2014级线代试题及解答

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线性代数期末试题
一、填空题 (每小题3分,共15分)
1.设3阶矩阵A 与B 相似,且B 的特征值为1,2,2,则1
4A E --=
2.若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________
3.若向量组1(,1,1,1)T αλ=,2(1,,1,1)T αλ=,3(1,1,,1)T αλ=,4(1,1,1,)T αλ=,其秩为3,则 λ=
4.设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵,则=-1
A
5. 设矩阵2112A ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B =
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )
(A ) 222()2A B A AB B +=++ (B )111()A B A B ---+=+
(C )若0AB =, 则0A =或0B = (D )()T T T AB A B =
2.设,,A B C 均为n 阶方阵,且AB BC CA E ===. 则222
A B C ++=( )
(A ) 3E (B ) 2E (C ) E (D ) 0
3.设βααα,,,321均为n 维向量,又βαα,,21线性相关,βαα,,32线性无关,则下列正确的是( )
(A )321,,ααα线性相关 (B )321,,ααα线性无关 (C )1α可由βαα,,32线性表示 (D )β可由21,αα线性表示
4.设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )
(A )等于n (B )小于n (C )大于n (D )不能确定
5.设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*
≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不
相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )
(A )不确定 (B )3个 (C )2个 (D )1个
三、(10分) 已知2AB A B =+, 其中1100
11101A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
,求B 四、(12分)设向量组1(2,1,4,3)T α=,2(1,1,6,6)T α=--,3(1,2,2,9)T α=---,
4(1,1,2,7)T α=-,5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量,并把其余向量用
最大无关组向量线性表示.
五、(13分)设矩阵43323
1213A --⎛⎫

=- ⎪ ⎪⎝⎭
1.求A 的特征值与特征向量;
2. 判断A 是否可以对角化,并说明理由.
六、(15分)讨论λ取何值时, 线性方程组1231232
1
2324
4x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪
++=⎨⎪-++=⎩
1.有惟一解;
2. 无解;
3.有无穷多个解, 并求其通解.
七、(10分)设123,,ααα均为三维列向量,矩阵123(,,)A ααα=,且1A =. 若
123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ,计算B .
八、(10分)设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解,12,,
,n r -ξξξ 是对应的齐次线性
方程组的基础解系. 证明: 向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性
方程组Ax b =线性无关的解向量.
线性代数 解答
一、填空题
1. 3 ;
2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bE
c
+-
; 5. 2 二、单项选择题
1. C;
2. A;
3. C;
4. B;
5. D
三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+
~100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪
⎪ -⎭

011101110B ⎛-⎫

=- ⎪⎪
-⎭⎝
四、 ()123452111
2101041121
401103,,,,,4622400013369790
00
00A ααααα---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--
⎪ ⎪
==→ ⎪ ⎪
---
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-
五、2433231(2)(4)0,2
1
3A E λ
λλλλλ
----=--=--=-
A 的特征值1234, 2.λλλ===
由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ
得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫

=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ
由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
基础解系为201,1⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ
对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ;2.不能对角化。

六、1
121
1
(1)(4)0,1,41
1
A λλλλλλ
-==-+-==-=-
1,λ≠- 且4λ≠时,0A ≠,有唯一解,
110110(2,)011011101101A E A ⎛---⎫ ⎪
-=-- - ⎪⎪ ---⎭⎝
当1λ=-时,⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=584032021001111141114211B R(A)=2,R(B)=3, 无解
4λ=时,⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0400130100011614144114211B ,R(A)= R(B)=2,有无穷解。

通解为⎪
⎪⎪
⎭⎫

⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113040321c x x x ,(c 为任意常数)
七、123111(,,)123134B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
ααα 123111,,123(1)1134B A ==-=-ααα
或者利用行列式的性质。

八、0,0,(1,2,
)i A b A i n r ξξ===-
00(),(1,2,
)i i i A A A A b i n r ηξξξξ=+=+==-
故 001010,,
,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是Ax b =的解向量.
设0011,n r n r k k k --+++=0ηηη 即01011(),n r n r n r k k k k k ---++
++++=0ηξξ
01011(),n r n r n r A k k k k A k A ---++
+++
+=0ηξξ 由00,0,(1,2,
)i A b A i n r ξξ=≠==-得
01(),n r k k k b -+++=001,n r k k k -∴+++=0于是11,n r n r k k --+
+=0ξξ 又因为12,,
,n r -ξξξ是对应的齐次方程组的基础解系,12,,
,n r -ξξξ线性无关,从而
12,,n r k k k -====0 进而00k =, 线性无关。

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