2019_2020学年高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程课件新人教A版选修4_4

把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得

43－
23t2＋3＋12t2－16＝0，
即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0.
由 t 的几何意义，
知|PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
当堂达标 固双基
(t 为参数)表示过点 M0(－ 3，2)且斜率为
tan π6的直线， 故直线 l 的倾斜角 α＝π6.
(2)由(1)知，直线 l 的单位方向向量
e＝cosπ6，sinπ6＝ 23，12.
∵M0(－ 3，2)，M(－3 3，0)，
∴M→0M＝(－2

3，－2)＝－4
∴k≠0，从而直线 4x＋ky＝1 的斜率 k2＝－4k. 依题意 k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. [答案] －6
5．化直线 l 的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并 求倾斜角，说明|t|的几何意义．
[解]

(1)由已知可得 A2cos
π3，2sin
π3，
B2cosπ3＋π2，2sin3π＋π2，
C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，
D2cosπ3＋32π，2sinπ3＋32π，
即 A(1， 3)，B(－ 3，1)，C(－1，－ 3)，D( 3，－1)．
(2)设 P(2cos φ，3sin φ)，令 S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＋|PD|2，则 S＝(2cos φ－1)2＋( 3－3sin φ)2＋(－ 3－2cos φ)2＋ (1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－ 3－3sin φ)2＋( 3－2cos φ)2＋(－1 －3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．

2 5
t′，
y＝2＋
1 5
t′，
再把此式
代入圆的方程，整理得到一个关于 t 的一元二次方程，弦长即为方程 两根之差的绝对值．
[自主解答] 将参数方程xy＝ ＝12＋ ＋2t t， (t 为参数)转化为直线参
数方程的标准形式为x＝1＋
2 5
t′，
y＝2＋
1 5
t′
代入圆方程 x2＋y2＝9，
α， α，
(t 为参数)，其中 t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任
意一点 M(x，y)为终点的有向线段M→0M的长度，即|t|＝|M→0M|. ①当 t＞0 时，M→0M的方向向上；
②当 t＜0 时，M→0M的方向向下；
③当 t＝0 时，点 M 与点 M0 重合．
【例 3】
已知直线 l：yx＝＝2－＋123t＋， 23t，
x＝3－ 22t，

y＝
5＋
2 2t
(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的
长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方
程为 ρ＝2 5sin θ.
(1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA| ＋|PB|.
(t′为参数)，

得1＋
2 5

t′2＋2＋
1 5

t′2＝9，
整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－
8， 5
t′1·t′2＝－4.根据参数 t′的几何意义．
|t′1－t2′|＝
t′1＋t′22－4t′1t′2 ＝125
5 .
故直线被圆截得的弦长为125
5 .
1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用 |t1－t2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的 方程求解，忽视了参数 t 的几何意义．
2．根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用 结论：
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l＝|t1－t2|；
[思路探究] (1)利用公式可求． (2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点 A、B 的坐标，也可考虑利用 t 的几何意义求解．
[自主解答] (1)由 ρ＝2 5sin θ， 得 ρ2＝2 5ρsin θ， ∴x2＋y2－2 5y＝0，即 x2＋(y－ 5)2＝5.
(2)法一 直线 l 的普通方程为 y＝－x＋3＋ 5. 与圆 C：x2＋(y－ 5)2＝5 联立，消去 y，得 x2－3x＋2＝0， 解得xy＝ ＝12＋ 5 或xy＝ ＝21， ＋ 5. 不妨设 A(1,2＋ 5)，B(2,1＋ 5)． 又点 P 的坐标为(3， 5)， 故|PA|＋|PB|＝ 8＋ 2＝3 2.
23，12＝－4e，
∴点 M 对应的参数 t＝－4，
几何意义为|M→0M|＝4，且M→0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上 点 M0 的左下方)．
1．一条直线可以由定点 M0(x0，y0)，倾斜角 α(0≤α＜π)惟一确
定，直线上的动点
M(x，y)的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
直线的参数方程
[探究问题] 1．若直线 l 的倾斜角 α＝0，则直线 l 的参数方程是什么？ [提示] 参数方程为xy＝ ＝xy00＋t， (t 为参数)．
2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？
[提示] 过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
xy＝＝xy00＋＋ttcsions
1．直线xy＝ ＝－ 3＋2＋ tsintc6o0s°60°， (t 为参数)的倾斜角 α 等于(
)
A．30°
B．60°
C．－45°
D．135°
[解析] 由直线的参数方程知倾斜角 α 等于 60°，故选 B.
[答案] B
2．直线xy＝ ＝1－＋2t＋cotssiαn α (α 为参数，0≤a＜π)必过点(
3 2t
(t 为参数)与圆交于 A，B 两点，求弦
AB 的长．
[解]

(1)由已知得圆心 C3cos
6π，3sin
π6，半径为 1，圆的方程
为x－3
2
32＋y－322＝1，
即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0.
(2)由yx＝＝12－t 1＋
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程
学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、 难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)
自主预习 探新知
教材整理 直线的参数方程 阅读教材 P35～P39，完成下列问题． 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 αα≠π2的直线 l 的参数方程为 x＝_x_0_＋__tc_o_s_α__ y＝_y_0_＋__ts_i_n_α__ (t 为参数)，其中参数 t 的几何意义是：|t|是直线 l 上任一点 M(x，y)到定点 M0(x0，y0)的距离，即|t|＝|—M0→M|.
∴直线 l 的斜率 k＝－1.
[答案] B
4．若直线xy＝＝12－＋23tt (t 为参数)与直线 4x＋ky＝1 垂直，则常数 k＝________.
[解析] 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为 y＝－32x＋72， ∴斜率 k1＝－32， 显然 k＝0 时，直线 4x＋ky＝1 与上述直线不垂直，
x＝－2＋5t 曲线y＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( ) A.0，25、12，0 B.0，15、12，0 C．(0，－4)、(8,0) D.0，59、(8,0)
[解析] 当 x＝0 时，t＝25，而 y＝1－2t，即 y＝15，得与 y 轴的交 点为0，15；当 y＝0 时，t＝12，而 x＝－2＋5t，即 x＝12，得与 x 轴的 交点为12，0.
1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数 t 的几何意义， 简化了计算．
2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决 问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个 重要的思路．
2．已知曲线
C1
x＝2cos 的参数方程是y＝3sin
φ φ
(φ 为参数)，以坐标原
法二 2＝5，
将 l 的参数方程代入 x2＋(y－

5)2＝5，得3－
22t2＋
22t
即 t2－3 2t＋4＝0，(*)
由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0.
故可设 t1，t2 是(*)式的两个实根，
∴t1＋t2＝3 2，且 t1t2＝4， ∴t1>0，t2>0. 又直线 l 过点 P(3， 5)， ∴由 t 的几何意义，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3 2.
α， α
(t 为参数)，
这是直线参数方程的标准形式．
2．直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定 点 M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt， (a、b 为常 数，t 为参数)．
3．设直线 l 过点 P(－3,3)，且倾斜角为56π.
(2)定点 M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； (3)设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝t1＋2 t2(由此可 求|M1M2|及中点坐标)．
1．在极坐标系中，已知圆心 C3，π6，半径 r＝1. (1)求圆的直角坐标方程；
(2)若直线yx＝＝－ 12t 1＋
(t 为参数)．
(1)求直线 l 的倾斜角；
(2)若点 M(－3 3，0)在直线 l 上，求 t，并说明 t 的几何意义．
[思路探究] 将直线 l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角， 利用参数的几何意义求得 t.