万有引力定律的发现

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万有引力定律的发现
万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。

在这一发现过程中,牛顿对引力平方反比定律的发现,即所谓“开普勒命题”的证明,起到了关键性作用,它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理是发现万有引力定律的必要前提。

牛顿在惠更斯1673年发表离心力定律之前,结合开普勒周期定律,得到了圆轨道上的平方反比关系;胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信,诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义,并应用几何图形法来解决开普勒命题。

也就是说,牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。

一、圆轨道上平方反比关系的发现
牛顿对动力学的研究从研究圆周运动问题已经开始的;牛顿借助他有关相撞问题的研究成果,卓有成效地从动力学角度去定量处置圆周运动中力与“运动的发生改变”之间的关系,并利用等价性将直线运动的分析结论推展至圆周运动和椭圆运动,为其有关力学的进一步研究奠定了稳固的基础。

同时期的惠更斯也注意到圆周运动问题,并从运动学角度对它展开了较为深入细致的研究;就离心力定律的辨认出而言,惠更斯跑在牛顿的前面。

牛顿是在1665或1666年写的“仿羊皮手稿”(thevelluomanuscript)中提出
“(l/2)r公式”:“一个在直线上从静止开始运动的物体,其所受的力等于作用在沿半径为r的圆周、以速度v运动的同等物体的力;则在圆周上运动的物体通过距离r的时间内,直线上运动的物体将行进(1/2)r距离。

”根据牛顿的手稿,我们可以得到
上述公式的推断过程:首先,牛顿得出直线运动、圆周运动状态的初
始条件,即同等的时间、物体和力;其次,牛顿依据已认识到的两种
运动(量)之间的等价性,推断出来:直线上从恒定已经开始运动的物体,
在时间r/v内获得的运动量为mv、末速度为v;最后,牛顿/得到直
线上由恒定已经开始运动的物体,在时间r/v内经过的距离为:[(1/2)
v]·(r/v)=(1/2)r。

“(1/2)r公式”的明确提出,说明牛顿继承伽利略等人所秉持的、
力与距离之间存在对应关系的传统,并试图用精确的数值关系来表征
这种对应关系。

其另一点就是,牛顿合理地将伽利略重力促进作用下的t2定
律推广到任意定常力作用的情形。

这两点,是牛顿发现圆轨道上平方
静电力关系的必要条件。

牛顿作于1669年前的《论圆周运动》(on
circularmotion)手稿,使上述的两点得以具体实现。

他在此引入又
一种全新的处置圆周运动的方法——“偏移量方法”(thederivative
method),即:“物体在由a到d作圆周运动的过程中,退离中心的
意向力大小就是这样的:即为在物体通过ad(假设它不大)的时间内,该力将并使物体偏移圆周一段距离db(见到图1)……现在,如果这个意向力象重力一样地在一条直线上
促进作用,它将并使物体通过的距离与时间的平方成比例”。

这样,牛顿在意向力和距离之间建立了对应关系,并通过推广伽利略重力作用下的t2定律,确定了距离与时间平方之间的比例关系。

这一比例关系在《原理》中“上升”为第
一卷第一节的“引理x”,它构成了牛顿应用“线性动力学比”方法证明开普勒命题的数
学前提。

可以认为,牛顿至此才找到处理圆周运动问题的数值计算方法。

牛顿在该手稿的
第一部分,应用相似三角形的比例关系和近似的方法,得出下述重要的结论:意向力在周
期t内使物体偏离的距离db=2π2r。

在这之后;牛顿得出了物体受到“由于地球的周日运动产生
的、在天球赤道上退离地球中心的意向力”的作用、在单位初始时刻行进距离的示例。

事实上,牛顿在这里是由“(1/2)r公式”结合推广的伽利略t2定律,即s∝t2这样的
比例关系,得到偏离量db的数值表达式,然后应用几何方法综合地证明了他的结论。


据“(1/2)r公式”,在时间t(即r/v)内,物体在直线上行进(1/2)r;设在周期t (即2πr/v)内,物体在直线上行进db;依据推广的伽利略t2定律,有:(1/2)r∝t2
=r2/v2,db∝t2=4π2r2/v2,两式相比后简化得:db=2π2r。

这正是牛顿在手稿中给
出的重要结论。

牛顿在《论圆周运动》手稿的第二部分,再次应用领域s∝t2于其结论:db=2π2r 中,获得下列关键的“推断”:“推断:对应于相同的圆周运动,它们Bhind中心的意向
力与直径除以周期平方的值成比例,或与直径除以任一取值时间内周转数平方的值成比例。

”这一推断用
2222公式表征为:意向力∝2πr/t∝2πr·n;其中n为给定时间内的周转数。

牛顿
在手稿
的完结段,将上述推断(意向力∝r·n2)与其在早年笔记簿中所节录的开普勒周期
定律(r3∝t2∝1/n2)融合出来,顺利地“面世了”圆轨道上意向力与距离间的平方静电
力关系:“最后,由于主要行星至太阳距离的立方与它们在取值时间内周转数的平方成反比;因此,它们Bhind太阳的意向力与它们至太阳距离的平方成反比。


于是,牛顿在将行星椭圆轨道近似地视作圆轨道的前提下,“跨越”了离心力定律,
应用偏离量方法,由“(1/2)r公式”和推广的伽利略t2定律,结合开普勒周期定律,
在1669年前发现了圆轨道上的平方反比关系。

这是牛顿早期动力学研究所获得的最重要
的结论。

二、胡克对牛顿的影响
作为皇家学会秘书的胡克,可能是有感于当时欧洲大陆学者在动力学研究上的新成就,主动在1679年11月24日致信牛顿,提请他将已搁置多年的动力学研究继续下去。

牛顿
在同年的11月28日当即回信,并通知胡克自己只考虑地球周日运动而得到的一个“想象
的结论”。

1680年1月6日,胡克再次致信牛顿,全盘托出他本人有关天体运动的设想:“我的猜测是,吸引力总是与到中心距离的平方成反比的,因而速度与引力的平方根成正比,其结果如开普勒推测的那样;与距离成反比。

……在天体运动中,太阳或中心天体是吸
引力的原因,虽然不能设想它们是数学点,却可想象为物理点。

这样,就可按前述原理中
的比例,计算出从同一中心开始、到很远距离上的吸引力。

”于是,不管牛顿承认与否,
胡克对牛顿的“刺激”至少表现在如下四点:首先,胡克在1679年12月9日的信中所提
出的、物体的下落运动是由直向运动和指向中心的吸引运动所合成的,因而将下落运动转
换成曲线,尤其是圆周和椭圆运动问题来处理的思想,无疑地对牛顿产生了影响。

其次,
胡克关于吸引力平方反比关系的“猜测”、其对开普勒行星运动经验定律的错误“概括”
以及综合得到的错误“结论”,致使牛顿认识到有待进一步研究的必要。

第三,胡克指出,太阳或中心天体的吸引力是天体运动的原因,还进一步地视它们为物理点,牛顿一度接受
了胡克的这一观点。

第四,胡克的书信激发了牛顿应用几何图形法来“证明”椭圆轨道上
引力平方反比关系,牛顿在1686年7月14日致哈雷的信中承认了这一点:“这是真的,
他(指胡克)的信使我偶然发现应该用图形法,在椭圆上的验算是靠图形法的研究来进行的。

”令人惊讶的是,牛顿对胡克的这封信却采取了沉默的态度。

胡克在1680年1月17日再次“劝说”牛顿,也就是未回音。

牛顿延期至将近一年后
的12月3日,用几句不关痛痒的客套话去推脱胡克。

那么,在1679年12月13日至1680年12月3日这段将近一年的时间内,牛顿在胡克书信的提振下,尤其就是其将落体运动
切换为曲线运动、以及运动制备的圆周运动理论中崭新力学思想的影响下,再次认识到惯
性原理的物理意义,掌控了开普勒面积定律与有心力促进作用之间的逻辑相关性,并文学
创作了《论椭圆轨道》(onmotioninellipse)完整手稿,牛顿在这一手稿中应用领域几
何图形法化解了开普勒命题,
即综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。

三、椭圆轨道上引力平方静电力定律的证明
牛顿是在《论椭圆轨道》中证明椭圆轨道上引力平方反比定律的。

牛顿在手稿的一开
始就提出如下三条“假设”(hypoth):“假设1。

只要物体不为阻力或其他外力所阻碍,它将在直线上作匀速直线运动。

假设2。

运动的改变永远正比于
并使运动出现发生改变的力。

”在“假设3”中,牛顿得出了同时促进作用
的、运动合成的平行四边形法则。

紧接着,牛顿应用假设1、3
,似乎也充分发挥了胡克的运动制备思想,并导入量“无穷地”变大
的极限概念,来分析物体在有心力作用和惯性作用下两种运动
制备的瞬时效应,以证明开普勒面积定律等价于一有心力促进作用:
“命题1:如果一物体在真空中运动并被一不动的中心所吸引,
它将在一平面中运动,且在成正比的时间内,物体与中心的连线,划过的面积就是成
正比的。

”这样,牛顿摈弃了以往学者对开普勒面积定律的各种加固、注解,最早地认识
到开普勒面积定律及其与笛卡儿惯性定律之间逻辑联系的物理意义,为开普勒命题的化解
铺设了道路。

牛顿根据命题1的结论,并利用吸引力与“偏离量”的对应关系,来论证椭圆轨道上
运动的物体、在特殊位置(椭圆的顶点)所受的吸引力与物体至焦点距离的平方反比关系(命题2)。

牛顿为了将上述结论推广到复杂的、物体在椭圆轨道上任意点的受力情形,
在命题2之后插入了说明椭圆曲线性质的三个“系定理”。

牛顿在给出解
然开普勒命题的数学手段之后,应用领域比例方法和“系则定理3”(yxi/ab×pq=
yz2/kl2),并融合吸引力与“偏移量”的对2222应当关系,证得:fp/fp=xy/xy=
yz/yz=pf/pf(见到图2),
即:“命题3:如果物体受到一指向椭圆焦点的吸引力作用,并且该力的大小足以维
持物体在该椭圆上运动,则吸引力与物体到焦点距离的平方成反比。

”这样,牛顿应用图
形法解决了开普勒命题,综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。

这一问题的解决,不
仅标志着牛顿成熟掌握了动力学基本原理,而且它与牛顿有关质量概念的明确、向心力概
念的引入,以及运动第三定律的提出,一起构成了牛顿在1685至1686年发现万有引力定
律的基本前提。

平方反比关系的确立,标志着万有引力定律已基本成形。

四、万有引力定律的检验
牛顿万有引力定律发现的意义是极其巨大的,他标志着现代天文学的开始。

早在1682年,哈雷在访问巴黎天文台时,恰好遇上了一颗大彗星,他与台长卡西尼(jacquescassini,1677~1756)一道观测了这颗彗星,并计算了彗星接近太阳时的轨道,从此,他对牛顿提出的彗星也服从万有引力定律的观点使哈雷感悟到:如果彗星是在一个
以太阳为焦点的椭圆轨道上运行,那么,有朝一日它还会转回到太阳附近,地球上的人们
可以再次看到它.基于这个想法,哈雷应用万有引力定律开始了彗星的研究.他首先确定
了1337—1698年间出现的24颗彗星的轨道要素,以这些彗星的位置记录为出发点,查阅
了前人的研究文献,发现开普勒于1607年观察到的一颗彗星与自己1682年观测的彗星描
述相符,两次彗星出现的时间间隔是75年.如果75年是这颗彗星的周期,只要依此前推
就可以找到它先前的记载.哈雷继续对照查证,又找到一颗出现于1531年的彗星与前两
颗有极其相似的轨道,但是时间间隔却是76年.为什么这三颗彗星的记载和轨道如此相
似但间隔时间却有差异呢?根据牛顿的万有引力理论,哈雷认为这是因为彗星围绕太阳运
行时受到其他天体(如土星、木星)的引力影响,其运动轨道偏离了原来的轨道——即
“摄动”的结果.由于“摄动”影响,彗星的运动会偏离原椭圆轨道,从而导致了运动周
期的变化,因此它的每一次出现不可能遵循完
全系列成正比的时间间隔.
1705年,哈雷出版了《彗星天文学论说》一书,书中论述了他应用《原理》中的力学理论计算出1337—1698年间观测到的24颗彗星的轨道.哈雷指出,出现于1531、1607
和1682年的三颗彗星应是同一颗彗星的三次回归,并大胆预言,这颗彗星一定会再次回来,回归的日期在1758年底到1759年初,时间间隔是76年.牛顿在《原理》第三版序
言中首肯了哈雷的研究,他说:“哈雷博士比以前更精确地计算了该彗星的椭圆轨道,沿
此轨道,彗星穿越天穹九宫,其精确性与行星在天文学给出的椭圆上运行并无二致”.
1758年岁末,哈雷去世后的第16年,一颗拖着美丽长尾的彗星迈上昏黄的夜空,哈
雷的应验同时实现了!人们无私地表示它为哈雷彗星!做为人类所证实的第一颗周期彗星,哈雷彗星的重回,劝服了最后一批牛顿力学的怀疑者.不仅1758年,在以后的漫长岁月中,1835年、1910年、1986年,哈雷彗星都如期地重回过地球,科学的应验一次又一次
地证实了牛顿理论的恰当!
牛顿把他的引力定律应用于地球的运动时,第一次解释了从普鲁塔奇时代以来就已经
知道的岁差现象。

他指出,因为地球自转轴与其轨道平面(黄道面)成一倾斜角,所以作
用在地球赤道鼓出部分的太阳引力,一定要引起地球的自转轴绕着垂直黄道面的直线缓慢
地转动,转动周期约26000年。

这种解释遭到了天文学家的强烈反对,因为那时人们根据
一些错误的测量结果,以为我们的地球不是象南瓜的形状那样在赤道部分略宽一些,而是
更象西瓜那样,两极之间的距离比赤道的直径大。

为了解决这一争论,法国数学家德·莫
伯特斯(pierreloulsmoreaudemaupertuls,1698~1759)组织了一次探险,冒着遭遇到
狼群的很大危险,到拉普兰(芬兰北部区域)去测量北纬子午线一度的长度。

他的测量证明,牛顿的观点是正确的。

法国文豪伏尔泰写信给他开玩笑说:“你为证实它,在不毛之
地奔跑,牛顿坐在家里就早已知道”。

18世纪末19世纪初,人们对天王星的运动的观测和理论结果之间存有着显著的偏差。

英国青年大学生亚当斯(johncouchadams,1819~1892)在1843年至1845年,法国天文
学家勒维烈(urbainjeanjosephleverrire,1811~1877)在1845年,各自单一制地根据
牛顿理论展开了排序,应验了在天王星轨道之外的一个未明行星的质量、轨道和边线。


维烈将他的计算结果写信给说了柏林天文台的伽勒(johannottfriedgalle,1812~1910),伽勒于1846年9月23日夜间在原订的地点辨认出了一颗代莱行星,这就是对天
王星的运转产生规则的重力场促进作用的海王星。

法国知名科学家阿拉果高度评价了海王
星的辨认出,他说道:“天文学家有时偶尔遇见一个动点,在望远镜里辨认出一颗行星,
可是勒维烈辨认出这颗代莱天体,却没朝天盼一下,他在他的笔尖下便看到这颗行星了。

只依靠排序的力量,他同意了我们所晓得的行星的疆界之外的一个天体的边线和大小,这就是返回太阳12亿里的一个天体,在最小的望远镜也看不到它的园轮来的。

”牛顿万有引力定律的辨认出,在近代自然科学史上具备划时代意义的了不起事件。

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