中考数学综合题专题复习几何中的动点问题专题解析

中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析
【真题精讲】
【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
C
M B
（1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】
解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．
A B M C N E D
∵AB DE ∥，AB MN ∥．
∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD
=． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017
t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。

在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。

具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论：
① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
∵4sin 5
DF C CD ∠=
=， ∴3cos 5
C ∠=， ∴310225
t t -=⨯， 解得258t =． A B M C
N
F D
② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ．
则2CN CH =，
∴()321025
t t =-⨯． ∴6017
t =． A B M C
N
H
D
③ 当MC CN =时，
则102t t -=．
103
t =． 综上所述，当258t =、6017或103时，MNC △为等腰三角形．
【例2】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．
（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，
并证明你的结论．
（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC
＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。

【解析】：
（1）结论：CF 与BD 位置关系是垂直；
证明如下： AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．
由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，
∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

（2）CF ⊥BD ．(1)中结论成立． 理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG
可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD 【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X 。

分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，
①点D 在线段BC 上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ，
易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ
= ， ∴44CP x x =-， 2
4
x CP x ∴=-+． ②点D 在线段BC 延长线上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．
过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，
∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ
= ， ∴44CP x x =+， 2
4
x CP x ∴=+．
【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，
G A B C D E
F
MBC △是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设
PC x MQ y
==，，求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。

第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。

题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.
【解析】
（1）证明：∵MBC △是等边三角形
∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠
∵M 是AD 中点
∴AM MD =
∵AD BC ∥
∴60AMB MBC ==︒∠∠，
60DMC MCB ==︒∠∠
∴AMB DMC △≌△
∴AB DC =
∴梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，
60MPQ =︒∠
∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)
∴BMP QPC =∠∠
∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP
= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， A D
C B P
M Q 60
∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。

由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X 取对称轴的值时Y 有最小值。

接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了。

由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。

（3）解： PQC △为直角三角形
∵()21234
y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==
∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，
∴30CPQ =︒∠，
∴90PQC =︒∠
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。

如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。

当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，．
（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；
（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，
． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的
结论是否仍然成立？（不要求证明）
图3图2 图1F E A B C D A B
C
D E F G G
F E
D
C B
A
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。

从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。

第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。

第二问将△BEF 旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。

事实上，本题的核心条件就是G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。

连接AG 之后，抛开其他条件，单看G 点所在的四边形ADFE ，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF 的垂线。

于是两个全等的三角形出现了。

（1）CG EG =
（2）（1）中结论没有发生变化，即CG EG =．
证明：连接AG ，过G 点作MN AD ⊥于M ，与EF 的延长线交于N 点．
在DAG ∆与DCG ∆中，
∵AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，，
∴DAG DCG ∆∆≌．
∴AG CG =．
在DMG ∆与FNG ∆中，
∵DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，，
∴DMG FNG ∆∆≌．
∴MG NG =
在矩形AENM 中，AM EN =
在Rt AMG ∆与Rt ENG ∆中，
∵AM EN MG NG ==，，
∴AMG ENG ∆∆≌．
∴AG EG =．
∴EG CG =
M
N
图2
A B
C D E F G
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。

但是我们不应该止步于此。

将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF 任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。

建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD 的中点。

可以延长一倍EG 到H ，从而构造一个和EFG 全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。

要想办法证明三角形ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC 和三角形CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了。

（3）（1）中的结论仍然成立．
G
图3F E A
B
C
D
【例5】已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B ′ 处．
（1）当
CE
BE =1 时，CF=______cm ， （2）当CE
BE =2 时，求sin ∠DAB ′ 的值； （3）当CE BE = x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。

这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。

同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。

一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。

尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E 在BC 上和E 在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】
（1）CF= 6 cm ； （延长之后一眼看出，EAZY ）
（2）① 如图1，当点E 在BC 上时，延长AB ′交DC 于点M ，
∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴
FC AB CE BE ． ∵ CE
BE =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF ，∴∠BAE=∠F ．
C
A D B
又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．
设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．
在Rt △ADM 中，由勾股定理得：
k 2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=
132． ∴ DM=52．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）
∴ sin ∠DAB ′=13
5=AM DM ； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，
同①可得NA=NE ．
设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．
在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得
m 2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=
152． ∴ B ′ N=92． ∴ sin ∠DAB ′=5
3='AN N B ． （3）①当点E 在BC 上时，y=18x x 1
+； （所求△A B ′ E 的面积即为△ABE 的面积，再由相似表示
出边长）
②当点E 在BC 延长线上时，y=18x 18x
-．
【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。

动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。

只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：
第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。

针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。

针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。

如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

图 2
【发散思考】
【思考1】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点
E 与A 、B 不重合）
，在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；
（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；
（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代
数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．
第25题（1） 第25题（2）
【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。

思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。

第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0︒＜∠PBC ＜180°，
且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，
（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °；
（2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；
（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．
【思路分析】本题中，和动点P 相关的动量有∠PBC ，以及D 点的位置，但是不动的量就是BD 是平分线并且DB=DA ，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。

事实上，P 点的轨迹就是以B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思考一下~
【思考3】如图：已知，四边形ABCD 中，AD//BC ， DC ⊥BC ，已知AB=5，BC=6，cosB=35． 点O 为BC 边上的一个动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN ．
（1）当BO=AD 时，求BP 的长；
（2）点O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；
（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C ，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。

在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。

本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。

第二问则需要用设元的方法表示出MN 和BP ，从而讨论他们的数量关系。

第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；
②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD=6,tanB=43
,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
A B C D O P M N A B C D
（备用图）
【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。

事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。

旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。

第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。

建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

【思考题解析】
【思考1解析】
（1）证明：∵ EC DE ⊥，∴ ︒=∠90DEC ．∴ ︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵ ︒=∠=∠90B A ，∴ ︒=∠+∠90EDA AED ． ∴ EDA BEC ∠=∠．∴ ADE ∆∽BEC ∆． （2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ， ∵ E 是AB 的中点，容易证明)(2
1
BC AD EF +=
． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 2
1
=
． ∴
)(21BC AD +CD 2
1
=． ∴ CD BC AD =+．
（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=． 设x AD =，则x a DE -=．
∵ ︒=∠90A ，∴ 2
22AD AE DE +=．即2
2
2
2
2x m x ax a +=+-．
∴ a
m a x 22
2-=．
由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，
第25题
∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=22
2a
m a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=
m
a a
2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．
【思考2答案】
解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD ．
解一：∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，
∴ ∠1=∠2．
∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ． ∵ BD= BD ， ∴ △PBD ≌△CBD ． ∴ ∠BPD=∠3．
∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ， ∴ △BCD ≌△ACD ． ∴ 13
4302
ACB ∠=∠=∠=︒． ∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA =BC=AC ． ∵ DB=DA ，
∴ CD 垂直平分AB ． ∴ 1
34302ACB ∠=∠=∠=︒． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ．
∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，
∴ △PBD 与△CBD 关于BD 所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10．
【思考3解析】
解：（1）过点A 作AE ⊥BC,在Rt △ABE 中，由AB=5，cosB=
3
5
得BE=3． ∵CD ⊥BC ，AD//BC ，BC=6，
∴AD=EC=BC －BE=3．
当BO=AD=3时， 在⊙O 中，过点O 作OH ⊥AB,则BH=HP
∵
cos BH B BO =,∴BH=39
355⨯=． ∴BP=18
5
．
（2）不存在BP=MN 的情况-
假设BP=MN 成立，
∵BP 和MN 为⊙O 的弦，则必有∠BOP=∠DOC. 过P 作PQ ⊥BC ，过点O 作OH ⊥AB,
∵CD ⊥BC ，则有△PQO ∽△DOC- 设BO=x ，则PO=x,由
3cos 5BH B x ==，得BH=3
5
x , ∴BP=2BH=
6
5
x . ∴BQ=BP ×cosB=1825x ，PQ=24
25x ．
∴OQ=187
2525
x x x -=．
∵△PQO ∽△DOC ，∴PQ DC
OQ OC =
即24
4257
625
x x x =-，得296x =． 当296x =
时，BP=65x =295
＞5=AB ，与点P 应在边AB 上不符， ∴不存在BP=MN 的情况.
（3）情况一：⊙O 与⊙C 相外切，此时，0＜CN ＜6；------7分 情况二：⊙O 与⊙C 相内切，此时，0＜CN ≤
7
3
.-------8分
A
D P M
【思考4解析】
解：（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直． 证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．
∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，
∴111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，． ∵1190G EF PEF ∠=-∠°，11
90PEC PEF ∠=-∠°， ∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC △≌△． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，
∴1
90PCE ∠=°， ∴190G FE ∠=°． ∴90EFH ∠=°．
∴90FHC ∠=°． ∴1FG CD ⊥．
②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直． （2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B ADC ∠=∠．
∵461
tan 3
AD AE B ===，，， ∴4
5tan tan 3DE EBC B =∠==，
． F
D
C
B
A E
图1 G 2
G 1
P 1
H P 2
可得4CE =．
由（1）可得四边形EFCH 为正方形． ∴4CH CE ==．
①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，
∵111
4FG CP x PH x ===-，， ∴1111
1(4)
22
P FG x x S FG PH -=
⨯⨯=△． ∴2
12(4)2
y x x x =->．
②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、
∵111
4FG CP x PH x ===-，， ∴1111
1(4)
22
P FG x x S FG PH -=
⨯=△． ∴2
12(04)2
y x x x =-+<<．
③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．
综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是2
12(4)2
y x x x =
->或21
2(04)2
y x x x =-+<<．
标是(4,0)2
--．
B。