一元二次方程篇(原卷版)--中考数学必考考点总结+题型专训

知识回顾
微专题
专题11
一元二次方程
考点一：一元二次方程之相关概念1.一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为：()002≠=++a c bx ax 。

其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 为常数项。

3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。

1．（2022•广东）若x ＝1是方程x 2﹣2x +a ＝0的根，则a ＝．
2．（2022•连云港）若关于x 的一元二次方程mx 2+nx ﹣1＝0（m ≠0）的一个根是x ＝1，则m +n 的值是
．3．（2022•资阳）若a 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的一个根，则2a 2+4a 的值是．
4．（2022•遂宁）已知m 为方程x 2+3x ﹣2022＝0的根，那么m 3+2m 2﹣2025m +2022的值为（
）A ．﹣2022B ．0C ．2022D ．4044
5．（2022•衢州）将一个容积为360cm 3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x （cm ）满足的一元二次方程：（不必化简）
．
知识回顾
考点二：一元二次方程之解一元二次方程
1.直接开方法解一元二次方程：
适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0）
①p x =2时，方程的解为：p x p x -==
21，。

②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x --=-=
21，。

③()p b ax =+2时，方程的解为：a
b p x a b p x --=-=
21，。

2.配方法解一元二次方程：
运用公式：()2222b a b ab a ±=+±。

具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。

②移项——把常数项移到等号右边。

③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。

④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。

⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。

即：
222
222
22224424200
a ac
b a b x a
c a b a b x a b x a
c x a b x a c x a b x c bx ax -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+=++=++ ∴a
ac b a b x a ac b a b x 24224222--=+-=+，a ac b b x a ac b b x 24242221---=-+-=，
微专题
若042≥-ac b ，则即可求得两根。

3.公式法解一元二次方程：
（1）根的判别式：由配方法可知，ac b 42-即为一元二次方程根的判别式。

用∆表示。

①⇔-=∆042＞ac b 方程有两个不相等的实数根。

②⇔=-=∆042ac b 方程有两个相等的实数根。

③⇔-=∆042＜ac b 方程没有实数根。

（2）求根公式：
当042
≥-=∆ac b 时，则一元二次方程可以用a ac b b x 242-±-=来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。

①042
＞ac b -=∆时，一元二次方程的两根为a ac b b x a ac b b x 24242221---=-+-=，。

②042=-=∆ac b 时，一元二次方程的两根为a
b x x 221-
==。

③042＜ac b -=∆时，方程没有实数根。

4.因式分解法求一元二次方程：
0=⋅B A 的形式，再利用00==B A 或来求解二元一次方程。

6．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x ﹣2）2＝3的两根为a 、b ，且a ＞b ，求2a +b 之值为何？（
）
A ．9
B ．﹣3
C ．6+3
D ．﹣6+37．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x 2+6x ﹣1＝0时，将它化为（x +a ）2＝b 的形式，则a +b 的值为（
）A ．310
B ．37
C ．2
D ．3
4
8．（2022•雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（
）A ．﹣3B ．0C ．3D ．9
9．（2022•甘肃）用配方法解方程x 2﹣2x ＝2时，配方后正确的是（
）
A ．（x +1）2＝3
B ．（x +1）2＝6
C ．（x ﹣1）2＝3
D ．（x ﹣1）2＝6
10．（2022•荆州）一元二次方程x 2﹣4x +3＝0配方为（x ﹣2）2＝k ，则k 的值是
．11．（2022•东营）一元二次方程x 2+4x ﹣8＝0的解是（
）A ．x 1＝2+23，x 2＝2﹣23
B ．x 1＝2+22，x 2＝2﹣22
C ．x 1＝﹣2+22，x 2＝﹣2﹣22
D ．x 1＝﹣2+23，x 2＝﹣2﹣2312．（2022•临沂）方程x 2﹣2x ﹣24＝0的根是（
）A ．x 1＝6，x 2＝4
B ．x 1＝6，x 2＝﹣4
C ．x 1＝﹣6，x 2＝4
D ．x 1＝﹣6，x 2＝﹣4
13．（2022•包头）若x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，则x 1•x 22的值为（
）A ．3或﹣9B ．﹣3或9C ．3或﹣6
D ．﹣3或614．（2022•天津）方程x 2+4x +3＝0的两个根为（
）A ．x 1＝1，x 2＝3
B ．x 1＝﹣1，x 2＝3
C ．x 1＝1，x 2＝﹣3
D ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣3
15．（2022•梧州）一元二次方程（x ﹣2）（x +7）＝0的根是．
16．（2022•云南）方程2x 2+1＝3x 的解为．
17．（2022•淮安）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k ＝0没有实数根，则k 的值可以是（
）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1
18．（2022•攀枝花）若关于x 的方程x 2﹣x ﹣m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围是（
）A ．m ＜41
B ．m ≤41
C ．m ≥﹣41
D ．m ＞﹣4
1
19．（2022•内蒙古）对于实数a ，b 定义运算“⊗”为a ⊗b ＝b 2﹣ab ，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k ﹣3）⊗x ＝k ﹣1的根的情况，下列说法正确的是（
）A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定
20．（2022•巴中）对于实数a ，b 定义新运算：a ※b ＝ab 2﹣b ，若关于x 的方程1※x ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（
）A ．k ＞﹣41
B ．k ＜﹣41
C ．k ＞﹣41且k ≠0
D ．k ≥﹣4
1且k ≠0
知识回顾
21．（2022•安顺）定义新运算a *b ：对于任意实数a ，b 满足a *b ＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x *k ＝2x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况是（
）A ．有一个实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．没有实数根
22．（2022•西宁）关于x 的一元二次方程2x 2+x ﹣k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（
）A ．k ＜﹣81
B ．k ≤﹣81
C ．k ＞﹣81
D ．k ≥﹣8
1
23．（2022•西藏）已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x ﹣3＝0有实数根，则m 的取值范围是（
）A ．m ≥32
B ．m ＜32
C ．m ＞32且m ≠1
D ．m ≥3
2且m ≠124．（2022•大连）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（
）A ．36B ．9C ．6D ．﹣9
25．（2022•营口）关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣m ＝0有两个实数根，则实数m 的取值范围为（
）
A ．m ＜4
B ．m ＞﹣4
C ．m ≤4
D ．m ≥﹣426．（2022•东营）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．
27．（2022•上海）已知x 2﹣2
x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．28．（2022•岳阳）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．
考点三：一元二次方程之根与系数的关系：
1.根与系数的基本关系：
若21x x ，是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，则这两个根与系数的关系为：
a
c x x a b x x =⋅-=+2121，。

同时存在：00222121
=++=++c bx ax c bx ax ，。

2.常考推广公式：
①()212
2122212x x x x x x -+=+。

微专题
②()122122122
1x x x x x x x x +=+。

③2
1212112122111x x x x x x x x x x x x +=+=+。

④()2
1212212122212121212221122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+=+。

⑤()()()2212121p x x p x x p x p x +++=++。

⑥()()212
212214x x x x x x -+=-。

29．（2022•益阳）若x ＝﹣1是方程x 2+x +m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（
）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2
30．（2022•青海）已知关于x 的方程x 2+m x +3＝0的一个根为x ＝1，则实数m 的值为（
）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣3
31．（2022•贵港）若x ＝﹣2是一元二次方程x 2+2x +m ＝0的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是
（）
A ．0，﹣2
B ．0，0
C ．﹣2，﹣2
D ．﹣2，032．（2022•呼和浩特）已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 13﹣2022x 1+x 22的值是
（）
A ．4045
B ．4044
C ．2022
D ．133．（2022•黔东南州）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣a ＝0的两根分别记为x 1，x 2，若x 1＝﹣1，则a
﹣x 12﹣x 22的值为（
）A ．7B ．﹣7C ．6D ．﹣6
34．（2022•宜宾）已知m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，则m 2+m n +2m 的值为（
）A ．0B ．﹣10C ．3D ．10
35．（2022•乐山）关于x 的一元二次方程3x 2﹣2x +m ＝0有两根，其中一根为x ＝1，则这两根之积为（
）A ．31
B ．32
C ．1
D ．﹣3
1
36．（2022•巴中）α、β是关于x 的方程x 2﹣x +k ﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k 的值为
．
知识回顾
37．（2022•日照）关于x 的一元二次方程2x 2+4mx +m ＝0有两个不同的实数根x 1，x 2，且x 12+x 22＝16
3，则m ＝．38．（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2
112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为．
39．（2022•绥化）设x 1与x 2为一元二次方程
21x 2+3x +2＝0的两根，则（x 1﹣x 2）2的值为．
40．（2022•鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则a 1+b 1的值为．41．（2022•湖北）若一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2的值是．考点四：一元二次方程之实际应用：
1.列方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。

③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。

④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。

2.一元二次方程实际应用的基本类型：
①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）
传播轮数＝总病例数。

②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：
()21+n n ＝总数；双循环：()1+n n ＝总数。

（n 表示参与数量）
③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。

以此类推。

④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）
增长轮数＝总数，原数×（1－下降率）
下降轮数＝总数。

⑤商品销售问题：基本等量关系：
总利润＝单利润×数量
微专题
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）现数量＝原数量－
变化基数涨价基础涨价部分⨯（原数量＋变化基数降价基础
降价部分⨯）⑥图形面积问题：
利用勾股定理建立一元二次方程。

利用面积公式建立二元一次方程。

42．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据题意列出方程，正确的是（）
A ．6.2（1+x ）2＝8.9
B ．8.9（1+x ）2＝6.2
C ．6.2（1+x 2）＝8.9
D ．6.2（1+x ）+6.2（1+x ）2＝8.943．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为（
）
A ．30（1+x ）2＝50
B ．30（1﹣x ）2＝50
C ．30（1+x 2）＝50
D ．30（1﹣x 2）＝5044．（2022•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x ，根据题意，所列方程正确的是（
）
A ．150（1﹣x 2）＝96
B ．150（1﹣x ）＝96
C ．150（1﹣x ）2＝96
D ．150（1﹣2x ）＝9645．（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意，可列方程为（
）
A ．8（1+2x ）＝11.52
B ．2×8（1+x ）＝11.52
C ．8（1+x ）2＝11.52
D ．8（1+x 2）＝11.5246．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（
）A ．3（x ﹣1）x ＝6210B ．3（x ﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
47．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
48．（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）
A．625（1﹣x）2＝400B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400D．400x2＝625
49．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．
50．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）
A．10.5%B．10%C．20%D．21%
51．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）
A．8B．10C．7D．9
52．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为．
53．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝（用百分数表示）．。