1.2-电场-电场强度2

r
θ 2
l dl
x
5.将 dE 投影到坐标轴上
dEx

1
40
dl
r2
cos
dEy

1
40
dl
r2
sin
6. 选择积分变量
r、、l 是变量，而线积分只要一个变量
r a / sin
dl a csc2 d
l actg
dE y y
dE


dEx P
x
Ex
q
由对称性可知，总电场沿 y 方向，所以总电场
E Ey dE cos
而 cosθ y y2 a2
则
2 a
yλdl
E

0
4π0 ( y2
a2)32
dE dEy dE
dEx2 p dEx1
2πaλ y

用矢量表示
4π
0( E
y2 a

4π
)2
3 2
qy
例题：边长为a的正方形顶点上放置点电荷，如 图所示，则中心点点的电场强度大小和方向？
Q
-2Q
a O
-Q
2Q
三 电荷连续分布情况

dE

1
4π 0
dq r2
er
r
E
dE
1
4π 0
er r2
dq
qdq
P
dE
电荷体密度 dq
dV
点 P处电场强度

E

V
1
4π 0
er
r2
dV
电荷面密度 dq
ds

E
1
σ
er
ds
S 4π 0 r2
电荷线密度 dq

E

l
1
4π 0
re2rddl l
qds
r
P
dE
dl
q
r
dE
P
连续带电体的电场例题
n
F


F1

F2

Fn

i 1
Fi
Fi
E
F

qi
对
q
的作用
F1 F2
Fn
q 0
q0
q2


Fi
F2
q 场点

F1 qi
E1 E2 En
q1 源点系
电场强度叠加原理 E Ei
q1
源点1 +
源点2 - q2

E2
1 cos dl 40 r 2

40
2 1
cos
a2 csc2

a
csc2
d
a
1 o
r θ 2
l dl

4 0a
2
1
cosd

4 0 a
(sin 2

sin 1 )
同理
Ey

4
0a
(cos1
cos2 )
最后: E
E

E
1
40 (r 2
q l2
/
4)
E 2E cos

2
1
4 0
(r
2
q l
2
/
4)

(r 2
l/2 l2 /
4)1/ 2
P
l E
E

E
r
P

+

1
4 0
(r 2

ql l2 /
4)3/ 2
q
l/2
+q
l/2
用矢量形式表示为：
讨论
1
P
极光 雷电
E

F
q0
即：E
Q
r
q0

E
Q r E q0
（1)点电荷的电场
1 qq
F E

4 0
F q0
0
r2
1
4 0
er
q r2
er
E
E
+
r

F
q0
E
场点
qe
r
源点
r
（2)电场强度叠加原理和点电荷系的场强

0
1
(R2
x x2 )1/ 2
E

2
0
1
(R2
x x2 )1/ 2

讨论：
1. 当 R >> x
E 无限大均匀带电平面的场强，匀强电场 2 0
2. 当 R << x

x (R2 x2 )1/ 2

(1
R2 x2
)1/ 2
1 1 ( R)2 2x
解：由例2均匀带电圆环轴线上一点的电场
E
xq
4 0 (R2 x2 )3/ 2 R
dE

xdq
40 (r 2
x2 )3/2
x 2rdr 40 (r 2 x2 )3/ 2
rx
dr
P dE
E 2x
4 0
R 0
(r 2
rdr x2 )3/2

2

E

场点 E1
二 电偶极子的电场强度
r 电偶极子的轴 0
电偶极矩（电矩）
p

qr0
q

讨论
p q
r0
（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
q O q
x r0 2 r0 2
E
A
E
x
q O q
x r0 2 r0 2
E
A
E
x
E

1
4π 0

R 2
q
E 40 x2 40 x2
可视为点电荷的电场
例3 求一均匀带电直线在P点的电场.已知a 、1、2、。
解题步骤 1.建立坐标系
2. 选电荷元 dq dl

dE y
y
dE


dEx P
3. 确定电场的方向
4. 确定电场的大小
dE

1
4 0
dl
r2
er
a
1 o
• 均匀带电圆环轴线上的电场 • 均匀带电圆盘轴线上的电场 • 均匀带电直线的电场
【例1】求均匀带电圆环轴线上任一点p处的场强。
【解】：设电量q，圆环半径为a，
dE dEy dE
场点距圆心y
dEx2 p dEx1
则电荷线密度
q 2a
rθ y
而电荷元 其场强
dq dl
dl a
dl dE 4 0 ( y2 a2 )
0(y2
a
2
)
3
2
θ ry dl
a
【讨论】：1. y >> a

qy
E 4π 0 y3
（点电荷）
2. Y = 0 时 ， E = 0
3. 上下对称
dq x
.
R
y
z
dE

当dq 位置发生变化时，它所激发的电场 dE
矢量构成了一个圆锥面。
所以，由对称性 Ex Ez 0
例2 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
Ex2 Ey2
{ 讨论:
E 4 0 (r2 l 2 / 4)3/2

1P
1 当 r l
E 4 0 r 3

2 电偶极子轴线E的 延4长2线por上3 的电场：
f
l
③电偶极子在电场中所受的力矩
+f
P

E
M flsin qElsin PEsin
M P E
q (x r0
Hale Waihona Puke 2)2 i E

1
4π 0
q (x r0
2)2 i
x
E
r0
E

E
E

q
4π 0


(
x
2
2xr0 r02
4)2

1
4π 0
2r0q x3
i

1
4π 0

i

2
p
x3
（2）. 电偶极子中垂面上 的电场。
解：电偶极矩（电矩） P q l