第1课时三角函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

5. 函数 f(x)＝4sinπ3－2x的单调减区间是______－__kπ_－__1_π2_，__－__k_π_＋__51_π2__(k_∈__Z_)_____． 【解析】 令 t＝π3－2x，它为减函数．当 y＝sint 单调递增时，t∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ， k∈Z，所以令－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－1π2－kπ≤x≤51π2－kπ，k∈Z，故 原函数的单调减区间为－1π2－kπ，51π2－kπ(k∈Z)．
(多选)对于函数 f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，下列说法中正确的是 ( BD )
A. f(x)的值域为[－1,1] B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值 C. 函数 f(x)的最小正周期是 π D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】对于函数 f(x)＝sin6x＋π4，令 x＝－2π4，可得 f(x)＝0，故函数 f(x)的图象关 于点－2π4，0对称，故 A 正确；令 x＝－π8，可得 f(x)＝－1，是最小值，故函数 f(x)的图 象关于直线 x＝－π8对称，故 B 正确；将函数 f(x)＝sin6x＋π4的图象沿 x 轴向右平移2π4个 单位长度，可得函数 y＝sin6x－6·2π4＋π4＝sin 6x 的图象，故 C 正确；当 x∈2π4，72π4时， 6x＋π4∈π2，2π，此时 f(x)不单调，故 D 错误．
3. (多选)下列函数中，最小正周期为 π 的有( ABD )
A. y＝sin2x＋π2 C. y＝tan2x
B. y＝cos2x＋π2 D. y＝|sinx＋cosx|
【解析】 由于函数 y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，故 A 正确；由于函数
y＝cos2x＋π2＝－sin2x，最小正周期为 π，故 B 正确；由于函数 y＝tan2x 的最小正周期
x＝3(1－sin2x)＋4sin
x＝－3sin2x－43sin
x
＋3＝
－
3sin
x－232＋133，因为
x∈π6，23π，所以
sin
x∈12，1，所以当
sin
x＝23时，f(x)max＝133，
当 sin x＝1 时，f(x)min＝4，则函数 f(x)的值域为4，133.
目标 3 y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的性质 已知函数 f(x)＝sin2x＋π3＋sin2x－π3＋2cos2x，x∈R.
第四章 三角函数与解三角形 第23讲 三角函数的图象和性质
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1. 将函数 y＝sinx 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到 的图象的函数解析式是( D )
A. y＝sinx－π4＋2 C. y＝sinx－π4－2
【解析】
f(x)＝scions
x，sin x，sin
x<cos x， x≥cos x，
作出函数的大致图象如图所示，由图象知函
数 f(x)的值域为－1， 22，故 A 错误；当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大
值 22，故 B 正确；f(x)的最小正周期为 2π，故 C 错误；从图象易得，当且仅当 x∈
知识聚焦
1. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
图象
y＝tanx
定义域
R
R
_x_|_x_∈__R_且__x_≠__k_π_＋__π2__
函数 值域 周期性 奇偶性
增区间
y＝sinx ______[_－__1_,1_]_______
___2_π__ __奇__函__数___
B. y＝sinx＋π4－2 D. y＝sinx＋π4＋2
【解析】 将函数 y＝sinx 的图象向左平移π4个单位长度得到 y＝sinx＋π4，再向上平 移 2 个单位长度得到 y＝sinx＋π4＋2.
2. 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象 如图所示，那么该函数的解析式为( C )
为π2，故
C
错误；由于
y＝|sinx＋cosx|＝
2sinx＋π4，最小正周期为 π，故 D 正确．
4. (多选)已知函数 f(x)＝sinx－π2(x∈R)，那么下列结论正确的是( BCD ) A. 函数 f(x)是奇函数 B. 函数 f(x)的最小正周期为 2π C. 函数 f(x)在区间0，π2上是增函数 D. 函数 f(x)的图象关于直线 x＝0 对称
cos43π＋π6＝cos32π＝0，由余弦函数的对称性知 B 错误．函数 f(x)在π2，56π上单调递减，
在56π，π上单调递增，故 C 错误．因为 f(x＋π)＝cosx＋76π，所以 fπ3＋π＝cos76π＋π3＝
cos32π＝0，故 D 正确．
3. (多选)若函数 f(x)＝sin6x＋π4，则下列结论正确的是( ABC ) A. 函数 f(x)的图象关于点－2π4，0对称 B. 函数 f(x)的图象关于直线 x＝－π8对称 C. 将函数 f(x)的图象沿 x 轴向右平移2π4个单位长度，得函数 g(x)＝sin 6x 的图象 D. 函数 f(x)在区间2π4，72π4上单调递减
2. (多选)已知函数 f(x)＝cosx＋π6，则( AD )
A. 2π 为 f(x)的一个周期
B. f(x)的图象关于直线 x＝43π对称
C. f(x)在π2，π上单调递减
D. f(x＋π)的一个零点为π3
【解析】 根据函数 f(x)＝cosx＋π6知最小正周期为 2π，A 正确．当 x＝43π时，f43π＝
(3) (多选)关于函数 f(x)＝|tan x|的性质中下列叙述正确的是( BCD ) A. f(x)的最小正周期为π2 B. f(x)是偶函数 C. f(x)的图象关于直线 x＝k2π(k∈Z)对称 D. f(x)在每一个区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)内单调递增
【解析】 对于函数 f(x)＝|tan x|，根据该函数的图象与性质知，其最小正周期为 π， A 错误．又 f(－x)＝|tan(－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以 f(x)是定义域上的偶函数，B 正确；根 据函数 f(x)的图象与性质知，f(x)的图象关于直线 x＝k2π(k∈Z)对称，C 正确；根据 f(x) 的图象与性质知，f(x)在每一个区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)内单调递增，D 正确．
利用换元，形成外函数为二次函数、内函数为三角函数的复合函数，通过内函数向 外函数发展的思路，求解函数值域问题．
若函数 f(x)＝3cos2x＋4sin x，x∈π6，23π，则 f(x)的值域为( C )
A. 4，147
B. 4，147
C. 4，133
D. 4，133
【解析】
f(x)＝3cos2x＋4sin
y＝sinx __2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__32_π_ _
_____(k_π_，__0_)_____ ___x_＝_k_π_＋__π2______
y＝cosx ___[_2_kπ_，__2_k_π_＋__π_]___
____k_π_＋__π2_，__0_ ___ ___x_＝__k_π_____
(1) 求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间； (2) 求函数 f(x)在区间－π4，π2上的最大值和最小值．
【解答】 (1) f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝ 2sin2x＋π4＋1，所以最小正周期为 π. 令π2＋2kπ≤2x＋π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得 x∈π8＋kπ，58π＋kπ，k∈Z， 所以单调减区间是π8＋kπ，58π＋kπ，k∈Z. (2) 当 x∈－π4，π2时，2x＋π4∈－π4，54π， 当 2x＋π4＝π2时，函数取得最大值为 2＋1； 当 2x＋π4＝－π4或54π时，函数取得最小值，且最小值为 0.
1. 已知函数 f(x)＝ 3sin3x－π4，x∈π2，56π，则函数 f(x)的值域为( C )
A.
－
3，
6 2
B.
－
26，
6 2
C. －
3，
6 2
D.
－
26，
6 2
【解析】 当 x∈π2，56π时，3x－π4∈54π，94π，所以 sin3x－π4∈－1， 22，所以 f(x) ∈－ 3， 26.
【解析】 函数 f(x)＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cosx(x∈R)，所以 f(x)＝－cosx 是偶 函数，故 A 错误；f(x)＝－cosx 的最小正周期为 2π，故 B 正确；y＝cosx 在0，π2上是减 函数，所以 f(x)＝－cosx 在0，π2上是增函数，故 C 正确；由 y＝cosx 的图象知，f(x)＝ －cosx 的图象关于直线 x＝0 对称，D 正确．
y＝tanx 无
k2π，0 无
2. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1) y＝Asin(ωx＋t;0， ω>0), x∈R
振幅 A
周期 T＝2ωπ
频率 f＝T1＝2ωπ
相位 ωx＋φ
初相 φ
(2) 函数 y＝sinx 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
2_k_π_－__π2_，__2_k_π_＋__π2___
y＝cosx _____[_－__1_,_1_] _____
__2_π___ ___偶__函__数__
[2kπ－π，2kπ] ______________
y＝tanx R __π_
奇函数
__k_π_－_π2_，__k_π_＋__π2__
函数 减区间 对称中心 对称轴方程
的图象，当 t＝－1 时，ymin＝－1－1＝－2，当 t＝12时，ymax＝－122＋12＝14，所以原函数
的值域是－2，14.
(2) 函数 y＝sin x－cos x＋sin x cos x 的值域为_____－___2_－__12_，__1______．
【解析】 令 sin x－cos x＝t，则 t＝ 2sin x－π4，t∈[－ 2， 2]，所以 sin x cos x ＝1－2 t2，所以 y＝t＋1－2 t2＝－12(t－1)2＋1，所以当 t＝1 时，函数有最大值 1；当 t＝－ 2 时，函数有最小值－ 2－12.
第1课时 三角函数的图象和性质
研题型 ·融会贯通
分类解析 目标 1 三角函数的性质
(1) (2020·潍坊期中)函数 y＝cos x|tan x|0≤x<32π且x≠π2的图象是( C )
A
B
C
D
【解析】 当 0≤x<π2时，y＝cos x|tan x|＝sin x；当π2<x≤π 时，y＝cos x|tan x|＝－sin x； 当 π<x<32π时，y＝cos x|tan x|＝sin x，故选 C.
2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0，故 D 正确
目标 2 二次复合型函数的值域
(1) 函数 y＝cos2x＋sin x－1 的值域为( B )
A. －∞，14 C. 0，14
B. －2，14 D. [－2,0]
【解析】 令 t＝sin x，则 y＝1－t2＋t－1＝－t2＋t，且 t∈[－1，1]．根据二次函数
(2) 下列函数中，最小正周期为π2的是( D )
A. y＝sin|x|
B. y＝cos|2x|
C. y＝|tan x|
D. y＝|sin 2x|
【解析】 由于函数 y＝sin|x|不是周期函数，故排除 A；由于函数 y＝cos|2x|＝cos 2x
的周期为22π＝π，故 B 不正确；由于函数 y＝|tan x|的周期为 π，故排除 C；由于函数 y ＝|sin 2x|的周期为12·22π＝π2，故 D 正确．
A. y＝2sin1110x＋π6
B. y＝2sin1110x－π6
C. y＝2sin2x＋π6
D. y＝2sin2x－π6
【解析】 由图象可知 A＝2，T＝2·23π－π6＝π，即2ωπ＝π，则 ω＝2.又因为点π6，2在 函数的图象上，所以 2＝2sin2×π6＋φ，由|φ|<π2，解得 φ＝π6，故 y＝2sin2x＋π6.
3. 常用结论： (1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距 离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．②正切曲线相邻两对 称中心之间的距离是半个周期． (2) 奇偶性：若函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：①函数 f(x)为偶函数的充 要条件是 φ＝π2＋kπ(k∈Z)；②函数 f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z)．