高一下学期期中数学试题(含答案)

答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！
高一数学期中考试
命题人：夏俊东 审题人：王进
一、单选题（选对得5分，选错得0分）
1. 设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）
A. B. 4 C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出||z .
【详解】2
24i 4i 14i,||i
i i z z --+===-+==-故选：A
2. 已知1e r ､2e r
是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）A. 12e e +r r 和12
2e e -r r B. 122e e -r r 和2124e e -r r C. 122e e -r r 和1
e r D. 12e e +r r 和212e e +r r
【答案】B
【解析】
【分析】判断各选项向量组是否共线即可得出答案.【详解】因为()
12211224=2e e e e ---r r r r ，所以122e e -r r 和2124e e -r r 共线，所以122e e -r r 和2124e e -r r 不能作为基底.
故选：B.
3. 已知直线,a b 和平面a ，下列说法正确的是（ ）
A. 若a //b ，b //a ，则a //a
B. 若a //b ，b a Ì，则a //a
C. 若a //b ，b a Ì，a a Ë，则a //a
D. 若a //a ，b //a ，则a //b
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A ：若a //b ，b //a ，则a //a 或a a Ì，故A 错误；
对B ：若a //b ，b a Ì，则a //a 或a a Ì，故B 错误；
对C ：若a //b ，b a Ì，a a Ë，则a //a ，故C 正确；
对D ：若a //a ，b //a ，则,a b 可以平行，可以相交，也可以是异面直线，故D 错误；
故选：C .
4. 已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】A
【解析】
【分析】由圆锥的结构特征求出底面半径、高，再应用圆锥的体积公式求体积.
【详解】由题意，圆锥的底面半径r =
，圆锥的高h ==，
所以圆锥的体积213V r h p =
××=.故选：A 5. 如图，O A B ¢¢¢△是水平放置的OAB V 的直观图，3,4O A O B ¢¢¢¢==，45A O B ¢¢¢Ð=°，则OAB V 的面积为（ ）
A. 6
B. C. 12
D. 【答案】C
【解析】【分析】根据斜二测画法还原平面图，然后计算可得.【详解】根据斜二测画法还原平面图如图，则146122
OAB S =
´´=△.故选：C
.
6. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A. 150°
B. 105°
C. 135°
D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理求出中间的角可得结论．【详解】设边长为7的边所对角为q ，则2225871cos 2582
q +-==´´，q 是三角形内角，所以60q =°，因此三角形中最大角与最小角和是120°．
故选：D ．
7. 在三棱锥P ABC -
中，,2,4,PB AC PA PB AB AC BC ^=====，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ）
A. 52p
B. 643p
C. 1123p
D. 2563p 【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理证得AB AC ^，再根据线面垂直的判定定理可得AC ^平面PAB ，故三棱锥C PAB -的外接球在过底面PAB △外接圆圆心且垂直于底面PAB △的直线上，利用正弦定理求得PAB △外接圆的半径为r ，再根据三棱锥C PAB -外接球的半径为R 求出外接球半径，即可得出答案.
【详解】解：由2,4,AB AC BC ===，
可得222BC AB AC =+，所以AB AC ^，
又,PB AC AB PB B ^Ç=，且PB ，AB Ì平面PAB
，
的
所以AC ^平面PAB ，
故三棱锥B PAB -的外接球在过底面PAB △外接圆圆心且垂直于底面PAB △的直线上，
由正弦定理，可得PAB △外接圆的半径为12sin60PA r =´o
所以三棱锥C PAB -外接球的半径为R ==所以三棱锥C PAB -外接球的表面积为244S R p p ==´，
即三棱锥P ABC -外接球的表面积为2
264443S R p p p ==´=.故选：B.
8. 如图，扇形的半径为1，且0OA OB ×=uuu r uuu r ，点C 在弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r
，则2x y +的最大值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r ，两边同时平方可得221x y =+，再三角代换
cos sin [0,2x y p
a a a ==Î，，，利用三角函数的值域求法即可解出．【详解】由题意得，0OA OB ×=uuu r uuu r ，1OA OB ==uuu r uuu r ，1OC =uuu r ，
由OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r ，等式两边同时平方，得2OC =uuu r 22222x OA y OB xy ++uuu r uuu r OA OB ×uuu r uuu r ，所以221x y =+，令AOC a Ð=，则cos sin [0,]2
x y p a a a ==Î，，，
则22cos sin )x y a a a q +=+=+，其中sin cos [0,2
p q q q ==Î，因为
2p q a q q £+£
+sin()1a q £+£，所以1)a q £+£2x y +故选：B ．二、多选题（选对得5分，选错得0分，选不全得2分）
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若存在实数l ，使得b a l ®®=，则b a
®®∥B. 若b a ®®∥，则若存在实数l ，使得b a
l ®®=C. a ®，b ®为非零向量，若a b a b ®®®®-=-，则a ®与b ®方向相同
D. 已知长度相等的三个非零向量OA ®、OB ®、OC ®满足0OA OB OC ®®®®++=，则ABC V 是等边三角形．
【答案】ACD
【解析】
【分析】可以证明选项ACD 正确，举反例说明选项B 不正确，即得解.
【详解】A. 若存在实数l ，使得b a l ®®=，则b a ®®∥, 所以该选项正确；
B. 若b a ®®∥，则不一定存在实数l ，使得b a l ®®=，如b ®是非零向量，a ®是零向量，则不存在实数l ，使得b a l ®®=，所以该选项不正确；
C. a ®，b ®为非零向量，若a b a b ®®®®-=-，所以2222
+2||||+2a b a b a b a b ®®®®®®®®-=-g ，所以||||2||||cos ,cos 1,=0a b a b q q q ®®®®=\=\o ，则a ®与b ®
方向相同，所以该选项正确；
D. 已知长度相等的三个非零向量OA ®、OB ®、OC ®满足0OA OB OC ®®®®++=，则ABC V 是等边三角形．如图所示，设BC 中点为D ,连接OD 并延长到E ,使,OD DE =连接,BE EC .显然四边形OBEC 是平行四边形，因为OB OC =,所以四边形OBEC 是菱形，因为,OB OC OE OA ®®®®+==-所以//OA OE ®®
,所以,,A O D 三点共线，所以AD BC ^,所以,AB AC =同理,AB BC =所以AB AC BC ==,所以ABC V 是等边三角形．所以选项D 正确.
故选：ACD
10. 在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有（ ）
A. 若1z ，2z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数
B. “1z =”是“1z R z
+Δ的充分不必要条件
C. 方程20(0)x t t +=>的根是
D. 22
z z =【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的运算以及和复数有关的定义分别判断即可．
【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212
z z z z +(i)(i)(i)(i)
a b c d a b c d =+-+-+(i i )(i i )
ac ad bc bd ac ad bc bd =-++++-+22ac bd R =+Î，故A 正确；
设i z a b =+(a ，)b R Î，
当0b =时，由||1z =则1z =±，所以1z R z +
Î，若11z a R z a +=+Î得不到||1z =，
当0b ¹时，若||1z ==，则222222222211i 1i i i=i a b a a b a z a b a b a b a R z a b a b a b a b a b æö-+-+=++=++=+++Îç÷+++++èø
，\ “||1z =”是“1z R z
+Δ的充分不必要条件，故B 正确；
方程20(0)x t t +=>的根是，故C 正确；
z 是复数，2z 可能是复数，但2||z 是复数的模，一定是实数，
如1i z =+，则()221i 2i z =+=，但是2
2z =，故D 错误；
故选：ABC ．
11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A. 直线11A C 与1AD 为异面直线
B. 11//A C 平面1
ACD C. 1BD AC ^
D. 三棱锥1D ADC -的体积为
83
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据异面直线的定义，线面平行，垂直的判定定理，几何体的体积求解方法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，直线11AC Ì平面1111D C B A ，
1AD Ì平面11ADD A ，1D Ï直线11A C ，则易得直线
11A C 与1AD 为异面直线，故A 正确；
对于B ，因为1111//,A C AC A C Ë平面1ACD AC Ì，平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，连接BD ，因为正方体1111ABCD A B C D -中，11,,AC BD AC DD BD DD D ^^Ç=，所以AC ^平面1BDD ，所以1BD AC ^，故C 正确；
对于D ，三棱锥1D ADC -的体积1114222323
D ADC V -=
´´´´=，故D 错误．故选:ABC.
12. 在棱长为3的正方体111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，N 在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点N ，使得//BC
MN B. 三棱锥M —11A BC 的体积等于9
4
C. 有且仅有两个点N ，使得//MN 平面11
A BC
D. 有且仅有三个点N ，使得N 到平面11A BC 【答案】ABC
【解析】
【分析】对A ，取N 为11C D 的中点时判断即可
对B ，根据1111M A BC B A MC V V --=计算即可；
对C ，取12,N N 分别为111,B B B C 中点可得1//MN 平面11A BC ，2//MN 平面11A BC 判断即可；对D ，根据正方体的性质可知1B D 与平面11A BC ，平面1ACD 均垂直，且被两平面平分为3段可得点
11,,,B A C D 四点到平面11A BC 【详解】对于A ，当N 为11C D 的中点时，易得11//MN B C ，又11//B C BC ，故//BC MN ，故A 正确；
对于B ，1111111111393333224
M A BC B A MC A MC V V S B B --==×=´´´´=V ，故B 正确；对于C ，如图所示12,N N 分别为111,B B B C 中点，有1//MN 平面11A BC ，2//MN 平面11A BC ，故C 正确；
对于D ，易证1B D ^平面11A BC ，1B D ^平面1ACD ，1B D 分别交平面11A BC ，1ACD 于12,O O ，则
11122113
B O O O O D B D ====11,,,B A
C
D 四点到平面11A BC D 错．故选：ABC
三、填空题（做对得5分，做错得0分）
13. 已知向量()()()1,0,1,1,1,0a b c ===-r r r ，且c a b l m =+r r r ，则l 和m 的值_________
【答案】10
l m =-=，【解析】
【分析】由平面向量的坐标运算，代入可得：10
l m m +=-ìí=î，解方程即可得出答案.【详解】因为()()()1,0,1,1,1,0a b c ===-r r r ，c a b l m =+r r r ，所以
()()()()1,01,01,1,l m l m m -=+=+，所以10
l m m +=-ìí=î，解得：1,0l m =-=.故答案为：1,0
l m =-=14. 已知圆锥的高为1，体积为
23p ，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.【答案】12p
【解析】
【分析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径r ，利用勾股定理可得母线长l ；根据球的表面积公式可求
得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，
Q 圆锥体积212133
V r p p =´=，r \=，l \==，\以l 为半径的球的表面积2412S l p p ==.
故答案为：12p .
15. 如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN ＝________.
【答案】5
【解析】
【分析】取AD 的中点P ，连接PM 、PN ，∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角，解△MPN 即可.
【详解】取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，
则BD ∥PM ，AC ∥PN ，
∴∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角，
∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝1
2BD ＝3，
∴MN ＝5.
故答案为：5.
16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的正三角形，14AA =，M 为1CC 的中点，P 为线段1A M 上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）
①1A M ^平面ABM
②三棱锥P ABM -
的体积的取值范围为æççè③BP 与11B C 为异面直线
④存在点P ，使得AP 与BC 垂直
【答案】②③
【解析】【分析】由勾股定理求出1A M 、BM 、1A B
，即可判断①，由B AMP P ABM V PM V --==即可判断②，根据异面直线的定义判断③，设AC 中点为N ，即可得到AP ^平面BNC ，即AP ^平面ABC ，得出矛盾，即可判断④；
【详解】解：由题意得1112A C MC ==
．则
1AM A M BM =====，
1A B ==，所以1A M 与BM 不垂直．故①错误；
P ABM B AMP V V --=，点B 到平面AMP
由22211AM A M A A +=，所以1AM A M ^
，所以
AMP AM
PM S ´=△，又(0,PM Î，则13P ABM B AMP
AMP V V S PM --æ===ÎççèV ，故②正确；P 为线段1A M 上点（不包括端点），故BP 与11B C 为异面直线，故③正确；
若^AP BC ，设AC 中点N ，所以BN AC ^，又平面ABC ^平面11ACC A ，
平面ABC I 平面11ACC A AC =，BN Ì平面
ABC ，
所以BN ^平面11ACC A ，AP Ì平面11ACC A ，所以BN AP ^，
又BN BC B =I ，则AP ^平面BNC ，即AP ^平面ABC ，
的为
又因为1AA ^平面ABC ，故点P 与点1A 重合，不合题意，故④错误．
故答案为：②③
四、解答题
17. 如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm ），球的直径为5 cm ，求该组合体的体积和表面积
【答案】体积为1200＋
12512
p （cm 3），表面积700＋254p （cm 2）．【解析】【分析】利用长方体和球的体积公式、表面积公式进行求解即可.
【详解】根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得
V 长方体＝10×8×15＝1200（cm 3），
又V 半球＝3
3145125(cm )23212p p æö´´=ç÷èø，所以所求几何体体积为：
V ＝V 长方体＋V 半球＝1200＋12512
p （cm 3）．
因为S 长方体全＝2×（10×8＋8×15＋10×15）＝700（cm 2），
故所求几何体的表面积S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底
＝700＋221554222p p æöæö××-×ç÷ç÷èøèø
＝700＋254p （cm 2）．18. 已知向量(1,2),(3,)a b k ==-r r .
（1）若a b r r ∥，求||b r ；
（2）若向量a r 与b r 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）；
（2）32
k <
且6k ¹-.【解析】
【分析】(1)根据向量共线的坐标表示即可求出k ，根据向量模长公式即可计算；(2)若向量a r 与b r 的夹角是钝角，则a r b ×r ＜0且a r 与b r 不反向，根据数量积即可运算.
【小问1详解】
∵a b r r ∥，
∴12(3)0k ´-´-=，解得6k =-，
∴||b ==r .
【小问2详解】
∵a r 与b r
的夹角是钝角，∴0a b ×<r r ，且a r 与b r 不反向，
即1(3)20k ´-+´<且6k ¹-，∴32
k <且6k ¹-.19. 已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+．
（1）求z ；
（2）若z 是关于x 的方程()20,R x px q p q ++=Î的一个根，求复数()4i
z p q ++的模．【答案】（1）i 12z =+
（2）1
【解析】
【分析】（1）设()i ,R z a b a b =+Î，根据复数代数形式的运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
（2）将i 12z =+代入已知方程，利用复数代数形式的乘法运算及复数为0的充要条件得到方程，即可求出p 、q ，再代入
()4i
z p q +-，利用复数除法运算法则化简，从而求出其模；【小问1详解】
解：设()i ,R z a b a b =+Î，则i z a b =-，
所以()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =ìí=î，即12a b =ìí=î
，所以i 12z =+；【小问2详解】
解：将i 12z =+代入已知方程可得()()2
12i 12i 0p q ++++=，
即()214i 4i 12i 0p q +++++=，整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=ìí+-=î，解得25p q =-ìí=î
，所以()()()()()212i 2i 12i 2i 4i 2i 5i i 4i 2i 2i 2i 55
z p q +--+-----=====-+--+-+--，又i 1-=，故复数()4i
z p q +-的模为1．20. 已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos 2b A c a ×=+.
（1）求B ；
（2）若3b =，求ABC V 的面积的最大值.
【答案】（1）23
B p =；
（2【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解作答.
（2）利用余弦定理结合均值不等式求出ac 的最大值，再由面积定理求解作答.
【小问1详解】
在ABC V 中，A B C p ++=，由2cos 2b A c a ×=+及正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A C A ×=+，即2sin cos 2sin()sin B A A B A ×=++，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin B A A B A B A ×=×+×+，于是得2cos sin sin B A A ×=-，又0A p <<，即sin 0A >，则1cos 2B =-
，因(0,)B p Î，所以23
B p =.【小问2详解】
3b =，由余弦定理得：222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++³，当且仅当a c =时取“=”
，
因此，3ac £，于是得11sin 322ABC S ac B =£´=V ，当且仅当a c ==时取“=”，
所以ABC V 21. 在三棱锥P ABE -中，PA ^底面ABE ，AB ⊥AE ，122
AB AP AE ===，D 是AE 的中点，C 是线
段BE 上的一点，且AC =，连接PC ，PD ，CD .
（1）求证：CD ∥平面PAB ；
（2）求点E 到平面PCD 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2【解析】
【分析】（1）通过证明//CD AB 来证得//CD 平面PAB .
（2）通过等体积法求得点E 到平面PCD 的距离.
【小问1详解】
因为122
AE =，所以4AE =.又2AB =，AB AE ^.
所以在Rt ABE △
中，由勾股定理，得BE =
==
因为12
AC BE ==，所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线.所以C 是BE 的中点.
又因为D 是AE 中点，所以直线CD 是Rt ABE △的中位线，
所以//CD AB .
又因为CD Ì/平面PAB ，AB Ì平面PAB ，所以CD ∥平面PAB .
【小问2详解】
由（1）得，112CD AB =
=.又因为122
DE AE ==，DE CD ^.所以1112122
CDE S CD DE =×=´´=△.又因为2AP =，所以11212333
P CDE CDE V S AP -=×=´´=×△.
由题意得PD =，且PD CD ^
，所以11122
PCD S CD PD =×=´´△设点E 到平面PCD 的距离为d ，则由P CDE E PCD
V V --=得1
233PCD S d ××=△
，即1233
d =
，解得d =故点E 到平面PCD
.
22. 重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前A 点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达D 点.小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米后到达陶行知纪念馆B 点，后又沿着南偏西60°的方向行走到达国旗杆下C 点，经过测量发现60ACD Ð=°.设ACB q Ð=，如图所示.
的
（1）设国旗杆底C 点到行知大道的最短距离为h ，请用q 表示h 的解析式；
（2）求小王走过的路程AB BC +的最大值.
【答案】（1）60)60)h q q =-°+
°<<°
（2）18+【解析】
【分析】（1）根据题意可得出90ADC q Ð=°-，再由正弦定理可表示出AC q =，再结合30CAD q Ð=°+与sin h AC CAD =×Ð即可得出答案.
（2）利用正弦定理表示出18sin 2AB q =与sin(60)sin120AC BC q °-=
°，即可化简求出AB BC +的最大值.【小问1详解】
由已知得360(9012060)90ADC q q Ð=°-°+°+°+=°-，
在ACD V 中，由正弦定理得sin sin AD AC ACD ADC =ÐÐ，所以27cos sin 60AC q q ==°
. 又因为30CAD q Ð=°+，且060q °<<°，所以
sin sin(30)60)60)h AC CAD q q q q =×Ð=+°=-°°<<°.【小问2详解】
在ABC V 中，由正弦定理得sin 18sin 2sin120AC AB q q ==°，sin(60)
36cos sin(60)29sin 2sin120AC BC q q q q q °-==°-=+-°
，
于是29sin 218sin(260)AB BC q q q +=+=++°.
因为060q °<<°，所以当15q =°时，AB BC +取得最大值18+米.。