等截面直角折杆刚度方程的推导及应用
《结构力学教学课件》§8-2等截面直杆的转角位移方程
转角位移方程在工程设计和分析中的应 用案例
桥梁设计
根据转角位移方程，设计桥 梁的梁柱结构，确保其稳定 性和承载能力。
建筑结构分析
使用转角位移方程评估建筑 物的结构变形情况，确保其 满足安全标准。
机械设计
在机械设计中应用转角位移 方程，考虑构件的变形情况， 以确保其工作正常。
矩形截面直杆的转角位移方程 示例。
圆形杆
圆形截面直杆的转角位移方程 示例。
I型梁
I型截面直杆的转角位移方程示 例。
转角位移方程的应用和意义
1 分析结构变形
转角位移方程可用于分 析结构的变形情况，了 解结构强度和稳定性。
2 设计工程
通过转角位移方程，可 以计算结构在设计工程 中所需的尺寸和材料要 求。
等截面直杆的转角位移方程
在这个教学课件中，我们将介绍等截面直杆的转角位移方程，包括定义、特 点和导出过程，并给出一些示例和应用案例。让我们开始学习吧！
直杆转角位移方程的定义
直杆转角位移方程是用来描述等截面直杆受力情况下的转角位移的数学表达 式。
等截面直杆的特点和假设条件
特点
等截面直杆的截面在整个杆体上保持不变。
假设条件
假设直杆材料是均匀的，受力是轴向拉压。
转角位移方程的导出过程
1
步骤 1
根据力平衡条件，推导出直杆所受的轴向拉力表达式。
2
步骤 2
基于杆体截面的几何特性，建立直杆的截面旋转角度和长度的关系。
3
步骤 3
结合步骤 1 和步骤 2 的结果，得到直杆转角位移方程。
各种常见等截面的转角位移方程示例
矩形梁
总结和要点
• 等截面直杆的转角位移方程描述直杆受力情况下的转角位移。 • 转角位移方程的导出过程基于力平衡和杆体几何特性。 • 转角位移方程可应用于工程设计、分析和优化。
钢结构压杆的刚度计算
钢结构压杆的刚度计算
钢结构压杆的刚度计算是指对钢结构中压杆的刚度进行评估和计算的过程。
刚度是衡量结构抵抗变形的能力，对于压杆而言，刚度计算涉及确定其弯曲、剪切等变形的程度。
在进行钢结构压杆的刚度计算时，需要考虑以下因素：
1.杆件截面特性：包括截面尺寸、惯性矩、回转半径等，这些因素决定了杆
件的弯曲刚度和剪切刚度。
2.材料特性：如弹性模量、泊松比等，这些参数影响材料的受力行为和刚度。
3.支撑条件：如固定、简支或自由等，不同的支撑条件会对压杆的刚度产生
影响。
为了计算压杆的刚度，可以采用以下示例公式：
弯曲刚度（EI）：用于计算杆件在弯曲载荷作用下的变形程度。
公式为：EI = E×I，其中E是材料的弹性模量，I是杆件的惯性矩。
剪切刚度：用于计算杆件在剪切载荷作用下的变形程度。
公式为：KG=G×J，其中G是材料的剪切模量，J是杆件的截面剪切惯性矩。
综合以上因素和公式，可以对钢结构压杆的刚度进行全面评估，为结构的稳定性和安全性提供保障。
总的来说，钢结构压杆的刚度计算涉及多个因素和复杂的公式，旨在准确评估其抵抗变形的能力，以确保结构的可靠性。
第8章位移法学习
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
位移法典型方程
物理意义
基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的 附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
第14页/共39页
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
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§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
对于具有n个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下
r11Z1 r1i Zi r1nZn R1P 0
ri1Z1 rii Zi rin Zn RiP 0
rn1Z1 rniZi rnnZn RnP 0
112EI
r11 10m r22 1000m3
r12
r21
6EI 100m
2
解得
Z1
232.7kN EI
m2
660.4kN m3
Z2
EI
R1P 100kN m R2P 60kN
由 M M1Z1 M 2Z2 M P
第28页/共39页
§8-7 有侧移的斜柱刚架
图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、D是不动的。
B点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。
C点：BC杆平移至B’C’’，CC’’=BB’。 C’’在垂直B’C’’方向上运动， 作C’’C’垂直于B’C’’。 同理，作CC’垂直于DC。 CC’与C’’C’的交点C’即C位移后的位置。
在图b中任选一点O为不动点→极点，AD与O重合。 作OB垂直于杆AB；过B作杆BC的垂线；过O作杆CD 的垂线，得交点C。
解： 刚架有一个独立的结点角位移Z1，一个独立的结点线位移Z2。基本体系 如图b所示。
第5章 杆件变形与刚度计算
dx
A
2200
1
2
P
C
FN1L1 56.32 10 3 1.4 0.657(mm ) B L1 9 4 E1A1 200 10 6 10 FN 2 L2 104.9 103 2.22 1.42 B L1 L2 1010 3 10 4 E2A2 L2 0.912(mm ) H L1 0.657(mm ) V L2 sin ( L1 L2 cos )ctg 1.499(mm ) 2 2 H V 1.637(mm )
挠度w在哪些位置须分段
M(x)：集中力、集中力偶、分布载荷起始点； w(x): 集中力、集中力偶、分布载荷起始点、中间铰；
中间铰处：挠度相等、转角不相等，只有1个连续性条件。
§5-3 梁的弯曲变形 刚度条件
例1 求图示悬臂梁的挠曲线方程及最 大挠度及最大转角。
w
max EI
例2 求图示悬臂梁的挠曲线方程及最 大挠度及最大转角。
q q q
1 c
c B
q
杆 件 的 变 形 与 刚 度 计 算
6 EI 7 qa 3 6 EI
§5-1 轴向拉（压）杆的变形
变截面杆件，ΔL怎么求？
d L FN x dx EAx
第 五 章 杆 件 的 变 形 与 刚 度 计 算
L
FN x dx l EA x
阶梯形杆：
L FNi Li Ei Ai
A
B
C
D
§5-1 轴向拉（压）杆的变形
例1：等截面石柱，E、容重。 解：F N ( x) Ax
杆件的刚度计算
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
纯弯曲 1
M EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
非纯弯曲
1
( x )
M ( x ) EI
17
第二节
1
梁的变形及刚度计算
M ( x ) EI
( x )
ds ( x ) d , 且 1
L∕5 3L∕5 L∕5
B
M 0
qL2／8
M qL2／40
x
x
qL2／50
0 qL2／50
33
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 三、合理选择梁的截面形状
对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合 理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有
尽可能大的弯曲截面系数WZ ,比值WZ／A越大，截面越经
20
第二节
梁的变形及刚度计算
(b )
EI y Pl Px
（3） 积分
EI y Plx
Pl 2
P 2
x C
2
(c )
EIy
x
2
P 6
x Cx D
3
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0
yA 0
y
M
( x ) dx C
M
( x ) dx C dx D
积分常数 或 y 1 M ( x ) dxdx Cx D EI C和D的值可 用数学语言描述：它 通过梁支承处已知的变形条件来 们是弯矩M（x）的函数 确定，这个条件称为边界条件。
05等截面直杆强度与刚度计算(工程力学基础)
重点 ● 轴向拉伸（压缩）及轴力图绘制，应力、变形及
F
FF
F
变形特征：轴向伸长或缩短
1、内力的概念
由外力引起的构件内部各部分之间的相互作用力。
内力特点： 1、有限性 2、分布性 3、成对性
F
1
杆件所承受 的荷载及约 束力统称为 外力
F2
F3
Fn
2、截面法 研究构件内力通常采用截面法
将杆件假想地沿某一横截面切开，取其中的一部分为研究
对象，在切开的截面上用内力表示去掉部分对保留部分的 作用，建立静力平衡方程求出该内力。
八、单跨静定梁的基本形式、内力及其求解 九、单跨静定梁的内力方程及内力图绘制 十、叠加法作单跨静定梁的内力图 十一、 平面弯曲、常用截面的几何性质 十二、 梁弯曲的强度力计算 十三、 梁弯曲时的变形和刚度计算 十四、 提高梁弯曲强度的措施
目标 ● 掌握轴向拉伸（压缩）及轴力图绘制，应力、
σN A
σ——正应力 N——轴力 σ的符号与N轴力符号相同
A——横截面面积
例5-3
三、轴向拉(压)杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；
斜截面----是指任意方位的截面。
F
FF
n
αX p
σα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应力
讨论：
σα
=σ cos2 α
τα
=
等截面杆件的固端弯矩和剪力推导
等截面杆件的固端弯矩和剪力推导在聊等截面杆件的固端弯矩和剪力之前，咱们先得搞明白什么是等截面杆件。
想象一下，一根像铁棍一样笔直的杆子，无论在哪个地方量它的直径都是一样的。
就像一个漂亮的香肠，哪儿都粗，哪儿都细不下来。
这样的杆件在工程中可是很常见的哦，建筑、桥梁、机械结构，处处都能看到它的身影。
固端弯矩和剪力又是个什么玩意儿呢？想象一下，你在横梁上跳舞，支撑你的是两端固定住的杆子。
你在上面翩翩起舞，导致杆子两端就开始发力，杆子内部会产生弯矩和剪力。
弯矩就像是那种看不见的力量，它让杆子有了弯曲的趋势。
而剪力则是让杆子一侧往下，另一侧往上的力量。
简单来说，弯矩是让你“弯”的力量，而剪力则是让你“剪”的力量。
是不是很形象？固端的意思就是这根杆子的两端都被固定住了，想想吧，这就像你把香肠两头用夹子夹住了。
无论你怎么动，中间的部分都只能扭曲，不能随便摇摆。
这样一来，固端的弯矩和剪力就显得尤为重要了。
我们得知道这两者是怎么计算的，不然一不小心，整个建筑可能就要“趴下”了。
想象一下，你在固端的中间用力挤压，杆子的中间就开始弯曲。
这个时候，我们可以用公式来帮助我们了解弯矩的大小。
简单来说，弯矩可以用“力×力臂”来表示。
也就是说，力量越大，作用点离固定点越远，弯矩就越大。
就像你拿着一个长杆，越往外用力，越容易让它弯曲。
这样一想，是不是就明白了？哎，这里还有个小技巧，记得用牛顿的第二定律，这可是工程师们的“圣经”哦。
再说说剪力吧，剪力的计算和弯矩有些不同。
剪力一般跟载荷的分布有关。
比如说，咱们在杆子上放了重物，那个重物的重力就会产生剪力，试想一下，重物在杆子上“坐大了”，杆子底部就得使劲顶着它。
剪力的计算方式通常跟总载荷的分布有关，简单来说，就是你有多少重物，分布在哪个位置。
用个小公式表达就是，剪力等于总载荷除以杆子的长度。
听起来简单，但可不能小看这玩意儿，真要出问题，后果可就不堪设想。
让我们“深入”一下这个话题。
等截面直杆杆端弯矩和剪力
等截面直杆杆端弯矩和剪力
在力学中，我们经常需要计算杆件的弯矩和剪力，在一些工程领域中更是必不可少的。
而在计算弯矩和剪力时，等截面直杆杆端弯矩和剪力是一个重要的概念。
等截面直杆是指杆件的截面图形在杆体的任意一截面上都相同，并且杆体在整个长度上都完全一致。
这里的直杆是指杆体只承受弯曲力和剪切力作用下的力学模型。
当一个等截面直杆受到外力的作用时，杆体会发生变形，这时会产生弯矩和剪力。
弯矩指的是杆体受到弯曲力产生的力矩，这个力矩的大小依赖于弯曲力的大小、距离和截面的相对位置。
弯矩可用公式
M=F×l来计算，其中M表示弯矩，F表示弯曲力，l表示弯曲力作用点到杆体的支点的距离。
剪力则是指杆体受到剪切力产生的力，这个力的大小依赖于剪切力的大小和截面的形状。
剪力可以用公式V=Q×A来计算，其中V表示剪力，Q表示剪切力所产生的剪应力，A表示杆体的截面面积。
这个公式可以理解为剪力和杆截面面积的乘积等于截面上剪应力的合力。
在实际的工程应用中，为了控制杆件的变形和破坏，必须对等截面直杆的弯矩和剪力施加限制。
例如，在土木工程中，大型桥梁和建筑高楼常常用到金属结构，而这些结构的受力情况往往非常复杂，因此需要根据不同部位对杆体的弯曲和剪切力进行合理的限制来保证结构的
稳定。
总之，等截面直杆的弯矩和剪力是一个十分重要的力学概念，直接关系到工程设计和结构的安全性。
只有深入理解这个概念，并能熟练运用相应的公式，才能在实际的工程应用中做出正确的决策并确保结构的稳定性。
框架刚度计算公式
框架刚度计算公式一、框架柱的线刚度（i）计算。
1. 等截面柱。
- 对于矩形截面柱，其线刚度计算公式为：i = (EI)/(h)，其中E为柱材料的弹性模量（对于混凝土结构，不同强度等级的混凝土E值不同，例如C30混凝土E = 3.0×10^4N/mm^2），I为柱截面的惯性矩。
对于矩形截面b× h（b为截面宽度，h为截面高度），I=frac{bh^3}{12}，h为柱的计算高度（柱上下节点中心之间的距离）。
- 对于圆形截面柱，I=frac{π d^4}{64}（d为圆形截面直径），线刚度i=(EI)/(h)。
2. 变截面柱。
- 当柱为变截面时，可采用等效惯性矩I_e来计算线刚度。
对于阶形柱，在计算柱顶位移等情况时，可根据不同的变截面形式和受力情况采用相应的等效方法计算I_e，然后再按照i=frac{EI_e}{h}计算线刚度。
二、框架梁的线刚度（i）计算。
1. 矩形截面梁。
- 同样采用i=(EI)/(l)，其中E为梁材料的弹性模量（与柱材料相同时取值相同），I为梁截面的惯性矩。
对于矩形截面b× h（b为截面宽度，h为截面高度），I = frac{bh^3}{12}，l为梁的计算跨度（一般取柱轴线之间的距离）。
2. T形、倒L形等截面梁。
- 对于T形截面，其惯性矩I的计算要考虑翼缘和腹板的共同作用。
对于翼缘宽度b_f、腹板宽度b、梁高h和翼缘厚度h_f的T形截面，其惯性矩I=(1)/(12)[b_fh^3-(b_f - b)(h - 2h_f)^3]。
然后再根据i=(EI)/(l)计算线刚度。
倒L形截面类似，根据其截面尺寸计算惯性矩后求线刚度。
三、框架整体刚度计算（以D值法为例）1. 柱的抗侧移刚度（D值）计算。
- 对于一般层柱：- 当框架结构为规则框架（各柱等高，梁的线刚度沿柱高度方向不变等情况）时，D=αfrac{12i_c}{h^2}，其中α为柱的侧移刚度修正系数。
刚度等代杆截面
刚度等代杆截面
在结构工程中，刚度是指结构或构件抵抗变形的能力。
对于等代杆来说，刚度等代杆截面指的是用等效的杆件代替原来的结构或构件，以保持相同的刚度。
等代杆的截面可以根据原有结构或构件的形状、材料、尺寸和刚度等因素进行选择和设计。
一般情况下，等代杆的截面应与原有结构或构件的截面相似，具有相似的抗弯、抗剪、抗扭等性能。
在等代杆的设计过程中，需要对原有结构或构件进行详细的力学分析，以确定其刚度、强度和稳定性等方面的要求。
然后，根据这些要求选择合适的等代杆截面形式，并计算出等代杆的各项性能指标。
最后，进行整体结构分析，确保等代杆能够代替原有结构或构件并保持相似的性能。
总的来说，刚度等代杆截面是用来保持原有结构或构件刚度的等效杆件截面，需要充分考虑截面的性能和设计要求。
8.2 等截面直杆的转角位移方程
AB
,1
B
X3
AB
A
0
RB ,1 0
R , 1 1 l
EI 力法方程：令 i l 11 X1 12 X2 13 X3 1C A
M 1图
RA ,2 0
1
RB ,2 0
X2=1
1 l
21 X1 22 X 2 23 X3 2C B 31 X1 32 X 2 33 X3 3C 0
8.2 等截面直杆的转角位移方 程
一、杆端内力及杆端位移的正负号规定
1、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩： 对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。 对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。
MAB A MBA B
A
杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。
2、杆端位移的正负号规定
MBA B A 弦转角 B' EI, l B
对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可 根据叠加原理，写出如下：
1）两端固定梁
FQAB FQBA
6i A 6i B 12iΔ F 2 FQ AB l l l 6i A 6i B 12iΔ F 2 FQ BA l l l
2）一端固定另一端铰支梁
例如图中aballrightsreserved重庆大学土木工程学院822单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁它们在荷载支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得
应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力 与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程)。 利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的 转角位移方程。
第8章 位移法 等截面直杆的转角位移方程
rij —副系数，据反力互等定理，rij=rji ；
RiP—自由项。副系数和自由项可能为正、负或零。 系数是单位位移引起附加约束上的反力(矩)，结构刚度愈大， 反力愈大，称刚度系数，位移法也称刚度法。
27
为计算系数和自由项，绘出基本结构在 以及载荷作用下的 和MP图： r12 =-6i/l r11 =7i 3i Z1 1 1 6i 1 R 1P 0 l 2 Z2 1 1 4i 2 4i 1 1
位移法基本方程。
物理意义：在结点位移和荷载共同作用下，基本结构上每一
附加约束中的附加反力(矩)都为零。
26
n个独立结点位移的刚架： r11Z1+ · · ·+ r1iZi+ · · ·+ r1nZn+R1P=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ri 1Z1+ · · ·+ ri iZi+ · · ·+ ri nZn+Ri P=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · rn1Z1+ · · ·+ rniZi+ · · ·+ rnnZn+RnP=0 rii —主系数，恒正；
F 远端铰支杆： M AB 3i A 3i M AB , M BA 0
l
F 远端滑动杆： M AB i A M AB F M AB i A M BA
第三章扭转第五节等直圆杆在扭转时的变形`刚度计算
2.最大切应力发生在横截面上
t sin 2 t t cos2
t max t 0
0
低碳钢扭转破坏：沿横截面破坏
铸铁扭转破坏：沿45°螺旋面破坏
塑性材料抗剪切能力比抗拉伸能力弱；脆性材料抗拉伸能力比抗剪切能力弱。
0000000000000 23
扭转
三、强度条件Strength condition
扭转实验后
A
B
C D
A
B
g
C'
t
0000000000000
t
´
D'
5
圆周线的形状、 大小均不变。 相邻截面间距
圆周方向和半径方 向均无线应变。 横截面上任一点沿轴线 方向无线应变
圆轴横截面 上只有切应 力，没有正 应力。
平面假设成立
结论
相邻截面绕轴线作相对转动
根据剪应变所在面与半径垂直， 可知：横截面上各点的剪应力 的方向必与圆周线相切。
轴扭转时横截面上的切应力公式
1)横截面上任意点： t T T：横截面上的扭矩
I p ：点到截面形心的距离
扭转
Tr T 2)横截面边缘点： t max I p Wp
其中： Wp
Ip r
公式适用范围:(1)圆截面或圆环截面的圆轴 (2)材料服从胡克定律。 总结： (1)切应力沿半径呈线性分 布，方向垂直于半径，指向 与扭矩方向相同。 (2)最大切应力发生横截面 周边各点上，圆心处切应力 等于零。 0000000000000
Tmax 1.98103 t max 97.5MPa 由上式解出：d=46.9mm。 3 Wp d / 16 1 空心轴与实心轴的截面 A空 ( D 2 D 2t 2 ) d 2 0.334 面积比(重量比)为： 4 4 A实 3
有限元杆单元讲解
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
( x) ——杆单元应变 ( x)——杆单元应力
du 应变—位移关系： dx 应力—应变关系： E
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量： u j ui
应变： L
E L EA EA 杆内力：F A k L L EA 杆的轴向刚度： k L
第2章 杆单元与梁单元
第 2 章
杆单元与梁单元
§ 2.1 等截面杆单元
杆单元
2.1.1 一维等截面杆单元
2.1.2 二维空间杆单元
•如何用直接法求杆单元特性？ •如何用公式法导出杆单元特性？ •什么是虚功原理？ •杆单元刚度矩阵的特点？
第 2 章 杆单元与梁单元
•什么叫坐标变换？ •如何对节点位移向量进行坐标变换？ •如何对刚度矩阵进行坐标变换？ •应用举例
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
对于杆单元，定义虚位移如下：
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Ｌ ｝
． — — — — — — — ． — —
』— — — Ｌ— — —
Ｉ
（） ａ
（ ） 图 ｂＭ
图１
（ ） 图 ｃＭ
①
收稿 日期 ：０ ０— ８— ６ ２ １ ０ ２ 作者简介 ： 张波 （９ ６一） 男 ， １７ ， 陕西泾阳人 ， 硕士研究生 ， 陕西理工学院讲师 ， 从事土木工程教学 与科研工作
“
Ｆ ，
＝
竽． 杆端转角 ， 以 ０ 顺时针转动为正， 口 当Ａ端
（ ，
干个直杆单元所组成 ， 当刚架较复杂时 ， 基本未知 量较多 ， 算 比较 麻烦 ． 了减 少 位移 法 基本 未 知 计 为 量， 将基本 体 系取 作 包 含 直 角 折 杆 单 元 和 直 杆 单
元， 通过对直 角折杆 的单 元 刚度 方 程进 行 推 导 ， 使
中图分类 号 ： Ｔ ３ １ Ｕ １ 文献标 识码 ： Ａ
建筑结 构 中 ， 移 刚架是 一种 常见 的结 构形 无侧 式． 使用文献［ — ］ １ ３ 介绍的位移法计算其内力时， 基本体 系取一 系列 单跨 超静定 梁 ， 本 体系 由若 即基
长为 口 竖杆长 为 ｂ各杆 肼 ＝ 常数 ， 。＝坐 ， ， ， 令
文章 编 号 ：０ ８—１０ （０ ０ ０ ０ ５ ０ １０ ４ ２ ２ １ ）５— ７ ６— ３
等 截 面 直 角 折 杆 刚度 方 程 的 推 导 及 应 用①
张 波
（ 西 理 工 学 院 土 木 工程 与 建 筑 系 陕 西 汉 中 ７ ３０ ） 陕 ２０ ０
摘
要 ： 位移 法是 求解超静 定结 构 的基本 方 法 ， 文献 介绍 一般 常规 位移 法基 本体 系由直杆 单
图 ３ａ （ ）所示 为一 端 固定 一 端 滑 动 的折 杆 ， 各
杆 参数 同上 ． 端 转 角 、。以顺 时针 转 动为 正 ， 杆 ０
当 Ａ端发 生顺 时针 单位 转角 时 ， 采用 力 矩分 配法 得 到 弯矩 图 ， 图 ３ ｂ 所 示 ； 如 （） 同理 当 Ｂ端 发生顺 时针
矩 图 ， 图 ２ ｂ 所 示 ， 以得 出 当 Ａ端 发生 转角 如 （） 可 Ａ
Ｂ
●
一
～
Ｉ
时 ， 端 固定 一端 铰支 形式ｒ折杆 的刚度方 程为 ： 一 ｈ
＿。
］ ●＿ ●Ｊ 可
一
一
～
一
¨ １
Ｄ 一 Ｄ
Ｐ ｒ
『 ； ｜
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曼
一
（） ａ
图２
（ ） 图 ｂＭ
【 Ｉ ｌｌ
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＿ ｉ＋ ｉ ｊ ａ４ ｂ
Ｌ １
塑
．
ｌ １
（ ） 图 ｂＭ
图３
（） ａ
（） ｃ Ｍ图
２ （
１３ 一端 固定 一端滑 动 ．
）
（） ２
２ 应 用 举例
下图 ４ ａ 为某一工程刚架计算简图， （） 求并作
得求解 内力工作 量得 到简化 ．
Байду номын сангаас
发生顺 时针 单位 转角 时 ， 用力矩 分配法得 到弯矩 采
图， 如图 １ ｂ 所示 ； （） 同理可得当Ｂ 端发生顺时针单 位转角 时折杆 弯矩 图 ， 如图 １ ｃ 所示 ． （） 因此利用所 得 结果 ， 同时利用 叠加原 理求 出 当 Ａ端和 Ｂ端 同时
． ． ．
＝
ｃ ｃ
ｃ 糍
１㈩ Ｊ
‘Ｃ Ａ
． ‘ Ｄ Ｃ
Ｂ Ｄ
． ‘ ＤＥ
第２ ８卷 第 ５期
２１ 年 ｏ 月 ００ ９
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｕｉ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔｒ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ａ ｓ Ｕ ｉｅ ｉ ｏ Ｊｍ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） ｕｌ ｎ ｉ
Ｖｏ ． ８ Ｎ ． １２ ｏ ５ Ｃ Ｓ ｐ． ２ ０ ０１
发生 转角 和 时 ， 端弯矩 杆 式， 即折杆 的刚 度方程 为 ： 和 Ｊ 的表达 】 Ｉ
１ 等 截面 直 角 折杆 刚度 方 程
１ １ 两端 固端 ．
图 １ａ 所 示 为一 两 端 固定 的折 杆 ， 中横杆 （） 其
Ｂ
｛
ｌ＋ｂ 口ｆ
．
ｏｆ
ｊ
ｆ Ｉ
最后 弯矩 图． １＝常 数 Ｅ
解 ： 题 宜采 用位 移 法求 解 ， 本 按一般 的方法 ， 基 本 体系取 作 是 由一 系列单 跨 超静 定梁所 组成 ， 其基 本 未 知量有 ３ ， 是 Ｃ结 点 、 个 就 Ｄ结点 和 Ｆ 点的转 结 角． 当把 ＡＣ Ｄ段和 ＤＦ Ｇ段 看作 折 杆单元 时 ， 上 利用 面 推导 的折 杆 刚度 方 程 （ ）和 图 １ ｂ 、 （ ） 其基 １ （ ）１ｃ ，
单 位转 角时折 杆弯 矩 图 ， 图 ３ ｃ 所 示 ． 如 （） 利用 叠加
原 理求 出一端 固定 一 端 滑 动形 式 折杆 当 Ａ端 和 Ｂ
端 同时发 生转 角 Ｏ ａ和 ０ 时折 杆 的刚度 方程 为 ：
＝
本未 知量 就 降为 只有 １ 了 ， Ｄ结点 的转 角 ｚＪ 个 即 ， 问题 得 到简 化 ， 立 图 ４ ｂ 建 （ ）所 示 的位移 法 基本 体 系． 各杆 线 刚度 为
第 ５期
张 波 ： 截 面直 角折杆 刚度 方程 的推 导及 应 用 等
７７ ５
＝ｉＯｘ 罨 ）．＾㈩ （ ａ ＋－ｉ ４ ３（６Ｊ ｉ ｉ（ ｂ ． ￣ ｝ ｘ ） ｂ ｉ ）
一
杆参 数 同上． 端 转 角 以顺 时针 转动 为正 ， Ａ 杆 当 端发 生顺 时针 单位 转 角 时 ， 采用 力矩 分配 法得到 弯
元 所组成 ， 刚架 比较 复 杂时 ， 本未知 量较 多 ， 基 计算 比较麻 烦 ． 本文 通过 对等截 面 直角折杆 刚度 方
程 的推 导 ， 使得 对某 些无侧 移复 杂刚 架应 用位移 法求解 内力工 作量得 到 简化 ， 并通过 实例验证 了 其适 用性 ．
关 键词 ： 等截 面直 角折 杆 ；刚度 方程 ；位移 法