电磁感应和力学规律的综合应用2

解： ab在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增加为v，a =v /
t产生感应电动势 E=Bl v
C
电容器带电量 Q=CE=CBl v 感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a
产生安培力F=BIl =CB2 l 2a 由牛顿运动定律 mg-F=ma
ma= mg - CB2 l 2a
F
a
K
a
b
解: ab 棒由静止开始自由下落0.8s时速度大小为 v=gt=8m/s
则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小 I＝Blv/R=4A
ab棒受重力mg=0.1N, 安培力F=BIL=0.8N. 因为F＞mg，ab棒加速度向上，开始做减速运动，
产生的感应电流和受到的安培力逐渐减小，
当安培力 F′=mg时，开始做匀速直线运动。
（1）该回路中的感应电流持续的时间多长？ （2）当金属杆的速度大小为ｖ０／2 时，回路中的感应电动 势有多大？
y
R
v0 B
d
O
x
解 : （1）金属杆在导轨上先是向右做加速度为ａ的匀减速直 线运动，到导轨右方最远处速度为零，后又沿导轨向左做 加速度为ａ的匀加速直线运动．当过了y 轴后，由于已离 开了磁场区，故回路不再有感应电流．
vm= mg (sin θ- μ cos θ)R/ B2 L2
θ
mg
例6.如图所示，矩形线框的质量m＝0.016kg，长L＝
0.5m，宽d＝0.1m，电阻R＝0.1Ω.从离磁场区域高
h1＝5m处自由下落，刚 入匀强磁场时,由于磁场力 作用，线框正好作匀速运动.
(1)求磁场的磁感应强度；
L
(2) 如果线框下边通过磁场
2v F
= [P/v - B2 L2 v/R]/m= 3B2 L2 v / mR
a2 = 3a1
例11. 用长度相同，粗细不同 的均匀铜导线制成的 两个圆环M和N，使它们从同一高度自由下落，途中 经过一个有边界的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面 向里，如图所示．若下落过程中圆环平面始终与磁场
方向保持垂直，不计空气阻力，则 （ A ）
匀强磁场,磁感应强度为B.在导轨的AC端连接一个阻
值为R的电阻.一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为
m,从静止开始沿导轨下滑,求ab棒
的最大速度. 要求画出 ab棒的受力图.已知ab与 R
C b
导轨间的滑动摩擦系数 A
μ,导轨和金属棒的电阻 都不计.
a
θ D
θB
解： 画出ab棒的截面受力图：
N=mgcos θ f=μN= μ mgcos θ
P
Q
解：以 a 表示金属杆运动的加速度，
在t 时刻，金属杆与初始位置的距离 L=1/2× a t2 此时杆的速度 v= a t， 这时，杆与导轨构成的回路的面积 S=Ll ，
回路中的感应电动势 E=SΔB/ Δt + Bl v =Sk+Bl v
回路的总电阻 R=2Lr0
回路中的感应电流 i =E/R
a=(F-f)/m
v
E=BLv
I= E/R
f=BIL
最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大，
F=f=BIL=B2 L2 vm /R
a
vm=FR / B2 L2
vm称为收尾速度.
R f1
F
F
f2
f
F
又解：匀速运动时，拉力 所做的功使机械能转化为
b
电阻R上的内能。
B
F vm=I2 R= B2 L2 v2 m /R vm=FR / B2 L2
由于安培力和导体中的电流、运动速度 均有关， 所以对磁场中运动导体进行动态分 析十分必要。
例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab ，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分 析ab 的运动情况，并求ab的最大速度。
分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应 电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图：
M
N
(3)金属杆运动的最大速度及此时
的能量转化情况.
答：(1) v 2gh 4m/ s E=BLv=0.4V;
(2) I=E/R=4A F=BIL=0.4N a=(mg-F)/m=6m/s2;
(3) F=BIL=B2 L2 vm /R =mg vm=mgR / B2 L2 =10m/s,
此时金属杆重力势能的减少转化为杆的电阻释放的热量
以ｔ１表示金属杆做匀减速运动的时间，有ｔ１＝ｖ０/ ａ．
从而，回路中感应电流持续的时间 T＝2ｔ１＝2ｖ０／ａ．
（2）以x１表示金属杆的速度变为ｖ１＝ｖ０／2 时它所在的x 坐标，
由
ｖ１２＝ｖ０2－2ａx１，
可得
x１＝3ｖ０2／8ａ，
从而，此时金属杆所在处的磁感强度
y
B１＝ｋx１＝3ｋｖ０２／8ａ
R
d
所经历的时间为△t＝0.15s，
h1
求磁场区域的高度h2.
h2
解：1---2，自由落体运动 v
在位置2，正好做匀速运动， ∴F=BIL=B2 d2 v/R= mg
mgR B vd 2 0.4T 2---3 匀速运动： t1=L/v=0.05s t2=0.1s 3---4 初速度为v、加速度 为g 的匀加速运动，
解: 螺线管产生感生电动势 E1=nS B1/t=4V 方向如图示 I1 =0.8A F1=B2 I1 L=0.16N mg=0.2N
mg > F1 ab做加速运动,又产生感应电动势E2,（动B1生电动势） 当达到稳定状态时,F2 =mg=0.2N
F2 =BI2 L I2 =1A I2 =(E1 +E2 )/R=(4+E2)/5 =1A E2 =1V=BLvm
a
F1
b
mg B2 F2
vm=5m/s
mg
例8.如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面 上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m，导轨的端点 P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离 l =0.20m.有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁 感强度B与时间t 的关系为B=kt,比例系数k=0.020T/s.一 电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动 过程中保持与导轨垂直，在t=0时刻，金属杆紧靠在P、 Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始 向导轨的另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所受的安培 力.
例2. 竖直放置冂形金属框架，宽1m，足够长，一
根质量是0.1kg，电阻0.1Ω的金属杆可沿框架无摩擦地
滑动.框架下部有一垂直框架平面的匀强磁场，磁感应
强度是0.1T，金属杆MN自磁场边界上方0.8m处由静
止释放(如图).求：
(1)金属杆刚进入磁场时的感应电动势；
(2)金属杆刚进入磁场时的加速度；
开始时，ab在mg 和f 的作用下加速运动，v 增大，
切割磁感应线产生感应电流I，
感应电流I又受到磁场的作用力F，
合力减小，加速度a 减小，速度v 增大，I 和 F 增大
当 F+f=mgsin θ时 ab棒以最大速度v m 做匀速运动
F=BIL=B2 L2 vm /R
F
N
· f a
B
= mgsin θ- μ mgcos θ
所以，此时回路中的感应电动势
v0 B
d
E１＝B１ｖ１d＝3ｋｖ０３ｄ／16 ａ． O
x
例10：水平放置的导轨处于垂直轨道平面的匀强 磁场中，今从静止起用力拉金属棒ab，若拉力为恒力 ，经t1 秒ab的速度为v，加速度为a1 ，最终速度为2v, 若拉力的功率恒定，经t2秒ab的速度为v，加速度为a2 ，最终速度为2v, 求 a1和a2的关系 解：拉力为恒力： 最终有 F=F安=B2 L2 ×2v/R
a1= (F- B2 L2 v/R) / m=F/m
-
B2 L2 v / mR= B2 L2 v / mR a
拉力的功率恒定： F′= F安= P/2v = B2 L2 ×2v/R
R
××××× ×××××
∴P/v= 4B2 L2 v/R a2=( F2′- F安′) / m
F 安1
t
B F
a v
b F安
A. 两圆环将同时落地 B. 细铜线制成的圆环先落地
NM
C. 粗铜线制成的圆环先落地
D. 条件不足无法判断
B
LP
作用于杆的安培力 F =B l i
v
l
解得 F=3k2 l 2 t ／ 2r0 ，
Q
代入数据为F=1.44×10 -3 N
例9 如图所示，两根相距为ｄ的足够长的平行金属导轨位于水平 的xOy平面内，一端接有阻值为Ｒ的电阻．在x＞ 0 的一侧存在 沿竖直方向的非均匀磁场，磁感强度B随x的增大而增大，B＝ｋ x，式中的ｋ是一常量．一金属直杆与金属导轨垂直，可在导轨 上滑动．当ｔ＝0 时位于x＝ 0处，速度为ｖ０，方向沿x轴的正 方向．在运动过程中，有一大小可调节的外力Ｆ作用于金属杆以 保持金属杆的加速度恒定，大小为ａ，方向沿x轴的负方向．设 除外接的电阻R外，所有其他电阻都可以忽略．问：
s=vt2+1/2 gt22=1.05m ∴h2=L+s =1.55m
2gh 10m / s
d L1
m＝0.016kg
d＝0.1m
R＝0.1Ω
h1
h1＝5m
L＝0.5m
2F
3 mg h2
4
例7. 如图示,螺线管匝数n=4,截面积.S=0.1m2,管内匀 强磁场以B1/t=10T/s 逐渐增强, 螺线管两端分别与两 根竖直平面内的平行光滑直导轨相接, 垂直导轨的水 平匀强磁场B2=2T, 现在导轨上垂直放置一根质量 m=0.02kg, 长l=0.1m的铜棒,回路总电阻为R=5,试求 铜棒从静止下落的最大速度. (g=10m/s2)
例3.如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶 端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩 擦，ab的电阻R=0.4Ω，质量m=10g，导轨的电阻不 计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中， 磁感强度B=1T。当ab棒由静止释放0.8s 后，突然接 通电键，不计空气阻力，设导轨足够长。求ab棒的 最大加速度和最终速度的大小。（g取10m/s2）
电磁感应和力学规律 的综合应用
电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受 到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟 力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的 力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律， 如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定 则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的 有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能 定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要 将电磁学和力学的知识综合起来应用。
此时满足 B2l 2vm mg R
K
F
解得最终速度，Biblioteka Baidu
a
b
vm = mgR/B2l2 = 1m/s。
mg
t=0.8s l=20cm R=0.4Ω m=10g B=1T
闭合电键时速度最大为8m/s。
例4.如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端 接有一个电容器 , 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度 为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab由静止下 滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属 棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？
b
ml
B mg h
a= mg / (m+C B2 l 2)
∴ab做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B2 l 2)
落地速度为
2mgh v 2ah m CB2l 2
例5.如图所示,AB、CD是两根足够长的固定平行金属
导轨,两导轨间的距离为L,导轨平面与水平面的夹角是
θ.在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的