高中数学第一章算法初步1.3算法与案例1.3.1算法案例课件新人教a必修3
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高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件2新人教A版必修3
5.用更相减损术求294和84的最大公约数时,第一步是 【解析】由于294和84都是偶数,先用2约简. 答案:用2约简
.
一、辗转相除法与更相减损术 根据辗转相除法与更相减损术求两个正整数最大公约数的步骤,探究下列问题: 探究1:(1)用辗转相除法可以求两个正整数m,n的最大公约数,那么用什么逻辑 结构来设计算法?其算法步骤如何设计?
1.辗转相除法可解决下列问题中的 ( ) A.求两个正整数的最大公约数 B.多项式求值 C.求两个正整数的最小公倍数 D.排序问题 【解析】选A.辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.
2.用更相减损术可求得78与36的最大公约数是 ( ) A.24 B.18 C.12 D.6 【解析】选D.先用2约简得39,18;然后辗转相减得39-18=21, 21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3.所以所求的最大公约数为 3×2=6.
种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出,因而又叫
_____________. (2)算法步骤: 第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. r=0 则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 第四步,若____,
欧几里得算法
2.更相减损术
莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求最大公约数.
二、秦九韶算法 根据秦九韶算法的含义和步骤探究下列各题: 探究1:秦九韶算法的实质是什么? 提示:秦九韶算法的实质是:求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1 +…+a1x+a0的值时,转化为求n个一次多项式的值,共进行n次乘法运算和n次加 法运算.这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法.
高中数学第一章算法初步132进位制课件新人教A版必修3
[典例] 若 10b1(2)＝a02(3)，求数字 a，b 的值以及与此两数 的等值十进制数．
[ 解] 把 10b1(2)化为十进制数：10b1(2)＝1×23＋0×22＋ b×21＋1×20＝2b＋9，把 a02(3)化为十进制数：a02(3)＝a×32＋ 0×31＋2×30＝9a＋2，所以 2b＋9＝9a＋2.由于在二进制中，b 的值只能为 0 或 1，当 b＝0 时，a＝79，舍去；当 b＝1 时，a＝ 1.所以 a＝b＝1，与此两数等值的十进制数为 11.
1，…，a1，a0∈N,0<an<k,0≤an－1，…，a1，a0<k)． (2)十进制化为 k 进制的方法—— 除 k 取余法．
[答一答] 1．进位制是如何表示数字的？ 提示：若一个数为十进制数，则其基数可以省略不写，若是 其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出， 常在数的右下角标明基数．
∴301(5)＝136(7)．
——本课须掌握的三大问题 1．要把 k 进制数化为十进制数，首先把 k 进制数表示成不 同位上数字与 k 的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计 算和． 2．十进制数化为 k 进制数(除 k 取余法)的步骤：
3．把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这 个数化为十进制数，再利用“除 k 取余法”化为另一个非十进制 数．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
(2)312(4)化为十进制数后的个位数字是 4 . 解析：312(4)＝3×42＋1×41＋2×40＝54，个位数字是 4.
类型二 十进制数化 k 进制数
[例 2] (1)试把十进制数 136 转化为二进制数； (2)试把十进制数 1 234 转化为七进制数． [解] (1)由于 136＝2×68＋0， 68＝2×34＋0， 34＝2×17＋0， 17＝2×8＋1， 8＝2×4＋0， 4＝2×2＋0， 2＝2×1＋0，
人教版高中数学 A版 必修三 第一章 《1.3算法案例》教学课件
D.8
解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12次，故选C.
解析答案
规律与方法
1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数， 若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除 法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最 大公约数. 2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数， 然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较 小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.
1 2345
答案
4.把89化成五进制的末尾数是( D )
A.1
B.2
C.3
1 2345
D.4
答案
5.下列各数中最小的数是 ( D )
A.85(9) C.1 000(4)
B.210(6) D.111 111(2)
1 2345
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 规律与方法
1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的 幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和. 2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
答案
2.更相减损术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数 .若是，用 2 约简； 若不是，执行 第二步 . 第二步，以较大 的数减去 较小的数，接着把所得的差与 较小 的数比较， 并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等 为止，则这个数(等 数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
解析答案
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1.7不可能是( A ) A.七进制数 C.十进制数
高中数学第一章算法初步1.3.2进位制课件3新人教A版必修3
解：(1)算法步骤:
第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否
则，返回第三步.
第五步,输出b的值.
开始
(2)程序框图
输入a，k，n b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki- 1 i=i+1 i>n? 是 输出b 结束 否
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1, 44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =… =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2)
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法， 研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
高中数学第一章算法初步111算法的概念课件新人教A版必修3
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
3．甲、乙、丙、丁四个人过一座简易木桥，这四个人 过桥所用的时间分别是2分钟，4分钟，6分钟，8分钟，由于木 桥质量原因，桥上同时最多只能有两个人．请你设计一个方 案，使这4个人在最快的时间过桥，写清步骤，最后算出所需 时间．
【解析】第一步，甲乙先上桥． 第二步，2分钟后甲过了桥同时丁上桥． 第三步，再过2分钟后乙过了桥同时丙上桥． 第四步，再过6分钟后丙、丁同时过了桥． ∴所需时间是2＋2＋6＝10(分钟)．
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一 的，对于一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法 去解决．
2．算法与数学问题解法的区别与联系 (1)联系 算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关 系． (2)区别 算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也 可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问 题的过程和步骤，是具体的解题过程．
数值性问题的算法
【例2】 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法． 【解题探究】(1)可以按逐一相加的程序进行． (2)也可以利用公式 1＋2＋…＋n＝nn＋ 2 1进行． (3)可以根据加法运算律简化运算过程．
【解析】算法一 第一步，计算1＋2得到3. 第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6. 第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10. 第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15. 第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21. 第六步，输出运算结果．
【答案】A 【解析】由算法的概念可知：求解某一类问题的算法不 是唯一的，故A正确；算法可以看成按照要求设计好的有限的 确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题，故 B不正确；算法有有限步，结果明确，C是不正确的；算法的 每一步操作必须是明确的，不能有歧义，故D不正确．故选 A．
考试加油。
3．甲、乙、丙、丁四个人过一座简易木桥，这四个人 过桥所用的时间分别是2分钟，4分钟，6分钟，8分钟，由于木 桥质量原因，桥上同时最多只能有两个人．请你设计一个方 案，使这4个人在最快的时间过桥，写清步骤，最后算出所需 时间．
【解析】第一步，甲乙先上桥． 第二步，2分钟后甲过了桥同时丁上桥． 第三步，再过2分钟后乙过了桥同时丙上桥． 第四步，再过6分钟后丙、丁同时过了桥． ∴所需时间是2＋2＋6＝10(分钟)．
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一 的，对于一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法 去解决．
2．算法与数学问题解法的区别与联系 (1)联系 算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关 系． (2)区别 算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也 可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问 题的过程和步骤，是具体的解题过程．
数值性问题的算法
【例2】 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法． 【解题探究】(1)可以按逐一相加的程序进行． (2)也可以利用公式 1＋2＋…＋n＝nn＋ 2 1进行． (3)可以根据加法运算律简化运算过程．
【解析】算法一 第一步，计算1＋2得到3. 第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6. 第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10. 第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15. 第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21. 第六步，输出运算结果．
【答案】A 【解析】由算法的概念可知：求解某一类问题的算法不 是唯一的，故A正确；算法可以看成按照要求设计好的有限的 确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题，故 B不正确；算法有有限步，结果明确，C是不正确的；算法的 每一步操作必须是明确的，不能有歧义，故D不正确．故选 A．
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
高中数学 第一章 算法初步 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即
v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多项式的值.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19
三、秦九韶算法 【问题思考】
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时 f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和 加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次. 2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为 f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这 种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少. 提示乘法运算4次,加法运算5次.
3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大
简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…
v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多项式的值.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19
三、秦九韶算法 【问题思考】
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时 f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和 加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次. 2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为 f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这 种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少. 提示乘法运算4次,加法运算5次.
3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大
简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…
高中数学第一章算法初步本章整合课件新人教a必修3
2
3, ������ = 3≠5;n=3是奇数,n=3×3+1=10,i=3+1=4,n=10≠5;n=10不是奇
数,n=
10 2
=
5,
������
=
4
+
1
=
5,
������
=
5是,输出
i=5.
答案:B
专题一
专题二
专题三
应用2若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的k的值
是
.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
应用3依据小区管理条例,小区编制了如图所示的住户每月应缴
纳卫生管理费的程序框图,并编写了相应的程序.已知小张家共有4
口人,则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位:元)是( )
A.3.6 B.5.2 C.6.2 D.7.2
专题一
专题二
专题三
解析:n=4>3,执行是,S=5+1.2×(4-3)=6.2.
当型(WHILE) 循环语句 直到型(UNTIL)
辗转相除法 求最大公约数 更相减损术
算法案例
求多项式的值:秦九韶算法:转化为求一次多项式的值 概念:“满������进一”就是������进制(其中������是大于 1 的整数),是一种记数系统
进位制 ������进制数和������进制数的互化:以十进制数为中间数
A=3≤M成立
S=7+23=15
A=3+1=4
专题一
专题二
专题三
A=4≤M成立 S=15+24=31 A=4+1=5 这时A=5≤M不成立,输出S=31,则判断框中的整数M的值是4. 答案:4
3, ������ = 3≠5;n=3是奇数,n=3×3+1=10,i=3+1=4,n=10≠5;n=10不是奇
数,n=
10 2
=
5,
������
=
4
+
1
=
5,
������
=
5是,输出
i=5.
答案:B
专题一
专题二
专题三
应用2若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的k的值
是
.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
应用3依据小区管理条例,小区编制了如图所示的住户每月应缴
纳卫生管理费的程序框图,并编写了相应的程序.已知小张家共有4
口人,则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位:元)是( )
A.3.6 B.5.2 C.6.2 D.7.2
专题一
专题二
专题三
解析:n=4>3,执行是,S=5+1.2×(4-3)=6.2.
当型(WHILE) 循环语句 直到型(UNTIL)
辗转相除法 求最大公约数 更相减损术
算法案例
求多项式的值:秦九韶算法:转化为求一次多项式的值 概念:“满������进一”就是������进制(其中������是大于 1 的整数),是一种记数系统
进位制 ������进制数和������进制数的互化:以十进制数为中间数
A=3≤M成立
S=7+23=15
A=3+1=4
专题一
专题二
专题三
A=4≤M成立 S=15+24=31 A=4+1=5 这时A=5≤M不成立,输出S=31,则判断框中的整数M的值是4. 答案:4
高中数学必修3教材简介优秀课件
分析着重在数量化，而随机性的数量 化，是通过概率表现出来的。 概率论是统计学的理论和方法的依据， 而统计学可视为概率论的一种应用。 统计学是一门数学科学，它将各领域 中数据所具有的共性的东西抽象为模 型，其研究结果可用于各种实际问题。 统计学的基本思想是“用样本估计总 体”（归纳推理），因此不能保证所 得结论一定准确无误，而是容许结论 可能出错或有误差。
使用信息技术的内容：
⑴ 算法初步——类BASIC的语句形式和 语法规则 ⑵ 统计——计算器求标准差，计算器、 EXCEL求回归方程 ⑶ 概率——展示计算机模拟掷硬币的结 果；计算器、EXCEL产生随机数，进行 随机模拟
三 关键问题的处理方法
算法初步
辗转相除法与 更相减损术
算 法 概 念
程 序 框 图
内容新——在基础模块引进
算法和统计概率的一点儿思考
1.在计算思维时代，算法是计算机科学 的基础，已成为第三种科学研究方法。 2.统计的思维方法，就像读与写的能力 一样，将来有一天会成为效率公民的必 备能力。——英国学者威尔斯
着力体现数学思想—— 培养算法和统计的观点与意识
⑴ 算法初步——算法的概念与三种基 本逻辑结构 ⑵ 统计——样本估计总体 ⑶ 概率——随机性与规律性
分层抽样
充分利用了已知的总体信息，得到的 样本比前两种方法有更好的代表性，并 且可得到各层的子样本以估计各层的信 息。
核心问题：样本的代表性的好坏。 了解每种抽样方法的优缺点，为了 使样本的代表性好，选择合适的抽 样方法以便得到对总体的较准确的 推断---这是学习抽样方法的目的。
本节案例：
案例1：一个著名的案例
应 用 概 率 解 决 实 际 问 题
古典概型
几何概型
人教a版必修三：《算法初步》习题课ppt课件(21页)
此时S＝57，循环结束，k＝5，所以判断框中应为“k>4？”．
明目标、知重点
忆要点、固基础
பைடு நூலகம்
主目录
探题型、提能力
忆要点、固基础 9 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.
解析 按算法框图循环到n＝3时输出结果． 当n＝1时，s＝1，a＝3；当n＝2时，s＝1＋3＝4，a＝5； 当n＝3时，s＝4＋5＝9，a＝7，所以输出s＝9.
第一章 算法初步
习题课
本节知识目录
习题课
明目标、知重点
习
题
课
忆要点、固基础 题型一 探题型、提能力 题型二 题型三 算法的设计 画程序框图 算法在生活中的应用
明目标、知重点
忆要点、固基础
主目录
探题型、提能力
明目标、知重点
习题课
1．加深对算法概念的理解，提高把具体问题的求解转化为算法步骤 的能力； 2．理解并掌握画程序框图的规则； 3．在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构； 4．能正确选择并运用三种逻辑结构框图表示具体问题的算法．
解 程序框图如图：
反思与感悟 在循环结构中，要注意根据条件设置合理的 计数变量、累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当、准 确．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1.
明目标、知重点
忆要点、固基础
主目录
探题型、提能力
探题型、提能力
习题课
题型三：算法在生活中的应用
跟踪训练3 乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客票托运费 计算方法：行李质量不超过50 kg时按0.25元/kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超 过部分按0.35元/kg；超过100 kg时，其超过部分按0.45元/kg.设计输入行李质量，计 算出托运的费用的算法，并画出程序框图．
明目标、知重点
忆要点、固基础
பைடு நூலகம்
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探题型、提能力
忆要点、固基础 9 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.
解析 按算法框图循环到n＝3时输出结果． 当n＝1时，s＝1，a＝3；当n＝2时，s＝1＋3＝4，a＝5； 当n＝3时，s＝4＋5＝9，a＝7，所以输出s＝9.
第一章 算法初步
习题课
本节知识目录
习题课
明目标、知重点
习
题
课
忆要点、固基础 题型一 探题型、提能力 题型二 题型三 算法的设计 画程序框图 算法在生活中的应用
明目标、知重点
忆要点、固基础
主目录
探题型、提能力
明目标、知重点
习题课
1．加深对算法概念的理解，提高把具体问题的求解转化为算法步骤 的能力； 2．理解并掌握画程序框图的规则； 3．在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构； 4．能正确选择并运用三种逻辑结构框图表示具体问题的算法．
解 程序框图如图：
反思与感悟 在循环结构中，要注意根据条件设置合理的 计数变量、累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当、准 确．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1.
明目标、知重点
忆要点、固基础
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探题型、提能力
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习题课
题型三：算法在生活中的应用
跟踪训练3 乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客票托运费 计算方法：行李质量不超过50 kg时按0.25元/kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超 过部分按0.35元/kg；超过100 kg时，其超过部分按0.45元/kg.设计输入行李质量，计 算出托运的费用的算法，并画出程序框图．
算法案例 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法与进位制第一课时课件-数学高一必修3第一章算法初步1.3人教A版
【问题导思】 1．如何求18与54的最大公约数？ 【提示】 短除法．
2．要求6 750与3 492的最大公约数，上述法还好用吗？
【提示】
数值太大，短除法不方便用．
(1)更相减损之术(等值算法)
用两个数中较大的数减去较小的数，再用 差数 较小的数 大 数 到产生 减 和
构成新的一对数，对这一对数再用 小数 ，以同样的操作一直做下去，直 ，这个数就是最大公约数．
v0＝an 则递推公式为 其中 vk＝ vk－1x＋an－k
k＝1，2，„，n.
(2)计算P(x0)的方法 先计算 最内层括号 ，然后 由内向外 常数项 直到 最外层括号 ，然后加上 逐层计算， ．
知识3
进位制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示
不同的数值.使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即称为
1．用更相减损之术可求得78与36的最大公约数是( A．24 【解析】 B．18 C．12 D． 6
)
78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－
6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，∴6为78与36的
最大公约数．
【答案】 D
2．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2＋x3－2x2 －9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( A．5，4 【解析】 B．5，5 C．4，4 )
【解析】 (1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25
＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10).
(2)1231(5)＝1×53＋2×52＋3×5＋1＝191(10)，
∴1231(5)＝362(7).
高中数学必修3第一章算法初步(课堂PPT)
二、程序框图
用程序框、流程线及文字说明来表示算 法的图形称为程序框图，它使算法步骤显得 直观、清晰、简明.
○
终端框 输入、 处理框 (起止框) 输出框 (执行框) 判断框 流程线 连接点
5
程序框图又称流程图，是一种用规定的图形，指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
程序框
名称
功能
终端框（起 表示一个算法的起始和结束 止框）
算法最重要的特征： 1.有序性 2.确定性 3.有限性
3
算法的基本特点
1、有限性
一个算法应包括有限的操作步骤，能在执 行有穷的操作步骤之后结束。
2、确定性 算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯 一确定的，既不能含糊其词，也不能有二义 性。
3、有序性 算法中的每一个步骤都是有顺序的,前一步 是后一步的前提,只有执行完前一步后,才 能执行后一步,有着很强逻辑性的步骤序列4。
结束
END 17
练：编写一程序，求实数X的绝对值。
开始
程序:
输入X 条件结构： INPUT X 条件语句：
X≥0 N
Y 输出X
输出－X
IF X>=0 THEN PRINT X
ELSE PRINT -X
END IF
结束
END
18
当型循环语句
练：设计一算法,求和1+2+3+ … +100。
程序框图： 程序语句：
（2）一个语句可以给多个变 量赋值，中间用“，”分隔
（3）无计算功能
可输出表达式 的值，计算
（1）表达式可以是变量， 计算公式，或系统信息 （2）一个语句可以输入多
个表达式，中间用“，”分隔 （3）有计算功能
人教A版高中数学必修3第一章1.3 算法案例课件
r =m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END
问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公 约数之外还有没有别的算法？
点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是 我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记 载的．更相减损术求最大公约数的步骤如 下：可半者半之，不可半者，副置分母分 子之数，以少减 多，更相减损，求其等也.， 以等数约之．
148 37 4
(148,37) 37
(8251,6105) (148,37) 37
所以
完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
探究1：用辗转相除法求225 和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
关于辗转相除法的算理问题
m n q r (0 r n) 若r 0,则(m, n) n 若r 0,则(m, n) (n, r)
以上满足：m, n, q N, r N
例题讲解
例1：用辗转相除法求8251与6105的 最大公约数．
8251 61051 2146 (8251, 6105) (6105, 2146)
1.3.1算法案例
辗转相除法与更相减损术
算法的历史背景
人类最早关于算法的记录是在两河流域发现的公元前两三 千年的黏土板，其中一个典型的例子就是计算利息何时能 够等于本金。在公元前2100年左右，美索不达米亚人已有 了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
算法早期发展中值得一提的是公元前300年古希腊数学家 欧几里得提出的欧几里得算法（辗转相除法），用来求两 个正整数的最大公约数。
（2）二者的实质都是递推的过程.
问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公 约数之外还有没有别的算法？
点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是 我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记 载的．更相减损术求最大公约数的步骤如 下：可半者半之，不可半者，副置分母分 子之数，以少减 多，更相减损，求其等也.， 以等数约之．
148 37 4
(148,37) 37
(8251,6105) (148,37) 37
所以
完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
探究1：用辗转相除法求225 和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
关于辗转相除法的算理问题
m n q r (0 r n) 若r 0,则(m, n) n 若r 0,则(m, n) (n, r)
以上满足：m, n, q N, r N
例题讲解
例1：用辗转相除法求8251与6105的 最大公约数．
8251 61051 2146 (8251, 6105) (6105, 2146)
1.3.1算法案例
辗转相除法与更相减损术
算法的历史背景
人类最早关于算法的记录是在两河流域发现的公元前两三 千年的黏土板，其中一个典型的例子就是计算利息何时能 够等于本金。在公元前2100年左右，美索不达米亚人已有 了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
算法早期发展中值得一提的是公元前300年古希腊数学家 欧几里得提出的欧几里得算法（辗转相除法），用来求两 个正整数的最大公约数。
（2）二者的实质都是递推的过程.
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(2)算法步骤: 第一步,输入多项式的次数n、最高次项的系数an和x的值. 第二步,将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. 第三步,输入i次项的系数ai. 第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多 项式的值v .
(3)程序框图:
第1课时
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
1.理解辗转相除法与更相减损术的步骤,了解其执行过程,并会求 最大公约数. 2.掌握秦九韶算法,了解它提高计算效率的实质,并会求多项式的 值. 3.进一步体会算法的基本思想.
1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. ②程序框图:
共进行 n+n-1+…+2+1=
������ (������ +1) 2
(其计算方法以后学习)次乘法运算,
������ ( ������ +1) 2
还需要进行 n 次加法运算,总共进行
+ ������次运算.
但是用秦九韶算法时,改写多项式为 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
2.秦九韶算法是比较先进的算法 剖析:同一个问题有多种算法,如果某个算法比其他算法的步骤 少,运算的次数少,那么这个算法就是比较先进的算法.判断算法是 否先进的一个重要标志就是运算的次数越少越好. 求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值时,通常是先计算anxn, 进行n次乘法运算;再计算an-1xn-1,进行n-1次乘法运算;这样继续下去
2.秦九韶算法 (1)概念:求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值时,常用秦九 韶算法,这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法, 其实质是转化为求n个一次多项式的值,共进行n次乘法运算和n次 加法运算.其过程是: 改写多项式为: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 设v1=anx+an-1, v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,… vn=vn-1x+a0.
������ ( ������ -1) 2
≥0,则
������ (������ +1) 2
+ ������≥2n.
因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少,秦九韶算法是比 较先进的算法.
题型一
题型40与1 785的最大公约数; (2)用更相减损术求612与468的最大公约数. 分析:本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用.辗转相 除法的操作是较大的数除以较小的数;更相减损术的操作是以大数 减小数. 解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数. 1 785=840×2+105, 840=105×8. 所以840和1 785的最大公约数是105.
(4)程序:
INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v������ x+a i=i-1 WEND PRINT v END
【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程 中,v2= . 解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3, v0=2; v1=2×3+0=6; v2=6×3+1=19. 答案:19
题型一
题型二
题型三
(2)首先612和468都是偶数,所以用2约简,得到306和234,还是偶数, 需要再用2约简,得到153和117,最后用更相减损术计算得 153-117=36, 117-36=81, 81-36=45, 45-36=9, 36-9=27, 27-9=18, 18-9=9. 所以612和468的最大公约数是9×2×2=36. 反思求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可 以用更相减损术.用辗转相除法,即根据a=nb+r这个式子,反复相除, 直到r=0为止;用更相减损术,即根据r=|a-b|这个式子,反复相减,直 到r=0为止.
先计算v1=anx+an-1,需1次乘法运算,1次加法运算; v2=v1x+an-2,需1次乘法运算,1次加法运算; …… vn=vn-1x+a0,需1次乘法运算,1次加法运算. 所以需进行n次乘法运算,n次加法运算,共进行2n次运算.
由于
������ ( ������ +1) 2
+ ������ − 2������ =
1.更相减损术与辗转相除法的区别与联系 剖析:如表所示.
辗转相除法
更相减损术
①以除法为主 . ②两个整数差值较大时
区别
①以减法为主 . ②两个整数的差值较大时 ,运
联系
算次数较多 . 运算次数较少 . ③相减 ,差与减数相等得结 ③相除余数为零时得结 果. 果 ④相减前先判断这两个正整 数是否都是偶数 ①都是求最大公约数的方法. ②二者的实质都是递归的过程. ③二者都要用循环结构来实现
③程序:
INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
(2)更相减损术. 算法分析: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2 约简;若不是,执行第二步. 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数 比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为 止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公 约数. 【做一做1】 用更相减损术求156和48的最大公约数时,第一步 是 . 答案:用2约简