(北师大版)重庆市高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．若0a =，则()f x 是增函数
C ．当3a
=-时，函数()f x 恰有三个零点
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
2．已知函数()3
2
2f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．已知函数2
3,0
()3,0
xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨
+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2
B ．1
(2
，2)
C ．(1,2)-
D ．(1,3)-
4．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2x
B ．y ＝x 3－x
C ．y ＝x e x
D ．y ＝－x ＋ln(1＋x )
5．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()x
f x f x e '-=，且()00f =，若方程
()()21
016
m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（ ） A ．2416
e e m -<<
B ．42
e
m <<
C ．2
16
e m e >-
D ．2
e m >
6．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的
最小值为（）
A ．1
B ．2
C D 7．函数2()ln f x ax x x =-在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．[1,)+∞
D ．(1,)+∞
8．已知()3
21233
y x bx b x =
++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ． 1b <-或2b > B ．
1,
b ≤-或b 2≥
C ．12b -<<
D ．12b -≤≤
9．奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<，且()3,2
f π
=-则不等式
()cos 22
f x x π
+>--的解集为（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(,)π-∞-
C ．(,)2
π
-∞-
D ．(,)π-∞
10．函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为（ ）
A ．2
B ．
6
π
+C ．
13
π
+ D ．
3
π
+11．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，
[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则
232020
2019
a a a ++=（ ）
A ．1011
B ．1012
C ．2019
D ．2020
12．函数()2
1ln 2
f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（ ） A ．12
-
B ．0
C ．
12
D ．无最大值
二、填空题
13．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '->，其中()'f x 是函数()f x 的导函数.若2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，则实数k 的范围为________
14．已知数列()
*
4n n b n N =∈.记数列{}n b 的前n 项和为n T ．若对任意的*n N ∈，不等式
4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭
恒成立，则实数k 的取值范围为______．
15．函数()f x 在(0，+∞)上有定义，对于给定的正数K ，定义函数
()()()(),,K f x f x K f x K f x K
⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，取函数()22
53ln 2f x x x x =-，若对任意x ∈(0，+∞)，恒
有()()K f x f x =，则K 的最小值为______．
16．若函数()()2
212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是
______.
17．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e x
g x x x
=
+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
18．设函数()2
1ln 12
f x x x bx =+
-+（b 为常数），若函数()f x 在[]1,3上存在单调减
区间，则实数b 的取值范围是______.
19．已知在正四棱锥P ABCD -中，4PA =，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于______.
20．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为__________.
三、解答题
21．设函数()()21x
f x e
a x =-+.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 22．已经x ∈R ，
（1）求证：1x e x ≥+ (其中， 2.71828e =)；
（2）n N +∈，求证：1
(1)n n e +≤.
23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值． （1）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （2）若对[2,3]x ∈-，不等式23
()2f x c c +
<恒成立，求c 的取值范围． 24．如图是一个半径为2千米，圆心角为
3
π
的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一
点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧
DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．
(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．
25．设()3
2
21f x x ax bx =+++的导数为()'f x ,若函数()'y f x =的图象关于直线
1
2
x =-对称,且()'10f =.
（1）实数,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值. 26．已知函数ln x
y x
=
（0x >）. （1）求这个函数的单调区间；
（2）求这个函数在区间2
1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
的最大值与最小值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则
()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递
增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则
()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则
()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D
【详解】
对A, ()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3
sin f x x x ax -=-+-+
3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.
由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥
所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，
则()2
cos 3f x x x '=+在()0-∞，
上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-
对B, 当0a =时，()2
'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.
对C,当3a
=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，
所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.
对D,当3a =时，()2
cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，
上单调递减，在()0+∞，上单调递增.
则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>
所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10f
x '
=，()20f x '=成立
则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.
所以函数()3
sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在
()2,x +∞单调递增.
所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.
故选：C 【点睛】
关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解
答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2
cos 3f x x x a '=+-，则
()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,
且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则
()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则
()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 2．A
解析：A 【分析】
由()f x 在()2,4上单调递增，等价于2
3131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“11
4
a ≤
”的充分必要性即可. 【详解】
解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()2
3210f x x ax '=--≥,即2
3131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =
-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以11
4
a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】
本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.
3．C
解析：C 【分析】
先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】
设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则0
0,
12
y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，
（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点
(,ln 3)C x x x x -，
()ln 31
ln 13ln 2x x x f x x x x k x
-+'=+-=-=-=
，
整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()2
3f x x x =+，
设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，
()231
23x x f x x k x
++'=+=-=
，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，
所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，
在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，
故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
4．C
解析：C
【解析】
A 在R 上是周期函数，2sin cos y x x =' ，导函数在(0，＋∞)上有正有负，故原函数有增有减；.
B 231,y x -'= 在(0，＋∞)，有正有负，所以原函数不是增函数，
C x x y xe e '=+ 0> ，恒成立，故原函数单调递增；
D 1111x y x
x
-=-+=++' ，在(0，＋∞)上导函数为负，原函数应该是减函数． 故选C ．
点睛：判断函数的单调性的方法，可以根据导函数的正负来判断原函数的单调性．
5．A
解析：A 【分析】
构造函数()()x
f x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作
出其大致图像，令()t f x =，只需2
1016mt t ++
=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】
由()()()()()
()()()
2
2
1x x
x
x
x
x x f x e f x e f x f x e e f x e e
f x e '-'-=-=⇒
'=⇒，
则()()()()1x x x
f x f x x b x x b e e e f ⎡⎤
=⇒=+=+⎢
⎥⎣⎦
⇒， 由()000f b =⇒=，则()x
f x e x =⋅.
由()()1x
f x e x '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；
当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，
当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：
令()t f x =，则2
1
016
mt t ++
=，由已知可得
21016mt t ++
=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
， 令()2
116g t mt t =++，由121210010
16t t m m t t m ⎧
+=-<⎪⎪⇒>⎨
⎪⋅=>⎪⎩
， 则()210
00
,4160
11
02g e e g m e e
m ⎧⎛⎫
-> ⎪⎪⎝
⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨
⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】
本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】
设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），
∴|AB |＝211a a lna a lna +-
+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11
x
-
， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝
2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.
故选B ． 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．
7．A
解析：A 【分析】
首先对函数求导，将函数在给定区间上单调增，转化为其导数在相应区间上大于等于零恒成立，构造新函数，利用导数研究其最值，求得结果. 【详解】
()2ln 1f x ax x '=--，
若函数2()ln f x ax x x =-在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增， 则()0f x '≥在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上恒成立， 则ln 12x a x +≥
在1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上恒成立， 令ln 11
(),[,)2x g x x x e
+=∈+∞， 则22
22ln 2ln ()42x x
g x x x --'=
=-，
可以得出01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，
所以函数()g x 在1[,1]e
上单调递增，在[1,)+∞上单调递减， 所以max 1()(1)2g x g ==，所以12
a ≥， 故选：A. 【点睛】
该题考查的是与导数有关的问题，涉及到的知识点为根据函数在给定区间上单调增，确定参数的取值范围，属于中档题目.
8．D
解析：D 【分析】
利用三次函数()3
21233
y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】
∵()3
21233
y x bx b x =
++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.
9．A
解析：A 【分析】
构造函数()()sin h x f x x =+，根据其单调性，求解目标不等式即可. 【详解】
不妨令()()sin h x f x x =+，
因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[
)0,+∞恒成立， 即()h x 在[
)0,+∞单调递减；
又()f x 是奇函数，sin y x =是奇函数， 故()h x 是奇函数，且()h x 是R 上的单调减函数. 由()3,2
f π
=-故可得22h π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
， 又()cos 22
f x x π
+
>--，
即22h x h ππ⎛⎫⎛⎫
+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故2
2
x π
π
+
<
，则0x <.
故选：A . 【点睛】
本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，属综合中档题.
10．B
解析：B 【分析】
利用导数分析函数()y f x =在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性，进而可求得函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值. 【详解】
()2cos f x x x =+，则()12sin f x x '=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
当()0f x '>时，则12sin 0x ->，解得06
x π
≤<；
当()0f x '<时，12sin 0x -<，解得
6
2
x π
π
<≤
.
所以，函数()y f x =在区间0,6π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增，在区间,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 因此，函数()y f x =在6
x π
=
处取得极大值，亦即最大值，即
()
max 66
f x f ππ
⎛⎫== ⎪⎝⎭.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用导数求解函数的最值，考查计算能力，属于中等题.
11．A
解析：A 【分析】
根据条件构造函数()3
2f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根
的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】
设函数()3
2f x nx x n =+-，则()2
32f x nx '=+，
当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数， 因为当2n ≥时，()
323
()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++， 且()120f =>，
所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1
n n
x n ∈+， 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=， 因此
2320201
(2342020)101120192019
a a a ++=+++
+=.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：构造新函数()3
2f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2
n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(
,1)1
n n
x n ∈+是解答的关键. 12．A
解析：A 【分析】
利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】
()21ln 2f x x x =-，()2
11x f x x x x
-'∴=-=.
当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 1
12
f x f ==-. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：
（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
二、填空题
13．【分析】构造函数利用导数研究在区间的单调性由此求得实数的取值范围【详解】设函数在单调递增依题意的定义域为所以故故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式属于中档题 解析：()2020,2022
【分析】 构造函数()()
()0f x g x x x
=
>，利用导数研究()g x 在区间()0,∞+的单调性，由此求得实数k 的取值范围. 【详解】 设函数()()
()0f x g x x x
=
>，2
()()
()0xf x f x g x x =
'-'>，
()g x ∴在()0,∞+单调递增.
依题意，()f x 的定义域为()0,∞+，所以20200,2020k k ->>，
2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，
(2020)(2)
20202
f k f k -∴
<-，
故020202k <-<，20202022k ∴<<.
故答案为：()2020,2022 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.
14．【分析】先求得然后利用分离常数法通过构造函数法结合导数求得的取值范围【详解】由于公比为所以所以对任意的不等式恒成立即恒成立即对任意的恒成立构造函数则令解得而所以所以在上递增在上递减令所以故故答案为： 解析：3
4
k ≥
【分析】
先求得n T ，然后利用分离常数法，通过构造函数法，结合导数，求得k 的取值范围. 【详解】
由于14,4n
n b b ==，公比为4，所以()()141441441414
333
n n n n
T +-==
-=--， 所以对任意的*
n N ∈，不等式4843n T k n ⎛
⎫+≥- ⎪⎝
⎭恒成立，
即1
14843n k n +⋅≥-恒成立，即1241263
44
n n
n n k +--≥
=对任意的*n N ∈恒成立. 构造函数()()6314x x f x x -=≥，则()()'
6ln 43ln 464x
x f x -⋅++=， 令'
0f x
解得041
log 2
x e =
+. 而
4411log log 2122e +>+=，44113log log 4222
e +<+=， 所以012x <<.
所以()f x 在[)01,x 上递增，在()0,x +∞上递减. 令634n n
n a -=
，1239
,416
a a ==，12a a >. 所以134n a a ≤=
，故3
4k ≥. 故答案为：34
k ≥ 【点睛】
本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查不等式恒成立问题的求解，考查数列的单调性和最值的判断，属于难题.
15．【分析】根据题意利用导数求出函数的最大值即可【详解】由得当时函数单调递减当时函数单调递增所以函数的最大值为：即所以要想恒有只需所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求函数最大值问题考查了
解析：2
332
e
【分析】
根据题意，利用导数求出函数()2
253ln 2
f x x x x =-的最大值即可. 【详解】 由()2
253ln 2
f x x x x =
-得()()213ln f x x x '=-， 当1
3x e >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当1
30x e <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
所以函数()y f x =的最大值为：23
1332
e f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()2332f x e ≤，
所以要想恒有()()K f x f x =，只需2
332
K e ≥，
所以K 的最小值为2
332e .
故答案为：2
332
e
【点睛】
本题考查了利用导数求函数最大值问题，考查了学生的数学阅读和运算求解能力.
16．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为
解析：0a ≤或1a = 【分析】
首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性
及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫
==+- ⎪
⎝⎭
，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值； 【详解】
解：因为()()2
212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，
所以()()()()()2
22122112221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当
0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()
f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件； 当0a >时，令()()()2110ax x f x x -+'=>，解得
1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，令()()()2110ax x f x x -+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
则()f x 在1x a =
取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫
==+- ⎪⎝⎭
，
令()112ln g a a a =+-
，()0,a ∈+∞，则()22
2121
0a g a a a a
+'=+=>恒成立，即()1
12ln g a a a
=+-
在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=， 所以要使函数()()2
212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则
()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫
==+-= ⎪⎝⎭
，
解得1a =，
综上可得0a ≤或1a =； 故答案为：0a ≤或1a = 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.
17．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求
解析：2
1,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
【分析】
将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln x
y x
=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】
函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =
求导，得21ln x
y x
-'=，()0,x e ∈,0y '>，
函数
ln x y
x
=单调递增；()
,
x e
∈+∞,0
y'<，
函数
ln x
y
x
=单调递减，在x e
=处取得极大值，也是最大值为1
e
，
对二次函数22
y x ex a
=-+，其对称轴为x e
=，顶点坐标为()2
,e a e
-
分别作出图象，其若要有两个交点，则22
11
a e a e
e e
-<⇒<+
故答案为：2
1
,e
e
⎛⎫
-∞+
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.
18．【分析】根据题意将函数在上存在单调减区间转化为在上有解则只需：只需在内即可结合基本不等式即可求出的取值范围【详解】解：由题意知：在上存在单调减区间在上有解即在上有解即在上有解只需在内即可当且仅当时取解析：()
2,+∞
【分析】
根据题意，将函数()
f x在[]
1,3上存在单调减区间，转化为()0
f x
'<在[]
1,3上有解，则只需：只需在[]
1,3内
min
1
b x
x
⎛⎫
>+
⎪
⎝⎭
即可，结合基本不等式，即可求出b的取值范围.【详解】
解：由题意知：()()
2
1
ln10
2
f x x x bx x
=+-+>，
()211
x bx f x x b x x
-+'∴=+-=
， ()f x 在[]1,3上存在单调减区间，
()0f x '∴<在[]1,3上有解，即1
0x b x
+-<在[]1,3上有解，
即1>
+b x x 在[]1,3上有解，只需在[]1,3内，min 1b x x ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭即可， 0x
，1
2x x
∴+≥，当且仅当1x =时取得最小值2，
即在在[]1,3内min
12x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭， 所以：2b >，
则b 的取值范围是：()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】
本题考查导数的应用，以及基本不等式的应用，考查转化思想和计算能力.
19．【分析】设正四棱锥的底面边长为即可由表示出和的等量关系进而表示出正四棱锥的体积利用导函数判断单调性由单调性即可求得最值并求得取最值时的高的值【详解】设正四棱锥的底面边长为因为所以即所以正四棱锥的体积
【分析】
设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，即可由4PA =表示出a 和h 的等量关系，进而表示出正四棱锥P ABCD -的体积.利用导函数，判断单调性，由单调性即可求得最值，并求得取最值时的高h 的值. 【详解】
设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，因为4PA =，所以22162
a
h +=，
即22322a h =-，
所以正四棱锥P ABCD -的体积()2313220333
V a h h h h ==->， 可得232
'23
V h =
-， 令'0V =
，解得h =
当0h <<，可得'0V >，可知V 在0h <<
当h >
'0V <，可知V 在h >
所以当h =P ABCD -的体积取得最大值，
即16322313V ⎛⎫-⨯ =⎪⎝⎭=
【点睛】
本题考查了正四棱锥的性质与应用，四棱锥的体积公式，利用导数求函数的最值及取最值时的自变量，属于中档题.
20．【分析】把代入即恒成立构造利用导数研究最值即得解【详解】则恒成立等价于令因此在单调递增在单调递减故故答案为：【点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用考查了学生转化与划归数学运算的能力属于中 解析：[)0,+∞
【分析】
把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造
()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解.
【详解】
()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+
令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x
-=-+>=
-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1
)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥ 故答案为：[)0,+∞ 【点睛】
本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递
增，在1,ln 2
2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 【分析】
（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性； （2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果. 【详解】
（1）由题意得：()22x
f x e a '=-，
当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22
a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；
当1ln 22a x >
时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在1,ln
2
2a ⎛
⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，
当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意； 当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意. 当0a >时，()f x 在1ln 22
a
x =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，
令ln 0222
a a a -
->，解得：2
0a e <<，此时()0f x >恒成立.
综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）构造函数()1x f x e x =--，求函数的最小值大于等于零即可；
（2）由（1）得1n
e n ≥+，n N +∈，两边取对数得ln(1)n n ≥+，进而得1
1ln(1)n n ≥+，
即1(1)n
n e +≤. 【详解】
解：（1）构造函数()1x f x e x =--，x ∈R
()1x f x e =-'，令()0f x '=，则0x =
当x 在R 上变化时，()f x ，()'f x 变化如下表：
从而：min 则：10x e x --≥
则：1x e x ≥+在R 上恒成立.
（2）由（1）可得：1x e x ≥+在R 上恒成立， 则n ∈+N 时，1n e n ≥+， 两边取对数，有：ln(1)n n ≥+ 则：1
1ln(1)n n
≥
+ 则：1
1ln(1)n n ≥+， 从而：1(1)n
e n ≥+ 【点睛】
本题考查利用导数证明不等式，考查化归转化思想，是中档题.
23．（1）3{26
a b =-
=-，()f x 的减区间为(1,2)-，增区间为(,1)-∞-，(2,)+∞；（2）
7
(,1)(,)2
-∞-⋃+∞．
【详解】
试题分析：（1）求出()'f x 并令其0=得到方程，把1x =-和2x =代入求出,a b 即可；（2）求出函数的最大值为()1f -，要使不等式恒成立，既要证()23
12
f c c -+<，即可求出c 的取值范围. 试题
（1）()232f x x ax b =++'，
由题意得：()()10{20f f ''-==即320{1240a b a b -+=++=，解得3{26
a b =-=- ∴()32362
f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--． 令()0f x '<，解得12x -<<，令()0f x '>，解得1x <-或2x >
∴()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-∞-，()2,+∞．
（2）由（1）知，()f x 在(),1-∞-上单调递增；在()1,2-上单调递减；在()2,+∞上单调递增．
∴[]2,3x ∈-时，()f x 的最大值即为()1f -与()3f 中的较大者．()712
f c -=+，()932
f c =-+，∴当1x =-时，()f x 取得最大值， 要使()232f x c c +
<，只需()2312c f c >-+，即2275c c >+，解得1c <-或72c >． ∴c 的取值范围为()7,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．
24．（1
）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+
∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租
的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭
元. 【分析】 （1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；
（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值．
【详解】
(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=.
在OCD ∆中，23OCD π∠=，3
COD x π∠=-，2OD km =.
由正弦定理，得22sin sin sin 33OC CD x x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭
得OC xkm =
，3CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫-
⎪⎝⎭，
所以43432sin sin 233y a x a x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23sin cos ,0,33a x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. (2)记()23sin cos 3f x a x x x π⎛⎫=+-+
⎪⎝⎭， 则()()
'23cos sin 122cos 16f x a x x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()'0f x =，得6x π
=.
当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：
所以()f x 在6x π
=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即
2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭. 故当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭元． 【点睛】
本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．
25．（1）12b =-；（2）()f x 的极大值是21,极小值是6-.
【解析】
试题分析：（1）先对()f x 求导，()f x 的导数为二次函数，由对称性可求得a ，再由()10f '=即可求出b ；（2）对()f x 求导，分别令()f x '大于0和小于0，即可解出()f x 的单调区间，继而确定函数的极值.
试题
（1）因()3221f x x ax bx =+++,故()2
'62f x x ax b =++,从而()22'666a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭,即()'y f x =关于直线6a x =-对称,从而由条件可知
162
a -=-,解得3a =,又由于()'0f x =,即620a
b ++=解得12b =-. （2）由（1）知()()()()32223121,'6612612f x x x x f x x x x x =+-+=+-=-+.
令()'0f x =,得1x =或2x =-,
当(),2x ∈-∞-时,()()'0,f x f x > 在(),2-∞-上是增函数,当()
2,1x ∈-时,()()'0,f x f x <在()2,1-上是减函数,当()1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x > 在()1,,+∞上是增函数,从而()f x 在2x =-处取到极大值()221f -=, 在1x =处取到极小值()16f =-.
考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.
26．（1）函数ln x y x =在()0,e 单调递增；在(),e +∞单调递减；（2）最大值1e ，最小值e -.
【分析】
（1）对函数进行求导得()2
1ln x y f x x -''==，解不等式，即可得答案； （2）求出端点的函数值和极值，再进行比较，即可得答案；
【详解】
（1）()2
1ln x y f x x -''==， 解()0f x '=得x e =， 当0x e <<时，()0f x '>，所以函数ln x y x =
在()0,e 单调递增； 当x e >时，()0f x '<，所以函数ln x y x =
在(),e +∞单调递减. （2）由（1）知，()ln x y f x x ==在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦单调递减， 所以最大值为()1f e e =，而1f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；()222f e e =. 因为()21f f e
e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以，ln x y x =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值1M e =，最小值m e =-. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.。