江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷(解析版)

2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷

数 学 2022．11

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1．已知集合A ＝{x |x 2≤4x }，B ＝{x |3x －4＞0}，则A ∩B ＝

A ．[0，＋∞)

B ．[0，43)

C ．(43

，4] D ．(－∞，0) 【答案】C

【考点】集合的运算

【解析】由题意可知，A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |x ＞43}，则A ∩B ＝(43

，4]，故答案选C ． 2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝

A ．12

B ．22

C ． 2

D ．2 【答案】C

【考点】复数的运算

【解析】由题意可知，|1＋i| |z |＝|2i|，即2|z |＝2，则|z |＝2，故答案选C ．

3．在△ABC 中，点N 满足→AN ＝2→NC ，→BN ＝→a ，→NC ＝→b ，那么→

BA ＝

A ．→a －2→b

B ．→a ＋2→b

C ．→a －→b

D ．→a ＋→b

【答案】A

【考点】平面向量的基本定理

【解析】由题意可知，→BA ＝→BN ＋→NA ＝→BN －2→NC ＝→a －2→

b ，故答案选A ．

4．“sin α＋cos α＝1”是“sin2α＝0”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】条件的判断、三角恒等变换

【解析】由题意可知，若sin α＋cos α＝1，则1＋sin2α＝1，解得sin2α＝0，若sin2α＝0，则(sin α＋cos α)2＝1，解得sin α＋cos α＝±1，故“sin α＋cos α＝1”是“sin2α＝0”的充分不必要条件，故答案选A ．

5．奇函数f (x )在R 上单调递增，若正数m ，n 满足f (2m )＋f (1n －1)＝0，则1m

＋n 的最小值为 A ．3 B ．4 2 C ．2＋2 2 D ．3＋22

【答案】D

【考点】函数的单调性与基本不等式综合应用

【解析】由题意可知，由f (2m )＋f (1n －1)＝0，可得f (2m )＝－f (1n

－1)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (2m )＝f (1－1n )，且函数f (x )在R 上单调递增，所以2m ＝1－1n ，即2m ＋1n ＝1，所以1m

＋n ＝(1m ＋n )(2m ＋1n )＝2＋1＋1mn ＋2mn ≥3＋21mn ·2mn ＝3＋22，当且仅当1mn ＝2mn 时取等号，所以1m

＋n 的最小值为3＋22，故答案选D ． 6．已知函数f (x )＝3cos ωx －sin ωx (ω＞0)的周期为2π，那么当x ∈[0，2π3

]时，ωf (x )的取值范围是

A ．[－

32，32] B ．[－3，3] C ．[－32

，1] D ．[－1，2] 【答案】B

【考点】三角函数的解析式与取值范围求解

【解析】由题意可知，f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos(ωx ＋π6)，则最小正周期为T ＝2πω

＝2π，解得ω＝1，所以f (x )＝2cos(x ＋π6)，因为x ∈[0，2π3]，所以x ＋π6∈[π6，5π6]，所以cos(x ＋π6)∈

[－32，32]，则ωf (x )＝2cos(x ＋π6

)∈[－3，3]，故答案选B ． 7．古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为a ，梯脚落在巷中的M 点，当梯子的顶端放到右边墙上的N 点时，距地面的高度是h ，梯子的倾斜角正好是45°，当梯子顶端放到左边墙上的P 点时，距地面的高度为6尺(1米＝3尺)，此时梯子的倾斜角是75°．则小巷的宽度AB 等于

A ．6尺

B ．a 尺

C ．(h ＋2)尺

D ．h ＋a 2

尺 【答案】A

【考点】新情景问题下的三角函数的定义问题

【解析】由题意可知，在Rt △BMN 中，∠NMB ＝45°，MN ＝a ，则MB ＝22

a ，在Rt △P AM 中，∠PMA ＝75°，PM ＝a ，P A ＝6，则AM ＝6tan75°，a ＝6sin75°，所以AB ＝AM ＋MB ＝6tan75°＋22×6sin75°＝62＋3＋22×66＋24

＝6(2－3)＋63－6＝6，故答案选A ． 8．已知实数a ＝log 23，b ＝2cos36°，c ＝2，那么实数a ，b ，c 的大小关系是

A ．b ＞c ＞a

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞b ＞c

D ．a ＞c ＞b

【答案】B

【考点】大小关系比较

【解析】由题意可知，因为cos36°＞cos45°＝22

，所以2cos36°＞2，即b ＞c ，又因为a ＝log 23＞12(log 22＋log 24)＝32

＞2，即a ＞c ，因为35＜28，所以取以e 为底数的对数，可得5ln3＜8ln2，a ＝log 23＜85，b ＝2cos36°＝2×5＋14＞85

，所以b ＞a ＞c ，故答案选B ．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

9．己知非零实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式一定正确的有

A ．c a ＞c b

B ．c a ＋a c ≤－2

C ．(a －b )a ＞(b －c )a

D ．c a ∈(－2，－12

) 【答案】BD

【考点】不等关系的判断

【解析】由题意可知，a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则a ＞0，c ＜0，对于选项A ，若b ＜0时，c a ＜c b ，故选项A 错误；对于选项B ，c a ＜0，a c ＜0，则c a ＋a c ≤－2c a ·a c ＝－2，当且仅当c a ＝a c ，即a ＝c 时取等号，所以c a ＋a c

≤－2，故选项B 正确；对于选项C ，若a ＝2，b ＝1，c ＝－3，则(a －b )a ＝1，(b －c )a ＝16，所以(a －b )a ＜(b －c )a ，故选项C 错误；对于选项D ，因为a

＋b ＋c ＝0，且a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＋c ＞a ＋c ＋c ＝a ＋2c ，所以c a ＜－12

，而a ＋b ＋c ＞a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，所以c a ＞－2，则c a ∈(－2，－12

)，故选项D 正确；综上，答案选BD ． 10．已知函数f (x )＝cos2x －2cos x cos3x ，则

A ．f (x )的最大值为1

B ．f (π6)＝f (－π3

) C ．f (x )在(－π12，π6)上单调递增 D ．f (x )的图象关于直线x ＝π4

对称 【答案】ABD

【考点】三角函数的图象与性质

【解析】由题意可知，f (x )＝cos2x －2cos x cos3x ＝cos(3x －x )－2cos x cos3x ＝cos3x cos x ＋sin3x sin x －2cos x cos3x ＝－(cos3x cos x －sin3x sin x )＝－cos4x ，对于选项A ，f (x )的最大值为1，

故选项A 正确；对于选项B ，f (π6)＝－cos(4×π6)＝12，f (－π3)＝－cos[4×(－π3)]＝12，所以f (π6)＝f (－π3)，故选项B 正确；对于选项C ，因为x ∈(－π12，π6)，则4x ∈(－π3，2π3

)，该区间先减后增，故选项C 错误；对于选项D ，f (π4)＝－cos(4×π4)＝1，则f (x )的图象关于直线x ＝π4

对称，故选项D 正确(另解：f (π2

－x )＝－cos(2π－4x )＝－cos4x ＝f (x ))；综上，答案选ABD ． 11．在棱长为2的正方体中，M ，N 分别是棱AB ，AD 的中点，线段MN 上有动点P ，棱CC 1