广东省六校(珠海一中等)2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题(含解析)

东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学2024
届高三第一次六校联考试题
数学
本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等信息填涂在答题卡的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将解答过程写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，只需将答题卡上交.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}(){}
2
20,ln 2A x
x x B x y x =+->==-∣∣，则A B ⋂=（ ） A.{21}x
x -<<∣ B.{12}x x <<∣ C.{2}x
x <∣ D.{2x x <-∣或12}x << 2.在复平面上，复数34i z =-的共轭复数z 对应的向量OM 是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率等于（ ）
B.3 D.2
4.某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布(
)2
10,N ξσ
~，根据检测结果可知
()9.9810.020.98P ξ=剟，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量10.02kg 以上的袋数大约是
（ ）
A.5
B.10
C.20
D.40
5.已知等差数列{}n a 的公差不为10,1a =且248,,a a a 成等比数列，其前n 项和为n S ，则（ ） A.2023
4045a = B.5
434
a a a a <
C.
119462a a a a +=+ D.1112
n S n n ++=+ 6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ） A.0.475 B.0.525 C.0.425 D.0.575
7.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()()
0.8
221log ,log 4.1,25a f b f c f ⎛
⎫=-== ⎪⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A.c b a <<
B.b a c <<
C.a b c <<
D.c a b <<
8.已知函数()3
2
2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ）
A.10,
30⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,29⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.10,28⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D.10,27⎛⎫
⎪⎝⎭ 二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等.下列说法正确的是（ ）
A.高一年级学生人数为120人
B.无人机社团的学生人数为17人
C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人
D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法
10.已知函数()sin 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则下列判断正确的是（ ） A.()f x 的图象关于直线6
x π
=
对称
B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C.()f x 在区间2,03π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当2,33
x ππ
⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()()1,1f x ∈- 11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（ ）
A.直线1A M 可能与平面1ACD 相交
B.三棱锥A MCD -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43
C.AMC 的周长的最小值为8+
D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大
12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()2e x
f x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A.()0f x >的解集为()()2,02,∞-⋃+
B.当0x <时，()()2e x
f x x -=+
C.()f x 有且只有两个零点
D.[]()()1212,1,2,e x x f x f x ∀∈-…
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是__________.
14.已知212n
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是__________. 15.设函数()y f x =''是()y f x ='的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠的图像都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=.已知三次函数()321f x x x =+-，若120x x +=，则()()12f x f x +=__________.
16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切
线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆2
2:12
x C y +=，则C
的蒙日圆O 的方程为__________；在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆C 的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
已知等差数列{}n a 满足()2
18n n a n k +=-+，数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列.
（1）求n a 和n b ； （2）令n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的最大项. 18.（本小题12分）
在ABC 中，4,AB D =为AB
中点，CD =（1）若3BC =，求ABC 的面积； （2）若2BAC ACD ∠∠=，求AC 的长. 19.（本小题12分）.
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，BC ∥平面
1
,1,2
PAD BC AD E =
=是棱PD 上的动点.
（1）当E 是棱PD 的中点时，求证：CE ∥平面PAB ： （2）若1,AB AB AD =⊥，求点B 到平面ACE 距离的范围. 20.（本小题12分）
某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，
测量其尺寸（单位：mm ）得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)）和[
58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.
（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望()E ξ，
（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用，现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
附：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中0.05; 3.841n a b c d x =+++=
21.（本小题12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，左､右焦点分别为12,F F ，短轴的顶点分别为12,B B ，四
边形1122B F B F 的面积为,A B （点A 在x 轴的上方）为椭圆上的两点，点M 在x 轴上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若2AM MB =，且直线AB 与圆22
4
:7
O x y +=相切于点N ，求MN . 22.（本小题12分）
已知函数()()()2
1,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈.
（1）若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数t 的取值范围； （2）若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.
东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学
2024届高三第一次六校联考数学参考答案
一､单选题，二多选题：
三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）
13.7.85 14.6240x 15.-2 16.223,55x y r +=≤≤+四､解答题
17.解：（1）解法一：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列， 所以1
3
n n b -=，因为()2
18n n a n n k +=-+，所以12371215
,,234
k k k a a a ---=
==. 因为数列{}n a 是等差数列， 所以2132a a a =+，即12715
2324
k k k ---⨯
=+，解得9k =- 所以()()()2
18919n n a n n n n +=--=+-，所以9n a n =-.
解法二：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以1
3
n n b -=，
因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()111n a a n d dn a d =+-=+-. 所以()()()2
2
111118n n a n dn a d dn a n a d n n k +=++-=++-=-+，
所以118,9d a k =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
所以9n a n =-
（2）因为193
n n n n a n c b --=
=， 当8n ≤时，0n c <；当9n =时，0n c =；当10n …时，0n c >. 当10n …
时，11891920333n n n n n
n n n
c c +-----=-=<，即，1n n c c +<. 所以数列{}n c 的最大项是第10项1091
3
c =
18.解：（1）在BCD
中，2,3,BD BC CD ===
由余弦定理可知2224971cos 22322
BC BD CD B BC BD +-+-===⨯⨯⨯⨯，
因为0B π<<
，所以sin 2
B =
，
所以1
sin 2
ABC
S
AB BC B =
⨯⨯= （2）在ACD 中，设,2ACD BAC ∠θ∠θ==，则由正弦定理
sin2sin CD AD
θθ
=，
2
sin θ
=
，得()cos 0,θθπ=∈，所以3sin 4θ=，
21
sin22sin cos 2cos 188
θθθθθ==
=-=-， 所以2ADC ∠πθθ=--， 所以(
)139
sin sin 2848416
ADC ∠θθ=+=
-⨯=，.
由正弦定理得：
sin sin AC AD
ADC ACD
∠∠=，即9
2316324
AC ⨯
=
=. 19.解：（1）证明：因为BC ∥平面,PAD BC ⊂平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以
BC AD ∥.
取PA 的中点F ，连接BF EF ､，
因为E 是棱PD 的中点，所以，EF AD ∥且1
2
EF AD =
， 因为BC AD ∥且1
2
BC AD =
，所以，EF BC ∥且EF BC =， 所以，四边形BCEF 为平行四边形，则CE BF ∥，
因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB .. （2）取AD 的中点O ，连接PO . 因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥.
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ， 所以，PO ⊥平面,.ABCD .
因为1
,,2
BC AD BC AD O =
∥为AD 的中点，所以，BC AO ∥且BC AO =， 所以，四边形ABCO 为平行四边形，则CO AB ∥， 因为AB AD ⊥，则CO AD ⊥，
以点O 为坐标原点，OC OD OP ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则
()(
)(()0,1,01,0,00,1,0A C P D -､､､，所以()1,1,0AC =，
设(
(
)0,0,DE DP λλλ==-=-，其中01λ剟
，则(
)(
)()
0,2,00,0,2AE AD DE λλ=+=+-=-，
设平面ACE 的法向量()111,,n x y z =，
所以(
)1111020
n AC x y n AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，
令12z λ=-
，得(
)
3,,2n λλ=
-，
设点B 到平面ACE 距离为,7AB n d d n
λ⋅==
当0λ=时，0d =；
当0
1λ<≤时，
1
1λ
≥
，则
0d <=
=≤=
， 当且仅当1λ=时等号成立.
综上，点B 到平面ACE 距离的取值范围是⎡⎢⎣⎦
.
20.解：（1）由题意得列联表如下：
()()()()
22
2
()180(75324825) 4.6211235710080n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯
0.054.621 3.841x >=
依据小概率值0.05α=. （2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为
2328243
1004
++=，
任取一个乙生产线零件为一等品的概率为
1517163805
++=，
ξ的所有可能取值为0,1,2
，则
()()()122113239339
0,1,24520104554204520
P P P ξξξ==⨯====⨯+⨯===⨯=
ξ∴的分布列为：
()19927012.10202020
E ξ=⨯
+⨯+⨯= （3）由已知零件为三等品的频率为
42211
18020
+++=，
设余下的40个零件中三等品个数为X ，则140,
20X B ⎛
⎫~ ⎪⎝
⎭
， ()1
402,20
E X ∴=⨯
= 设检验费用与赔偿费用之和为Y ，若不对余下的所有零件进行检验，则205120Y X =⨯+，所以
()()100120100240340E Y E X =
+⨯=+=，
若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为605300⨯=元，
340300,>∴应对剩下零件进行检验..
21.解：（1
）由题意知2
c e a =
=
，四边形1122B F B F 为菱形，面积为2bc =， 又222a c b =+，解得2224,1,3a b c ===，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）设(),0M m ，直线AB 的方程为()()1122,,,,x ty m A x y B x y =+，
由2AM MB =得122y y =-，联立2
21,4,x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222
4240t y tmy m +++-=，
()()()
22222Δ(2)444164tm t m m t =-+-=---
则2121222
24,44
tm m y y y y t t -+=-=++，由2
122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-， 得()()2
2
12121222y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，
所以222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭
， 化简得()()2222448m t t m -+=-，易知原点O 到直线AB
的距离d =
又直线AB 与圆224:7
O x y +=相切，
=2271,4
t m =- 由()()2222
22448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩
， 得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=， 解得243m =，则243t =，满足Δ0>
，所以3M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， 在Rt OMN
中，MN ==22.解：（1）由题意，当1a =时，
设()()()h x f x g x =-，
则()22
1ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->， ()()()221112121x x x x h x x x x x
'+---=--==， 令()0h x '=，得1x =（舍负），.
所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，
()min ()10h x h ∴==.
根据题意t 的取值范围为(]0,1
（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线， 则()()()()
121212,f x g x f x g x x x -='-'=
21121212
1ln 12x ax x a x a x x x -+--∴-==-， 12122a x x ∴=+，代入2121122
1ln .x x x ax x a x -=-+--. 得2
22221ln 20424
a a x a x x ++++-= ∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424
a a x a x x ++++-=有解， 设()2
21ln 2(0)424
a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点， ()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭
， 当2a x e -=时，()2ln 20,e 0a x a F -+-=∴>.
∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.
()23231121222a x ax F x x x x x
--=--+='， 设()2
0002100x ax x --=>，则 当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.
()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，
()F x ∴的最小值为()2
002001ln 2424
a a F x x a x x =++++-. 由200210x ax --=知00
12a x x =-， 故()200000
12ln 2F x x x x x =+-+-. 设()212ln 2(0)x x x x x x
ϕ=+-+->， 则()211220x x x x ϕ=++
+>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，
()10,ϕ=∴当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤， ()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤. 又函数12y x x
=-在(]0,1上单调递增， (]0012,1.a x x ∞∴=-∈-。