊙ACB=90°，由勾股定理可求得AC ，即可得到OD 的长．
【详解】过O 点作OD⊙BC ，D 点为垂足，如图，
⊙AB 为⊙O 的直径，
⊙⊙ACB=90°，
⊙AB 2=BC 2+AC 2，即AC=
4=， 又⊙OD⊙BC ，
⊙DB=DC ，而OA=OB ，
⊙OD 为⊙BAC 的中位线，即有OD =
12AC ， 所以OD=12
×4=2，即圆心O 到弦BC 的距离为2，
故答案为：2．
16．90
【分析】设⊙A=2x ，则⊙B=3x ，⊙C=4x ，根据圆内解四边形的性质得⊙A+⊙C=180°，⊙B+⊙D=180°，则2x+4x=180°，解得x=30°，然后计算出⊙B 后利用互补求⊙D 的度数．
【详解】解：设⊙A=2x ，则⊙B=3x ，⊙C=4x ．
⊙四边形ABCD 内接于⊙O ，
⊙⊙A+⊙C=180°，⊙B+⊙D=180°，
⊙2x+4x=180°，
解得：x=30°，
⊙⊙D=180°﹣3x=180°﹣90°=90°．
故答案为90．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了方程的思想的运用．
17．35
【分析】连接OC ，由BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且110BDC ∠=︒，可求得BOC ∠的度数，又由圆周角定理，即可求得结果．
【详解】解：连接OC ，
⊙BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，
⊙OC CD ⊥，OB BD ⊥，
⊙90OCD OBD ∠=∠=︒，
⊙110BDC ∠=︒，
⊙36070BOC OCD BDC OBD ∠=︒-∠-∠-∠=︒，
⊙1352
A BOC ∠=∠=︒， 故答案为：35．
【点睛】题目主要考查了切线的性质及圆周角定理，作出辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．
18．1235
r <≤ 【分析】要使圆与斜边AB 有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC ．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．
【详解】如图，
⊙BC ＞AC ，
⊙以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有两个交点，则圆的半径应大于CD ，小于或等于AC ，
由勾股定理知，．
⊙S⊙ABC =12AC•BC=12CD•AB=12×3×4=12×5•CD ， ⊙CD=125
， 即R 的取值范围是
125＜r≤3． 故答案为125
＜r≤3． 【点睛】本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．
19
【分析】取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF
，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，则OC=12，OP=1
2，再根据等腰三角形的性质得OM⊙PC ，则⊙CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M 在以OC 为直径的圆上，由于点P 在A 点时，M 点在E 点；点P 在B 点时，M
点在F 点，则利用四边形CEOF 为正方得到EF=OC=2，所以M 点的路径为以EF 为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M 运动的路径长．
【详解】取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图，
⊙在等腰Rt⊙ABC 中，AC=BC=4，
⊙OC=1
2OP=12 ⊙M 为PC 的中点，
⊙OM⊙PC ，
⊙⊙CMO=90°，
⊙点M 在以OC 为直径的圆上，
点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正
方形，，
⊙M 点的路径为以EF 为直径的半圆，
⊙点M 运动的路径长=12．
．
【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M 点的轨迹为以EF 为直径的半圆．
20．（1）x 1=2，x 2=5（2）12x =-22x =-【分析】（1）根据本题特点，选用“因式分解法”来解比较简单；
（2）根据本题特点，可选用“配方法”或“公式法”来解.
【详解】(1)原方程可化为：(2)(23)0x x ---=，
⊙20x -=或230x --=，
解得1
225x x ==，；
（2）移项，得241x x +=，
配方得：24414x x ++=+，即2(2)
5x +=，
⊙2x +=
⊙．x 1=−2+√5,x 2=−2−√5.
21．方程有两个不相等的实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式代入计算即可．
【详解】解：220x mx m -+-=，
1a =，b m =-，2c m =-，
()()2
412m m ∆=--⨯⨯-， ()2240m =-+>，
所以方程有两个不相等的实数根．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，熟练运用根的判别式判断根的个数是解题关键．
22．围成矩形的长为6m ，宽为5m
【分析】首先设生物园的宽为xm ，则长为（16-2x ）m ，根据题意可得等量关系：长方形的长×宽=面积30m 2，由等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设宽为x m ，则长为()162m x -，
由题意，得 ()16230x x -=，
解得 13x =，25x =．
当3x =时，162109x -=>，不合题意，舍去，
当5x =时，16269x -=<，符合题意．
答：围成矩形的长为6 m 、宽为5m ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解．
23．（43
π）cm ． 【分析】连接OA 、OB ，阴影部分的周长是PA+PB 的长+圆心角为120°的扇形的弧长来求
即可．
【详解】解：连接OA 、OB ．
因为PA 、PB 切⊙O 于A 、B 点，PO=4cm ，⊙APB=60°，
所以⊙APO=⊙BPO=30°，⊙AOB=120°，
所以AO=2cm ，
AP=BP=2，
120241803
AB ππ⨯⨯=
=cm ， 阴影部分的周长：
43π
43
π（cm ）． 答：阴影部分的周长是（
43π）cm ． 24．（1）九（1）班平均数为85，众数为85，九（2）班中位数为80；（2）70；（3）九年级（1）班复赛成绩的方差为70，九（1）班的方差小，成绩更稳定些．
【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数、众数的定义和平均数的求法即可得答案；
（2）根据方差公式计算可得九年级（1）班复赛成绩的方差，根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定即可得答案．
【详解】（1）由图可知：九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100， 九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、75、80、100、100，
九（1）班的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85，
⊙九（1）班的5个成绩中，85出现2次，
⊙九（1）的众数为85，
⊙九（2）班的5个成绩中，中间的数是80，
⊙九（2）班的中位数为80，
填表如下：
（2）⊙九（1）班平均数为85，
⊙九（1）班方差s 12=15
[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2]=70， ⊙九（2）班的方差为160，70<160，
⊙九（1）班的成绩更稳定些．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数及方差，将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数；方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；熟练掌握相关定义及方差公式是解题关键．
25．（1）⊙ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）⊙ABC 是直角三角形.理由见解析.
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到⊙ABC 是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到⊙=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到⊙ABC 是直角三角形．
试题解析：解：（1）⊙ABC 是等腰三角形．理由如下：
⊙x=﹣1是方程的根，⊙（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，⊙a+c ﹣2b+a ﹣c=0，⊙a ﹣b=0，⊙a=b ，⊙⊙ABC 是等腰三角形；
（2）⊙ABC 是直角三角形．理由如下：
⊙方程有两个相等的实数根，⊙⊙=2(2)4()()0b a c a c -+-=，⊙2224440b a c -+=，⊙222a b c =+，⊙⊙ABC 是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
26．x 1＝1，x 2＝﹣2
【分析】根据题干中提供的方法，利用绝对值的性质进行分类讨论，解一元二次方程．
【详解】解：⊙当x ﹣1≥0即x≥1时，原方程化为()2110x x ---=，()10x x -=，
解得：x 1＝1，x 2＝0（不合题意，舍去）；
⊙当x ﹣1＜0即x ＜1时，原方程化为()2
110x x +--=，()()210x x +-=， 解得：x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝﹣2，
故原方程的根是x 1＝1，x 2＝﹣2．
【点睛】本题考查绝对值的性质和解一元二次方程，解题的关键是模仿题干中给出的方法
进行计算求解．
27．（1）见解析；（2）正方形，理由见解析
【分析】（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到⊙CDB＝90°，E为中点，可得到ED ＝CE，再利用角的和差可求得⊙ODE＝90°，可得DE为切线；
（2）由条件可得⊙ODA＝⊙A＝45°，可求得⊙COD＝⊙ODE＝⊙ACB＝90°，且OC＝OD，可知四边形ODEC为正方形．
【详解】（1）证明：如图，连接OD、CD，
⊙OC＝OD，
⊙⊙OCD＝⊙ODC，
⊙AC为⊙O的直径，
⊙⊙CDB＝90°，
⊙E为BC的中点，
⊙DE＝CE，
⊙⊙ECD＝⊙EDC，
⊙⊙OCD+⊙ECD＝⊙ODC+⊙EDC＝90°，
⊙⊙ODE＝⊙ACB＝90°，
即OD⊙DE，
又⊙D在圆O上，
⊙DE与圆O相切；
（2）若AC＝BC，四边形ODEC为正方形，
理由：
⊙AC＝BC，⊙ACB＝90°，
⊙⊙A＝45°，
⊙OA＝OD，
⊙⊙ODA＝⊙A＝45°，
⊙⊙COD＝⊙A+⊙ODA＝90°，
⊙四边形ODEC中，⊙COD＝⊙ODE＝⊙ACB＝90°，且OC＝OD，
⊙四边形ODEC为正方形．
【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明OD⊙DE以及⊙COD＝⊙ODE＝⊙ACB＝90°，OC＝OD．
28．（1）证明过程见解析；（2）π
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出⊙DCB的度数，再利用⊙DCB=⊙DBC求出答案；（2）首先求出BC的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【详解】（1）⊙四边形ABCD内接于圆O，
⊙⊙DCB+⊙BAD=180°，
⊙⊙BAD=105°，
⊙⊙DCB=180°﹣105°=75°，
⊙⊙DBC=75°，
⊙⊙DCB=⊙DBC=75°，
⊙BD=CD；
（2）⊙⊙DCB=⊙DBC=75°，
⊙⊙BDC=30°，
由圆周角定理，得，BC的度数为：60°，
故
603
BC
180180
n R
ππ
π
⨯
===，
答：BC的长为π．。