DFT的共轭对称性ppt课件

若有:
x(n) xr (n) jxi (n)
则有： DFT[x(n)] X (k) X ep (k) X op (k)
证明：
xr
(n)
1 [x(n) 2
x (n)]
DFT[ xr
(n)]
1[X 2
(k)
X
(N
k )]
X ep
(k)
xi (n)
1 [x(n) 2
x (n)]
DFT[xi
(n)]
~x *(n)]
1 2 [x((n)) N
x* (( N
n)) N ]
~xo (n)
1 [~x (n) 2
~x *(n)]
1 2 [x((n)) N
x* (( N
n)) N
]
同样，有
~x (n) ~xe (n) ~xo (n) ~xe (n) ~xe* (n)
~xo (n) ~xo* (n)
点,抽样点
j 2 k
eN
称作本抽样点。因此说，内插
函数仅在本抽样点处不为零,其他(N-1)个抽样点均为零。
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2. 用频域采样 X (k) 表示X (e j )的内插公式
N 1
X (e j ) X (z) ze j X (k )k (e j ) k 0
k (e j ) k (z)
ze j
(
17
问题:
能否由频域抽样X(k)恢复序列x(n) 能否由频域抽样X(k)恢复序列x(z)或 X (e j ) 若能恢复其条件是什么？如何推导内插恢复公式?
回忆时域内插恢复公式!
18
一.由频域抽样恢复原序列
任意绝对可和的非周期序列x(n)，其z变换：
X (z) x(n)zn
n
对X (z)在单位圆上N点等间隔抽样，得周期序列：
1
第十讲
3.2.5 DFT的共轭对称性 3.3频域抽样理论--抽样Z变换 3.4.1 用DFT计算线性卷积
3.2.5 DFT的共轭对称性
与DTFT对称性的区别 DTFT以(-∞,+∞)为变换空间，所以在讨论对称 性质中，以原点为对称中心，序列的移位范围 无任何限制，因为无论如何不会移出变换区间； DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性 质中，序列的移位会移出变换区间，所以要在
1
1 zN WNk z
1
则内插公式简化为：
N 1
X (z) X (k)k (z)
k 0
24
内插函数的特性
将内插函数写成如下式:
k (Z)
1 N
zN 1 z N1(z WNk )
零点：z
e
j 2 N
r，r
0,1,...,
N
1
极点：z
e
j 2 N
k，
0
(N -1)阶
极点Z
e
j 2 N
k
与一零点相消。这样只有(N-1)个零
xep
(n)
1 2
[x(n)
x* (N
n)]
xop
(n)
1 [x(n) 2
x* ((N
n)]
6
共轭对称与共轭反对称序列示意图
xep
(
N 2
n)
xep
(
N 2
n),
xop
(
N 2
n)
xop
(
N 2
n),
0 n N 1 2
0 n N 1 2
7
3.有限长序列x(n)的对称分量分解 及其DFT表示
3
xe (n)
1 2
[x(n)
x* ( n )]
x((n))N
xe (n)
1 2
[x(n)
x* ( n )]
x*((N n))N
4
2.有限长序列的圆周共轭对称分量 与圆周共轭反对称分量
有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称
分量分别定义为
xep (n)
~xe (n)RN
(n)
1 2 [x((n))N
]RN
(k)
由x2 (n) Im[w(n)]得
X 2 (k )
DFT[x2 (n)]
1 j Wop (k)
1 2j
[W
((k
))
N
W *((N
k )) N
]RN (k)
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3.3频域抽样理论--抽样Z变换
讨论： 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其 进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频 谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复 原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得 x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频 域抽样。
x((n))L x(n qL),
q
N 1
yc (n) h(m) x(n m qL)RL(n)
m0
q
N 1
h(m)x(n m qL)RL(n)
q m0
可以看出， 上式中
N 1
h(m)x(n qL M ) yl (n qL)
m0
yc (n) yl (n qL)RL(n)
讨论：
x(n)为无限长序列—混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M
1）N M，不失真 2）N M，混叠失真
21
频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
N M
时，才有
xN (n)RN (n) IDFS[ X (k)]RN (n) x(n)
即可由频域采样X (k)不失真地恢复原信号 x(n) ，否则产生时域混叠现象。
W (k) DFT[w(n)] DFT[x1(n) jx2 (n)]
DFT[x1(n)] jDFT[x2 (n)]
X1(k ) jX 2 (k )
15
由x1(n) Re[w(n)]得
X1(k) DFT[x1(n] Wep (k)
1 [W 2
((k )) N
W *((N
k ))N
2
N
k)
内插函数：
( )
1
sin
N
2
e
j
N 1 2
N
sin
2
26
27
内插恢复过程描述：
X (e j ) N1 X (k)( 2 k)
k 0
N
(
2
N
k)
1 0
2
N
k
k
2
N
i
i
ik
28
3.4 DFT的应用举例
29
3.4.1 用DFT计算线性卷积
1.用DFT计算循环卷积
L1
如果 y(n) x1 (n) x2 (n) x1 (m)x2 ((n m))L RL (n) m0
N 1 k 0
X
(k
)
N 1
WN
n0
nk
z
n
1 N
N 1 k 0
X
(k
)
1 WNNk 1 WNk
zN z 1
1 zN N
N1 X (k) k0 1 WNk z1
23
内插公式与内插函数
内插公式：X (z)
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插函数：k (z)
1 N
图 3.4.1 用DFT计算循环卷积
31
2.循环卷积与线性卷积
在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者 对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 为 此需导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与 线性卷积相等的条件。
这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同 的两个分量。
5
2.有限长序列的圆周共轭对称与 圆周共轭反对称性质
xep (n) xep (N n) xop (n) xop (N n)
0 n N 1 0 n N 1
上式已给出有限长序列x(n)的圆周共轭对称分量 与圆周共轭反对称分量的对称中心为N=N/2，其圆周 共轭对称分量与圆周共轭反对称分量可简写为：
11
共轭对称性总结1： 复数序列的共轭对称性
序列
DFT
x(n)
Re[ x(n)] j Im[x(n)]
X (k)
X ep (k) Xop (k)
xep (n) xop (n)
Re[X (k)] j Im[X (k)]
12
共轭对称性总结2: 实数序列的共轭对称性
序列
DFT
Re[ x(n)] j Im[x(n)] 0
N 1
W (mn N
)
k
]
k 0
x(n rN )
r
1
N
N 1
W (mn)k N
k 0
1 0
m n rN 其它m
r为任意整数
20
由频域抽样序列 X (k)还原得到的周期序列 是原非周期序列 x(n)的周期延拓序列，其 周期为频域抽样点数N。
所以：时域抽样造成频域周期延拓
同样，频域抽样造成时域周期延拓
x* (( N
n)) N
]RN
(n)
xop (n)
~xo (n)RN
(n)
1 2
[
x((
n))
N
x* (( N
n)) N
]RN
(n)
由于 x(n) ~x (n)RN (n) [~xe (n) ~xo (n)]RN (n)
~xe (n)RN (n) ~xo (n)RN (n)
所以 x(n) xep (n) xop (n)
X1(k) DFT[x1(n)] X2(k) DFT[x2(n)]
则由时域循环卷积定理有
Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
0≤k≤L-1 0≤k≤L-1
30
由此可见， 循环卷积既可在时域 直接计算，在频域计算。 由于DFT有快 速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算 的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算 循环卷积。
q
33
h(n)
1 （a）
0123 x(n)
N＝ 4 n
1
M＝ 5
（b） n
0 1 2 34
h(n) * x(n)
4
3 （c） 2
1
N＋ M－ 1＝ 8
－ 10
1
2
3
4
5
6
7
8
n 9 10
4 3 2 （d） 1
h(n) ○* x(n)
0 12 3 4 5 h(n) ○* x(n)
L＝ 6 n
4 3 （e） 2 1
假设h(n)和x(n)都是有很长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：
N 1
yl (n) h(n) x(n) h(m)x(n m) m0 L1
yc (n) h(n) x(n) h(m)x((n m))L RL (n) m0
32
其中， L≥max［N, M］
X (k ) X ( z) zWNk
x(n)WNnk
n
分析：X (k) x(n) ??
19
令xN (n)为X (k)的IDFS：
xN (n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
1 N
N 1
[ x(m)WNmk ]WNnk
k 0 m
m
x(m)[ 1 N
Re[X (k)] j Im[X (k)]
14
6.共轭对称性的应用举例
假设 x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，可用一 次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:
DFT[x1(n)] X1(k) DFT[x2 (n)] X 2 (k) 利用两序列构成一个复序列
则
w(n) x1(n) jx2 (n)
区间(0,N-1)上定义有限长序列的圆周共轭对称 序列和反对称序列；
DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性 质中，将会得出其对称中心为n=N/2。
2
1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量
周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为
~xe (n)
1 [~x (n) 2
0 12 3 4 5 6 7 h(n) ○* x(n)
L＝ 8 n
4
3
(f) 2 1
L＝ 10
n 0 12 3 4 5 6 7 8 9
图 3.4.2 线性卷积与循环卷积
34
证明:
xep (n)
1 2
[x(n)
x(N
n)]
DFT[ xep (n)]
1 2
[X
(k)
X
(k )]
Re[
X
(k)]
xop
( n)
1 2
[x(n)
x(N
n)]
DFT[xop (n)]
1 [X (k) 2
X (k)]
j Im[X (k)]
10
5.实、虚序列的对称特性
当x(n)为实序列时，则
1 [X (k) 2
X (N
k )]
X op (k )
8
*复数序列实部的DFT 该序列DFT的 圆周共轭对称分量。
*复数序列虚部乘以j的DFT 该序列DFT的 圆周共轭反对称分量。
9
4.有限长序列x(n)的实虚分解 及其DFT表示
来自百度文库若有:
x(n) xep(n) xop (n)
则有: DFT[x(n)] X (k) X R (k) jX I (k)
xep (n) xop (n)
X ep (k) X (k) Xop (k) 0
Re[X (k)] j Im[X (k)]
13
共轭对称性总结3: 纯虚序列的共轭对称性
序列
DFT
Re[x(n)] 0 j Im[x(n)]
X ep (k) 0 Xop (k) X (k)
xep (n) xop (n)
X(k)=Xep(k)
又据Xep(k)的对称性：X ep
(k)
X
* ep
(( N
k )) N
RN
(k)
X (k) X *((N k))N RN (k)
当x(n)为纯虚序列时，则
X(k)=Xop(k)
又据Xop(k)的对称性：X
op
(k
)
X
* op
((k
))
N
RN
(k
)
X (k) X *((k))N RN (k)
22
二、由X (k)表示X (Z )和X (e j ) - - -内插恢复
1.由X(k)恢复X(Z) M点有限长序列x(n)，频域N点等间隔抽样，且
NM
M 1
N 1
则： X (z) x(n)zn x(n)zn
n0
n0
N 1 1 n0 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
z
n
1 N