高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》易错题汇编含答案

【高中数学】数学高考《矩阵与变换》试题含答案
一、15
1．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
的解的情况，并求出相应的
解.
【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧
=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【解析】 【分析】
首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】
方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2 1 1
1 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,
21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q
（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
2．解方程组32
321x my m mx y m +=+⎧⎨
+=-⎩
.
【答案】详见解析. 【解析】 【分析】
求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】
由题意可得()()2
933D m m m =-=--+，
()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.
①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213
13x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
；
②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨+=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=，
此时，该方程组的解有无数多个，为,
()533x t t R t y =⎧⎪
∈-⎨=⎪⎩
；
③当3m =-时，该方程组为331
337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩
17⇒-=，所以该方程组无解.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
3．解关于x ，y ，z 的方程组()1213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪
++=⎨⎪-++=⎩
.
【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪
⎪=⎨+⎪⎪-++=
⎪-++⎩
；（2）2m =或1m =-时，无
解. 【解析】 【分析】
先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.
所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧
=⎪-⎪
⎪
=⎨+⎪⎪-++=
⎪-++⎩
；
（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】
本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．
4．不等式2
1101
x x
b
a x
a
->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】1
2
a =-
，1b =-或1a =-，2b =- .
【解析】 【分析】
将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】
2111
x x
b a x
a
-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，
∵不等式的解为1＜x ＜2，
∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，
由韦达定理可知：11212ab a
b a +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩
，整理得：2a 2+3a +1＝0，
解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 1
2
=-，b ＝﹣1． 【点睛】
本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
5．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1
323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩
解的情况.
【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12
x a y ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无
解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【解析】 【分析】
由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】
()21
333a D a a a a a a
=
=--=-+-, ()()11
233323x D a a a a a a
-==-+=--=-++-, ()()212332623323
y a
D a a a a a a a a a -=
=++=+=++,
①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x
y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩
,即12x a y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩；
②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；
③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解
可表示为()31
x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩.
【点睛】
本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
6．用行列式解关于的二元一次方程组：1
2(1)x y x k y k +=⎧⎨++=⎩.
【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11
k x y k k -=
=-- 【解析】 【分析】
由题方程组中x ,
y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】
由题意可得:11
D 21
k =+= 1k -,11
D 11
X k
k ==+,11 D 22y k k
=
=-,
∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1
D 1X x k ==-,D 2 D 1
y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.
综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解11
21x k k y k ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
; 1k =时,方程组无解. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解
法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.
7．已知线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；
()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】 【分析】
()1由线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由17034501052105210212125810254020200101
2121⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭
， 增广矩阵为5210.258⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）因为5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-----
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知矩阵11m A m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）． （1）求m 的值；
（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）m （2
）1)1)40x y ''--=（3
）存在，1:3
l y x =
，2:l y =．
【解析】 【分析】
（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；
（2
）由1
1x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭
，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩
，解得44x x y y ⎧=+⎪⎨='
-''
'⎪⎩．代入1y x =+可得；
（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为
(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类
0b ≠和0b =．
【详解】
（1）0m >Q ，22
21110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
m ∴=（2
）1
1x x x y y y ⎛⎛⎫
'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭
Q ，
即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩
，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='
-''
'⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，
4y x ''''-=++，
即点()','Q x y
的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=．
（3）垂直于坐标轴的直线不合要求．
设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y ，()Q x y +-
()y k x b -=++Q ，
1)(y k x b ∴-+=+
当0b ≠时，1)1,k k -+==，无解．
当0b =220k =⇒+-=,
解得k =
k =
∴所求直线是1:l y x =，2:l y =． 【点睛】
本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为
(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')
(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩
，
把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．
9．计算：12131201221122120-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】91559124-⎛⎫
⎪--⎝⎭
【解析】 【分析】
直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】
121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】
本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.
10．已知矩阵13m P m m ⎛⎫=
⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .
(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组.
【答案】(1) 1
323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩
；(2) 见解析
【解析】 【分析】
(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；
(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】
解：(1) 由题意可得PQ=13m
m m ⎛⎫ ⎪
-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭
，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫
⎪+⎝⎭
，即得1
323mx y mx my m +=-⎧⎨
-=+⎩
； (2) 由题意可得行列式1
(3)3m D m m m m
=
=-+-，1
(3)231x D m m m
=
=--++- ,1
2(3)323
y m
D m m m m -=
=++
①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12
x m y ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩；
②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；
③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x t
y t =⎧⎨=-⎩
(t ∈R ).
【点睛】
本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.
11．已知向量102
11
2A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】
【分析】
先求得1
A -u r
，以及其特征多项式()f
λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】
设1A -u r a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭， 解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=，
故得1A -u r 1? 12?
0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.
则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+==+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
12．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组3
22
ax by x y +=⎧⎨+=⎩.
（1）求此方程组有解的概率；
（2）若记此方程组的解为0
x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.
【答案】（1）1112；（2）
13
36
. 【解析】 【分析】
（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；
（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】
（1）因为方程组3
22
ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以
0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
这三种情况，所以所求概率为311
16612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a b
a b x y a y a b -⎧
=
⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨
⎨+=-⎩⎪=
⎪-⎩
Q 因为00x >且00y >，所以6223
200,022b a a b a b a b
---≠>>--， 因此12,,33
a a
b b =≥⎧⎧⎨
⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为1313
6636=⨯；
【点睛】
本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.
13．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】
试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
确定：A B ''u u u u r
.因为
，所以1
{
4
x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '， 依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得()1,2A ' 则
．
记旋转矩阵0110N -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵
14．已知
=
是矩阵M=
属于特征值λ1=2的一个特征向量．
（Ⅰ）求矩阵M ； （Ⅱ）若
，求M 10a ．
【答案】（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M 10=
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）依题意，M =，从而，由此能求出矩阵M ．
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M 的另一个特征值为λ2=1，设=
是矩阵M 属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得
=
，由此能求出M 10．
（Ⅱ）（方法二）M 2=MM=
，
，
M 5=M 3M 2，M 10=M 5M 5，由此能求出M 10． 解：（Ⅰ）依题意，M
=
，
，
∴
，
解得a=1，b=2． ∴矩阵M=
．
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣1）（λ﹣2）， ∴矩阵M 的另一个特征值为λ2=1， 设=
是矩阵M 属于特征值λ2=1的特征向量，
则， ∴，取x=1，得=
，
∴
，
∴M 10=
=
．
（Ⅱ）（方法二）M 2=MM=
，
，
M 5=M 3M 2==，
M 10=M 5M 5==
， ∴M 10=
．
点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．
15．已知曲线C ：x 2
＋2xy ＋2y 2
＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线
C 1，求曲线C 1的方程． 【答案】x 2＋y 2＝2 【解析】
试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2
x y '-'
，再代入已知曲线C 方程，得
x 2＋y 2＝2．
试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点
Q(x′，y′)．
则1210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'， 即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2
x y '-'
．
代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′2x y '-'＋2(
2
x y '-')2
＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．
考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程
16．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，求矩阵M 的逆矩阵1M -．
【答案】1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵
1M -．
【详解】
解：因为02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩
所以4,3x y ==；
矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．
17．已知向量11α-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；
（2）求2A . 【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩
（2）2
16709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r
，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

（2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。

【详解】
解：（1）因为矩阵103a A ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩
（2）由（1）知
41
03
A
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，所以2
4141167
030309
A
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。

18．已知矩阵
10
01
A
⎡⎤
=⎢⎥
-
⎣⎦
，
41
23
B
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，若矩阵M BA
=，求矩阵M的逆矩阵1
M-．
【答案】1
31 1010 12 55
M-
⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
-
⎢⎥⎣⎦
．
【解析】
试题分析：
411041
230123
M BA
-
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，所以1
31
1010
12
55
M-
⎡⎤
-⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
-
⎢⎥
⎣⎦
．
试题解析：
B．因为
411041
230123
M BA
-
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
所以1
31
1010
12
55
M-
⎡⎤
-⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
-
⎢⎥
⎣⎦
．
19．已知a，b R
∈，若M=
1
3
a
b
-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
所对应的变换T M把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a，b．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
设
则
即
此直线即为
则.
.
20．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
，当实数m 为何值时，并
在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】 一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即
23233x m
m y m ⎧
=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题。