人教版数学高二《杨辉三角与二项式系数的性质》 名师课件

(4)各二项式系数的和.
Cn0
C
1 n
Cห้องสมุดไป่ตู้2
C r 高中n数学
Cnn 2n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
研究二项式系数的性质．
f(r)
. (a+b)n展开式的二项式系数是
20-
. . C
0 n
,
C
1 n
,
Cn2
,
, Cnr，
,C
n n
.
C
r n
可看成是以r为自变量的函数
1106----
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
高中数学
继续思考(a: b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a b n2 2
C
r n
a
nr
br
C
n n
b
n
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的
和等于偶数项的二项式系数的和.
这一性质可直接由公式
C
m n
Cnm n
得到．
图象的对称轴：r n 2
高中数学
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值
当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数
C
2 n
取得最大值；
n 1
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn2 、Cn2
相等，且同时取得最大值。
高中数学
二项式系数的性质
二项定理:
(a b)n
高中数学
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
高中数学
高中数学
(a b)n
高中数学 r n1Cnn
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
, Cnr，
,C
n n
.
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
(3)增减性与最大值. 当n为偶数时，中间一项取得最大项； 当n为奇数时，中间两项同时取得最大值。
f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当
. . n=6时，其图象是右图中的7个孤立 . . 点.
8642--
3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
高中数学
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
(a b不)5 难发现1 ,表5 中1每0 行1两0 端5都是1 1，而C且50C除51C152以C53外C54的C5每5
(a一不C…n个为r…，b1数)知的6 都道数等1C为n于+C61它rn=+1肩1…Cr，5n上r…那-1两2+么0C个n它r数1这肩5的就上和6是的.组事两1 合实个C6数上数0C的，分61C性设别6…2C质表为6…3C2中C.6n4任rC-16及5一C66
C
0 n
a
n
Cn1a n1b Cn2a b n2 2
C
r n
a
nr
b
r
Cnnbn
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n C1n C2n Cnn 2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
是数解启的决示和二：等项在于式二有：项2关式n问定题理的中一，种对重a要,b方赋法予—一—些特赋定值的法值。，
高中数学
杨辉三角
1观．察“二杨项辉式系三数角表”，的寻来求历其及规规律： (律a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3
11 121 13 31
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
(a b)4
1
4
C640C41C42C43C44 4
1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质
高中数学
复习回顾
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n
C
0 n
a
n
Cn1a n1b Cn2a b n2 2
C
r n
a
nr
b
r
Cnnbn
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
即证：C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n1
证明：在展开式Cn0an Cn1an1b Cnnbn中
令a=1，b=－1得
(1 1)n
C
0 n
Cn1
Cn2
C
3 n
(1)n
C
n n
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
Cn0
C
2 n
C
1 n
C
3 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。