河南省南阳市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)

河南省南阳市2014-201 5学年高二下学期期末数学试卷（理
科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，
3），（12.5，2），（13，1）．r
1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r
2
表示变量
V与U之间的线性相关系数，则（）
A．r
2＜r
1
＜0 B．0＜r
2
＜r
1
C．r
2
＜0＜r
1
D．
r
2=r
1
2．关于复数z=的四个命题：
p
1
：复数z对应的点在第二象限，
p
2
：z2=2i，
p
3
：z的共轭复数为1+i，
p
4
：z的虚部为﹣1．
其中的真命题个数为（）
A．1B． 2 C． 3 D． 4
3．若f（x）在R上可导，f（x）=x2+2f′（2）x+3，则f（x）dx=（）A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣18
4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
5．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）
A．12种B．20种C．24种D．48种
6．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）
A．B．C． D．
7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（）
A．2B． 3 C． 6 D．7
8．使得（n∈N
）的展开式中含有常数项的最小的n为（）
+
A．4B． 5 C． 6 D．7
9．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
A．3B． 3.15 C．3.5 D．4.5
10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）
A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．
①④②③
11．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的
零点个数为（）
A．1B． 2 C． 3 D． 4
12．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f （x）＞0恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c
＜b＜a
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．
14．若对于任意实数x，有x5=a
0+a
1
（x﹣2）+…+a
5
（x﹣2）5，则a
1
+a
3
+a
5
﹣a
=．
15．已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个不等式的正数x
1，x
2
（x
1
＞x
2
），都
有f（x
1）﹣f（x
2
）＞2（x
1
﹣x
2
）成立，则实数a的取值范围是．
16．数列{a
n }共有5项，其中a
1
=0，a
5
=2，且|a
i+1
﹣a
i
|=1，i=1，2，3，4，则满
足条件的不同数列的个数为．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性女性合计
反感10
不反感8
合计30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；
（2）据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？
18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；
（2）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，
该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．
20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
21．数列{a
n }满足：a
1
=1，a
n+1
=+1，n∈N*．
（Ⅰ）写出a
2，a
3
，a
4
，猜想通项公式a
n
，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：++…+＜（a
n
+1）2，n∈N*．22．已知函数f（x）=lnx﹣．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．河南省南阳市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，
3），（12.5，2），（13，1）．r
1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r
2
表示变量
V与U之间的线性相关系数，则（）
A．r
2＜r
1
＜0 B．0＜r
2
＜r
1
C．r
2
＜0＜r
1
D．
r
2=r
1
考点：相关系数．
专题：计算题．
分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．
解答：解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），
（11.8，3），（12.5，4），（13，5），
=11.72
∴这组数据的相关系数是r=，
变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），
（11.8，3），（12.5，2），（13，1）
，
∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，
∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，
故选C．
点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．
2．关于复数z=的四个命题：
p
1
：复数z对应的点在第二象限，
p
2
：z2=2i，
p
3
：z的共轭复数为1+i，
p
4
：z的虚部为﹣1．
其中的真命题个数为（）
A．1B． 2 C． 3 D． 4
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据每个小题的要求作出相应的解答，判断每个命题的真假，则答案可求．
解答：解：p
1
：由复数z==，
则复数z对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限，故p
1
错误；
p
2：由p
1
中得到z=﹣1﹣i，
则z2=（﹣1﹣i）2=2i，故p
2
正确；
p
3：由p
1
中得到z=﹣1﹣i，
则z的共轭复数为﹣1+i，故p
3
错误；
p
4：由p
1
中得到z=﹣1﹣i，
则z的虚部为﹣1，故p
4
正确．
∴真命题个数为：2．
故选：B．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了共轭复数的求法，是基础题．
3．若f（x）在R上可导，f（x）=x2+2f′（2）x+3，则f（x）dx=（）A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣18
考点：定积分．
专题：导数的概念及应用．
分析：首先通过已知等式两边求导令x=2得到f'（2），求出f（x），然后代入定积分计算即可．
解答：解：由已知得到f'（x）=2x+2f′（2），令x=2，则f'（2）=4+2f′（2），解得f'（2）=﹣4，
所以f（x）=x2﹣8x+3，
所以f（x）dx=（x2﹣8x+3）dx=（）|=﹣18；
故选D．
点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识，关键是求出x 的系数f'（2）．
4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X＞4）．
解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），
∴正态曲线的对称轴是x=2
P（0＜X＜4）=0.8，
∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，
故选A．
点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
5．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）
A．12种B．20种C．24种D．48种
考点：排列、组合的实际应用．
专题：计算题．
分析：根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．
解答：解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，
将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，
1=4种情况，
若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C
2
若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，
则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；
故选：C．
点评：本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．
6．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）
A．B．C． D．
考点：条件概率与独立事件．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个6点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．
解答：解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，
即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，
“至少出现一个6点”的情况数目为6×6﹣5×5=11，
1×5=10种，
“两个点数都不相同”则只有一个6点，共C
2
故P（A|B）=．
故选：A．
点评：本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率．
7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（）
A．2B． 3 C． 6 D．7
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由X～B（2，P）和P（X≥1）的概率的值，可得到关于P的方程，解出P的值，再由方差公式可得到结果．
解答：解：∵随机变量X～B（2，P），
∴P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣P）2=，
解得P=．
∴D（Y）=3××=，
∴D（3Y+1）=9×=6，
故选：C．
点评：本题考查二项分布与n次独立重复试验的，属基础题．
8．使得（n∈N
+
）的展开式中含有常数项的最小的n为（）
A．4B． 5 C． 6 D．7
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题．
分析：利用二项展开式的通项公式T
r+1
=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．
解答：解：设（n∈N
+）的展开式的通项为T
r+1
，
则：T
r+1
=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，
令n﹣r=0得：n=r，又n∈N
+
，
∴当r=2时，n最小，即n
min
=5．
故选B．
点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
9．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
A．3B． 3.15 C．3.5 D．4.5
考点：回归分析的初步应用．
专题：计算题．
分析：先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．
解答：解：∵
由回归方程知=，
解得t=3，
故选A．
点评：本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．
10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）
A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．
①④②③
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．
解答：解：分析函数的解析式，可得：
①y=x•sinx为偶函数；②y=x•cosx为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x 为非奇非偶函数
且当x＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立；
则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③
故选：D．
点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中函数的图象或解析式，分析出函数的性质，然后进行比照，是解答本题的关键．
11．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的
零点个数为（）
A．1B． 2 C． 3 D． 4
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数可转化为方程sgn（lnx）﹣ln2x=0的解的个数，从而解方程即可．
解答：解：令sgn（lnx）﹣ln2x=0得，
当lnx＞0，即x＞1时，
1﹣ln2x=0，解得，x=e；
当lnx＜0，即x＜1时，
﹣1﹣ln2x=0，无解；
当lnx=0，即x=1时，成立；
故方程sgn（lnx）﹣ln2x=0有两个根，
故函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；
故选B．
点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．
12．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f （x）＞0恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c ＜b＜a
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论
解答：解：构造函数g（x）=，当x∈（1，+∞）时，
g′（x）=，即函数g（x）单调递增，
则a=f（2）==g（2），b=f（3）==g（3），c=（+1）f（）==g（），
则g（）＜g（2）＜g（3），
即c＜a＜b，
故选：A．
点评：本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．
考点：离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据它们的概率之和为1，求出c的值，进一步求出P（1.5＜k＜3.5）的值．
解答：解：由随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，
得，
解c=．
∴P（1.5＜k＜3.5）=P（X=2）+P（X=3）=．
故答案为：．
点评：本题考查了离散型随机变量的期望与方差，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，属于中档题．
14．若对于任意实数x，有x5=a
0+a
1
（x﹣2）+…+a
5
（x﹣2）5，则a
1
+a
3
+a
5
﹣a
=89．
考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．
分析：根据x5=[2+（x﹣2）]5=a
0+a
1
（x﹣2）+…+a
5
（x﹣2）5，令x=2，可得a
=32，
再利用通项公式求得a
1、a
3
+a
5
的值，可得a
1
+a
3
+a
5
﹣a
的值．
解答：解：∵x5=[2+（x﹣2）]5=a
0+a
1
（x﹣2）+…+a
5
（x﹣2）5，令x=2，可得
a
=32．
∴a
1=•24=80，a
3
=•22=40，a
5
==1，∴a
1
+a
3
+a
5
﹣a
=80+40+1﹣32=89，
故答案为：89．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
15．已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个不等式的正数x
1，x
2
（x
1
＞x
2
），都
有f（x
1）﹣f（x
2
）＞2（x
1
﹣x
2
）成立，则实数a的取值范围是a≥．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：先确定g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增，再利用
导数，可得a≥﹣2x2+2x恒成立，即a≥（﹣2x2+2x）
max
，即可求出实数a的取值范围．
解答：解：∵f（x
1）﹣f（x
2
）＞2（x
1
﹣x
2
），
∴f（x
1）﹣2x
1
＞f（x
2
）﹣2x
2
，
即g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增，
即g′（x）=2x+恒成立，
也就是a≥﹣2x2+2x恒成立，∴a≥（﹣2x2+2x）
max
，
∴a≥，
故答案为：a≥．
点评：本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）﹣2x=x2+alnx﹣2x在（0，+∞）上单增是关键．
16．数列{a
n }共有5项，其中a
1
=0，a
5
=2，且|a
i+1
﹣a
i
|=1，i=1，2，3，4，则满
足条件的不同数列的个数为4．
考点：数列递推式．
专题：排列组合．
分析：通过记b
i =a
i+1
﹣a
i
，i=1、2、3、4，利用a
5
=b
4
+b
3
+b
2
+b
1
=2，可知b
i
（i=1，
2，3，4）中有3个1、1个﹣1，进而可得结论．
解答：解：记b
i =a
i+1
﹣a
i
，i=1、2、3、4，
∵|a
i+1﹣a
i
|=1，
∴|b
i |=1，即b
i
=1或﹣1，
又∵a
5=（a
5
﹣a
4
）+（a
4
﹣a
3
）+（a
3
﹣a
2
）+（a
2
﹣a
1
）
=b
4+b
3
+b
2
+b
1
=2，
∴b
i
（i=1，2，3，4）中有3个1、1个﹣1，
这种组合共有=4，
故答案为：4．
点评：本题考查排列与组合，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性女性合计
反感10
不反感8
合计30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程）；
（2）据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？
考点：独立性检验的应用．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（1）根据在全部300人中随机抽取1人抽到中国式过马路的概率，做出中国式过马路的人数，进而做出男生的人数，填好表格；
（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明反感“中国式过马路”与性别是否有关．
解答：解：（1）
男性女性合计
反感10 6 16
不反感 6 8 14
合计16 14 30
…
（2）由已知数据得：，
所以，没有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别无关．…
点评：本题考查了独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；
（2）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
考点：排列、组合的实际应用．
专题：排列组合．
分析：（1）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，由加法原理得到结论；
（2）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类a、b均不为零，a、b的取值，第二类a、b中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果．
3=96（个）；解答：解：（1）当末位数字是0时，百位数字有4个选择，共有4A
3
4=24（个）；
当末位数字是5时，若首位数字是3，共有A
4
3=54（个）；
当末位数字是5时，若首位数字是1或2或4，共有3×3×A
3
故共有96+24+54=174（个）．
（2）a，b中有一个取0时，有2条；
2=20（条）；
a，b都不取0时，有A
5
a=1，b=2与a=2，b=4重复；
a=2，b=1，与a=4，b=2重复．
故共有2+20﹣2=20（条）．
点评：分类计数原理完成一件事，有多类办法，在第1类办法中有几种不同的方法，在第2类办法中有几种不同的方法，…，在第n 类办法中有几种不同的方法，那么完成这件事共有的办法是前面办法数之和．
19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，
该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．
考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．
（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．
解答：解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．
所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，
（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．
P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；
P（X=5）=1﹣﹣﹣=．
该生参加考试的项数ξ的分布列为：
X 2 3 4 5
P
EX=2×+3×+4×+5×=．
点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．
20．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；
（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x 在区间[0，2]上有两个不同的实根，
问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．
解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，
∵f′（0）=0，∴a=1．
（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x
所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，
从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．
∵g′（x）=﹣，
∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．
∴g
max （x）=g（1）=+ln2，g
min
（x）=g（0）=0，
又g（2）=﹣1+ln3，
∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．
21．数列{a
n }满足：a
1
=1，a
n+1
=+1，n∈N*．
（Ⅰ）写出a
2，a
3
，a
4
，猜想通项公式a
n
，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：++…+＜（a
n
+1）2，n∈N*．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由已知条件，利用递推公式能求出a 2=2，a 3=3，a 4=4，由此猜想a n =n ，再用数学归纳法证明． （Ⅱ）a
n =n ，知证明
+
+…+
＜（a n +1）2，n ∈N *．即证
，由此利用均值定理能求出来．
解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=+1，n ∈N *．
∴a 2==2， a 3==3，
a 4=
=4，猜想a n =n
证明：①当n=1时，a 1=1，猜想成立； ②假设当n=k （k ∈N *）时猜想成立，即a k =k 那么，
，
∴当n=k+1时猜想也成立
由①②可知猜想对任意n ∈N *都成立，即a n =n （Ⅱ）证明：∵a n =n ，
证明+
+…+
＜（a n +1）2，n ∈N *．
即证
由均值不等式知：，
则
． ∴
+
+…+
＜（a
n +1）2，n ∈N *．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．
22．已知函数f（x）=lnx﹣．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，再求出f′（x）=，从而得出函数的单调区间；
（Ⅱ）分别讨论①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值；
（Ⅲ）由题意得a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，得到h（x）=g′（x）=1+lnx ﹣3x2，h′（x）=，得出h（x）在（1，+∞）递减，从而g（x）在（1，+∞）递减，问题解决．
解答：解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，∵a＞0，∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=，
①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上递增，
∴f（x）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍），
②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上递减，
∴f（x）min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍），
③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a，
当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）递减，
当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）递增，
∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，∴a=﹣，
综上a=﹣；
（Ⅲ）∵f（x）＜x2，∴lnx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，
令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，
∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，
∴h（x）＜h（1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，
∴g（x）＜g（1）=﹣1，∴a≥﹣1时，f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立．
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道综合题．。