高中数学苏教版2019必修第一册 三角函数的应用(课件)

【例 4】下表是某市近 30 年来月平均气温（℃）的数据统计表：
月份
1
2
345
6
7
8
9
10 11 12
月平均气温 5.9 3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 2.4
则适合这组数据的函数 模型是（
）
A． y a cos x
6
B． y a cos (x 1) k(a 0, k 0)
时针方向匀速转动，1min 旋转 4 圈，水轮上的点 P 到水面距离 y（m）与时间 x（s）满足
函数关系 y Asin x 2 A 0, 0,0 2π ，则有（
）
A．
2π 15
，
4π 3
C．
2π 15
，
7π 6
B．
15π 2
，
4π 3
D．
15π 2
，
7π 6
【答案】C
【解析】由题意可知，最高点到水面距离为 5，故 A=5，
声的声波曲线 y Acosx （其中 A 0 ， 0 ，0 π ）的振幅为 1，周期为2π ，初
相位为 π ，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
2
A．y sin x
B．y cos x
C．y sin x
D．y cos x
【答案】A
【解析】因为噪音的声波曲线 y Acosx （其中 A 0 ， 0 ，0 π ）的振幅为 1，
用函数模型 y Acos(x ) B(A 0, x [0, 24]) 来近似地描述这些数据，则 A B ________.
时刻（t）
0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t）
14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
B． 3 ，4
C．3，2
D．3 ，2
【答案】A
【解析】因为距离
S（厘米）和时间
t（秒）的函数关系为
S
t
3sin
2
t
3
，
所以单摆来回摆动的振幅为
3
和一次所需的时间为T
2
4
，故选：A
2
讲授新课
【变式 1-1】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声， 然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其 未来等方面都发挥着十分重要的作用．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
讲授新课
知识回顾 三、运用三角函数模型解决问题的几种类型
1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的 字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题， 最后解决实际问题．
1 T
1 2π
（ Hz ），故 D
不正确.故选：D．
讲授新课
知识点二 三角函数在生活中的应用 【例 2】某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
y
a
A
cos
6
(x
6)
（x=1，2，3，…，12）来表示，已知
6
月份的月平均气温为
28℃；12
月份的月平均气温为 18℃，则 10 月份的平均气温为___________℃.
则
A
1 ，周期为
2π ，则
2π T
2π 2π
1
，初相位为
π 2
，
π 2
，
所以噪声的声波曲线的解析式为
y
cos
x
π 2
sin
x
，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 y sin x ．故选：A.
讲授新课
【变式 1-2】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 ts 时相对于平衡位置的高度 h( 单位：
港口在 11：00 的水深为（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．7m
【答案】A
【解析】由表格知函数的最大值是 7，最小值是 3，则满足 AAhh73，得 A＝2，h＝5，
相邻两个最大值之间的距离
T＝15－3＝12，即
2
12，则
ω
6
，此时 y
2sin( t) 5，
6
当
t＝11
时，
y
2
sin( 6
6
C．
y
sin
30
t
6
【答案】C
D．
y
sin
30
t
6
【详解】∵秒针每秒转动 2 ，而初始相位为 tan 3 且初始位置为
60
3
P0
3 2
,
1 2
，∴
π 6
，且秒针从
P0 (此时 t
0 )开始沿顺时针方向走动，∴
y
sin
30
t
6
.故选：C
讲授新课
知识点四 正切函数的单调性及应用
【变式 3-2】为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置 P(x, y) .
若初始位置为 P0
3 2
,
1 2
，秒针从
P0
(注：此时
t
0
)开始沿顺时针方向走动，则点
P
的纵坐标
y
与时间
t
(秒)
的函数关系式为（
）
A．
y
sin
30
t
6
B．
y
sin
60
t
【答案】20.5
【解析】据题意得 28 A a ， 18 A a 解得 A 5， a 23
所以
y
23
5cos
6
(
x
6)
令
x 10
得
y
23
5cos
6
(10
6)
23
5
cos
2 3
20.5
.
故答案为：20.5
讲授新课
【变式 2-1】．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的
π 12
t
2 3
π
4
，
0
t
24
【解析】因为
f
t
Asin t
2π 3
b A
0,
0
图像上最低点坐标为2, 4
，与之相邻的最高点
坐标为
14,12
，所以
A
12
4
2
8
，
T 2
14
2
12
，b
4
A
4
8
4
，
所以 T
2π
24
，解得
π 12
．所以
f
(t)
8 sin
π 12
t
2 3
π
4
，0
t
24
．
讲授新课
讲授新课
知识回顾 四、解三角函数应用问题的基本步骤
常考题型归纳
讲授新课 知识点一 正切函数的定义域问题
【例 1】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 S（厘米）和时间 t（秒）的函
数关系为
S
t
3sin
2
t
3
，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）
为（ ）
A．3，4
1.应用三角函数图像解决实际问题
讲授新课
知识回顾 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ的物理意义
1、简谐运动的振幅就是 A. 2、简谐运动的周期 T＝2π.
ω 3、简谐运动的频率 f＝1＝ ω.
T 2π 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0 时的相位φ称为初相．
讲授新课
知识回顾 二、三角函数模型的应用
久？
【答案】8 小时．
【解析】所以
h
3 sin
π 6
t
π 3
4
0
t
Hale Waihona Puke Baidu
24
．由题意得
h
3 sin
π 6
t
π 3
4
4
1.5 ，得 sin
π 6
t
π 3
1 2
，得
π 6
2kπ
π 6
t
π 3
5π 6
2kπ k
Z
，即
312k t 7 12k k Z ，
当 k＝0 时， 3 t 7 ，当 k＝1 时，15 t 19 ，
3
D．
2
sin
2x
3
【答案】B
【解析】：将函数
y
2
sin
x
3
的图像所有点的横坐标缩短到原来的
【答案】
y
sin(
30
t
6
)
【解析】设点 P 的纵坐标 y 与时间t 的函数关系式为 y sin(t ) ，
由初始位置 P0
3 2
,
1 2
可得函数的初相位为
6
，
又函数周期是 60
秒，且秒针按顺时针旋转，即T
2
60
所以
30
，即
30
，所以
y sin( t
30
)
6
讲授新课
【变式 3-1】如图所示半径为 4m 的水轮其圆心 O 距离水面 2m．已知水轮自点 A 开始沿逆
所以该船一天之内能在该港口停留 7－3＋19－15＝8 小时．
讲授新课 知识点三 三角函数在圆周中的应用
【例 3】为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的
位置为
P
x,
y
，若初始位置为
P0
3 2
,
1 2
，当秒针针尖从
P0
（注：此时
t
0
）正常开始走时，
点 P 的纵坐标 y 与时间t 的函数关系式为__________.
由水轮自点 A 开始沿逆时针方向匀速转动，1min 旋转 4 圈，
则周期 T
60 4
2π
,则
2π 15
，
由题意知
A(0,0) ,代入解析式中， 0
4
sin
2π 15
0
2, sin
1 2
，
由于 0
2π
，故
7π 6
或
11π 6
，
根据图象可知
A
处于函数的单调减区间上，故
7π 6
，故选：C
讲授新课
cm) 由关系式
h
2sin
t
π 4
确定以 t
为横坐标， h 为纵坐标，下列说法错误的是（
）
A．小球在开始振动 ( 即 t 0) 时的位置在 0, 2
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 2 cm
C．小球往复运动一次所需时间为 2πs
D．每秒钟小球能往复振动
1 π
次
【答案】D
【解析】对于
A,由题意可得当 t
0 时， h
2sin
0
4
2，
故小球在开始振动时的位置在 0, 2 ；故 A 正确；
对于 B,由解析式可得振幅 A 2 ,故 B 正确；
对于
C,可得函数的周期为 T
2π
2π 1
2π ，故小球往复运动一次需 2πs
；故
C
正确；
对于 D,由
C 可知，T
2π ，可得频率为
f
.故答案为：4.2
或写成
21 5
.
当堂检测
1、把函数 f (x) 的图像向右平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵 4
坐标不变，得到函数
y
2
sin
x
3
的图像.则函数
f
(x)
的一个解析式为
f
(x)
（
）
A．
2
cos
2x
6
B．
2
sin
2x
6
C．
2
cos
2
x
大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0C 时，才开放中央空调，否则关闭中
央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：C ）随时间t （0 t 24 ，单位：小时）的
大致变化曲线，若该曲线近似满足
f
t
Asin t
2π 3
b
A
0,
0
关系．
求 y f t 的表达式；
【答案】
f
(t)
8 sin
11)
5
2
sin(2
6
)
5
2
1 2
5
4
.
故选：A．
讲授新课
【变式 4-2】潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周
期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把 发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系 （夜间零点开始计时）.
讲授新课
【答案】 4.2 ## 21 5
【解析】由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数 y Acos(x ) B(A 0, x [0, 24]) ，从表中数据可知，
函数的最大值为
5.0，最小值为
4.2，所以
A B 5.0 A B 4.2
,解得
A
0.4
，B
4.6
，故
A
B
4.2
6
C． y a cos (x 1) k(a 0, k 0)
6 【答案】C
D． y a cos x 3
6
【详解】根据题意，当 x 7时，函数取得最大值 y 22.8 ，当 x 1 时，函数取得最小值 y 5.9因此排
除选项 A，D；
又当 x [1, 7] 时，函数 y 是单调递增的，当 x (7,12] 时，函数 y 是单调递减的，由此排除选项 B；
故选：C
讲授新课
【变式 4-1】表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．
时刻
0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
若该港口的水深 y(m)和时刻 t（0≤t≤24）的关系可用函数 y Asin(t) h(A 0, 0, h 0) 来近似描述，则该
数学（苏教版2019）
必修第一册
第7章 三角函数
7.4 三角函数的应用
学习目标
课程标准
重难点
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物 理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，了解参数A，ω，φ对函 数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化 现象的重要函数模型，会用三角 函数解决一些简单实际问题．
【变式 2-2】某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数
h
A
sin
t
B
A
0,
0,
π,0 t 2
24
，其中
h
为水深（单位：米），t
为时间（单位：
小时），该函数部分图象如图所示．若一艘货船的吃水深度（船
底与水面的距离）为 4 米，安全条例规定至少要有 1.5 米的安全
间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内能在该港口停留多