中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)
一、综合题
1．某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=20时，y=1000，当x=25时，y=950.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
，0)，在第一象限内与直线y＝x 2．如（图1），已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A( 3
2
交于点B(2，t)
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，点C到直线OB的距离为√2，求点C的坐标；
（3）如（图2），若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC ∽△MOB？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图像与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为(1，0)，连接AB，tan∠ABO=2.
（1）则点A的坐标为，a= ；
（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图象交于另一点C，求点C的坐标；
（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B、点C到l的距离分别为d1、d2，求d1+d2的最大值.
4．如图正方形ABCD，点P,Q,R,S分别在AB，BC,CD,DA上，且BQ=2AP,CR=3AP,DS=4AP
（1）若正方形边长为4，则当AP为何值时，四边形PQRS的面积为正方形面积的一半
（2）若正方形边长为a（a为常数），则当AP为何值时，四边形PQRS的面积最小，并求出最小面积. 5．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E 点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边
形BDEF 的面积．
6．如图，抛物线y ＝﹣1
3x 2+1
3x ＋4交x 轴于A ，B 两点（点B 在A 的右边），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC.点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q.
（1）求A 、B 两点坐标；
（2）过点P 作PN 上BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.
7．如图，已知二次函数L 1：y=ax 2-2ax+a+3（a ＞0）和二次函数L 2：y=-a （x+1）2+1（a ＞0）图象的顶点分别为M ，N ，与y 轴分别交于点E ，F ．
（1）函数y=ax 2-2ax+a+3（a ＞0）的最小值为 ，当二次函数L 1，L 2的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是
（2）当EF=MN 时，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）．
（3）若二次函数L 2的图象与x 轴的右交点为A （m ，0），当△AMN 为等腰三角形时，求方程-a （x+1）2+1=0的解．
8．在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象与x 轴交于点A(1，0)，B 两点，
与y轴交于点C，当x=−3
时，函数有最大值．
2
（1）抛物线的解析式；
（2）点M在y轴上，使得∠MBC=15°，求点M的坐标；
（3）若点P(x1，m)与点Q(x2，m)在抛物线上，且x1<x2，PQ=n，求证：x22−2x2=x12−4n+3．9．如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．
（1）求m的值．
（2）求A、B两点的坐标．
（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．10．若y是x的函数，h为常数（ℎ>0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a<b）时，总有|y1−y2|≤ℎ，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．（1）函数：①y=2x，②y=1
，③y=x2在−1≤x≤1时为有界函数的是：（填序号）；
x
（2）若一次函数y=kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为b−a，
请求出此一次函数解析式；
（3）已知函数y=x2−2ax+5（a>1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
11．已知函数y=(n+1)x m+mx+1−n（m，n为实数）．
（1）当m，n取何值时，函数是二次函数．
（2）若它是一个二次函数，假设n>−1，那么：
①它一定经过哪个点？请说明理由．
②若取该函数上横坐标满足x=2k（k为整数）的所有点，组成新函数y1．当x≥12时，y1随x的增大而增大，且x=12时是函数最小值，求n满足的取值范围．
12．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-2x+c(c>0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1,0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点。

（1）求该抛物线的解析式和顶点E的坐标；
（2）设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；
（3）如图2，若直线0D的解析式是y=-3x，点P和点0分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

13．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）.
（1）求这个抛物线的解析式.
（2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P
的坐标.
（3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D.连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF.
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x−1与抛物线y=−x2+bx+c交于A、B两点，其中A(m，0)，B(4，n) .该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2.若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合).分别以AP、DP为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标.
（3）如图3.连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
15．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90
售价(元/件) x＋40 90
每天销量(件) 200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
16．如图
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(−3，0)和点B(1，0)．
（1）求抛物线F1的解析式；
（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN 面积的最大值．
参考答案与解析
1．【答案】（1）解：每天的销量y （件）与当天的销售单价x （元/件）满足一次函数关系， 设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0）， x=20时，y=1000，当x=25时，y=950， 代入得 {20k +b =100025k +b =950 ，
解得 {k =−10
b =1200
，
∴函数关系式为y ＝－10x ＋1200，
（2）解：W ＝(x －40) y ＝(x －40)( －10x ＋1200) ＝－10x 2＋1600x －48000＝－10(x －80) 2＋16000， 当售价定为80元, W 最大＝16000，
∴售价定为80元/件时,每天最大利润W ＝16000元， （3）解：由题意得
{w ≥12750
40(−10x +1200)≤20000
， {−10(x −80)2+16000≥13750−10x +1200≤500 ，
{−15≤x −80≤15x ≥70 ，
{65≤x ≤95x ≥70 ，
70≤x ≤95 .
2．【答案】（1）解：点 B 在直线 y =x 上，则点 B 的坐标为 (2,2) ， 将点 A 、 B 的坐标代入二次函数表达式得： {0=a(32
)2+3
2
b
2=4a +2b
，解得： {a =2
b =−3 ，
故抛物线的表达式为： y =2x 2−3x ①
（2）解：如图，过点 C 作 CH//y 轴交 AB 于点 H ，
∵∠BAO=45°，
∴∠OHC=45°，
又∵CM⊥OB，
∴∠MHC=∠MCH=45°，
CM=√2，
∴HC=√2CM=2，
设点H(t,t)，则C(t,2t2−3t)，
∵点C在直线BO的下方，
HC=t−2t2+3t=2，解得：t=1，
∴C(1,−1)
（3）解：如图（2）BM交y轴于点N，
∵∠MBO=∠ABO，OB=OB，∠NOB=∠AOB=45°，在△BON和△AOB中，
{
∠MBO =∠ABO
OB =OB
∠NOB =∠AOB
， ∴△BON ≅△AOB(AAS) ， ∴ON =OA =3
2
，
将点 B 、 N(0,32) 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BM 的表达式为： y =1
4x +3
2②，
联立①②并解得： x =−3
8 ，故点M （ −3
8 ， 45
32 ）， ∵△POC ∽△MOB ， OB =2√2 ， OC =√2 ， ∴ OB
OC =
OM OP
=2 ，
即： OM =2OP ， ∠MOB =∠POC ， ①当点 P 在第一象限时，
过点 P 作 PQ ⊥OA 于点 Q ，过点 M 作 MG ⊥ON 于点 G ，
∵∠BON =∠AOC =45°
∴∠MON =∠POA ， ∴ΔMOG ∽ΔPOQ ， ∵OM =2OP ， ∴ OM
OP =
MG PQ =OG
OQ =2 ，
又 OG =45
32 ， MG =3
8 ， ∴OQ =
45
64
， PQ =3
16 ， 即点P （ 45
64 ， 3
16 ）
②同理当点 P 在第三象限时， 点P （ −316 ， −45
64 ）；
综上，点P （ 4564 ， 316 ）或（ −316 ， −45
64 ）. 3．【答案】（1）（0，2）；−1
4
（2）解：设线段AB 所在直线解析式为y=kx+b ，把B （1，0），A （0，2）代入得：{k +b =0b =2
，解得：k=-2，
b=2所以线段AB 所在直线解析式为y=-2x+2
又过点A 的直线与AB 垂直，故其解析式为 y =1
2x +2
由（1）得 a= −14 ，所以：y= −14 x 2+ 32 x+2联立方程组，得{y =1
2
x +2
y =−14
x 2+32
x +2
，解得： {x 1=0y 1=2 ， {x 2=4y 2=4 ∴点C 的坐标为（4，4）
（3）解：如图，过点A 作AM ⊥BC 于M ，过点B 作BF ⊥AP 于F ．过点D 作DE ⊥AP 于E ，则BF=d 1，DE=d 2． 过
点C 作CG ⊥x 轴，
则：BC= √32+42=5
S 梯形AOGC = 12 （AO+CG ） •OG= 1
2 ×(2+4)×4=12 S ΔABO = 12 AO •BO= 1
2 ×2×1=1
S ΔCBG = 12 CG •CG= 1
2 ×3×4 =6∴S ΔABC =S 梯形AOGC -S ΔABO -S ΔCBG =12-1-6=5∴AM=5 由面积法得到AM •BC=AP •d 1+AP •d 2，由此可得d 1+d 2= AM·BC AP
，
Rt △APM 中，AP ≥AM ，故d 1+d 2≤ AM·BC AM
=5 ，
所以，d 1+d 2的最大值为5． 4．【答案】（1）解： 设AP=x
∵ BQ=2AP ，CR=3AP ，DS=4AP ，正方形的边长为4
∴BP=4-x ，BQ=2x ，CQ=4-2x ，RC=3x ，DR=4-3x ，DS=4x ，AS=4-4x ∵ 四边形PQRS 的面积为正方形面积的一半 ∴S △APS +S △BPQ +S △CQR +S △DSR =12S 正方形ABCD =1
2×4×4=8
即12x （4-4x ）+122x （4-x ）+123x （4-2x ）+1
24x （4-3x ）=8 整理得;3x 2-5x+2=0 解之：x 1=1，x 2=2
3
∴当AP 为1或2
3时， 四边形PQRS 的面积为正方形面积的一半。

（2）解： 设四边形PQRS 的面积为y ，AP=x
∴y=a 2
-（S △APS +S △BPQ +S △CQR +S △DSR ）
=a 2-[12x （a-4x ）+122x （a-x ）+123x （a-2x ）+1
24x （a-3x ）] ∴y=12x 2-5ax+a 2 =12（x-5a
24）2
+23a 248
∵a=12＞0
∴当AP=5a
24时，四边形PQRS 的面积y 的值最小，最小值为23a 248
5．【答案】（1）解：在Rt △ABC 中，∠C=30°， ∴AC=2AB ， ∴AB 2+BC 2=AC 2， ∴AB 2+122=4AB 2， 解之：AB =4√3， ∴AC=2AB=8√3； ∵点D 是BC 的中点， ∴CD=1
2BC=6
∵四边形ABDE 内接于圆O ，∠ABC=90° ∴∠ABC+∠AED=180°， ∴∠AED=∠DEC=90°， ∴DE=12CD=3，
∴EC =√CD 2−DE 2=√62−32=3√3， ∴AE =AC −CE =8√3−3√3=5√3 （2）解：① 设y=kx+b ，
∵ 当点P 从点A 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点C 匀速运动点B 当x=AE=5√3时，y=BQ=0；当x=0时y=BQ=12， ∴{5√3k +b =0b =12
解之：{k =−4√3
3b =12
∴y 与x 的关系式为：y =−
4√3
5
x +12
② 过点P 作PF ⊥CB 于点F ，
∴PF =12PC =12(8√3−x)=4√3−1
2x ，CQ =BC −BQ =12−(−4√33
x +12)=4√3
3
x
∴S △PQC =12CQ ·PF =12×
4√33
x ·(4√3−1
2x)=−
√3
3
(x −4√3)2
+
48√3
3
∵−√3
3＜0，
∴抛物线的开口向下，
当x =4√3时△PQC 的面积最大，最大值为48√3
3
∴x =4√3
（3）解：当EF=BD 时，如图
由（1）知：∠DEC ＝90°，DE ＝3， ∵EF ＝BD ＝6， ∴
EF ⏜
=BD
⏜
，
∴∠EBF ＝∠BED ， ∴BF ∥DE ，
∴∠BPC ＝∠DEC ＝90°， ∵∠C ＝30°， ∴BP ＝12BC ＝1
2×12＝6，
∴CP ＝√BC 2−BP 2＝√122−62＝6√3， ∴EP ＝CP −CE ＝6√3−3√3＝3√3， 在Rt △EFP 中，∠PEF ＝∠BAC ＝60°，
∴∠FEP ＝30°， ∴PF ＝1
2EF ＝1
2×6＝3， ∴BF ＝BP ＋PF ＝6＋3＝9，
∴S 四边形BDEF ＝1
2×（DE ＋BF ）·EP ＝1
2×（3＋9）×3√3＝18√3； 当EF ＝BE 时，过点E 作EG ⊥BC 于G ，连接EO 交BF 于H ，连接OB ，OF ，
在Rt △CEG 中，EG ＝12
CE ＝1
2
×3√3＝
3√3
2
， 在Rt △DEG 中，∠DEG ＝90°−60°＝30°， ∴DG ＝1
2DE ＝3
2，
∴BG ＝BD ＋DG ＝6＋3
2＝15
2，
在Rt △BEG 中，BE ＝√BG 2＋EG 2＝√(152
)2＋(3√32
)2＝3√7，
∵∠F ＝∠A ＝60°，EF ＝BE ， ∴△BEF 是等边三角形， ∵OB ＝OF ，BE ＝EF ， ∴EH 垂直平分BF ，
∴EH ＝√BE 2−BH 2＝√(3√7)2−(3√72
)2＝3√212
，
∴S 四边形BDEF ＝S △BEF ＋S △BDE ＝1
2
×3√7×
3√212＋1
2
×6×
3√32＝81√3
4
； 当EF ＝DE 时，如图，过点E 作EG ⊥BC 于G ，EK ⊥BF 于K ，
∵EF ＝DE ＝3，
∴
EF ⏜=BD
⏜
，
∴∠EBG ＝∠EBF ， ∵EG ⊥BC ，EK ⊥BF ， ∴EK ＝EG ＝
3√32，BK ＝BG ＝15
2
， ∵∠F ＝∠A ＝60°，∠EKF ＝90°， ∴∠FEK ＝30°， ∴FK ＝1
2EF ＝1
2×3＝3
2， ∴BF ＝BK ＋FK ＝
152
＋3
2＝9，
∴S 四边形BDEF ＝S △BEF ＋S △BDE ＝1
2×9×
3√32＋1
2
×6×
3√32
＝
45√34
；
∴ 四边形BDEF 的面积为
81√34 或 18√3 或 45√3
4
6．【答案】（1）解：当y ＝0，﹣1
3x 2
+1
3x+4＝0， 解得x 1＝﹣3，x 2＝4， ∴A （﹣3，0），B （4，0）， （2）解：当x ＝0，y=0+0+4， ∴C （0，4）
将B （4，0），C （0，4）代入y=kx+b
{0=4k +b
4=0+b
解得：{k =−1
b =4
故BC ：y =−x +4
设点P （m ，﹣1
3m 2
+1
3m+4），则点Q （m ，﹣m+4）， 由B （4，0），C （0，4）可知，OB ＝OC ， ∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，
PN ＝PQ •sin ∠PQN ＝√2
2
（﹣1
3m 2+1
3m+4+m ﹣4）＝﹣√2
6
（m ﹣2）2+
2√2
3
， ∵﹣√2
6
＜0，
∴PN 有最大值，
当m ＝2时，PN 的最大值为2√2
3
. （3）解：存在，理由：
点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝4√2，∠OBC ＝∠OCB ＝45°， ①当AC ＝AQ 时，如图，
则AC ＝AQ ＝5，
设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，
由勾股定理得：（7﹣n ）2
+n 2
＝25，解得：n ＝3或4（舍去4）， 故点Q （1，3）. ②当AC ＝CQ 时，如图，
CQ ＝5，则BQ ＝BC ﹣CQ ＝4√2﹣5， 则QM ＝MB ＝8−5√2
2
， 故点Q （
5√22，8−5√2
2
）. ③当CQ ＝AQ 时，
CQ ＝BC ﹣BQ ＝4√2﹣√2（4﹣m ）＝√2m ，
AQ ＝√AM 2+QM 2=√(3+m)2+(4−m)2=√2m 2−2m +25＝√2m ， 即2m 2
﹣2m+25＝2m 2
， 解得m ＝25
2. ∵0＜m ＜4， ∴m ＝25
2（舍去）.
综上所述点Q 的坐标为：Q （1，3）或Q （5√22，8−5√2
2
） 7．【答案】（1）3；﹣1≤x ≤1
（2）解：由二次函数L 1：y=ax 2-2ax+a+3可知E （0，a+3）， 由二次函数L 2：y=-a （x+1）2+1=﹣a 2x-2ax-a+1可知F （0，-a+1）， ∵M （1，3），N （-1，1）， ∴EF=MN=√22+22=2√2， ∴a+3-（-a+1）=2√2， ∴a=√2-1，
作MG ⊥y 轴于G ，则MG=1，作NH ⊥y 轴于H ，则NH=1，∴MG=NH=1，
∵EG=a+3-3=a ，FH=1-（-a+1）=a ，
∴EG=FH ，在△EMG 和△FNH 中，{EG =FH
∠EGM =∠FHN MG =NH ，∴△EMG ≌△FNH （SAS ），∴∠MEF=∠NFE ，EM=NF ，∴
EM ∥NF ，∴四边形ENFM 是平行四边形；∵EF=MN ，∴四边形ENFM 是矩形
（3）解：由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：①如图2，当MN=NA=2√2
时，过点N作ND⊥x周，垂足为点D，则有ND=1，DA=m-（-1）=m+1，在Rt△NDA中，NA2=DA2+ND2，即（2√2）2=（m+1）2+12，
∴m1=√7-1，m2=-√7-1（不合题意，舍去），
∴A（√7-1，0）．
由抛物线y=-a（x+1）2+1（a＞0）的对称轴为x=-1，
∴它与x轴的另一个交点坐标为（-1-√7，0）．
∴方程-a（x+1）2+1=0的解为x1=√7﹣1，x2=-1-√7．
②如图3，
当MA=NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG=1，MG=3，GA=|m-1|，
∴在Rt△MGA中，MA2=MG2+GA2，即MA2=32+（m-1）2，
又∵NA2=（m+1）2+12，
∴（m+1）2+12=32+（m-1）2，m=2，
∴A（2，0），
则抛物线y=-a（x+1）2+1（a＞0）的左交点坐标为（-4，0），
∴方程-a（x+1）2+1=0的解为x1=2，x2=-4．
③当MN=MA时，32+（m-1）2=（2√2）2，
∴m无实数解，舍去．
综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程-a（x+1）2=0的解为
x1=√7-1，x2=-1-√7或x1=2，x2=-4．
时，函数有最大值
8．【答案】（1）解：∵当x=−3
2
∴抛物线的对称轴为直线x =−3
2， 即−b −2=−3
2 ∴b ＝－3， ∴y ＝－x 2
－3x ＋c
将A （1，0）代入，－1－3＋c ＝0 ∴c ＝4．
∴y ＝－x 2－3x ＋4；
（2）解：∵点M 在y 轴上，使得∠MBC ＝15° 令y ＝0，－x 2－3x ＋4＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝1， ∴B （－4，0），OB ＝4 令x ＝0，y ＝4， ∴OC ＝4
∴△BCO 是等腰直角三角形，∠CBO ＝45° ∵点M 在y 轴上，使得∠MBC ＝15°
①点M 在点C 上方，此时∠MBO ＝45°＋15°＝60° 在Rt △MBO 中，tan ∠MBO ＝OM
OB ＝√3 ∴OM ＝4√3，即：M （0，4√3）
②点M 在点C 下方，此时∠MBO ＝45°－15°＝30° 在Rt △MBO 中，tan ∠MBO ＝OM
OB ＝√3
3
∴OM ＝
4√33，即：M （0，4√3
3
）．
（3）解：把点P （x 1，m ）与点Q （x 2，m ）代入y ＝－x 2
－3x ＋4中 有－x 12
－3x 1＋4＝m ，－x 22
－3x 2＋4＝m ， ∴x 12
＋3x 1＝4－m ，x 22
＋3x 2＝4－m ∵x 1<x2，PQ ＝n ， ∴x 2－x 1=n ，
∵抛物线的对称轴为直线x =−3
2 ∴x 1＋x 2＝－
3 等式左边＝x 22－2x 2 ＝x 22＋3x 2－5x 2 ＝x 12＋3x 1－5x 2
＝x 12－4（x 2－x 1）－x 2－x 1 ＝x 12－4n － （x 2＋x 1） ＝x 12－4n ＋3
左边＝右边，所以原式成立．
9．【答案】（1）解：∵抛物线y=x 2﹣（m+3）x+9的顶点C 在x 轴正半轴上， ∴方程x 2
﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根， ∴（m+3）2﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9， 又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0， ∴m=3
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为y=x 2﹣6x+9，联立一次函数y=x+3， 可得 {y =x 2−6x +9y =x +3 ，解得 {x =1y =4 或 {x =6y =9 ，
∴A （1，4），B （6，9）
（3）解：如图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，
∵A （1，4），B （6，9），C （3，0），P （a ，b ），
∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b ，RT=1﹣a ，ST=6﹣a ，
∴S △ABC =S 梯形ABSR ﹣S △ARC ﹣S △BCS = 12 ×（4+9）×5﹣ 12 ×2×4﹣ 12 ×3×9=15，
S △PAB =S 梯形PBST ﹣S 梯形ABSR ﹣S 梯形ARTP = 12 （9+b ）（6﹣a ）﹣ 12 （b+4）（1﹣a ）﹣ 12 ×（4+9）×5= 12
（
5b ﹣5a ﹣15），
又S △PAB =2S △ABC ，
∴12 （5b ﹣5a ﹣15）=30，即b ﹣a=15，
∴b=15+a ，
∵P 点在抛物线上，
∴b=a 2﹣6a+9，
∴15+a=a 2﹣6a+9，解得a= 7±√732 ，
∵﹣3＜a ＜1，
∴a= 7−√732 ，
∴b=15+ 7−√732 = 37−√732
10．【答案】（1）①③
（2）解：由题意得b>a ，
∵界高为b-a ，
∴ 当 a ≤x ≤b 时 ，a ≤y ≤b ，
当k>0时，
∴ka+2=a ，kb+2=b ，
∴k（a-b）=a-b，
∴k=1，
∴y=x+2，
当k<0时，
∴ka+2=b，kb+2=a，
∴k（a-b）=b-a，
∴k=-1，
∴y=x+2或y=-x+2.
（3）解：∵y=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2（a>1），的对称轴为x=a，∴y最小=5-a2，
∴当(a+1)-a≥a-1，即1<a≤2，
|y1-y2|≤1-2a+5-（5-a2）=1，
∴界高不大于4成立；
当(a+1)-a≤a-1，即a＞2时，
|y1-y2|≤（a+1）2-2a（a+1）-（5-a2）=（a-1）2，
∵（a-1）2≤4，
∴a≤3，即2<a≤3时，界高不大于4成立；
综上，1<a≤3.
11．【答案】（1）解：函数y=(n+1)x m+mx+1−n为二次函数时，
需满足m=2，n+1≠0，即n≠−1，
∴m=2且n≠−1时，函数是二次函数
（2）解：①若y=(n+1)x m+mx+1−n是二次函数，则m=2，
于是y=(n+1)x2+2x+1−n，
当x=1时，y=n+1+2+1−n=4，
x=−1时，y=n+1−2+1−n=0，
∴一定经过(1，4)和(−1，0)．
，
②由题意可得，函数y=(n+1)x2+2x+1−n的对称轴为x=−1
n+1
当x≥12，y1随x增大而增大，
且在x=12时函数y1取得最小值，
需满足11≤−1
n+1
≤12，
解得−13
12≤n≤−12
11
．
12．【答案】（1）解：∵抛物线y=-x2-2x+c(c>)的图象经过点B（1，0）. -12-2×1+c=0，解得c=3.
抛物线y=-x2-2x+C(c>0)的解析式
是y=-x2-2x+3.
顶点E的坐标是（-1，4）.
（2）解：x2-2x+3=0.解得x=1，x=-3.，∴OA=3,OC=3.
：D点的横坐标是a, ∴D(a,-a2-2a+3)，
连结DO，如图所示。

四边形AOCD的面积=△AOD的面积+△COD的面积
=−3
2a2−3a+9
2
+(−3
2
a)=−3
2
a2−9
2
a+9
2
.
当a=- 3
2
时，四边形AOCD的面积最大。

（3）解：直线l:y=-3x，可设Q点的坐标是（a，-3a）（Ⅰ）平行四边形以OC为边时，
①P点的坐标是（a,a2-2a+3），如图所示，
PQ=OC，得-3a-（a2-2a+3)=3.
整理得a2-a+6-0，解得；a1=3，a2=-2.
此时2点的坐标分别是（3，-9），(一2，6）.
②P点的坐标是（a,-a2+2a+3），如图所示，
PQ=OC，得-3a-（a2-2a+3)=3.
整理得a2-a=0，解得：a1=1，a2=0《不合题意，舍去），
此时Q点的坐标是（1，-3）.
（Ⅱ)平行四边形以OC为对角线时，如图所示，
根据平行四边形的对角线相互平分可知，点P与点Q关于OC的中点成中心对称，则P点的坐标是（a，-a2-2a+3），Q(-a,3a）得到：-a2-2a+3+3a=3.
整理得a2+a=0，解得；a1=-1，a2=0(不合题意，舍去），
此时Q点的坐标是(-1，3）.
综上所述，满足条件的Q点坐标为：(3.，9），（-2，6），（1，-3）和（-1，3）.
13．【答案】（1）解：由抛物线的顶点坐标C（-2，-1），可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2−1将点A（-4，0）代入，得
0=a(−4+2)2−1
解得：a=1
4
∴这个抛物线的解析式为y=1
4(x+2)2−1 = 1
4
x2+x；
（2）解：将x=-1代入y=1
4x2+x中，解得y= −3
4
∴点B的坐标为（-1，−3
4
）
过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G
∴∠AHB=∠BGQ=∠ABQ=90°
∴∠ABH＋∠GCQ=90°，∠BQG＋∠GCQ=90°
∴∠ABH=∠BQG
∵∠PAB=45°，
∴△ABQ为等腰直角三角形
∴AB=BQ
∴△AHB≌△BGQ
∴QG=BH= 3
4
，BG=AH=-1－（-4）=3
∴GH=BG－BH= 9
4
∴点Q的坐标为（-1＋3
4，9
4
）=（−1
4
，9
4
）
设直线AQ 的解析式为y=kx ＋b
将点A 和点Q 的坐标分别代入，得
{0=−4k +b 94=−14
k +b 解得： {k =35b =125 ∴直线AQ 的解析式为 y =35x +
125 联立 {y =35x +125y =14x 2+x 解得： {x =125y =9625 或 {x =−4y =0 （符合点A 的坐标） ∴点P 的坐标为（ 125 ， 9625 ）；
（3）解：设点M 的坐标为（m ， 14m 2+m ）
∴点N 的坐标为（m ， −14m 2−m ）
设直线AN 的解析式为y=cx ＋d
将点A 和点N 的坐标分别代入，得
{0=−4k +b −14
m 2−m =mk +b 解得： {k =−14m
b =−m
∴直线AN 的解析式为 y =−14mx −m
联立 {y =−14mx −m y =14x 2+x 解得： {x =−m y =14
m 2−m 或 {x =−4y =0 （符合点A 的坐标） ∴点D 的坐标为（ −m ， 14m 2−m ）
设直线MD 的解析式为y=ex ＋f
将M 、D 的坐标分别代入，得
{14m 2+m =me +f 14
m 2−m =−me +f 解得： {e =1f =14
m 2
∴直线MD 的解析式为y=x ＋ 14m 2
将x=0代入y=x ＋ 14m 2 中，解得y= 14m 2 ；将y=0代入y=x ＋ 14m 2 中，解得x= −14m 2
∴点E 的坐标为（0， 14m 2 ），点F 的坐标为（ −14m 2 ，0）
∴OE=OF= 14m 2
14．【答案】（1）解：把A （m ，0），B （4，n ）代入y=x ﹣1得：m=1，n=3，∴A （1，0），B （4，3）. ∵y=﹣x 2+bx+c 经过点A 与点B ，∴{
−1+b +c =0−16+4b +c =3 ，解得： {b =6c =−5 ，则二次函数解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）解：如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D （5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m ，则有DP=4﹣m ，∴PM= √22 m ，PN= √22 （4﹣m ），∴S △MPN = 12 PM •PN= 12 × √22 m × √22
（4﹣m ）=﹣ 14 m 2﹣m=﹣ 14 （m ﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S △MPN 最大，此时OP=3，即P （3，0）；
（3）解：存在，易得直线CD 解析式为y=x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD ∽△DAQ 时， AB DA = BD AQ ，即
3√24 = 4AQ ，解得：AQ= 8√23 ，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2= 1283 ，解得：x= 73 ，此时Q （ 73 ，﹣ 83 ）；
②当△ABD ∽△DQA 时， BD AQ =1，即AQ= √10 ，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q （2，﹣3）.
综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（ 73 ，﹣ 83 ）.
15．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000，
当50≤x ≤90时，
y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000，
综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)
（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y 最大=-2×452
+180×45+2000=6050，
当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，
当x=50时，y 最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
（3）解：当1≤x ＜50时，y=-2x 2+180x+2000≥4800，解得20≤x ≤70， 因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天；
当50≤x ≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x ≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x ≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
16．【答案】（1）解：将点 A(−3，0) 和点 B(1，0) 代入 y =x 2+bx +c ， ∴{9−3b +c =01+b +c =0 ， 解得 {b =2c =−3
， ∴y =x 2+2x −3 ；
（2）解： y =−(x −1)2+4 ，
（3）解：由题意可得，抛物线 F 3 的解析式为 y =−(x −1)2+6=−x 2+2x +5 ，
①联立方程组 {y =−x 2+2x +5y =x 2+2x −3
， 解得 x =2 或 x =−2 ，
∴C(−2，−3) 或 D(2，5) ；
②设直线 CD 的解析式为 y =kx +b ，
∴{−2k +b =−32k +b =5
， 解得 {k =2b =1
， ∴y =2x +1 ，
过点 M 作 MF//y 轴交 CD 于点 F ，过点 N 作 NE//y 轴交于点 E ，
设M(m，m2+2m−3)，N(n，−n2+2n+3)，
则F(m，2m+1)，N(n，2n+1)，
∴MF=2m+1−(m2+2m−3)=−m2+4，
NE=−n2+2n+3−2n−1=−n2+2，
∵−2<m<2，−2<n<2，
∴当m=0时，MF有最大值4，
当n=0时，NE有最大值2，
∵S
=S△CDN+S△CDM=1×4×(MF+NE)=2(MF+NE)，四边形CMDN
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为12．。