2019-2020年苏教版数学选修2-1讲义：模块复习课及答案

一、常用逻辑用语

1．充分条件与必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．

(3)若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件．

(4)若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件．

(5)若p

q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．全称命题与存在性命题的否定

(1)全称命题的否定

p：∀x∈M，p(x)．

綈p：∃x∈M，綈p(x)．

(2)存在性命题的否定

p：∃x∈M，p(x)．

綈p：∀x∈M，綈p(x)．

二、圆锥曲线与方程

1．椭圆

(1)椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆的标准方程

焦点在x轴上：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)，

焦点在y轴上：y2

a2＋

x2

b2＝1(a>b>0)．

(3)椭圆的几何性质

①范围：对于椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)，

－a≤x≤a，－b≤y≤b.

②对称性：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)，

关于x 轴，y 轴及原点对称．

③顶点：椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的顶点坐标为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )．

④离心率：e ＝c a ，离心率的范围是e ∈(0,1)．

⑤a ，b ，c 的关系：a 2＝b 2＋c 2.

2．双曲线

(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，叫做双曲线．

(2)双曲线的标准方程

焦点在x 轴上：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

焦点在y 轴上：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)；

(3)双曲线的几何性质

①范围：对于双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)， y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R ，

②对称性：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)

关于x 轴，y 轴及原点对称．

③顶点：双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为A 1′(0，－a )，A 2′(0，a )，

④渐近线：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a b x .

⑤离心率：e ＝c a ，双曲线离心率的取值范围是e ∈(1，＋∞)， ⑥a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2.

3．抛物线

(1)抛物线的定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

(2)抛物线的标准方程

焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)，

焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．

(3)抛物线的几何性质

①范围：对于抛物线x 2＝2py (p >0)，

x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．

②对称性：抛物线y 2＝±2px (p >0)，关于x 轴对称，

抛物线x 2＝±2py (p >0)，关于y 轴对称．

③顶点：抛物线y 2＝±2px 和x 2＝±2py (p >0)的顶点坐标为(0,0)．

④离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e ＝1.

三、空间向量与立体几何

1．空间向量及其运算

(1)共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，

(2)P ，A ，B 三点共线⇔OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)，

(3)共面向量定理：p 与a ，b 共面⇔p ＝x a ＋y b ，

(4)P ，A ，B ，C 四点共面⇔OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，

(5)空间向量基本定理

如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．

(6)空间向量运算的坐标表示

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则

①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)，

②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，

③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，

④a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3，

⑤a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，

⑥|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

⑦cos 〈a ，b 〉＝a ·b

|a ||b | ⑧若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)，|AB →|＝

2．立体几何中的向量方法

(1)异面直线所成的角

两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量分别为a ，b ，则cos θ

＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |，

(2)直线与平面所成的角

直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，则sin θ

＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |

(3)二面角

二面角为θ，n 1，n 2为两平面的法向量，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2

|

1．使a >b 成立的充分不必要条件是a >b －1.(×)

a >

b －1a >b .

2．当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．(√)

3．“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)

4．命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，则x 2＋2x ＋1>0，则綈p 为：∃x ∈(－

∞，0]，使x 2＋2x ＋1≤0.(×)

[提示] 綈p 应为∃x ∈(0，＋∞)，使x 2＋2x ＋1≤0.

5．命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题．(×)

[提示] 此命题是全称命题，但是是假命题．