马斯克莱尔 微观经济学 第二章 消费者选择

x2’’’
y’’’
x2’’ x2’
y’’ y’
x1’ x1’’x’1 x1’’
Engel curve; good 2
x2’ x2’’’ x2* x2’’ Engel curve; good 1
x1’ x1’’’ x1* x1’’
Income Changes; Good 2 Is Normal,
Good 1 Becomes Income Inferior
X RL {x RL | xl 0,l 1,, L}
3. 预算集 经济约束：消费选择被限定在他能够支付的商品束
上。
两个假设：市场价格公开；价格不受消费者影响。
两个外生变量：市场价格 p ( p1,, pL ), pl 0
及消费者的财富水平w。
定义2.B.1 瓦尔拉斯或竞争性预算集
Bp,w {x RL | p x w}
Fixed p2 and y.
Downward-sloping
x2
p1 demand curve
p1 price
offer
Good 1 is
curve
dinary
x1* x1
Ordinary Goods
Fixed p2 and y.
Demand curve has
x2
p1 price offer p1
矩阵形式
p Dwx( p, w) 1
2.E.7
习题
1. 证明如果x(p,w)对w是一次齐次的，且满足瓦尔拉斯 定律，则对任意l，有 lw( p, w) 1 。解释这一结果。
2. 设x(p,w)对w一次齐次，并且满足瓦尔拉斯定律和 零次齐次性。且交叉价格效应为零。证明：对所有l，
有 xl ( p, w) lw/ pl
w)
xl
( p, w
w)
xk
(
p,
w)
2.F.10
矩阵S(p,w)称为替代矩阵，或Slutsky矩阵。其元素 称为替代效应。
命题2.F.2 一个可微的瓦尔拉斯需求函数x(p,w)满足 瓦尔拉斯定律，零次齐次性和弱公理，则在任意 (p,w)上，Slutsky矩阵S(p,w)均满足：对任意
v RL,v S( p, w)v 0
定理1 （欧拉公式）假定 f (x1,, xN ) 是r阶齐次的 可微函数。那么在任意一点 (x1,, xN ) ，我们都有
N
n1
f
(x1,, xN xn
) xn
rf
(x1,,
xN )
矩阵形式是
f (x) x rf (x)
命题2.E.1 若瓦尔拉斯需求函数x(p,w)是零次齐次的， 则对所有的p和w有
择市场上可买到的各种商品和劳务的消 费水平。 将这些商品和劳务统称为商品。假定商品 的数量是有限的，等于L，记为
l 1,, L
商品向量（商品束）
x
x1
xL
可以用商品向量代表个人的消费水平。商品向量的 第l项代表消费的第l种商品的数量。因此称该向量为 消费向量或消费束。
2. 消费集 消费集是商品空间RL上的一个子集，记作XRL，其 元素为个人在所处环境下物理约束给定情况下可能 的消费束。最基本的
L
k 1
xl ( p, w) pk
pk
xl
( p, w
w)
w
0, l
1,,
L
2.E.1
矩阵表示 Dp x( p, w) p Dwx( p, w)w 0 2.E.2
瓦尔拉斯定律对于需求的价格和财富效应有两个含义。
对于所有的p和w， p x( p, w) w
命题2.E.2 如果瓦尔拉斯需求函数x(p,w)满足瓦尔拉斯 定律，则对于所有的p和w，有
xs x( p', w') x( p, w) 替代效应
伴随着补偿财富变化的价格变化称为（Slutsky）补偿价格变化。
2.将财富由w’调整到初始水平w。
xI x( p', w) x( p', w') 收入效应
x x( p', w) x( p, w)
xs xI
Slutsky方程
弱公理可以等价地用补偿价格变化对需求的影响（替 代效应）来表示。
零次齐次和瓦尔拉斯定律
定义2.E.1 如果对任意p,w，及α>0，有
x(p,w) x( p, w)
则称瓦尔拉斯需求对应x(p,w)是零次齐次的。
含义是，如果价格和财富同比例变化，则个人的 消费选择不变。
定义2.E.2 如果对于每个p>0,w>0 p x w
对所有x∈x(p,w)均成立，则称瓦尔拉斯需求对应 X(p,w)满足瓦尔拉斯定律。
也就是，S(p,w)半负定。意味着 sll ( p, w) 0 商品l的自身价格的替代效应总是非正的。 证明：吉芬品一定是劣等品。
注意：S(p,w)不一定是对称的。可以证明，L=2时， S(p,w)一定是对称的（习题）。对称性是和需求是否 由理性偏好最大化导出密切相关的。
命题2.F.3 假设瓦尔拉斯需求函数x(p,w)是可微的、 零次齐次的，满足瓦尔拉斯定律。则对于任意(p,w)， 有
将(2.F.8)代入(2.F.5)，得：对于任何可能的微分价格 变化dp，有
dp[Dpx( p, w) Dwx( p, w)x( p, w)]dp 0 (2.F.9)
S
(
p,
w)
s11
(
p,
w)
s1L
(
p,
w)
sL1( p, w) sLL ( p, w)
slk
(
p,
w)
xl ( p, pk
是由面临市场价格p，拥有财富w的所有可行消费束 构成的集合。
给定价格p和财富w，消费者决策问题是：在Bp,w中 选择一个消费束。
w/p2
Bp,w w/p1
预算集Bp,w是凸集。 预算超平面
2.E 瓦尔拉斯需求和比较静态
瓦尔拉斯需求对应
( p, w) x( p, w)
是一个集值映射。在选择理论中，它是一个选择规则 (B,x(p,w))。 瓦尔拉斯需求对应x(p,w)对于每一个价格－财富(p,w) 给出一组被选中的消费束。多值的或单值的。
对任意的(p,w)，导数 xl ( p, w) / w
称为第l种商品的财富效应（收入效应）。
弹性
lw
xl
( p, w
w)
xl
(
w p,
w)
若 xl ( p, w) / w 0 ，则商品l是正常品。若商品l的
财富效应是负的，则称它是劣等品。
矩阵表示
x1( p, w)
w
Dw
x(
p,
w)
x2
L
l 1
pl
xl ( p, w) pk
xk ( p, w)
0, k
1,, L
矩阵形式
2.E.4
p Dpx( p, w) x( p, w) 0 2.E.5
命题2.E.3 如果瓦尔拉斯需求函数x(p,w)满足瓦尔拉斯 定律，则对于所有的p和w，有
L
l 1
pl
xl ( p, w) w
1
2.E.6
我们假定x(p,w)是单值的。有时还假定x(p,w)是连续 可微的。
x1( p, w)
x(
p,
w)
x2
(
p,
w)
xL ( p, w)
比较静态
分析消费者的选择如何随她的财富及价格 变化而变化。
财富效应 价格效应
财富效应
对于固定的价格p0，关于财富的函数x(p0,w)称为 消费者的恩格尔函数，其图像称为财富扩展路 径（恩格尔曲线）。
习题
下面是有关某消费者购买的部分信息。该消费者只 消费两种商品。商品2在第2年的消费量属于什么范围 时，：
dpdx 0
2.F.5
dx Dp x( p, w)dp Dwx( p, w)dw (2.F.6) dx Dp x( p, w)dp Dwx( p, w)[x( p, w) dp] (2.F.7) dx [Dp x( p, w) Dwx( p, w)x( p, w)]dp (2.F.8)
第二章 消费者选择
2.A 引言
完全竞争下的消费者需求进行研究。
消费者决策用瓦尔拉斯需求对应（函数） 表示。在选择理论中，瓦尔拉斯需求对 应就是消费者的选择规则。
研究瓦尔拉斯需求函数及其基本性质，进 行比较静态分析，讨论显示偏好弱公理 对消费者需求的含义。
2.B 消费者决策模型基本要素
1. 商品 市场经济中消费者面临的决策问题是，选
则称瓦尔拉斯需求函数x(p,w)满足显示偏好弱公理。 也就是 p x( p', w') w, x( p', w') x( p, w)
p'x( p, w) w'
不能同时成立。
弱公理的含义
弱公理对价格变化对需 求的影响有着重要的 含义。
价格效应的Slutsky分解 价格变化以两种方式影
响消费者：改变了不 同商品的相对成本－ 替代效应；改变了消 费者的实际财富－收 入效应。
消费者将充分地花费其财富。 瓦尔拉斯需求在预算线（预算超平面）上。
习题2.E.1 假定L=3，考虑由下述式子定义的需求函数
X(p,w)：
x1( p, w)
p1
p2 p2
p3
w p1
x2 ( p, w)
p1
p3 p2
p3
w p2
x3( p, w)
p1
p1 p2
p3
w p3
当ß＝1时，这一需求函数满足零次齐次性和瓦尔拉斯 定律吗？当ß∈(0,1)呢？（用定义验证即可）
a positively sloped part
curve
Good 1 is Giffen
x1* x1
齐次性和瓦尔拉斯定律对价格 和财富效应的含义
齐次函数与欧拉公式
定义1 函数 f (x1,, xN ) 是r阶齐次的，如果对每个 t>0，有
f (tx1,,txN ) tr f (x1,, xN )
p S( p, w) 0, andS( p, w) p 0
问题
基于零次齐次性、瓦尔拉斯定律和弱公理 的消费者选择理论，与基于理性偏好最 大化的消费者需求理论，有何异同？
结论
体现在弱公理中的一致性要求等价于补 偿需求法则。
补偿需求法则意味着替代矩阵S(p,w)半 负定。
除了L=2，这些假设得不到S(p,w)的对称 性。
不等式(2.F.1)可以写成 p x 0 需求法则：需求与价格成反方向变动。
命题2.F.1说明，需求法则对补偿价格变化成立，称为 补偿需求法则。
若消费者需求x(p,w)对价格和财富是可微的，命题 2.F.1的微分含义。从给定的价格－财富(p,w)开始， 考虑一个价格的微分变化dp。给消费者 dw x( p, w) dp 的补偿，使之成为补偿价格变化。那么，命题2.F.1 是
y
x2
Engel curve
for good 2
y
x2*
Engel curve
for good 1
x1
x1*
价格效应
导数 xl ( p, w) / pk 称为商品k的价格pk对商品l需求的 价格效应。价格提供曲线。 1.自身价格效应 如果 xl ( p, w) / pl 0 称为满足需求法则。 如果 xl ( p, w) / pl 0 则称商品l是吉芬品。
2.交叉价格效应 xl ( p, w) / pk 0, k l xl ( p, w) / pk 0, k l
互为替代品 互为互补品
价格效应矩阵
x1( p, w)
Dp
x(
p,
w)
p1
x1( p, w)
pL
xL ( p, w) p1
xL ( p, w) pL
Ordinary Goods
假设价格由p变化到p’，财富水平不变w。消费者面临 (p,w)时选择x(p,w)，面临(p’,w)选择x(p’,w)。将这一 变化过程分解： 1.价格变化伴随着财富变化，使得初始消费束x(p,w) 仍是可以支付的。
( p, w) ( p', w'),w' p'x( p, w)
w w'w p x( p, w) Slutsky财富补偿
2.F显示偏好弱公理和需求法则
显示偏好弱公理对消费者需求的含义。假 设x(p,w)是单值的、零次齐次的，满足 瓦尔拉斯定律。
定义2.F.1 如果对于任意两个价格－财富状况(p,w)和
(p’,w’)，下述性质成立，
若
p x( p', w') w, x( p', w') x( p, w)
则 p'x( p, w) w'
命题2.F.1 假设瓦尔拉斯需求函数x(p,w)是零次齐次的 和瓦尔拉斯定律。则x(p,w)满足弱公理，当且仅当下 述性质成立：对于任何从(p,w)到(p’,w’)的补偿价格变 化，我们有
( p' p) [x( p', w') x( p, w)] 0 (2.F.1)
当 x( p, w) x( p', w') 时，严格不等式成立。
( p, w
w)
R
L
xL
( p, w
w)
Income Changes
x2 Fixed p1 and p2.
y’ < y’’ < y’’’
x1
Income Changes y
Fixed p1 and p2.
y’’’
y’ < y’’ < y’’’
y’’ y’
x2
Income
offer curve y