高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

模块综合检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A ．2 2
B ．10
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22
＋－1
2
＋22
＝3．
2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →
)等
于( )
A ．AD →
B ．FA →
C ．AF →
D ．EF →
【答案】C
【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →
．
3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．1
2 D ．－12
【答案】B
【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －1
2
，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，
∴－m
2
×(－1)＝－1，即m ＝－2．
4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )
A ．－9
B ．1
C ．1或－2
D ．1或－9
【答案】D
【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0
与圆(x －1)2＋(y ＋2)2
＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．
5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为
坐标原点)，则y 2
0的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4
c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4
c 2
C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫b 4
c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫a 2
c 2，＋∞ 【答案】A
【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2
＋b 2
，所以x 20
＋y 20
≤a 2
＋b 2
，又因为x 20a 2－y 20
b
2＝1，
消去x 2
得0≤y 20
≤b 4
a 2＋
b 2，所以0≤y 20
≤b 4
c
2．
6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝2
4
x 与椭圆C 相
交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )
A ．
3
2
B ．34
C ．12
D ．14
【答案】A
【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝
2
4
x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2
＝c ，即
x 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
223
c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到
⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a
2
＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13c 2
b
2
＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2
－3)＝0，因
为0＜e ＜1，所以可得e ＝
32
． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中
点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16
，则OC →·OF →
＝( )
A ．9
B ．7
C ．5
D ．3
【答案】D
【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →
＝(x －2，y －2，z )，EF →
＝(－22，22，0)，由
cos 〈EF →
，BC →
〉＝EF →·BC
→|EF →||BC →|
＝
－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →
|
＝3，得x 2
＋y 2
＝
x －2
2
＋y －2
2
，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝
2
4
，y ＝
324
，则OC →·OF →
＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2
上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，
弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116
的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2
，则λ的最小值为( )
A ．
22
B ．1－
22
C ．1＋22
D ．2＋ 2
【答案】D
【解析】抛物线y ＝4x 2
的焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠
MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线
的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2
＋b 2
＋2ab a ＋b 2＝1－2－2
ab
a ＋
b 2
≥
1－
2－2ab 2ab
2
＝1－2－24＝2＋2
4
，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l ：(a 2
＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0
C ．直线l 过定点(0,1)
D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC
【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2
＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．
10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 2
2＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上
的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )
A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x
B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD
【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±
a
b
x ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由
⎩⎨
⎧
x 2＋y 2
＝6，
y ＝2x ，
得⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝2
或⎩⎨
⎧
x ＝－2，y ＝－2，
由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；
S △MF 1F 2＝12
|F 1F 2||x M |＝12
×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．
11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2
＋y 2
＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )
A ．(0，2)
B ．(1，2－1)
C ．(2，0)
D ．(2－1,1)
【答案】AC
【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝
212
＋1
2
＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2
＝1
相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2
＋y 2
＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝
t 2＋
2－t
2
＝2，整理得2t 2
－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为
(0，2)或(2，0)．故选AC ．
12．关于空间向量，以下说法正确的是( )
A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512O
C →
，则P ，A ，B ，C 四点共面
C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底
D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC
【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋
1
3OB →
＋12OC →
，因为16＋512＋512
＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，
由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由
〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．
【答案】(1,1，－1)
3
【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12
＋－1
2
＋12
＝3．
14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．
【答案】(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝1
【解析】圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1
＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋12－b
2＋1＝0，
b
a －1＝－1，
解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关
于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝1．
15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．
【答案】
32
【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC
→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AC →＝0，
n ·AD 1→＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋y ＝0，
－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面
ACD 1的距离d ＝|AM →
·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→
，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距
离为
3
2
．
16．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点
且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．
【答案】7
【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2
＝36a 2
＋16a 2
－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →
＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．
解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →
＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．
OC →
＝OB →＋BC →
＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．
(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →
＝(－7,1，－7)，
又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →
＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直
线过点P (8，－1)．求：
(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．
解：(1)k BC ＝－5－－1
6－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．
∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－6
5
．
∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝5
6．
∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，
∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝5
6
(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．
19．(12分)已知圆C 1：x 2
＋y 2
－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2
＋y 2
－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；
(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．
两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．
(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．
圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|
16＋9＝3，
故公共弦长为216－9＝27．
20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，
y 2)两点，且x 1x 2＝－4．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．
解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p
2
，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，
得x 2－2pkx －p 2
＝0，
由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2
＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2
＝4y ．
(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 2
3＋(y 3－t )2
＝x 24＋(y 4－t )2
．
因为x 2
3＝4y 3，x 2
4＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2
＝4y 4＋(y 4－t )2
， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．
又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．
于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝3
4|x 1－x 2|．
由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝3
4|x 1－x 2|
＝34
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝34
16k 2－4×－4＝3k 2
＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．
21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．
(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为
6
3
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．
∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2
＋BC 2
＝AB 2
，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．
(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →
分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－12，a 2，
CA →＝(1,1,0)，CP →
＝(0,0，a )，
CE →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，－12，a 2
，
设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，
所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →
＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，
取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，
依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝6
3，则a ＝2．
于是n ＝(2，－2，－2)，PA →
＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈PA →
，n 〉|＝|PA →
·n ||PA →||n |＝23，
即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
23
． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝
⎛
⎭⎪⎫－1，32．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意可得
32＝c a ，1a 2＋3
4b
2＝1， 又因为a 2
－b 2
＝c 2
， 解得a 2
＝4，b 2
＝1．
所以椭圆C 的方程为x 2
4＋y 2
＝1．
(2)存在定点Q ⎝
⎛⎭
⎪⎫
433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2
)y 2
－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意
t ≠x 1，t ≠x 2)，
则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝
23m 4＋m 2，y 1y 2＝－1
4＋m
2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以
y 1
x 1－t ＋
y 2
x 2－t
＝0，
即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．
又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－1
4＋m
2＝0，
11 即2m (4－3t )＝0，
所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝
⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。